文档文本内容
第07 讲 函数与方程
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................3
知能解码.........................................................................................................................................3
知识点1 函数的零点...........................................................................................................3
知识点2 二分法...................................................................................................................4
题型破译.........................................................................................................................................5
题型1 零点所在区间的判断...............................................................................................5
【方法技巧】连续且区间函数端点值异号
题型2 求零点个数
........................................................................................................7
【方法技巧】零点个数转化为图象交点个数
题型3 根据零点所在区间求参数范围...............................................................................9
题型4 比较零点的大小.....................................................................................................11
题型5 零点个数的应用
...............................................................................................14
题型6 函数与方程的综合应用
..................................................................................17
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................23
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................31
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
1.求函数零点或方程根的个数
2.根据函数零点的个数求参数范
围
3.求函数零点或方程根的个数
4.判断零点所在的区间
5.根据函数零点的个数
求参数范围
单选题
多选题
填空题
解答题
全国二卷，第
10 题，6 分
天津卷，第7
题，5 分
新课标I 卷，第7
题，5 分
新课标Ⅱ卷，第6
题，5 分
新课标Ⅱ卷，第9
题，6 分
新课标Ⅱ卷，第11
题，6 分
新课标I 卷，第15
题，5 分
考情分析：
本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度不定，分值
为5-6 分
复习目标：
1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
知识点1 函数的零点
（1）函数的零点、函数的图象与x 轴的交点、对应方程的根的关系.
（2）函数零点存在定理：
若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f( a )· f ( b )<0
.则函数y＝f(x)在区间(a，b)内
至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0 的解.
自主检测（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的值域为R
B．
在R 上单调递增
C．
D．
的零点大于
【答案】ACD
【分析】利用函数
和
的单调性与值域可判断AB；计算
可判断C；计算
，结合
单调性可判断D.
【详解】函数
单调递增，且值域为
单调递增，且值域为
，
所以
单调递增且值域为R，故A 正确；
在
上单调递增，故B 错误；
，故C 正确；
，
因为
单调递增，所以
的零点大于
，故D 正确．
故选：ACD．
知识点2 二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的
零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）给定精确度
，用二分法求函数
零点
的近似值的步骤
①确定零点
的初始区间
，验证
②求区间
的中点
③计算
，进一步确定零点所在的区间：
若
（此时
），则
就是函数的零点；
若
（此时
），则令
；
若
（此时
），则令
.
④判断是否达到精确度
：若
，则得到零点近似值
（或
）；否则重复（2）~（4）
自主检测设
，某同学用二分法求方程
的近似解（精确度为0.5），列出了
对应值表如下：
0.125
0.4375
0.75
2
0.49
3.58
依据此表格中的数据，得到的方程近似解
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由表格数据可知，
，又因为函数
在
上连续，且函数
在
上单调递增，所以函数
在区间
上存在一个零点.又因为
，所以方程
的近似解（精确度为0.5）可以是区间
上的任意一
个数，观察四个选项可知C 正确.
题型1 零点所在区间的判断
例1-1 已知函数
的零点
，则整数
的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理列不等式求解.
【详解】由已知
和
均为单调递增函数，
故
在定义域内也为单调增函数，
因为
，
所以函数
的零点在区间
上，
又函数
的零点在区间
上，
所以
，
故选：C.
例1-2（多选）某同学用二分法求函数
的零点时，计算出如下结果：
，
，下列
说法正确的有（ ）
A．精确到0.1 的近似解为1.4
B．函数
的零点在
内
C．精确到0.1 的近似解为1.5
D．函数
的零点在
内
【答案】AB
【详解】因为
，所以零点在
内，则B 正确，D 错误；又
，且1.40625 与1.4375 精确到0.1 的
近似数都是1.4，则A 正确，C 错误．
方法技巧
(1)解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程;
(2)利用函数零点存在定理;
(3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与工轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的交
点的横坐标来判断.
【变式训练1-1·变考法】函数
的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定函数单调性，利用零点存在性定理判断得解.
【详解】函数
在
上都单调递增，则函数
在定义域
上单调递增，
而
，
，
所以
的零点所在区间为
.
故选：C
【变式训练1-2】已知函数
－
，则用二分法求
的零点时，其中一个零点的初始区间
可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由函数
，得
，所以
，又因为函数
的图象在区间
上连续，所以函数
的一个零点的
初始区间可以为
.
【变式训练1-3】在用二分法求方程
在
上的近似解时，先构造函数
，
再依次计算得
，
，
，
，
，则该近似解所在的区间可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二分法即可判断.
【详解】由题意，
，
，
，
，
，
则由二分法可得近似解所在的区间为
.
故选：C.
题型2 求零点个数
例2-1 函数
与
的图象共有 个交点．
【答案】63
【分析】作出两函数图象，根据图象的对称性和以及正弦曲线的周期性，可求得交点个数.
【详解】作出两函数图象的简图，如图所示：
因为函数
与
均为奇函数，它们的图象显然有一个交点为原点，
当
时，
，而
，
除在
上，两图象有一个交点，
上各有两个交点，
共
个交点，根据对称性，所以两函数图象的交点个数为
个．
故答案为：63
例2-2 函数
的零点个数为 ．
【答案】2
【分析】当
时，利用导数研究其单调性得
，即函数
只有一个零点
1，当
时，利用导数法得函数
在
上单调递增，由零点存在性定理可知有一个零点，即可
得解.
【详解】
，
当
时，
，则
，
当
时，
，即函数
单调递增，
当
时，
，即函数
单调递减，
又
，所以函数
只有一个零点1，
当
时，
，则
，
故函数
在
上单调递增，又
，
，所以由零点存在
性定理可知，函数
在
上有一个零点，
所以函数
的零点个数为2.
故答案为：2
方法技巧
（1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点;
（2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;
（3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数:
（4）若函数f(x)是周期为T 的奇函数,则必有f(
T
2 )=0.
【变式训练2-1·变考法】在区间
上，函数
与
图象的公共点个数为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出方程
在
的根即可.
【详解】依题意，
，即
，解得
或
，
而
，因此
，
所以函数
与
图象的公共点个数为3.
故答案为：3.
【变式训练2-2】设
是定义在
上的奇函数．当
时，
，则
的零点个数为
．
【答案】3
【详解】由题意可得
，当
时，由
，得
．又
是奇函数，所以
．因此函数
的零点个数为3．
【变式训练2-3】（2025·上海·三模）函数
的零点个数为
【答案】3
【分析】根据
的零点转化为
与
的图象的交点，由图即
可得出答案.
【详解】根据
的零点个数转化为
与
的图象的交点个数，
时，函数
取最大值
，
时函数
的值为
，
又因为
，结合图象可知，两函数图象具有个交点.
所以
的零点个数为个.
故答案为：.
题型3 根据零点所在区间求参数范围
例3-1 已知函数
，在区间
内存在
，使
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解法1 由题意可知
，由
可得
，所以
，解不等式可
得
．
解法2 因为在
上存在
，使
，所以
，即
，解得
．
例3-2 函数
在
有零点，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】分离参数得到
，由题转化为求
的值域即可.
【详解】由题
有解，即
,
令
得
,
当
时,
单调递减,
当
时,
单调递增,
,
所以
,
故
.
故答案为：
.
方法技巧
(1)函数中不含参数,零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题:
(2)函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;
(3)函数中含有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合思想或分离参数
的方法求解。
【变式训练3-1·变载体】若函数
在
上有零点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可.
【详解】因为
在
上单调递增，
所以
，即
，
解得
．
故选：D.
【变式训练3-2】已知函数
在区间
上有零点，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题可得方程
在区间
上有解，然后由函数知识求得函数
在区间
上的值
域可得答案.
【详解】函数
在区间
上有零点
方程
在区间
上有解，
函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增，
则
，则
.
故选：D．
【变式训练3-3】函数
在区间
内有零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，分析可知函数
在
上为增函数，且该函数在区间
内有零点，可得出
，即可解得实数
的取值范围.
【详解】当
时，由
可得
，
令
，
因为函数
、
在
上均为增函数，
故函数
在
上为增函数，
因为函数
在区间
内有零点，则函数
在区间
内有零点，
所以，
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故选：D.
题型4 比较零点的大小
例4-1 已知
是函数
的一个零点，若
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】转化
是函数
的一个零点为
是函数
与
的交点的横坐标，画出函
数图象，利用图象判断即可
【详解】因为
是函数
的一个零点，则
是函数
与
的交点的横坐标，画出
函数图象，如图所示，
则当
时，
在
下方，即
；
当
时，
在
上方，即
，
故选：B
【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想
例4-2（多选）已知函数
，实数
、
、满足
，其中
，
若实数
为方程
的一个解，那么下列不等式中，有可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】本题先判断
是减函数，再确定
，接着根据
，分情况讨
论，确认ABC 都正确.
【详解】∵
，在定义域上是减函数，
∴
时，
，
又∵
，
∴一种情况是
、
、
都为负值，
即
所以
另一种情况是
，
，
，
即
，
所以
；
都大于
，或
都小于
是，大于
.
两种情况综合可得
不可能成立，
故选：ABC.
方法技巧
（1）结合函数单调性，通过值域大小关系推导函数零点大小关系
（2）数形结合，通过图形来比较零点大小
【变式训练4-1·变载体】已知
，则正数
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过将已知等式变形得到关于
、
、的方程，然后将方程的解转化为函数图象交点的横坐标，
最后通过比较函数图象交点的位置来确定
、
、的大小关系.
【详解】设
，由此
，
分别为方程
的解，在同一坐标系作函数
的图象，
分别与函数
的图象分别交于
，其横坐标分别为
，
由图可知
.
故选：A.
【变式训练4-2】已知a，b，c 分别是函数
的零点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】在同一坐标系中作出函数
的图象，利用数形结合法求解.
【详解】令
，
得
，
在同一坐标系中作出函数
的图象，
如图所示：
由图象知：
即
故选：B
【变式训练4-3】已知函数
的零点分别是
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将问题转换成
，
，
与
交点的横坐标即可判断；
【详解】令
，
得
，
则
为函数
与
交点的横坐标，
为函数
与
交点的横坐标，
为函数
与
交点的横坐标，
在同一直角坐标系中，分别作出
和
的图象，
如图所示，由图可知，
.
故选：C.
题型5 函数零点个数的应用
例5-1（2025·湖南长沙·三模）已知函数
，方程
的根的个数为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】根据解析式画出
和
的函数图象，判断图象交点个数即可.
【详解】当
时，
，故
是
的一个周期，
又
时，
，则
，
作出函数
和
的函数图象，
因
，
，
结合图象可知，
和
的函数图象交点个数为.
故选：B
例5-2 已知直线
和曲线
有两个不同的交点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件得到曲线
表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求
解.
【详解】由
，得到
，
所以曲线
表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图，
当直线
过点
时，
，此时
与曲线
有两个不同的交点，
当直线
与曲线
相切时，由
，解得
或
（舍），
由图可知，实数
的取值范围是
，
故选：C.
方法技巧
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围:
(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决;
(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解
【变式训练5-1】已知函数
有唯一零点，则
．
【答案】2
【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可.
【详解】定义域为
，
，
所以函数
为偶函数，
又因为函数
有唯一零点，
根据零点关于
轴对称，得出
，所以
，
当
时，函数
有唯一零点，符合题意；
当
时，函数
有零点
，不符合题意舍；
故答案为：2.
【变式训练5-2】已知函数
恰有三个零点，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据函数的导数，求出函数单调性和极值，确定方程有三个解的参数范围，求得结果.
【详解】函数
恰有三个零点，即方程
有三个解，
设
，则
，
令
，即
，因为
，所以解得
，
令
，即
，解得
，
所以函数
与
变化关系如下表：
正
0
负
0
正
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由
可知
，
当
时，
，
，所以
且
，
可得函数大致图形如下：
所以要满足题意，需
.
故答案为：
.
题型6 函数与方程的综合应用
例6-1 已知函数
，若函数
恰有3 个不同的零点，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】可先求出函数
的单调性与极值，再令
，将函数
的零点问题转化为关于的方程
的根的问题，最后结合函数图象求解实数
的取值范围．
【详解】已知
，其定义域为
，
则
，
令
，即
，则
，解得
．
当
或
时，
，
，
单调递减；
当
时，
，
，
单调递增．
所以
在
处取得极小值，也是最小值，
．
令
，则
，
函数
恰有个不同的零点，
即方程
(e 不是方程的根)有两个不同的实数根
，
，
且其中一个根为
，另一个根
．
则
，解得
.
实数
的取值范围是
．
故选：A．
例6-2 设函数
，若关于
的方程
有四个实根
，
，则
的最小值是（ ）
A．15
B．15.5
C．16
D．17
【答案】C
【分析】作出分段函数
的图象，由图象分析可得
，且
，然后表示
出
，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．
【详解】作出函数
的图象如图所示，
由图可知，
，
由
，
可得
或
，故
，
又因为
，
所以
，
故
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为16．
故选：C．
方法技巧
求解复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法具体步骤是:
(1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t 的值(t 的值可能有多个);
(2)根据不同的t 的值解方程g(x)=t,这个方程的解即为函数y=f[g(x)]的零点.
如不能解出x 的值,可结合函数y=g(x)与y-t 的图象的交点个数,确定函数y=f[g(x)的零点个数.
【变式训练6-1·变考法】已知函数
，若
的零点个数为4，
则实数a 取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，做出
函数图象，分析
的实根情况，方程
有两个不等
实数根
，且满足
，或
，或
；然后讨论计算得出结果即可.
【详解】解：根据函数
，做出其图象如下：
设
，根据函数图象有：
当
时，方程
有2 个实数根；
当
时，方程
有3 个实数根；
当
时，方程
有2 个实数根；
当
时，方程
有1 个实数根；
当
时，方程
没有实数根；
当若
的零点个数为4 个时，
方程
有两个不等实数根
，
且满足
，或
，或
；
设函数
；
则
，
，
，
解得
，或
，
故选：A.
【变式训练6-2·变考法】（2025·海南·模拟预测）已知函数
，若存在不相等的实
数
，满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合二次函数的对称性可得
，利用对数运算可得
，再利用函数
图象及性质求出
的取值范围即可.
【详解】函数
的图象对称轴
，
，
函数
在
上单调递增，函数值集合为
，在
上单调递减，函数值集合为
，
在
单调递减，函数值集合为
，在
上单调递增，函数值集合为
，
令
，则函数
的图象与直线
有4 个交点，
在同一坐标系内作出函数
的图象与直线
，
观察图象，得
，
，由
，得
，
由
，得
，则
，
函数
在
上单调递减，
，因此
，
所以
的取值范围为
.
故选：C
【变式训练6-3】（2025·北京海淀·三模）已知函数
，若函数
有三个
零点，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分离变量，转化成
与
的交点问题，作出
的图象，即可得到答案.
【详解】易知
为
的零点，当
时，令
，得
，
令
，可得到
，作出
的图象，
如下图，依题意，只需
与
有两个交点即可.
由图可得
.
故答案为：
【变式训练6-4】已知定义在
上的函数
，关于
的方程
有
个不同的实根
，
，
，
，则
（ ）
A．12
B．
C．15
D．
【答案】B
【分析】根据已知有
或
，数形结合确定零点个数及其数量关系，进而求零点的和，
最后求函数值.
【详解】关于
的方程
，解得
或
，
由
函数图象如下，
当
时，原方程有三个实根，其中一个根为
，另两个根关于直线
对称，则
；
当
时，原方程有两个实根，设为
，
，这两个根关于直线
对称，则
．
所以原方程一共有5 个不同的实根，
所以
，
故选：B
1．（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：
在
上单调递减，
在
单调递增，
所以
在定义域上单调递减，
显然
，
所以根据零点存在性定理可知
的零点位于
.
故选：B
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
【答案】AD
【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为
，根据零点存在定理和极值的符号判断出
在
上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在
这样的
，使得
为
的对称轴，则
为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这
样的
，使得
为
的对称中心，则
，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有
的项为
，
于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）
的对称轴为
；（2）
关于
对称
；（3）任何三次函数
都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是
的解，即
是三次函数的对称中心
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数
和
，下列说法中正确
的有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A 选项，令
，解得
，即为
零点，
令
，解得
，即为
零点，
显然
零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然
，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，
的周期均为
，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质
的对称轴满足
，
的对称轴满足
，
显然
图象的对称轴不同，D 选项错误.
故选：BC
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】解法一：令
，分析可知曲线
与
恰有一个交点，结合
偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得
，并代入检验即可；解法二：令
，可知
为偶函数，根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，即可
得
，并代入检验即可.
【详解】解法一：令
，即
，可得
，
令
，
原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
可得
，即
，解得
，
若
，令
，可得
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则方程
有且仅有一个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，
所以
符合题意；
综上所述：
.
解法二：令
，
原题意等价于
有且仅有一个零点，
因为
，
则
为偶函数，
根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，
即
，解得
，
若
，则
，
又因为
当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
有且仅有一个零点0，所以
符合题意；
故选：D.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的
取值范围为 ．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令
，分离参数
，构造新函数
结合
导数求得
单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令
，即
，令
则
，令
得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
，
因为曲线
与
在
上有两个不同的交点，
所以等价于
与
有两个交点，所以
.
故答案为：
6．（2024·天津·高考真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取
值范围为 ．
【答案】
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数
与
，则两函
数图象有唯一交点，分
、
与
进行讨论，当
时，计算函数定义域可得
或
，计
算可得
时，两函数在
轴左侧有一交点，则只需找到当
时，在
轴右侧无交点的情况即
可得；当
时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令
，即
，
由题可得
，
当
时，
，有
，则
，不符合要求，舍去；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
或
（正值舍去），
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
令
，即
，
故
时，
图象为双曲线
右支的
轴上方部分向右平移
所得，
由
的渐近线方程为
，
即
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递增，
故有
，解得
，故
符合要求；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
（负值舍去）或
，
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
同理可得：
时，
图象为双曲线
左支的
轴上方部分向左平移
所得，
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递减，
故有
，解得
，故
符合要求；
综上所述，
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数
的零点问题转化为函数
与函数
的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
1.方程
的实数根个数是 ．
【答案】无数
【分析】作出函数
与
的图象，借助数形结合的方法即可得解.
【详解】函数
的定义域为
，
在每个区间
是都单调递增，并且函数值集合为R，
在同一坐标系内作出函数
与
的图象，如图，
观察图象得，函数
与
的图象有无数个交点，
方程
的实数根个数是无数个.
故答案为：无数
2.判断方程
在区间
内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1）
【答案】1.3
【分析】求函数
在区间
内的一个零点，利用二分法可得答案.
【详解】设
，
利用二分法，列表计算如下：
x
1
1.5
1.25
1.375
1.3125
1.34375
0.875
0.0826
由表中数据可得
，
因为题中要求精确度为0.1，而左右端点的近似值都为1.3.
所以近似解为1.3.
3.判定下列方程存在几个实数根，并分别给出每个解的存在区间：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据二次方程的判别式确定解的个数，再由求根公式求出根判定根所在的一个区间；
（2）去掉绝对值号，直接求解，判断根的个数及根所在区间.
【详解】（1）因为
中
，
所以方程有两个根，
由求根公式可得
，
.
（2）由
，可得
，即
或
,
故方程的根有两个，
且方程的根为
，
.
4.用二分法求方程
的近似解．（精确度为0.1，可以使用计算器）
【答案】5.7
【分析】利用二分法求解方程近似解即可.
【详解】画出
和
的图象，
由图知：函数
和
只有一个交点.
方程
的近似解等价于函数
的零点.
，
，
所以取初始区间为
，用二分法求解，如下表：
次数
左端
点
右端点
区间长度
第一次
5
6
1
第二次
5.5
6
0.5
第三次
5.5
5.75
0.25
第四次
5.625
5.75
0.125
第五次
5.6875
5.75
0.0625
因为
，
所以方程
的近似解可取为5.7.
5.借助计算机作出函数
的图象，并讨论方程
的根的个数与分布情况．
【答案】答案见详解
【分析】先借助计算机可作出函数
的图象，再结合图象找出函数
的零点个数及所在的区间，进
而即可得到方程
的根的个数与分布情况．
【详解】借助计算机可作出函数
的图象如下，
从上图可以看出
在区间
，
和
内各有一个零点，
由于
在
上为负，在
上为正，故只有这三个零点，
因此方程
有三个解，且分别位于区间
，
和
上．
6.讨论方程
的解的个数与分布情况．
【答案】答案见解析
【分析】方程
的解是函数
的零点，可以通过适当的计算和增减性讨论来解答；
也可以将所求方程的解看成是两函数
和
的图象的公共点的横坐标．
【详解】函数
，其零点就是方程
的解．
计算得：
，
，
可见
在
内有零点．
另一方面，由于
单调递增而
也单调递增（因为
单调递减），
因此
单调递增，所以
在
内恰有一个零点．
由图象可看出，函数
与
的图象只在区间
内有一个交点，
所以原方程有且只有一个解，且此解在区间
上．
7．利用计算器，求方程
的近似解（精确到
）.
【答案】
【分析】利用二分法确定方程的近似解.
【详解】因为方程
可化为
，
所以原方程的解即函数
的零点，
先画出函数
与函数
的图象，
如图所示
观察图象，可知该方程有且只有个解，
又因为
，
，
所以函数
的零点在区间
内，记为
，
取
和的平均数
，因为
，
所以
.
取
和的平均数
，
因为
，
所以
，
取
和
的平均数
，
因为
，
所以
.
取
和
的平均数
，
因为
，
所以
.
取
和
的平均数
，
因为
，
所以
.
因为
和
精确到
的近似数都是
，
所以区间
内的所有数精确到
的近似数都是
，
从而
，
因此，方程
的近似解（精确到
）为
.
