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专题05 高中全部补充函数培优归类
题型1 对勾函数型
对勾函数：
图像特征
形如
称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax
2.“拐点”：解方程
（即第一象限均值不等式取等处）
1.（23-24 高三·黑龙江哈尔滨·模拟）已知函数
，若对于任意的实数
、
、
，均存在以
、
、
为三边边长的三角形，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（22-23 高三上·广东清远·阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（24-25 高三上·浙江·期中）已知函数
，若
，
，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2020·湖南娄底·模拟预测）已知函数
（
且
）是偶函数，则关于x 的不等
式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．以上答案都不对
题型2 双曲函数
双曲函数（双刀函数）
1.有“渐近线”：y=ax 与y=-ax
2.“零点”：解方程
（即方程等0 处）
1.（2025·江西·模拟预测）已知函数
，若
，使
成立，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（23-24 高一下·河南濮阳·期末）已知函数
，若
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
3.（24-25 高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（22-23 高三上·四川成都·阶段练习）已知函数
，则关于t 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 复合分式型“反比例”函数
反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再
用穿线法求解
形如：
。对称中为P
，其中
。
1.（23-24 高二下·广东茂名·期末）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三江苏南通·阶段练习）已知函数
，
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·甘肃兰州·阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高一下·云南昭通·开学考试）已知函数
，若对任意的
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 绝对值型函数
绝对值函数：
1.（2019·天津和平·一模）已知函数
，
若关于
的方程
恰有
三个不相等的实数解，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2.（24-25 高二下·河北·期末）已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.（24-25 高二下·江苏南京·期末）已知函数
的值域为
，则实数a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（24-25 高二下·浙江丽水·期末）已知函数
，若关于
的不等式
的解集中有
且仅有
个整数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5 取整函数（高斯函数）
取整函数（高斯函数）
表示不超过
的最大整数，又叫做“高斯函数”，
1.（22-23 高三·江苏徐州·阶段练习）符号
表示不超过
的最大整数，如
，
，定义函
数
，那么下列说法正确的个数是（ ）
函数
的定义域为 R ，值域为 1, 0
②方程
有无数多个解
③对任意的
，都有
成立
④函数
是单调减函数
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2.（22-23 高三上·江西·阶段练习）已知
表示不超过实数
的最大整数(
)，如：
，
，
．定义
，给出如下命题：
①使
成立的
的取值范围是
；
②函数
的定义域为
，值域为
；
③
．
其中正确的命题有
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
3.（23-24 高一上·云南楚雄·阶段练习）数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如
下：对任意的
，函数
称为狄利克雷函数；记
为不超过
的最大整数，则称
为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的值域为
4.（2024 高三·北京·专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函
数”为：设
，用
表示不超过
的最大整数，则
称为高斯函数，例如：
，已
知函数
，设
，则下列结论错误的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是奇函数
C．
在
上是增函数
D．
的值域是
题型6 一元三次型函数
一元三次函数：
所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图像的对称
中心，
设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．
1.（22-23 高三上·湖北·阶段练习）已知函数
是
上的增函数．当实数
取最大值时，若
存在点
，使得过点
的直线与曲线
围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点
的坐标为
A．
B．
C．
D．
2.（21-22 高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数
是
上的增函数．
当实数
取最大值时，若存在点
，使得过点
的直线与曲线
围成两个封闭图形，且这两个封
闭图形的面积总相等,则点
的坐标为
A．
B．
C．
D．
3.（23-24 高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数
，现给出定义：设
是
函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数
都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数
，则函数的对称中心为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（20-21 高二下·北京西城·期中）对于三次函数
，给出定义：设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”
就是对称中心，设函数
，则以下说法正确的是（ ）
①函数
对称中心
②
的值是
③)函数
对称中心
④
的值是
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④
题型7 指数绝对值函数
指数函数核心特征是“一点一线”。
1. 一点，即一定点。
2. 一线，即一条渐近线（x 轴）
3. 指数函数的定点，类似中心对称的点，两个点关于“定点”满足“积定值。这个性质。
4. 无论指数函数怎么变换，要注意“一点一线”是否存在且“跟随”变换。
1.（24-25 高三·江西·阶段练习）若函数
有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
方程
有四个不同的实数根，从
小到大依次为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数
，
，若关于
的方程
有3 个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（24-25 高三·江西·阶段练习）已知函数
，则函数
的零点个
数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
题型8 对数型绝对值函数
对数绝对值型函数
对于
，
若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
1.（24-25 高二下·山东日照·阶段练习）已知函数
，若方程
有四个不同的
实根
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（24-25 高二下·天津滨海新·阶段练习）已知实数
，
是函数
的两个零点，则
下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（24-25 高三上海·阶段练习）已知
存在实数
满足
，则
的
取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
4.（24-25 高一上·云南曲靖·期末）已知函数
，若关于
的方程
（
）有
四个不同的根，它们从小到大依次记为
，
，
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型9 对数无理型
对称中心横坐标如果相同，可以叠加纵坐标为合成中心
1.（2025·河北·模拟预测）若
（其中
）是偶函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
2.（2025·河北·模拟预测）函数
与函数
的图象的交点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3.（2025·陕西咸阳·二模）已知
是定义在
上的函数，且
为奇函数，若函数
的图象与函数
的图象有
个交点
，…，
，且
，则
的值为（ ）
A．1010
B．1012
C．1014
D．1016
4.（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 对数反比例型
实战解题巧法：对称中心必然是定义域的“对称中点”处，可以借助这个特性来
直接解出参数值
1.（23-24 高三·云南昭通·阶段练习）函数
为奇函数，
的值为（ ）
A．
B．0
C．2
D．4
2.（24-25 高三·湖南长沙·开学考试）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（24-25 高三下·江苏泰州·开学考试）已知
R，
，函数
，则（ ）
A．当
时，函数
在其定义域上单调递减
B．当
时，函数
在其定义域上单调递增
C．存在实数a，使函数
的图像是轴对称图形
D．当
时，函数
的图像恒为中心对称图形
4.（2025 高三·全国·专题练习）若函数
的图象关于坐标原点对称，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型11 指数反比例型
1.（24-25 高二下·河南周口·期末）已知
是奇函数，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
2.（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数
，则下列是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025·四川成都·模拟预测）已知函数
，数列
满足
，
，
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.（2025·辽宁·模拟预测）已知
是
上的奇函数，当
时，
，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型12 对数反比例：绝对值型
对数反比例绝对值型函数
，有以下几点性质（可以参考下图特殊函数）
1. 定义域是断点型：
2. 图像一上一下，一左一右，具体有两个判断：
（1）、两个断点处；（2）、断点处左右两边极限处带特殊值，判断函数值正负。
1.（24-25 高三上·山东日照·期末）若
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
2.（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数
为奇函数，且
在区
间
上有最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（24-25 高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2025·河南·模拟预测）已知函数
恰有一个零点，则实数
（ ）
A．1
B．
C．0
D．
题型13 对数复合指数反比例
对数-指数复合反比例型：
对数-指数复合反比例型原理：
1.（2025·黑龙江·一模）已知函数
是偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（24-25 高三·安徽阜阳·阶段练习）若函数
是
上的偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
3.（2025·福建厦门·一模）若函数
的图象关于直线
对称，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2025·山西临汾·三模）已知
，则满足
的实数m 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
结束
