文档文本内容
第01 讲 平面向量的概念及线性运算
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 平面向量的概念与表示.............................................................................................................2
题型02 向量的几何表示.........................................................................................................................3
题型03 相等向量及其应用.....................................................................................................................4
题型04 平面向量线性运算
...............................................................................................................6
题型05 根据向量的线性运算求参数
...............................................................................................8
题型06 平面向量共线定理与点共线问题
......................................................................................10
题型07 平行向量（共线向量）求参数
.........................................................................................10
重难·创新演练......................................................................................................................................................12
真题·实战演练......................................................................................................................................................18
模拟·基础演练
考查重点：侧重平面向量相关概念辨析、几何表示、线性运算以及向量共线定理的应用，结合几何
图形考查向量运算与参数求解。
题型01 平面向量的概念与表示
1.关于非零向量， ，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则，不是共线向量
【答案】C
【详解】对于A，向量不能比较大小，故A 错；
对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B 错；
对于C，若
，由向量相等的条件可得
，故C 正确；
对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D 错.
故选：C．
2．若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为向量与方向相反，所以
，
.
故选：A.
3．（多选）下列命题中，不正确的有（ ）
A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．“
”的充要条件是
且
C．若与
共线，
与共线，则与共线 D．向量与
不共线，则与
都是非零向量
【答案】ABC
【分析】利用共线向量，向量的模，充分必要条件的定义进行判定．
【详解】对于A，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线，故A 错误；
对于B，
充要条件是
且方向相同，故B 错误；
对于C，当
时，与共线不一定成立，故C 错误；
对于D，向量与
不共线，则与
都是非零向量，故D 正确．
故选：ABC．
4．（25-26 高三上·甘肃白银·阶段检测）（多选）下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．平行向量一定是共线向量
C．两个单位向量的和一定不是单位向量 D．若，是不共线向量，则向量，都是非零向量
【答案】BD
【分析】应用向量的定义判断A，应用平行向量的定义判断B，D，应用特殊向量的加法及单位向量判断
C.
【详解】由向量的定义可知A 错误；
由平行向量的定义可知平行向量一定是共线向量，B 正确；
当两个单位向量的夹角为
时，这两个单位向量的和还是单位向量，C 错误；
因为零向量与任何向量平行，所以当，是不共线向量时，向量，都是非零向量，D 正确.
故选：BD．
题型02 向量的几何表示
5..如图，四边形
是边长为3 的正方形，把各边三等分后，共有16 个交点，从中选取两个交点作为向
量的起点和终点，与向量
同向且长度为
的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量）
【答案】4 个．
【详解】如图，我们标注一些点，
由图得与向量
同向且长度为
的向量有
，共4 个．
6.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东
方向行驶2km 到D 地，然后从D 地沿北偏东
方向行驶6km 到达C 地，从C 地又向南偏西
方向行驶2km 才到达B 地．
（1）在如图所示的坐标系中画出
，
，
，
；
（2）求B 地相对于A 地的位移．
【答案】（1）答案见解析
（2）B 地相对于A 地的位移为“北偏东
，相距6km”．
【分析】（1）根据题意，直接画出向量图；
（2）先得到四边形ABCD 为平行四边形，即可得B 地相对于A 地的位移.
【详解】（1）向量
，
，
，
，如图所示：
（2）由题意知
．所以
，且
，则四边形ABCD 为平行四边形．
所以
，则B 地相对于A 地的位移为“北偏东
，相距6km”．
题型03 相等向量及其应用
7．设
都是非零向量，下列四个条件中，使
成立的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
且
【答案】C
【分析】根据题意，得到向量
和
的方向相同，结合选项，即可得到答案.
【详解】由
都是非零向量，且
，
因为
和
分别表示与向量
和
同向的单位向量，所以向量
和
的方向相同，
结合选项，可得
成立的充分条件为
.
故选：C.
8．若在四边形
中，满足
，且
，则四边形
的形状一定是
（ ）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
【答案】B
【分析】根据平面向量加减法的运算及数量积的运算律即可求解．
【详解】由
得，
，即四边形
为平行四边形，
又
，所以
，整理得
，即
，
所以四边形
为矩形，
故选：B．
9.如图，点O 是正六边形
的中心，分别写出图中
（1）与
相等的向量；（2）与
平行的向量；（3）与
模相等的向量；(4)
的负向量．
【答案】（1）
（2）
（3）
，
，
，
；
(4)
【详解】（1）与
相等的向量为：
；
（2）与
平行的向量为：
；
（3）与
模相等的向量为：
，
，
，
；
（4）
的负向量为：
．
题型04 平面向量线性运算
10．（25-26 高三上·江苏·期中）在
中，
，设
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用三角形法则，以及平面向量基本定理，结合已知条件分析求解即可.
【详解】如图所示：
因为
，
所以
，
又
，所以
.
11．（2026·河南安阳·阶段检测）已知平行四边形
的对角线的交点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用平面向量线性运算计算得解.
【详解】在
中，
.
故选：C
12．在
中，
是
边上的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为
是
边上的中点，所以
，即
.
故选：A.
13.在
中，
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据条件
确定点
的位置然后利用向量的线性运算用
表示
即可.
【详解】因为
，所以
为线段
的三等分点，如图所示，
.
故选：A
14.在平行四边形
中，
，
，记
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可.
【详解】
，其中
，
故
．
故选：B．
题型05 根据向量的线性运算求参数
15．如图，在平行四边形
中，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解．
【详解】在平行四边形
中，
，
，
所以
，
若
，则
，所以
．
故选：A．
16．（25-26 高三上·云南·阶段检测）在平行四边形
中，
，则
______．
【答案】
/0.25
【分析】根据平面向量线性运算及平面向量基本定理可得结果.
【详解】如图，因为在平行四边形
中，
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，则
，所以
．
故答案为：
.
17．（25-26 高三上·四川雅安·阶段检测）在
中，
是
边上靠近
的一个三等分点，若
与
平行，则实数
__________．
【答案】4
【分析】利用定比分点将
化简，由平面向量共线定理计算可得结果.
【详解】根据题意可得
，
所以
，
由
与
平行可得
，
即
，又
不共线，所以
，解得
.
故答案为：4
18．（25-26 高三上·天津红桥·阶段检测）如图，在
中，
是
的中点，点N 在边
上，且
，
与
相交于点
，设
，则
_________；
_________.（注：用
和来表示）
【答案】
【分析】根据中线的向量表示求出
，设
，
，再由平面向量基本定理列出方程即
可求出
得解.
【详解】因为
是
的中点，
，所以
，
设
，则
，
设
，则
，所以
，解得
，所以
.
故答案为：
；
题型06 平面向量共线定理与点共线问题
19．已知
，
，
（
和
不共线），则三点共线（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，所以
共线，
即
三点共线，故A 正确；
，
，
，
不共线，故B 错误；
，
，
，
不共线，故C 错误；
，
，
，
不共线，故D 错误；
故选：A
20．已知非零向量
，
不共线，若
，
，
，且A，C，D 三点共线，则
．
【答案】
【分析】根据三点共线，则对应向量共线，则存在非零实数x，使得
，即可求得参数.
【详解】因为A，C，D 三点共线，故可得
，则存在非零实数x，使得
．
又
，
，故可得
．又非零向量
，
不共线，
故可得
，
，解得
，
．
故答案为：
.
题型07 平行向量（共线向量）求参数
21．若向量
，
不共线，且向量
，
同向共线，则
（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
或
【答案】B
【分析】由平面向量的基本定理及向量共线条件得
求参数，再由向量同向共线求解.
【详解】因为向量
，
共线，所以
，解得
或
，
当
时，向量
与
方向相反，不满足，当
时，向量
与
方向相同，满足，
故
.
故选：B
22．已知
，
为不共线向量，
，
，若
，
为共线向量，则
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的共线性质建立方程，求解参数即可.
【详解】因为
，
为不共线向量，且
，
为共线向量，所以
，而
，
，
则
，故
，解得
，故D 正确.
故选：D.
23．（25-26 高三上·河北沧州·期中）（1）设
，
是不共线的两个向量，如果
，
，
，求证：
三点共线；
（2）若与不共线，且
与
共线，求实数的值.
【分析】（1）根据向量共线定理证明
与
共线，再由
与
有公共点
，得
三点共线；
（2）由向量共线定理设存在实数
，使得
，根据向量相等，列 出相应方程组，求解
可得实数的值.
【详解】（1）因为
，
是不共线的两个向量，且
，
，
所以
，
因为
，所以
，所以
与
共线.
又
与
有公共点
，所以
三点共线.
（2）若
与
共线，则存在实数
，使得
，
即
，因为与不共线，所以
，
整理得，
，解得
.所以
.
重难·创新演练
设题创新: 融入生活实物、特殊多边形等新颖情境，设置新定义题型，结合不等式、动点、圆等知
识综合设问。
1．以下命题中正确的是（ ）
A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
B．若，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】根据向量平行与相等概念判断A，根据特例判断B，利用数量积的运算判断C，取特例判断D.
【详解】对于A，若两个单位向量平行，则这两个单位向量为相等向量或相反向量，故A 不符合题意；
对于B，当
时，则
不一定成立，故B 不符合题意；
对于C，
，两边平方可得
，则
与
的夹角为0，则
，故C 正确；
对于D，若
，则
与不一定相等，例如
，故D 不符合题意.
故选：C．
2．设
和
是两个非零向量，定义向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积的运算法则和向量相等的定义即可判断.
【详解】因为
，所以
，但向量
的方向不确定，
所以
推不出
；
又根据
，得到
，所以
可以推出
，
则“
”是“
”的必要不充分条件，
故选：B．
3．【新情境】纸风车体现了数学的对称美，如图是一个纸风车示意图，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，根据向量相等定义，向量数量积以及平行四边形法则可得结果.
【详解】不妨设
，则
，
与
方向不一致，所以
，故A 错误；
由题干图中所示，
为钝角，所以
，故B 错误；
结合题干及图，由向量的平行四边形法则可知
，故C 正确；
，故D 错误.
故选：C.
4．已知半径为1 的圆O 的内接正十二边形的顶点依次为
，
，
，…，
，P 为圆O 内的任意动点
（不包含边界），若
，则
（ ）
A．13
B．12
C．11
D．10
【答案】B
【分析】根据向量线性运算可得答案.
【详解】易知
，由
得
，
故
．
故选：B.
5.已知a 是单位向量，向量b 满足|a-b|=3，则|b|的最大值为（ ）
A.2
B.4
C.3
D.1
【答案】B
【解析】方法一 设⃗OA=a，⃗OB=b，因为|a-b|=3，即|⃗OA-⃗OB|=|⃗BA|=3，
即|⃗AB|=3，所以点B 在以A 为圆心，3 为半径的圆上，
又a 是单位向量，则|⃗OA|=1，故|⃗OB|的最大值为|⃗OA|+|⃗AB|=1+3=4，即|b|的最大值为4.
方法二 因为b=a-(a-b)，所以|b|≤|a|+|a-b|=1+3=4，所以|b|的最大值为4.
6．（25-26 高三上·安徽宿州·阶段检测）在
中，点
是
的中点，过点
的直线分别交射线
，
于不同的两点
，
．设
，
（
，
），则
的最小值（ ）
A．2
B．4
C．
D．8
【答案】A
【分析】先根据向量的性质得到
，再使用基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】由于
是
的中点，故
.
而点
在直线
上，故
，
从而
，
当且仅当
等号成立.
故选：A
7.（多选）下列选项中，正确的是（ ）
A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同
B．若向量
，则
C．若向量
，
满足
，则
或
D．若非零向量
与
共线，则
，
，
三点共线
【答案】BD
【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；若向量
，则根据向量的运算法则可得
，即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据共线向量的定义即可判断
选项D.
【详解】由相等向量定义可得：若两个相等的非零向量的起点相同，其终点一定相同，故选项A 错误；
若向量
，则
，所以
，故选项B 正确；
由向量的定义可得向量
，
满足
时，向量
，
可能共线也可能不共线，故选项C 错误；
若非零向量
与
共线，则
，
，
三点共线，故选项D 正确.
故选：BD.
8. （多选）已知P 是边长为1 的正六边形ABCDEF 内一点(含边界)，且⃗AP=⃗AB+λ⃗AF，λ∈R，则下列
说法正确的是（ ）
A.△PCD 的面积为定值 B.∃λ∈R，使得|⃗PC|>|⃗PA|
C.∠CPD 的取值范围是[
π
6 ，π
3] D.|⃗PC|的取值范围是[1，❑√3]
【答案】AC
【解析】对于A，由⃗AP=⃗AB+λ⃗AF，λ∈R 可得⃗AP-⃗AB=λ⃗AF，即⃗BP=λ⃗AF，可得⃗BP∥⃗AF，因此，
点P 在正六边形ABCDEF 的对角线BE 上，
所以点P 到CD 的距离为定值，所以△PCD 的面积为定值，故A 正确；
对于B，因为正六边形ABCDEF 关于对角线BE 对称，故|⃗PC|=|⃗PA|，故B 错误；
对于C，根据图形的对称性，当点P 为BE 的中点时，∠CPD 取得最大值π
3 ；当点P 与B 或E 重合时，
∠CPD 取得最小值π
6 ，即∠CPD 的取值范围是[
π
6 ，π
3]，故C 正确；
对于D，因为正六边形边长为1，所以平行线BE，CD 的距离d=
❑√3
2 ，又当PC⊥BE 时，|⃗PC|有最小
值
❑√3
2 ，故D 错误.
故选：AC.
9【新角度】已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若⃗OA-3⃗OB+2⃗OC=0，则|⃗AB|
|⃗AC |
= .
【答案】2
3
【解析】由⃗OA-3⃗OB+2⃗OC=0，得⃗OA-⃗OB=2(⃗OB-⃗OC)，即⃗BA=2⃗CB，所以⃗CA=⃗CB+⃗BA=3
2⃗BA，
所以|⃗AB|=2
3|⃗AC|，即|⃗AB|
|⃗AC |
=2
3.
故答案为： 2
3
10．（25-26 高三下·安徽六安·阶段检测）已知
、
、
三点共线（该直线不过原点
），且
，则
的最小值为______.
【答案】9
【分析】利用 平面向量三点共线的结论得到
，利用基本不等式中“1”的妙用求解.
【详解】
、
、
三点共线（该直线不过原点
），且
，
，
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，故
的最小值为.
故答案为： 9
11.已知△ABC 为边长为2 的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，半圆与△ABC 在BC 的异
侧.若⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC(λ，μ∈R)，则2λ+μ 的取值范围是 .
【答案】[1，5
2]
【解析】如图，取AB 的中点D，连接CD，则⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC=2λ⃗AD+μ⃗AC，
显然，当P 与C 重合时，2λ+μ 取得最小值1.将CD 平行移动至与半圆相切处，
当P 为切点时，2λ+μ 取得最大值，
设半圆的圆心为O，连接PO 并延长交CD 于点G，易知OG=1
2BD=1
2.易知EF
FP =2，AE=EF，则AP
AE =5
2，
所以由等和线定理知2λ+μ 的最大值为5
2.故2λ+μ 的取值范围是[1，5
2].
故答案为：[1，5
2]
12．【新考法】（25-26 高三上·四川南充·期中）记直线与
的边
交于
两点，且
．
（1）若
与
交于点
，
（i）请用向量
表示
；
（ii）若
，求
的值；
（2）若直线
恒过
的重心
，试求
的最小值．
【答案】（1）（i）
；（ii）
（2）
【分析】（1）第一小问结合已知条件运用向量的线性运算规律即可表示出
，第二小问先将
用
表示，再根据
三点共线得到
；
（2）利用
为重心得到
，再根据
三点共线得到
，运用基本不等式
知识即可得到
的最小值．
【详解】（1）（i）因为
，所以
，
则
．
（ii）因为
，所以
，由（i）知
，
所以
，
因为
三点共线，所以
，所以
．
（2）因直线
恒过
的重心
，连接
并延长交
于点
，
则
为
的中点，所以
，
因为
，所以
，
又因为
三点共线，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，故
的最小值为3．
真题·实战演练
高频考点：向量概念判断、线性运算、基底表示、利用共线关系求参数，以及向量模长、系数范围
类题型。
1.（2020·山东·高考真题）已知平行四边形
，点
，
分别是
，
的中点（如图所示），设
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】连结
，则
为
的中位线，
，
故选：A
2.（2018·全国I 卷·高考真题）在△
中，
为
边上的中线，
为
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得
，之后应用向
量的加法运算法则-------三角形法则，得到
，之后将其合并，得到
，下一步
应用相反向量，求得
，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以
，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加
法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
3.（2026·天津·高考真题）已知
，
，记
．当
时，
__________，
当
时，
的取值范围为__________．
【答案】,
【分析】第一空：利用
和
得出
和
的值，即可得出结论；
第二空：解法一：将
代入
得
，展开，令
，
，
，代入并整理，得出
，即可求出
的取值范围.
解法二：设
，
，
，根据
可设
，进而可得
，即可得取值范围.
解法三：不妨设
，
，
，
，
，可知点
在直线
上，且点
在以
为圆心，半径为1 的圆上，结合图形分析求解即可.
【详解】由题意，
，
，
，
第一空：
当
时，
，∴
，∴
.
第二空：解法一：将
代入
得
，
两边平方，得：
，展开：
，
代入
，
，记
，
，
令
，
，
，则原式变为：
，
配方得：
，
由于
，
，因此
，即
，解得
，
，因此，
的取值范围为：
.
解法二：因为
，
，
不妨设
，
，
，则
，
，
若
，设
，则
.
解法三：因为
，
，不妨设
，
，
，即点
在直线
上，
且
，
，因为
，
若
，可知点
在直线
上，（或直接由三点共线的结论可得出），
若
，即
，可知点
在以
为圆心，半径为1 的圆上，
则圆
在直线
和
之间，可得
，即
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：,
