文档文本内容
第01 讲 导数的概念及其意义、导数的运算
目 录
模拟·基础演练................................................................................................1
题型01 导数的概念.................................................................................................................................2
题型02 导数的和、差、积、商的导数.................................................................................................2
题型03 复合函数的导数.........................................................................................................................4
题型04 在点P 处的切线
.................................................................................................................5
题型05 过点P 处的切线
.................................................................................................................6
题型0б 已知切线或切点求参数.............................................................................................................9
题型07 切线的条数问题
...............................................................................................................10
题型08 公切线问题
.......................................................................................................................14
题型09 利用导数的几何意义求距离最值...........................................................................................17
重难·创新演练................................................................................................20
真题·实战演练................................................................................................25
模拟·基础演练
考查重点：重点考查导数运算公式、四则与复合函数求导、切线斜率与方程，围绕“在点处、过点
处、公切线、切线条数、参数求解、几何意义最值”展开，聚焦导数几何意义应用，侧重公式计算、
方程转化与数形结合思想。
题型01 导数的概念
1．已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得，
，又因为
，所以
，
即
，解得
，故C 正确.
2．已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
，求导得
，
所以
.
3．已知函数
，则
_________．
【答案】
【详解】由
，则
，
所以
．
4．已知函数
的图像开口向下，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【详解】由
得，
.
由导数的定义可知
，解得
.
又因为
的图像开口向下，所以
，所以
.
题型02 导数的和、差、积、商的导数
5．（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对于A，由指数函数的导数公式得
，故A 正确，
对于B，由正弦函数的导数公式得(sin x)
′ =cos x，故B 错误，
对于C，由对数函数的导数公式和导数的乘法法则得
，故C 正确，
对于D，由导数的除法法则得
，故D 正确.
6．函数
，其中
的导数
________．
【答案】
【详解】
，
.
7．已知函数
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【详解】因为
，则
，
令
可得
，解得
.
故选：D.
8．已知
是函数
的导函数，且
，则
________.
【答案】
【详解】因为
，所以
，则
，故
，
所以
，故
.
故答案为：
.
题型03 复合函数的导数
9．若函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由函数
可得
.
10．函数
的导函数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
，
所以函数
的导函数
.
11．下列求导正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，A 正确．
，B 错误．
，C 错误．
(e
2 x +1)
′ =2e
2 x +1，D 错误．
12．已知函数
，则
（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】
，
.
题型04 在点P 处的切线
13．若函数
，则
的图象在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】将函数
求导得
，则切线的斜率
，
又
，则切线方程为
，即
．
14．曲线
在点
处的切线方程为______．
【答案】
【详解】曲线
的导函数为
.
在点
处切线斜率
.
由点斜式得切线方程
，整理得
.
15．已知曲线
在点
处的切线与曲线
相切，则
_________．
【答案】
【详解】
，
，
曲线
在点
处的切线的斜率为
，
曲线
在点
处的切线方程为
，
即
，
则
与曲线
相切，
将
代入
，
得到
，即
只有一个解，
故
，解得
.
16．已知
，则
在
处的切线的斜率为__________.
【答案】
【详解】因为
，所以
，
令
，则
，即得
，
所以
，即得
，
则
在
处的切线的斜率为
.
17．已知
为奇函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线方程是
__________.
【答案】
【详解】设
，则
，所以
，
因为
为奇函数，所以
，
所以
，
当
时，
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.
故答案为：
题型05 过点P 处的切线
18．过点
作函数
的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，
设切点为
，则
，
切线方程为
，又切线过点
，
，整理得
，
切线方程为
，则
.
故选：C.
19．写出过坐标原点且与曲线
相切的一条直线方程______．
【答案】y＝2ex（或y＝－2ex）
【详解】当
时，
，
，
设切点坐标为
，则
，解得
，
所以此时切点坐标为
，切线方程为
，
即
.
因为
为偶函数，所以它的图象关于
轴对称，
则它的过原点的切线也关于
轴对称，
所以它的另一条切线方程为
.
故答案为：
（或
）.
20．已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)若过点
作
的切线，求切线的方程．
【答案】(1)极大值
，极小值
(2)
或
【分析】
【详解】（1）函数
求导得
，
令
，解得
，
当
时，
，函数单调递增；
当
时，
，函数单调递减；
当
时，
，函数单调递增；
在
取得极大值，极大值为
；
在
取得极小值，极小值为
．
（2）设切点为
，切线斜率为
，
切线方程为
，
代入点
得
，
化简整理得
，解得
或
，
当
时，
，斜率
，切线方程为
，即
；
当
时，
，斜率
，切线方程为
，即
．
21．过点
作曲线
：
的两条切线，切点分别为
，
，则直线
的方程为______．
【答案】
【详解】设
，
由题意可得切线的斜率
，
所以切线方程为
，
代入点
可得
因为切点在曲线上，所以
，代入上式可得
，
，化简可得
，
又
，所以
，
同理
所以直线方程为
.
故答案为：
22．过曲线
：
上异于原点的一点
作
的切线交
于点
，过点
作
的切线
，则直线与直
线
的斜率之比为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，因为
，所以的方程为
，
由
得
，又
时，
，
故点
的横坐标为
，则
的斜率为
，
故直线与
的斜率之比为
．
故选：C.
题型0б 已知切线或切点求参数
23．已知曲线
在
处的切线与曲线
相切，则
的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对
求导得
，当
时，
，
，
曲线
在
处的切线方程为
.
设切线与
相切于点
，对
求导得
，
由切线斜率为得
，解得
，
将切点
代入切线方程得
，解得
.
24．已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，又
在点
处的切线与直线
垂直，
，解得
．
25．若直线
与曲线
相切于点
，则m=___.
【答案】
【详解】由题意，
，则
，因为
，所以
，
则
，
即
，由于
，则
.
26．已知函数
的图象所对应的曲线
在点
处的切线方程为
，则
值为
________．
【答案】
【详解】f
' (x)=a+ 1
x ，f
' (1)=a+ 1
1 =a+1，f (1)=a⋅1+ ln1=a，
由
，可知
，所以
，
而a=2⋅1+b，因此
.
27．若函数
的图象在
上存在平行于
轴的切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
因为函数
的图象在
上存在平行于
轴的切线，说明其导数在
内有零点，
即方程
在
内有解，
令
，则
在
有解，
分离参数可得
，
令
，则
，
所以
，则
，
即
，
所以
的取值范围是
.
题型07 切线的条数问题
28．已知函数
若过点
存在条直线与曲线
相切，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设切点坐标为
.
由题意得
，
所以函数
的图像在点
处的切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
因为切线过点
，所以
，
则
，由题意可知，这个方程有三个不等实根.
设
，则
，
由
得
，由
得
或
.
所以函数
在
和
上单调递减，
在
上单调递增，又当
趋近于正无穷时，
趋近于
；
当
趋近于负无穷，
趋近于正无穷，且
，
所以
的大致图象如图，
所以要使直线
与函数
的图象有三个交点，
则
.
故选：C
29．（多选）过
轴上一点
作曲线
的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】设曲线
上一点
，
因为
，所以
.
所以曲线在
处切线的斜率为
.
所以曲线在
处切线方程为
.
由切线过点
，得
，
整理得：
.
由该方程无解，得
，
即
，解得
.
故选：BC
30．若曲线
只有一条过原点的切线，则
的值为______________．
【答案】
或
【详解】∵
，∴
，
设切点为
,则
,切线斜率
,
∴切线方程为：
,
∵切线过原点，
∴
,整理得：
,
∵曲线
只有一条过坐标原点的切线切，
∴
,解得
或
,
∴
或
,
故答案为：
或
31．已知函数
及点
.
(1)若点
在
的图象上，求曲线
在点
处的切线的方程；
(2)若过点
与
的图象相切的直线恰有
条，求
的值.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】
【详解】（1）因为点
在
的图象上，所以
，
又
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）设过点
的直线与
的图象切于点
，
则切线
的斜率
，
所以
的方程为
，
将点
的坐标代入得
，
因为过点
与
的图象相切的直线恰有
条，
所以关于的方程
有两个不等的实根.
设
，则
，
令
，得
，或
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
的极大值为
,
的极小值为
,
因为方程
有两个不等实根，则
，或
，
即
的值为
或
.
32．已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)若过点
可作3 条直线与
的图象相切，求
的取值范围．
【答案】(1)极大值为
，极小值为0
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
，所以
．
令
，得
或
，
则当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得极大值，且
，当
时，
取得极小值，且
，
所以
的极大值为
，极小值为0．
（2）设过点
的直线与
的图象切于点
，切线斜率
，
则该切线的方程为
，
把
代入方程并整理得
，
由过点
可作3 条直线与
的图象相切，
则关于的方程
有3 个不同实根，
设
，
则
，
令
，得
或
，
所以
，
所以
或
且
，
所以
的取值范围是
．
题型08 公切线问题
33．（ 2026·陕西榆林·三模）已知直线
是函数
和函数
图象的公切线，
则
______.
【答案】4
【详解】设直线
与函数
的图象的切点为
，
由
求导得
，由
，得
，
所以直线
与函数
的图象的切点为
，
将点
代入
，解得
.
设直线
与函数
的图象的切点为
，
又
，则
（*）.
由
，代入上式得e
m+m=1，
因为函数
单调递增，且
，
所以
，代入（*），解得
，
所以2
a+3b=2
0+3= 4.
34．（ 2026·河南·模拟预测）已知直线l 与曲线
和
都相切，则直线l 的方程为_________．
【答案】
【详解】设
，与曲线
联立，得
，由
，得
．
直线l 与曲线
联立，得
，显然
，由
，得b
2+ 4 k =0．
所以
，
化简得
，又
，所以
，从而
．
所以直线l 的方程为
，即
．
35．已知直线l：
与曲线
和
都相切，则
_______.
【答案】
/
【详解】设直线
与曲线
的切点为
，
由
求导得
，则切线方程为
依题意，其与直线
为同一条直线，
故
,解得
;
设直线l：
与曲线
的切点为
由
求导得
则切线方程为
，
依题意，其与直线
为同一条直线，
故
,
由②解得
， 代入①，可得
.
所以
.
36．如图，已知曲线
与曲线
相切于点P，且在点P 处有相同的切线l，
求点P 的坐标及a 的值．
【答案】点P 的坐标为
的值为
．
【详解】设切点
，由直线l 与曲线
相切于点P，
，
得切线l 的斜率为
．
由直线l 与曲线
也相切于点P，
，
得切线l 的斜率为
．
由
，得
，解得
．
，即点P 的坐标为
．
由点
在曲线
上，得
，解得
．
点P 的坐标为
的值为
．
37．一条直线与函数
和
的图象分别相切于点
和点
，则
的值为
（ ）
A．2
B．
C．0
D．
【答案】A
【详解】对
求导得：
，
则在
处切线斜率为
，且
对于
求导得：
，
则在
处切线斜率为
，且
由题意可得：
，即
又切线斜率
，
可得：
，即
，
所以
，
故选：A
题型09 利用导数的几何意义求距离最值
38．点
为曲线
上任意一点，则点
到直线
距离的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当过点
的切线与直线
平行时，点
到直线
的距离最小，
求导可得
，设
，
则
，解得
，代入可得
，
点
到直线
的距离为
，
所以点
到直线
距离的最小值为
.
39．若点P 是曲线
上任意一点，且点P 到直线
的距离的最小值
，则a 的值为（ ）
A．0
B．4
C．-6
D．4 或-6
【答案】B
【详解】由
，求导得
，其中直线
的斜率为2，
令
，解得：
当
时，则
，故
到直线
的距离最小，
由点到直线的距离公式得最小值为
，解得
或
，
且
时，曲线与直线有交点，距离最小值为0，舍去．
故选：B.
40．直线
分别与曲线
和直线
相交于A，B 两点，则
的最小值为__________.
【答案】
【详解】如图所示，过点
作
垂直于直线
，垂足为
，
因为直线
与
的斜率均为定值，所以
为定值，
设
，则
，当曲线
在点
处的切线平行于直线
时，
取得最小值，所以当
取最小值时，
取得最小值，
令
，则
，所以
，解得
，即
，
所以当直线
过点
时，
取得最小值，此时
，
联立
，得
，此时
，
所以
的最小值为
.
41．已知函数
的极小值点为1，极小值为
.
(1)求a，b；
(2)若
图象上的动点P 在第一象限，Q 是直线：
上的一动点，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由已知
，
则
得
经检验，当
，
时，
的极小值点为1.
（2）由（1）得
.当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
的部分图象与如图所示，当
的图象在P 处的切线与平行时，P 到的距离最小，即
最小.
由
，得
（负根舍去），得
，
此时P 的坐标为
.
故P 到的距离的最小值为
，即
的最小值为
.
重难·创新演练
设题创新:以新定义、周期规律、数列结合为创新载体，融合导数定义与几何意义；考查信息迁移、
数学建模、分类讨论、数形结合；突出切线条数探究、公切线综合、逆向求参、跨模块交汇，强调
逻辑推理与几何直观素养。
1．设函数
在点
附近有定义，且有
（
，
为常数），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
所以
，
即
.
故选：C
2．【新角度】（ 2026·四川资阳·三模）已知函数
则曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
当
，
，
所以
求导得
，斜率
，
所以方程为
，整理得
.
3．【新考法】（ 2026·辽宁大连·一模）已知a，b，
，
（其中是自然对数的底数），
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，进而
，
又
在
上，
故
的最小值可以看成是
图像上的点离直线
的最近距离的平方，
，
所以
图像上离直线
的最近的点为斜率为2 的切线的切点
令
， 即得
，令
，
单调递增且
，
所以
，即切点横坐标为
，切点为
，
所以
的最小值为
.
4．【新角度】（ 2026·浙江嘉兴·二模）已知直线
与函数
的图象相切，若
，
则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，设切点
，
则
切线方程为：
，
所以
，
因为
，所以
，解得
显然，
在
单调递增，
所以，
时，
.
5．【新题型】已知曲线
与
在交点处的切线互相垂直，则
___________．
【答案】
【详解】设两曲线交点为
，曲线
的斜率为
，曲线
的斜率为
，
则
，解得
，对
求导可得，
，对
求
导可得，
，
因为两切线垂直，所以
，所以
，解得
，
由
，解得
，所以
，
由
可得
，所以
.
故答案为：
.
6．【新角度】（ 2026·山东淄博·二模）将曲线
绕坐标原点顺时针旋转
后第一次与
轴相切，则
________.
【答案】
【详解】设直线
与曲线
相切，且切点为
，
由题意得
，
由
，则
，
故
，解得
，
切点为
，则
.
7．【新情景】（ 2025·山东聊城·二模）过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函
数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数
与函数
的“公法线”方程为______．
【答案】
【详解】对于函数
，有
，可得
，解得
，
故函数
的定义域为
，
由
求得，
，则法线斜率为
，
则
在点
处的法线方程为
，
即
，
由
求导得
，则法线斜率为
，
则
在
处的法线方程为
，
即
，
由“公法线”得，
，
这两个等式相加得
，即
，
令
，则
，
故函数
在
上为增函数，
又因为
，所以函数
有且只有唯一的零点
，
解方程组
，可得
或
，
，
又因为
，故
，故
要舍去，即
，
，
所以“公法线”方程为
，
故答案为：
.
8．曲线
在x=n(n∈N
∗)处的切线为
，分别记
在
，
轴上的截距为
，
，则
∑
i=1
n
(xi⋅yi+1+xi+1⋅yi)=______．
【答案】
【详解】
，
，设
的斜率为
，则
，
，
在
轴上的截距
满足
，解得
，
在
轴上的截距
，
=∑
i=1
n
(1+
1
−
i+1 +1+1
i)
=2n+1−1
n+1 .
9．已知函数
．
(1)若斜率为15 的直线与曲线
相切，求的方程；
(2)记曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
，求
的最小值．
【答案】(1)
或
．
(2)72
【分析】
【详解】（1）因为
，所以
，
设切点为
，
则
，即
，得
．
所以
，
，
所以切点为
，
．
所以的方程为
或
，
即
或
．
（2）由题意得切点为
，显然
，
因为
在点
处的切线方程为
，
整理得
，
令
，得
，令
，得
，
所以
，
则
．
令
，得
，
令
，得
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
的最小值为
．
真题·实战演练
高频考点：在点/过点切线方程、公切线、切线条数、切线斜率逆向求参、几何意义最值；近三年
以选择填空、解答题第一问为主，中档难度居多，突出切线辨析、公切线、含参逆向三大热点。
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
__________.
【答案】
【详解】由
得
，
，
故曲线
在
处的切线方程为
；
由
得
，
设切线与曲线
相切的切点为
，
由两曲线有公切线得
，解得
，则切点为
，
切线方程为
，
根据两切线重合,所以
，解得
.
故答案为：
2．（2023·天津·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线斜率；
(2)求证：当
时，
；
(3)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）
，则
，
所以
，故
处的切线斜率为
；
（2）要证
时
，即证
，
令
且
，则
，
所以
在
上递增，则
，即
.
所以
时
.
（3）设
，
，
则
，
由（2）知：
，则
，
所以
，故
在
上递减，故
；
下证
，
令
且
，则
，
当
时
，
递增，当
时
，
递减，
所以
，故在
上
恒成立，
则
，
所以
，
，…，
，
累加得：
，而
，
因为
，所以
，
则
，
所以
，故
；
综上，
，即
.
【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究
单调性证右侧不等关系，再构造
且
，导数研究其函数符号得
恒成立，结合放缩、累加得到
为关键.
3．（2023·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3 个
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
在
处的切线方程为
，
所以
，
，
则
，解得
，
所以
.
（2）由（1）得
，
则
，
令
，解得
，不妨设
，
，则
，
易知
恒成立，
所以令
，解得
或
；令
，解得
或
；
所以
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
即
的单调递减区间为
和
，单调递增区间为
和
.
（3）由（1）得
，
，
由（2）知
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
当
时，
，
，即
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单调递增；
所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
在
上单调递减，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递增；当
时，
，则
单调递减；
所以
在
上有一个极大值点；
当
时，
在
上单调递增，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单调递增；
所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
，
所以
，则
单调递增，
所以
在
上无极值点；
综上：
在
和
上各有一个极小值点，在
上有一个极大值点，共有个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3 小题的解题关键是判断
与
的正负情况，充分利用
的单调
性，寻找特殊点判断即可得解.
4．（2024·天津·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
对任意
成立，求实数
的值；
(3)若
，求证：
．
【答案】(1)
(2)2
(3)证明过程见解析
【详解】（1）由于
，故
.
所以
，
，所以所求的切线经过
，且斜率为，故其方程为
.
（2）设
，则
，从而当
时
，当
时
.
所以
在
上递减，在
上递增，这就说明
，即
，且等号成立当且仅当
.
设
，则
.
当
时，
的取值范围是
，所以命题等价于对任意
，都有
.
一方面，若对任意
，都有
，则对
有
，
取
，得
，故
.
再取
，得
，所以
.
另一方面，若
，则对任意
都有
，满足条件.
综合以上两个方面，知
的值是2.
（3）先证明一个结论：对
，有
.
证明：前面已经证明不等式
，故
，
且
，
所以
，即
.
由
，可知当
时
，当
时
.
所以
在
上递减，在
上递增.
不妨设
，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当
时，有
，结论
成立；
情况二：当
时，有
.
对任意的
，设
，则
.
由于
单调递增，且有
，
且当
，
时，由
可知
.
所以
在
上存在零点
，再结合
单调递增，即知
时
，
时
.
故
在
上递减，在
上递增.
①当
时，有
；
②当
时，由于
，故我们可以取
.
从而当
时，由
，可得
.
再根据
在
上递减，即知对
都有
；
综合①②可知对任意
，都有
，即
.
根据
和
的任意性，取
，
，就得到
.
所以
.
情况三：当
时，根据情况一和情况二的讨论，可得
，
.
而根据
的单调性，知
或
.
故一定有
成立.
综上，结论成立.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3 小问中，需要结合
的单调性进行分类讨论.
