文档文本内容
专题05 立体几何动点、轨迹与截面培优归类
题型1 动点轨迹：空间球基础
在此处键入公式。
空间球：到定点距离为定值的点的轨迹
用一个平面
去截球，若平面
经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面
不经过球心，所得的
截面称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。且满足勾股数组
1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）将边长为
的正方形
沿着对角线
折起，使点
到达点
的位置，
得到三棱锥
，点
平面
，且
若
则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知四面体
满足
动点
在四面体
的外接球的球面上，且
则点
的轨迹的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二上·福建福州·期末）已知边长为
的正方体
，点
为
内一个动
点，且满足
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·广西·阶段练习）已知正三棱锥
，满足
，点
在
内部
（含边界）运动，且
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2 动点轨迹：空间阿球
阿波罗尼斯球：
空间一动点到空间内两定点的距离之比为定值
的点的轨迹为球，称之为阿波罗尼斯球。
1．（22-23 高三下·重庆·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A，B 的距离
之比为定值
的点P 的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称
阿氏圆．将“阿氏圆”以AB 所在直线为轴旋转一周即可得“阿氏球”．即空间一动点到空间内两定点的距离之
比为定值
的点的轨迹为球，称之为阿波罗尼斯球．设M，N 是球C（C 为球心）球面上两定点，球
半径为3 且
．（1）空间中一动点P 满足
，可知点P 的轨迹为阿氏球，则该球的表
面积为 ；（2）若球C 表面上一动点Q 满足
，则点Q 的轨迹长度为
．
2．（24-25 高二上·湖北·阶段练习）动点
在棱长为3 的正方体
侧面
上，满足
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·四川成都·二模）在所有棱长均相等的直四棱柱
中，
，点
在四边
形
内（含边界）运动．当
时，点
的轨迹长度为
，则该四棱柱的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·安徽铜陵·三模）已知平面上两定点
、
，则所有满足
（
且
）的点
的轨迹
是一个圆心在
上，半径为
的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏
圆.已知棱长为3 的正方体
表面上动点
满足
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 动点定角轨迹：异面直线角度轨迹型
空间角度定值，可转化为圆锥曲线母线与轴的关系。角度定值，即圆锥曲线侧面（母线集合）与平面
交点
1．（23-24 高三浙江阶段练习）在三棱锥
中，
，点
为
所在平面内的动点，若
与
所成角为定值
，
，则动点
的轨迹是
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
2．（23-24 高二下·浙江·开学考试）在正方体
中，点M、N 分别是直线CD、AB 上的动点，
点P 是
内的动点（不包括边界），记直线
与MN 所成角为
，若
的最小值为
，则点P 的轨
迹是（ ）
A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．抛物线的一部分
D．双曲线的一部分
3．（2020·浙江·模拟预测）已知正方体
，P 是平面
上的动点，M 是线段
的中点，
满足PM 与
所成的角为
，则动点P 的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
4．（21-22 高三上·云南玉溪·阶段练习）正方体
中，
，
分别为
，
的中点，
是边
上的一个点（包括端点），
是平面
上一动点，满足直线
与直线
夹角与直线
与直线
的夹角相等，则点
所在轨迹为（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．抛物线或双曲线
题型4 动点定角轨迹：线面角型
线面角：
线面角定角定值，则可以转化为线与面的垂线（法向量）成定角定值， 可转化为圆锥曲线母线与轴的
关系。角度定值，即圆锥曲线侧面（母线集合）与平面交点
1．（24-25 高二上·天津·期中）在棱长为2 的正方体
中，点P 是侧面正方形
内的动
点，点Q 是正方形
的中心，且PQ 与平面
所成角的正弦值是
，则动点P 的轨迹图形的
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高二上·湖北·期中）在四棱锥
中，
平面ABCD，PA＝3，点M 是矩形ABCD 内
（含边界）的动点，且
，
，直线PM 与平面ABCD 所成的角为
，记点M 的轨迹长度为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高一上·浙江绍兴·期末）已知点
是边长为1 的正方体
表面上的动点，若直线
与平面
所成的角大小为
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·甘肃·二模）如图，在三棱锥
中，
平面
，
且
，
若在
内（包括边界）有一动点
，使得
与平面
所成角的正切值为
，则点
的轨迹长为
（ ）
A．
B．
C．
D．6
题型5 动点定角轨迹：二面角型
1．（21-22 高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在三棱锥
，
是以AC 为斜边的等腰直角三
角形，且
，
，二面角
的大小为
，则三棱锥
的外接球表面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知三棱锥
为
中点，
为直二面
角，且
为二面角
的平面角，三棱锥
的外接球
表面积为
，则平面
被
球
截得的截面面积及直线
与平面
所成角的正切值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·安徽·模拟预测）已知在菱形
中，
，把
沿
折起到
位置，
若二面角
大小为
，则四面体
的外接球体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·山西临汾·二模）在三棱锥
中，
，且二面角
的大小为
，则当该三棱锥的外接球体积最小时，
（ ）
A．
B．3
C．
D．
题型6 动点定角轨迹：两角相等型
两角相等型：
两角相等，可以转化为三角函数正余弦或者正切型，利用三角函数值对应的线段比，转怀伟线段比相
等或者比值为定值，则复合阿波罗尼斯圆。
1．（24-25 高二上·重庆·阶段练习）点
在正方体
的底面
所在平面上，
是
的
中点，且
，则点
的轨迹是
A．圆
B．直线
C．椭圆
D．圆的一部分
2．（24-25 高二上·山西运城·阶段练习）如图,
所在的平面
和四边形
所在的平面
垂直,且
,
,
,
,
,
,则点P 在平面
内的轨迹是
A．圆的一部分
B．一条直线
C．一条线段
D．两条直线
3．（2020 高三·上海·专题练习）四棱锥
，
平面
，
平面
，底面
为梯
形，
，
，
，
，满足上述条件的四棱锥的顶点
的轨迹是（ ）．
A．圆
B．不完整的圆
C．抛物线
D．抛物线的一部分
4．（20-21 高三上·安徽六安·阶段练习）在长方体
中，
，
，
为棱
的中点，动点
在面
内，满足
，则点
的轨迹与长方体的面
交线长等
于（ ）
A．
B．
C．
D．
题型7 动点轨迹：恒平行型
动点所形成直线与平面恒平行，则可以转化为“动点所在的平面与平面平行”
1．（2025·天津北辰·三模）已知正四棱柱
的底面边长为4，侧棱长为2，点
是棱
的
中点，
为上底面A1B1C1D1内（包括边界）的一动点，且满足
平面
，
的轨迹把该正四棱柱
截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高一下·重庆·期末）已知正方体
的棱长为4，点
是棱
的中点，
为四边
形
内（包括边界）的一动点，且满足
平面
，
的轨迹把正方体截成两部分，则较小部
分的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二上·山西太原·阶段练习）如图，已知正方体
的棱长为
分别是棱
的中点，点
为底面
内（包括边界）的一动点，若直线
与平面
无公共点，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高二上·上海宝山·阶段练习）如图，在棱长为5 的正方体
中，
是侧面
上的一个动点，点
为线段
上，且
则以下命题正确的是（ ）（动点的轨迹：指动点
运动所形成的图形）
A．沿正方体的表面从点
到点
的最短距离是
B．保持
与
垂直时，点
的轨迹长度为
C．若保持
，则
的轨迹长度为
D．平面
被正方体
截得截面为直角梯形
题型8 动点轨迹：恒垂直型
动点所形成直线与平面恒垂直，则可以转化为“动点所在的平面与平面垂直”。
1．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在高为16 的圆柱型筒中，放置两个半径均为3 的小球，两个小球
均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面
与两个小球也相切，平面
被圆筒所截得到的截面为椭
圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·内蒙古赤峰·一模）如图所示，用一个与圆柱底面成
角的平面截圆柱，截面是一个
椭圆面，若
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二上·北京·期中）光导纤维作为光的传输工具，在现代通讯中有着及其重要的作用，光纤由
内部纤芯和外部包层组成（如图1），在一定的条件下，光在纤芯中传输，传输原理是“光的全反射”，即
“入射角
等于反射角
”（如图2），在图3 中近似的展示了一束光线在一段较长的圆柱形光纤中的传输路
径，其中圆面
是与光纤轴垂直的纤芯截面，若
与圆
所在平面成角的大小为
，则光线路径在垂直于光纤轴的截面上的投影可能（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三下·安徽黄山·阶段练习）如图，在圆柱中过
作与轴截面
垂直的一个平面，所得
截面图形为椭圆，将圆柱侧面沿母线
展开，该椭圆曲线在展开图中恰好为函数
一个周期
的图象，则该截面椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型9 截面基础思维
在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥， 球，棱柱，棱锥、长方体，
正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清 楚立体图形的截面方式，总共有三种，分
别为横截、竖截、斜截。。
一般地，立体几何中的截面问题，有两种处理方法：
1.是利用平行关系找交线，
2.是利用共面直线延长相交得交点.
1．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在高为16 的圆柱型筒中，放置两个半径均为3 的小球，两个小球
均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面
与两个小球也相切，平面
被圆筒所截得到的截面为椭
圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高二上·北京·阶段练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底
面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（2）（5）
B．（1）（3）
C．（2）（4）
D．（1）（5）
3．（21-22 高一下·云南保山·期中）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可
能是（ ）
A．圆锥圆柱
B．圆柱球体
C．圆锥球体
D．圆柱圆锥球体
4．（22-23 高一·全国·阶段练习）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各
面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥
的截面，所得截面图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 截面周长计算
截面周长：
截面周长求解，可以借助侧边展开，展开到一个平面，转化为点到点（线）的对应距离。
1．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在单位正方体
中，任作平面
与对角线
垂直，
使平面
与正方体六条棱都有公共点，记截面
的面积为，截面周长为
，则（ ）
A．为定值，
为定值
B．为定值，
不为定值
C．不为定值，
不为定值
D．不为定值，
为定值
2．（2025·全国·模拟预测）正方体
的棱长为4，点M 在棱
上，平面ACM 把正方体
分成两个几何体，其中一个几何体的体积为14，则平面ACM 截正方体
所得的截面周长为（ ）
A．
B．
C．
D．15
3．（23-24 高一下·四川广安·期中）如图，正方体
的棱长为2，点
分别是
的中
点，过点
的平面截该正方体所得的截面多边形记为
，则
的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·福建三明·模拟预测）已知正方体
的棱长为4，E，F 分别是棱
，BC 的中点，
则平面
截该正方体所得的截面图形周长为（ ）
A．6
B．10
C．
D．
题型11 截面面积计算
截面面积计算，可以拆分为三角形或者四边形等容易计算的图形进行计算。关键是要通过平行和垂直
找到对应图形的底和高。
1．（24-25 高一下·重庆南岸·期中）在三棱锥
中，三条棱
、
、
两两垂直，且
，分别经过三条棱
、
、
，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为
、
、
，则
、
、
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高三下·湖北武汉·期中）在正四棱台
中，
，
，M 为棱
的中点，当正四棱台的体积最大时，平面
截该正四棱台的截面面积是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．（21-22 高三上·全国·阶段练习）已知棱长为
的正四面体
，
，
，
分别是棱
，
，
的中点，则正四面体
的外接球被三角形
所在的平面截得的截面面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（21-22 高三上·河南新乡·阶段练习）已知三棱锥
的所有棱长均相等，四个顶点在球
的球面
上，平面
经过棱
，
，
的中点，若平面
截三棱锥
和球
所得的截面面积分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型12 截面最值型
求截面最值思维
可以设变量，建立函数模型求最值问题：
1.设元
2.建立二次函数模型
3.计算求解最值。
可以结合图形的特殊性，利用极限思想，以及“特殊值必在特殊位置”猜想法求最值问题：
要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；
1．（2024·全国·模拟预测）在正方体
中，E，F 分别为棱
，
的中点，过直线EF
的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为，最大值为，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二上·江西抚州·期中）已知球O 是正三棱锥
（底面是正三角形，顶点在底面的射影
为底面中心）的外接球，
，
，点E 为线段
的中点.过点E 作球O 的截面，则所得截面
面积的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（21-22 高二上·全国·课后作业）已知正方体
的棱长为1，则与平面
平行的平面
截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高一下·新疆乌鲁木齐·期中）已知四面体ABCD 为正四面体，AB=4，E，F 分别是AD，BC 中
点.若用一个与EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α 去截该四面体，由此得到一个多边形截面，
则该多边形截面面积最大值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
题型13 恒平行型截面最值
如果是线面恒平行，过线做面，需要找它们和第三个面的交线互相平行，借助好“第三个面的交线平行
“这个性质，可以解决线面恒平行题型的截面问题
1．（23-24 高三上·四川成都·期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1B1B 是矩形，D 是棱CC1
的中点，CC1=AC=4，
，AB=3，
， 过点D 作平面
平面
，则平面
截三棱
柱ABC-A1B1C1所得截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高一下·河南洛阳·期中）在棱长为1 的正方体
中，
分别为
，
的
中点，过直线
的平面
//平面
，则平面
截该正方体所得截面为（ ）
A．三角形
B．五边形
C．平行四边形
D．等腰梯形
3．（20-21 高三下·安徽·开学考试）已知正方体
的棱长为2，点
在棱
上，过点
作
该正方体的截面，当截面平行于平面
且面积为
时，线段
的长为（ ）
A．
B．1
C．
D．
4．（20-21 高三·云南·阶段练习）如图，在棱长为1 的正方体
中，点
，
，
分别是棱
，
，
的中点，
为线段
上的一个动点，平面
平面
，则下列命题中错误的是（ ）
A．不存在点
，使得
平面
B．三棱锥
的体积为定值
C．平面
截该正方体所得截面面积的最大值为
D．平面
截该正方体所得截面可能是三角形或六边形
题型14 恒垂直型截面最值
恒垂直型截面，可以借助投影解决，投影型，需要利用”三垂线定理及其逆定理“这个性质转化寻
找。
三垂线定理指的是平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那
么它也和这条斜线垂直。
1．（2023·河南·模拟预测）已知正三棱柱
的底面边长
，其外接球的表面积为
，D
是
的中点，点P 是线段
上的动点，过BC 且与AP 垂直的截面
与AP 交于点E，则三棱锥
的体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·北京朝阳·一模）在棱长为的正方体
中，
是线段
上的点，过
的平面
与直线
垂直，当
在线段
上运动时，平面
截正方体
所得的截面面积的最小值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（21-22 高一下·湖北武汉·期末）已知正方体
，的棱长为2，点
为线段
（含端
点）上的动点，
平面
，下列说法正确的是（ ）
A．若点
为
中点，当
最小时，
B．当点
与
重合时，若平面
截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就越大
C．直线
与平面
所成角的余弦值的取值范围为
D．若点
为
的中点，平面
过点
，则平面
截正方体所得截面图形的面积为
4．（21-22 高三上·河南·阶段练习）已知正方体
的外接球表面积为
，点E 为棱
的
中点，且
平面
，点
平面
，则平面
截正方体
所得的截面图形的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型15 动点折线型最值
动点折线型距离最值：
1.动点折线，需要选择合适的“展开”面，把动点折线距离转化为在同一平面内的距离最值。
2.特殊图形位置关系，可以利用对称，或者点到面的距离来转化求解。
1．（2023·四川成都·一模）如图，棱长为2 的正方体
中，点P 在线段
上运动，以下四
个命题：①三棱锥
的体积为定值；②
；③若
，则三棱锥
的外接
球半径为
；④
的最小值为
.其中真命题有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①②③④
D．③④
2．（22-23 高三上·贵州贵阳·阶段练习）在正方体
中，棱长为4，
为
的中点，点
在平面
内运动，则
的最小值为（ ）
A．6
B．
C．
D．10
3．（21-22 高一下·安徽池州·期末）在正方体
中，棱长为2，E 为
的中点，点P 在平
面
内运动，则
的最小值为（ ）
A．3
B．
C．
D．5
4．（19-20 高一·浙江杭州·期末）如图，在棱长为2 的正方体
中，E，F 分别是棱
，
的中点，N 为线段
的中点，若点P，M 分别为线段
，
上的动点，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．
C．
D．
题型16 动点“将军饮马型”最值
空间“将军饮马型”最值：
空间“将军饮马型”特征，一般情况下，距离前边带系数，则可以借助三角函数来转化为对应距离来求
解。
1．（2020·安徽·二模）如图，棱长为1 的正方体
中，
为线段
的中点，
、
分别
为体对角线
和棱
上任意一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
2．（20-21 高三下·河南·阶段练习）如图，在长方体
中，棱长
，
，点
为线段
的中点，
，
分别为体对角线
和棱
上任意一点，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·江西抚州·模拟预测）如图，长方体
中，
，点
为线段
的中点，
，
，分别为线段
和棱
上任意一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．5
C．
D．2
4．（22-23 高三上·广东·阶段练习）如图，在三棱锥
中，
平面
，
．
，
为线段
的中点，
，
分别为线段
和线段
上任意一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
结束
