文档文本内容
知识解构
知识点1 函数的图象 知识点2 图象变换
题型破译 (含超链接）
题型
1 作具体函数的图象
题型
2 函数的图象变换
题型
3 由解析式选择图象
【方法技巧】由解析式判断函数图象的方法
题型
4 利用函数图象选解析式
题型
5 由函数的图象研究函数的性质
【方法技巧】利用函数图象研究函数的性质的方法
题型
6 利用函数的图象解不等式
题型
7 函数图象的实际应用
第06 讲 函数的图象
内容导航
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
考
核心
点
2026 年
2025 年
2024 年
函数图象的变换
函数图象的辨析
方
函数图象与
程
全国Ⅰ卷T78（5 分）
全国Ⅰ卷T7（5 分）
考情分析
函数图像在高考中是高频核心考点，常以选择、填空及解答题形式出现。
近三年考情分析，命题趋势强调数形结合与思维创新，重点考查图像识别、
对称性、单调性及零点问题。
复习目标
1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题
2.能熟练运用函数的基本性质判断对应函数图象
3.能运用函数的图象理解和研究函数的性质
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 函数的图象
1.函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐
标，当自变量取遍定义域A 内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号
表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
2 描点法作函数的图象
（1）确定函数的定义域；（2）化简函数的解析式；
（3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；
（4）描点连线，画出函数的图象．
自主检测函数
与
的图象的交点个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
知识点2 图象变换
1.平移变换
2.对称变换
①y＝f(x)―――――→y＝
； ②y＝f(x)―――――→y＝ ；
③y＝f(x)―――――→y＝
； ④y＝ax (a>0 且a≠1)―――――→y＝
．
3.伸缩变换
①把函数
图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的
1
w 倍得
(0<
<1)
②把函数
图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
1
w 倍得
(
>1)
③把函数
图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的
倍得
(
>1)
④把函数
图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w 倍得
(0<
<1)
4.翻折变换
①y＝f(x)―――――――――→y＝ .
②y＝f(x)――――――――――→y＝ ．
必记结论
（1）若f (m+x)=f (m−x)恒成立，则y=f ( x)的图象关于直线x=m对称．
（2）若f (a+x)=f (b−x)，对任意x ∈R 恒成立，则y=f ( x)的图象关于直线
x=a+b
2
对称．
（3）函数
与函数
的图象关于直线
对称．
（4）函数
与函数
的图象关于直线
对称．
（5）函数
与函数
的图象关于点
中心对称．
（6）函数平移遵循自变量左加右减，函数值上加下减．
“
”
“
”
自主检测定义在区间
上的函数
的图象如下图所示，则
的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
题●型●破●译
题型1 作具体函数的图象
例1-1 已知函数
．
（1）判断并证明函数
的奇偶性；
（2）将函数
写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间．
例1-2 作出下列各函数的图象．
(1)
； (2)
； (3)
．
【变式训练1-1】作出下列函数的图象．
(1)
； (2)
．
【变式训练1-2】已知函数
，
.
(1)在图1 同一坐标系中画出函数
，
的图象：
(2)用
表示
，
中的较小者，即
，画出函数
的图象(图2），
并求函数
的解析式，写出
的单调区间和值域（不需要证明）．
(3)若
，求
的取值范围
题型2 函数的图象变换
例2-1【新思维】（2026·北京顺义·二模）把函数
的图象
向右平移2 个单位长度，
再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的
倍，得到图象
，若此时图象
恰与
重合，则
的值为
（ ）
A．4
B．2
C．
D．
例2-2 函数
的图象向右平移1 个单位长度得到函数
的图象，则
的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-3【新角度】已知图 对应的函数为
，则图
对应的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】（2026 高二上·北京·学业考试）为了得到函数
的图象，只需将函数
的
图象（ ）
A．向左平移1 个单位长度
B．向右平移1 个单位长度
C．向上平移1 个单位长度
D．向下平移1 个单位长度
【变式训练2-2】（多选题）为了得到函数
的图象，只需将函数
图象上（ ）
A．所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变 B．所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变
C．所有点沿y 轴向下平移1 个单位长度 D．所有点沿x 轴向右平移
个单位长度
【变式训练2-3·变考法】（2026·北京密云·一模）为了得到
的图象，只需把函数
的图象
上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变）
【变式训练2-4·变考法】函数
的图象如图所示，那么函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-5·变载体】（25-26 高三上·河南·月考）（多选）为了得到函数
的图象，只需将
函数
的图象上所有点（ ）
A．横坐标变成原来的
（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2 倍（纵坐标不变）
C．向上平移1 个单位长度 D．向左平移1 个单位长度
题型3 由解析式选择图象
例3-1（2026·安徽合肥·三模）当
时，函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2（2026·河北衡水·模拟预测）函数
在区间
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 由解析式判断函数图象的方法
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点)，排除不合要求的图象．
【变式训练3-1】（2026·天津河北·二模）函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2·变考法】若函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-3·变载体】函数
在区间
上的大致图象不可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-4】（25-26 高二下·安徽·期中）（多选）函数
的大致图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 利用函数图象选解析式
例4-1（2026·天津滨海新区·三模）已知函数
的部分图象如图，则
的解析式可能为：（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2【新思维】（2026·天津·一模）已知函数
的部分图象如下：
则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-1·变情境】在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数
的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标
中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】（25-26 高三下·天津·阶段检测）函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能是
（ ）
A．f ( x)=
x
3
2(1-| x|)
B．f ( x)=
x
2( x
2+1)
C．f ( x)=
x
3
2( x
2-1)
D．f ( x)=
x
2+1
2( x
2-1)
【变式训练4-3】如图，已知函数
的图象关于坐标原点O 对称，则函数
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-4】（2026·四川南充·阶段检测）函数
的图象如图所示，
则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-5·变考法】（2026·北京东城·二模）已知函数
的部分图象如图所示，若
，则
可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5 由函数的图象研究函数的性质
例5-1【新角度】已知函数
的定义域为
，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．
的单调递减区间为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的单调递增区间为
例5-2（多选）（2026·湖北武汉·二模）已知函数
，
则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
方法技巧 利用函数图象研究函数的性质的策略
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究:
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值;
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性;
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性。
【变式训练5-1·变考法】（多选）（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知
是定义域为
的奇函数，当
时，
，则下列叙述正确的有（ ）
A．
B．当
时，有
C．当
时，
的最小值为4，则
D．若关于
的方程
有实数根，则所有实数根之和为零
题型6 利用函数的图象解不等式
例6-1（25-26 高三下·安徽六安·阶段检测）函数
的图象如图所示，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-1·变考法】（25-26 高三上·云南曲靖·期末）已知函数
的定义域是
，其图象如图所
示，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-2·变载体】（25-26 高三上·北京·阶段检测）如图，
已知函数
的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，
则不等式
的解集为_____．
题型7 函数图象的实际应用
例7-1 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100 千米/小时，特快车的速
度为150 千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000 千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的
距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
例7-2【新情境】在中国天门山举行的WWL 翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某
时刻开始的15 分钟内的速度
与时间
的关系，若定义“速度差函数”
为时间段
内的最大速度
与最小速度的差，则
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-1】某同学离家去学校，刚开始跑步前进，跑了一段路程后，又放慢速度步行．图中
轴表
示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象中，与该同学走法相吻合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2·变情境】（2026 高三·全国·专题练习）某人根据经验绘制了从12 月21 日至1 月8 日自己种
植的西红柿的销售量
（千克）随时间
（天）变化的函数图像如图所示，则此人在12 月26 日大约卖出
了西红柿________千克．
【变式训练7-3·原创题】如图，直线在初始位置与等边
的底边重合，之后开始在平面上按逆时针
方向绕点
匀速转动（转动角度不超过
），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个
函数的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1. （2026·天津·高考真题）函数
部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的3 倍（横坐标不变）
3．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
4．（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·天津·高考真题）已知函数
的部分图象如下图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·北京·高考真题）设
，函数
，给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
其中所有正确结论的序号是 ．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1.如图，①②③④中不属于函数
的一个是（ ）.
A．①
B．②
C．③
D．④
2.如图，①②③④中不属于函数
的一个是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
3．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品
数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求
曲线？为什么？
4．指数函数
的图象如图所示，求二次函数
图象顶点的横坐标的取值
范围.
5．图（1）是某条公共汽车线路收支差额y 关于乘客量x 的图象.
（1）试说明图（1）上点A，点B 以及射线AB 上的点的实际意义；
（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图（2）（3）所
示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？
6．如图，
是边长为2 的正三角形，记
位于直线
左侧的图形的面
积为
.试求函数
的解析式，并画出函数
的图象.
