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2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）
第四章 几何图形初步单元培优训练
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第4章 几何图形初步，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2021·贵州安顺·中考真题）下列几何体中，圆柱体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆柱体的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A. 是圆锥，不符合题意；
B. 是圆台，不符合题意；
C. 是圆柱，符合题意；
D. 是棱台，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查几何体的认识，掌握圆锥、圆柱、圆台、棱台的定义，是解题的关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】根据三棱柱的截面形状判断即可．
【详解】解：用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状可能是：三角形，四边形，五边形，不可能是六边
形，
故选：D．【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握三棱柱的截面形状是解题的关键．
3．（2022·河北·中考真题）①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6
个小正方体构成的长方体，则应选择（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【分析】观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能 构成长方体，
①④组合符合题意
【详解】解：观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能构成长方体，
①④组合符合题意
故选D
【点睛】本题考查了立体图形，应用空间想象能力是解题的关键．
4．（2022·四川内江·中考真题）如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（ ）
A．跟 B．党 C．走 D．听
【答案】C
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“话”与“走”是对面，
故答案为：C．
【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
5．（2021·全国·七年级专题练习）如图，已知直线上顺次三个点A、B、C，已知AB＝10cm，BC＝4cm．
D是AC的中点，M是AB的中点，那么MD＝（ ）cm
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】由AB＝10cm，BC＝4cm．于是得到AC＝AB+BC＝14cm，根据线段中点的定义由D是AC的中点，得到AD，根据线段的和差得到MD＝AD﹣AM，于是得到结论．
【详解】解：∵AB＝10cm，BC＝4cm，
∴AC＝AB+BC＝14cm，
∵D是AC的中点，
∴AD＝ AC＝7cm；
∵M是AB的中点，
∴AM＝ AB＝5cm，
∴DM＝AD﹣AM＝2cm．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了两点之间的距离，线段的和差、线段的中点的定义，利用线段差及中点性质是解
题的关键．
6．（2022·全国·七年级课时练习）如图， ，OC平分 且 ，则 的度数
为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据OC平分 且 可得 ，再结合 即可求得答案．
【详解】解：∵OC平分 且 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·全国·七年级课时练习）如图平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是_______________．
【答案】圆锥
【分析】根据旋转的性质判定即可．
【详解】∵平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆锥，
故答案为：圆锥．
【点睛】本题考查了直角三角形的旋转，记住常见平面图形旋转的几何体是解题的关键．
8．（2022·全国·七年级单元测试）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从左面和上面看到的平
面图形如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数为_____．
【答案】4
【分析】根据左面看与上面看的图形，得到俯视图解答即可．
【详解】解：根据左视图和俯视图，这个几何体的底层有3个小正方体，
第二层有1个小正方体，
所以有 个小正方体，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键．
9．（2019·湖北黄冈·中考真题）如图， 在 的同侧， ，点 为 的中点，若 ，则 的最大值是_____．
【答案】14
【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明 A′MB′为等边三角形，即可
解决问题． △
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ．
，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学
会利用两点之间线段最短解决最值问题
10．（2021·山东·滕州市张汪镇张汪中学七年级阶段练习）有一个正方体，六个面上分别写有数字1，2，
3，4，5，6，如图是我们能看到的三种情况，如果记6的对面数字为a，2的对面数字为b，那么a+b的值
为_____．【答案】7
【分析】从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到对面的数字，即可求得结果．
【详解】一个正方体已知1，4，6，第二个正方体已知1，2，3，第三个正方体已知2，5，6，且不同的面
上写的数字各不相同，可求得1的对面数字为5，6的对面数字为3，2的对面数字为4
∴a+b=7
故答案为：7．
【点睛】本题考查正方体相对两个面的数字，根据相邻的面确定出对面上的数字是解题的关键．
11．（2022·山东烟台·期中）2：35时，钟面上时针与分针所成的角等于________°．
【答案】
【分析】2：35时，分针指向7，时针指向2和3之间，用2和7之间的度数减去时针走的度数即可．
【详解】解：2：35时，分针指向7，时针指向2和3之间，
．
故答案是： ．
【点睛】本题考查钟面角的求解，解题的关键是掌握钟面角的计算方法．
12．（2022·全国·七年级专题练习）一个长方体包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为
_____cm3．
【答案】6000
【分析】根据题意分别求出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式计算即可求解．
【详解】解：由题意可得，该长方体的高为：42﹣32＝10（cm），宽为：32﹣10＝20（cm），长为：（70
﹣10）÷2＝30（cm），
故其容积为：30×20×10＝6000（cm3），故答案为：6000．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是得到长方体的长宽高．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个长方体纸盒的展开图，如果长方体相对面上的两个数字之
和相等，求 的值．
【答案】16
【分析】分别找到x与y相对的数字即可求解．
【详解】因为这是长方体纸盒的展开图，
所以“4”与“10”相对，“ ”与“2”相对，“6”与“ ”相对，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，正确找出相对面是解题的关键．
14．（2021·江西·南昌知行中学七年级阶段练习）已知：如图，AB＝18cm，点M是线段AB的中点，点C
把线段MB分成MC：CB＝2：1的两部分，求线段AC的长．
请补充完成下列解答：
解：∵M是线段AB的中点，AB＝18cm，
∴AM＝MB＝ AB＝ cm．
∵MC：CB＝2：1，
∴MC＝ MB＝ cm．
∴AC＝AM＋ ＝ ＋ ＝ cm．
【答案】 ，9， ，6，MC，9，6，15
【分析】根据中点的定义和线段和差填空即可．【详解】解：∵M是线段AB的中点，且AB＝18cm，
∴AM＝MB＝ AB＝9cm．
∵MC：CB＝2：1，
∴MC＝ MB＝6cm．
∵AC＝AM+MC＝9+6＝15cm，
故答案为： ，9， ，6，MC，9，6，15．
【点睛】本题考查了线段的中点和线段的和差，解题关键是准确识图，弄清线段之间的数量关系．
15．（2021·广西玉林·七年级期末）如图，点 在线段 的延长线上， ， 是 的中点，若
，求 的长．
【答案】7.5
【分析】根据AC与AB的关系，可得AC的长，根据线段的中点分线段相等，可得AD与AC的关系，根
据线段的和差，可得答案.
【详解】解： ， ，
∴AC=3×15=45．
又 是 的中点，
，
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的中点，解题的关键是根据AC与AB关系，先求出AC的长，再
根据线段的中点分线段相等求得答案.
16．（2022·全国·七年级专题练习）如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，AC=12，
(1)若EC:CB=1:4，求AB的长；
(2)若F为CB的中点，求EF长，【答案】(1)AB=20；
(2)EF=6．
【分析】（1）设CE=x，则CB=4x，根据线段中点的定义得到AE=BE，求得AE=5x，得到AC=6x=12，于
是得到结论；
（2）根据线段中点的定义得到AE=BE，设CE=x，求得AE=BE=12-x，得到BC=BE-CE=12-x-x，于是得到
结论．
（1）
解：∵EC：CB=1：4，
∴设CE=x，则CB=4x，BE=5x，
∵点E是线段AB的中点，
∴AE=BE，
∴AE=5x，
∴AC=6x=12，
∴x=2，
∴AB=10x=20；
（2）
解：∵点E是线段AB的中点，
∴AE=BE，
设CE=x，
∴AE=BE=12-x，
∴BC=BE-CE=12-x-x=12-2x，
∵F为CB的中点，
∴CF= BC=6-x，
∴EF=CE+CF=x+6-x=6．
【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是结合图形，利用线段的和与差和线段的中点即可解答．
17．（2022·全国·七年级专题练习）已知四点A、B、C、D．根据下列语句，画出图形．
①画直线AB；
②连接AC、BD，相交于点O；
③画射线AD、射线BC，相交于点P．【答案】见详解
【分析】根据直线、射线、线段的性质画图即可．
【详解】解：如图
【点睛】此题主要考查了简单作图，解答此题需要熟练掌握直线、射线、线段的性质，认真作图解答即可．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·山东济南·七年级期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且 cm，
cm．
（1）图中共有______条线段？
（2）求AC的长；
（3）若点E在直线AD上，且 cm，求BE的长．
【答案】（1）6；（2）5cm；（3）4cm或10cm．
【分析】（1）固定A为端点，数线段，依次类推，最后求和即可；
（2）根据AC=AD-CD=AC-2BC，计算即可；
（3）分点E在点A左边和右边两种情形求解．
【详解】（1）以A为端点的线段为：AC，AB，AD；以C为端点的线段为：CB，CD；
以B为端点的线段为：BD；
共有3+2+1=6（条）；
故答案为：6．（2）解：∵B为CD中点， cm
∴ cm
∵ cm
∴ cm
（3） cm， cm
第一种情况：点E在线段AD上（点E在点A右侧）．
cm
第二种情况：点E在线段DA延长线上（点E在点A左侧）．
cm．
【点睛】本题考查了数线段，线段的中点，线段的和（差），熟练掌握线段的中点，灵活运用线段的和，
差是解题的关键．
19．（2022·全国·七年级专题练习）将一副三角尺叠放在一起：
（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；
（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．
【答案】（1）∠CAE＝18°；（2）∠ACD＝120°．
【分析】（1）由题意根据∠BAC＝90°列出关于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度数，再根据同角的
余角相等求出∠CAE＝∠2，从而得解；
（2）根据∠ACB和∠DCE的度数列出等式求出∠ACE﹣∠BCD＝30°，再结合已知条件求出∠BCD，然
后由∠ACD＝∠ACB+∠BCD并代入数据计算即可得解．
【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝4∠2，
∴4∠2+∠2＝90°，
∴∠2＝18°，又∵∠DAE＝90°，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°，
∴∠CAE＝∠2＝18°；
（2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCD+∠BCE＝60°，
∴∠ACE﹣∠BCD＝30°，
又∠ACE＝2∠BCD，
∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°．
【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题
的关键．
20．（2022·全国·七年级）如图，直线 、 相交于点 ， 为锐角， ， 平分
（1）图中与 互余的角为__________；
（2）若 ，求 的度数；
（3）图中与锐角 互补角的个数随 的度数变化而变化，直接写出与 互补的角的个数及
对应的 的度数
【答案】（1） 、 ；（2） ；（3）见解析.
【分析】（1）根据余角的定义可解答；
（2）根据补角的定义列方程可解答；
（3）设出∠AOE的度数，依次表达图中的补角，可解．
【详解】（1）由题意可得于∠AOE互余的角为： 、
（2）设 .
∵ ，
∴ ，
.
∵ ，
∴ .又∵ ，
∴ ，即 .
∴ .
（3）设∠AOE=α，且0°＜α＜90°由（1）可知，∠AOD=∠BOC=90°-α，∠BOE=180°-α，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（90°-α）=90°+α，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=∠DOF=45°+ ，
∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=90°-α+45°+ =135°- ，
∠EOF=∠AOF+∠AOE=135°+ ，
∠COF=∠BOC+∠BOF=90°-α+45°+ =135°- =∠AOF，
①当∠AOF+∠AOE=180°时，即135°- +α=180°，解得α=90°，不符合题意；
②当∠EOF+∠AOE=180°时，即135°+ +α=180°，解得α=30°，符合题意；
③当∠BOD+∠AOE=180°时，即90°+α+α=180°，解得α=45°，符合题意；
综上可知，
当锐角 时，互补角有2个，为 、 ．
当锐角 时，互补角有3个，为 、 、 ．
当锐角 不等于 和 时，互补角有1个，为 ．
【点睛】本题主要考查补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握补角的定义是解题关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2022·全国·七年级单元测试）如图一，已知数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动点
从 出发，以 个单位每秒的速度沿射线 的方向向右运动，运动时间为 秒(1)线段 __________．
(2)当点 运动到 的延长线时 _________．（用含 的代数式表示）
(3)如图二，当 秒时，点 是 的中点，点 是 的中点，求此时 的长度．
(4)当点 从 出发时，另一个动点 同时从 点出发，以 个单位每秒的速度沿射线向右运动，
①点 表示的数为：_________（用含 的代数式表示），
点 表示的数为：__________（用含 的代数式表示）．
②存在这样的 值，使 、 、 三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出 值．
______________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)① ； ② 秒或 秒或 秒
【分析】（1）由数轴上两点间的距离的定义求解即可，数轴上两点间的距离等于数轴上两点所对应的数
的差的绝对值；
（2）结合“路程＝速度×时间”以及两点间的距离公式，用 点P运动路程－ 可求解；
（3）当 秒时，根据路程＝速度×时间，得到 ，所以 ，再 由点 是 的中
点，点 是 的中点，利用中点的定义得到 ， ，最后由 即可得到结论．
（4）①设运动时间为 ，当点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度沿射线 的方向向右运动，另一个
动点 同时从 点出发，以 个单位每秒的速度沿射线向右运动，结合“路程＝速度×时间”，再利用数轴
上两点间距离公式，则点 所表示的数是点 的运动路程加上点 所表示的数，点 所表示的数是点 的
运动路程加上点 所表示的数即可．
②结合①的结论和点 所表示的数，分三种情况讨论即可．
（1）
解：∵在数轴上，点A表示的数为－6，点B表示的数为8，
∴ ．
故答案为：14
（2）
∵在数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度沿射
线 的方向向右运动，运动时间为 秒，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
（3）
∵点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度沿射线 的方向
向右运动，
当 秒时， ，
∴ ，
又∵点 是 的中点，点 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
∴此时 的长度为 ．
（4）
①设运动时间为 ，当点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度沿射线 的方向向右运动，另一个动点
同时从 点出发，以 个单位每秒的速度沿射线向右运动，∴ ， ，
∴点 所表示的数为： ，点 所表示的数为： ，
故答案为： ；
②结合①的结论和点 所表示的数，可知：
点 表示的数为 ，点 所表示的数为： ，点 所表示的数为： ，
分以下三种情况：
若点 为中点，则 ，
∴ ，
解得： ；
若点 为中点，则 ，
∴ ，
解得： ；
若点 为中点，则 ，
∴ ，
解得： ．
综上所述，当 为 秒或 秒或 秒时， 、 、 三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，中点的定义，注
意分情况讨论．解题的关键是学会用含有t的式子表示动点点P和点Q表示的数．
22．（2022·全国·七年级课时练习）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，
OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，
①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；
②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；
③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2） m°+ n°或180°- m°- n°
【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，
∴∠BOP= ∠AOB=30°，∠BOQ= ∠COD=20°，
∴∠POQ=50°，
故答案为：50°；
②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，
∴∠AOC=140°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC= ∠AOC=70°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=60°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；
③解：补全图形如图3所示，∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，
∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC= ∠AOC=85°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=85°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；
（2）当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图2，
∴∠AOC= m°+ °，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC= (m°+ °)，
同理可求∠DOQ= (n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC= (n°+ °)- n°= (-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ= (m°+ °)- (-n°+ °)= m°+ n°，
当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图3，
∵∠AOB=m°，∠BOC=α，
∴∠AOC=360°-m°- °，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC= ∠AOC=180° (m°+ °)，
∵∠COD=n°，∠BOC=α，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ= (n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC= (n°+ °)-n°= (-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180° (m°+ °)+ (-n°+ °)
=180°- m°- n°，
综上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，则∠POQ= m°+ n°或180°- m°- n°．
故答案为： m°+ n°或180°- m°- n°．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且
m，n满足 ，点M，N分别为AB，CD中点．
(1)求线段AB，CD的长；
(2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN
＝4，求此时线段BC的长；(3)若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一
个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．
【答案】(1)线段AB的长是4，线段CD的长是8
(2)16或8
(3)当 时，MN+AD为定值，定值为6
【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求出m和n的值即可；
（2）分 在 的左侧和 在 的右侧两种情况，根据线段的和差关系列出方程，即可求解；
（3）由题意，运动t秒后， ， ，分段讨论即可求解．
（1）
解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
即线段AB的长是4，线段CD的长是8；
（2）
解：∵ ， ，
∴ ， ，
设运动后点M对应点为 ，点N对应点为 ，分两种情况，
若6秒后， 在 的左侧时： ，
∴ ，
即 ，
解得 ．
若6秒后， 在 的右侧时： ，
∴ ，
即 ，
解得 ．
即线段BC的长为16或8；
（3）解：∵BC＝24， ， ，
∴ ， ，
∵线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，
∴运动t秒后， ， ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
故当 时，MN+AD为定值，定值为6．
【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题
的关键是掌握分类讨论思想．
