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第01 讲 导数的概念及其意义、导数的运算
内容导航
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳
型技巧
题
知识解构
知识点1 导函数的概念 知识点2 导数的几何意义
知识点3 基本初等函数的导数公式及运算法则 知识点4 复合函数的求导法则
题型破译 (含超链接）
题型
1
导数的概念
【方法技巧】导数定义的应用
题型
2
导数的和、差、积、商的导数
【方法技巧】利用导数运算法则的解题策略
题型
3
复合函数的导数
题型
4
在点
P 处的切线
【方法技巧】求曲线“在”点处的切线方程
题型
5
过点
P 处的切线
【方法技巧】求曲线“过”点处的切线方程
题型
6
已知切线或切点求参数
题型
7
切线的条数问题
【方法技巧】公切线问题的处理策略
题型
8
公切线问题
题型
9
利用导数的几何意义求距离最值
【方法技巧】利用导数的几何意义求解最值问题
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
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命题透视·考情前瞻
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
导数的运算
——
全国二卷T3（5 分）
全国I 卷T18（1）（5
分）
全国甲卷（文）T20（1）
（5 分）
导数的几何意义
——
全国一卷T12（5 分）
天津卷T20（1）（4 分）
全国甲卷（理）T6（5
分）
全国II 卷T16（1）（5
分）
全国I 卷T13（5 分）
天津卷T20（1）（4 分）
考情分析
近三年考情显示，导数的概念及其意义、导数运算的考查较为稳定，题型、分值与难
度变化不大。以选择题、填空题、解答题第一问为主，侧重考查导数的几何意义、基
本初等函数求导公式、四则运算法则，核心是求曲线在某点处的切线方程，偶尔涉及
切线斜率与导数定义的理解，整体属于基础必考内容。
复习目标
1.理解导数的概念，掌握基本初等函数的导数公式，能准确表述导数的定义与本质。
2.结合函数图象，理解导数的几何意义，能熟练求解曲线在某点处的切线方程。
3.熟练运用导数四则运算法则进行计算，能正确求解简单函数及简单复合函数的导
数。
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
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知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 导函数的概念
1.导函数的概念
当
时,
是一个唯一确定的数,当
变化时,
是
的函数,称它为
的导函数
(简称导数),
的导函数有时也记作
,即
2.导函数求法
由导数的定义可知，求函数
的导数的一般方法是：
（1）求函数的改变量
；（2）求平均变化率
；
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（3）取极限，得导数
．
自主检测1．设函数
的图象在点
处的切线方程为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B
【详解】因为函数
的图象在点
处的切线方程为
，
所以
，
所以
.
知识点2 导数的几何意义
函数
在
处的导数
,就是切线
的斜率
,即
.
自主检测2．如图，函数
的图象在点
处的切线方程是
，则
+
=______．
【答案】
【详解】点
处的切线方程是
，则
，
切线
斜率为
，则
，
．
知识点3 基本初等函数的导数公式及运算法则
1.基本初等函数的导函数
基本初等函数
导函数
（c 为常数）
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2.导数的四则运算
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
加减运算
乘法运算
除法运算
，则
自主检测3．已知函数
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【详解】由
，得
，
则
.
4．分别求下列函数的导数：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
，
因此
.
（2）
.
知识点4 复合函数的求导法则
1.复合函数的导数
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设函数
在点
处可导，
，函数
在点
的对应点
处也可导
，则复
合函数
在点
处可导，并且
，或写作
．
2.掌握复合函数的求导方法
（1）分层：将复合函数
分出内层、外层．
（2）各层求导：对内层
，外层
分别求导．得到
，
（3）求积并回代：求出两导数的积：
，然后将
，即可得到
的导
数．
自主检测5．函数
导数为_________．
【答案】
【详解】函数
的定义域为
，
可看作由
与
复合而成，
则
.
题●型●破●译
题型1 导数的概念
例1-1（2026·江苏镇江·一模）设
，则曲线
在点
处的切线的斜
率为（ ）
A．
B．
C．1
D．4
【答案】A
【详解】因为
，
所以
，
所以曲线
在点
处的切线的斜率为
.
例1-2（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移
（单位：cm）与时间（单位：s）之
间的关系为
，则当位移
时，弹簧振子的瞬时速度大小为（ ）
.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题可得瞬时速度
,
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当位移
时，可得
，解得：
,所以
,
所以
,
则当位移
时，弹簧振子的瞬时速度大小为
，
故选：A
方法技巧 导数定义的应用
（1）在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量
必须保持一致,常见的形式还有：
（2）用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
①求函数的增量
；②求平均变化率
；③求极限
【变式1-1】（2026·上海虹口·三模）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
，
则函数
的表达式可以是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，
对于A：
但是
不是奇函数，所以A 错误；
对于B：
，且
，定义域为
，
所以
是奇函数，所以B 正确；
对于C：
，
是偶函数，所以C 错误；
对于D：
,
是奇函数，所以D 错误；
【变式1-2】（2024-25 高三上·山西晋中·期中）已知函数
的图象如图所示，下列数值的排序正确的是
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】如图分别作直线
，交
的图象于点
，
则
和
分别表示函数
的图象在点
处的切线
的斜率，
结合图象可得
，即
，
而
，表示过
两点的直线的斜率，
由图知
，即
.
故选：D.
题型2 导数的和、差、积、商的导数
例2-1（2025·北京延庆·三模）已知
， 则
的导函数为__________.
【答案】
【详解】由
，
则
.
故答案为：
.
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例2-2（2024·25 高三上·福建·期中）已知函数
，则
__________.
【答案】
/
【详解】函数
，则
，
则
，
所以
，则
，
则
.
故答案为：
.
方法技巧 利用导数运算法则的解题策略
（1）先分析待求导式子的结构，判断适用的求导法则，明确各部分对应的基本初等函数，选用正确的求
导公式。
（2）若函数表达式较为复杂，可先化简变形再求导，比如将乘积展开、分式转化、三角恒等变换后再计
算。
（3）求导时优先把式子转化为和差形式，尽量使用和差求导法则，减少使用积、商求导法则，降低计算
出错概率。
【变式2-1】（2024·25 高三上·江苏徐州·开学考试）已知函数
，则
__________.
【答案】
【详解】因为
，则
，
令
得
，解得
，
则
，
所以
.
故答案为：
.
【变式2-2】（2025·甘肃白银·三模）若函数
的导函数
为偶函数，则
的解析式可以为
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【详解】对于选项A，
为奇函数，A 错误；
对于选项B，
为非奇非偶函数，B 错误；
对于选项C，
，且
，
，
，
则
不是偶函数，C 错误；
对于选项D，
为偶函数，D 正确.
故选：D.
题型3 复合函数的导数
例3-1（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数
在
处的导数
_____.
【答案】
【详解】由题设
，则
.
例3-2（2026·安徽合肥·模拟预测）若
，则
（ ）
A．−10
B．0
C．10
D．20
【答案】B
【详解】对原等式两边求导得：
，
再令
代入上式：
，
又
中
一次项的系数为：
，
所以
.
【变式3-1·变题型】（2025·26 高三上·河北保定·阶段检测）已知函数
，
为
的导函数，则
（ ）
A．0
B．2
C．
D．2026
【答案】B
【详解】由于
，所以
，
又
，
故
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，
则
，
所以
.
【变式3-2】（2025·26 高三上·天津南开·阶段检测）已知函数
，则
的
值为（ ）
A．29
B．
C．5
D．
【答案】B
【详解】函数
的导函数为
，
故
，所以
，
所以
，
所以
.
【变式3-3·变考法】（2026·陕西宝鸡·三模）已知函数
的图象如图所示，若
，则下列数
值排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得：
，所以
，
所以
，
根据导数的几何意义得
，
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所以
.
题型4 在点P 处的切线
例4-1（2026·安徽·模拟预测）函数
的图象在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，则
，
，所以切线方程为
，化简可得
，
即函数
的图象在点
处的切线方程为
.
例4-2（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
的定义域为
，
，当
时，
，则曲线
在点
处的切线的斜率为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】C
【详解】由函数
的定义域为
，
，得函数
的图象关于直线
对称，
因此曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处切线关于直线
对称，
其斜率互为相反数，当
时，
，求导得
，则
，
所以曲线
在点
处的切线的斜率为
.
方法技巧 求曲线“在”
点处的切线方程
（1）计算切点的纵坐标f ( x0)；（2）计算切线斜率
；
（3）计算切线方程.切线过切点
，切线斜率k=f '( x0)；
（4）根据直线的点斜式方程得到切线方程：y−f ( x0)=f '( x0)( x−x0).
【变式4-1】（2025·26 高三上·湖南·阶段检测）函数
的图象在点
处的切线方程为
__________.
【答案】
【详解】由
，得
，
，得
，
故所求切线方程为
，即
.
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【变式4-2】（2026·河北沧州·二模）已知函数
则曲线
在点
处的切线在
轴上的截距为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
，
所以
，又
，
曲线在
处的切线方程为
，
令
得
轴上的截距为
．
题型5 过点P 处的切线
例5-1（2024 高三·全国·专题练习）已知直线l 为曲线
过点
的切线．则直线l 的方程
为_______．
【答案】
或
【详解】∵
，∴
.
设直线与曲线
相切于点
，则直线的斜率为
，
∴过点
的切线方程为
，
即
，又点
在切线上，
∴
，整理得
，
∴
，
解得
或
；
∴所求的切线方程为
或
.
故答案为：
或
.
例5-2（2025·26 高三上·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线
相切，则切点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设切点坐标为
，
.
由
，求导得
，则切线的斜率
.
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因为切线过原点
和切点
，所以斜率
.
又切点在曲线上，则
，即得
.
解得
，即
.
将其代入曲线方程得
，所以切点坐标为
.
方法技巧 求曲线“过”
点处的切线方程
（1）设切点为
；（2）求出函数
在点
处的导数
；
（3）利用Q 在曲线上和
，解出
及
；
（4）根据直线的点斜式方程得到切线方程：y−f ( x0)=f '( x0)( x−x0).
【变式5-1·变载体】（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线
相切的直线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】C
【详解】设切点
，因为曲线
，所以
，
所以
，所以
，
所以
或
，
当
时，所以
，所以切线方程为
，即
；
当
时，所以
，所以切线方程为
，即
；
当
时，所以
，所以切线方程为
，即
；
所以切线有3 条.
故选：C.
【变式5-2】（2024·25 高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直线
与曲线
相切，则实数
的
值为_____．
【答案】
【详解】直线
过定点
，
，设直线与曲线的切点坐标为
，
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则
，
则
，∴
.
故答案为：
【变式5-3·变题型】（2025·河南周口·二模）将曲线
绕原点逆时针旋转角
后第一次与y 轴相切，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据题意，曲线
绕原点逆时针旋转角
后第一次与
轴相切，
则
是曲线
过原点的切线．
设切点坐标为
，
又由
，即切点处切线的斜率
．
即把切点坐标代入
，得
，解得
，
故
，所以
，故
.
故选：D．
题型6 已知切线或切点求参数
例6-1（2026·河北沧州·二模）已知函数
，曲线
在
处的切线方程为
，则
_________.
【答案】
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【详解】由题可知
，由题意得
，
，
则
，且
，化简得
，
解得
，
，即
.
例6-2（2026·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系
中，点
在曲线
：
上且在第三象
限内．若曲线
在点
处的切线为
，则实数
________．
【答案】
【详解】设
，
，
，
因为曲线
在点
处的切线为
，
所以
，解得
，
又因为点
在第三象限内，
所以
，
，
因为
在切线
上，
所以
，解得
．
【变式6-1】（2026·湖南湘潭·三模）若曲线
在点
处的切线与直线
平行，则
__________．
【答案】
/
【详解】由
，可得
．当
时，
．
因为曲线
在点
处的切线与直线
平行，
所以
．
【变式6-2】（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b 为正实数，直线
与曲线
相切，
则
最大值为______.
【答案】
【详解】由
，求导得
，
设直线
与曲线
相切于点
，则有
，
解得
，则
，而
为正实数，
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因此
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最大值为
.
【变式6-3·变考法】（2026·辽宁锦州·二模）已知
图象上有两条切线互相垂直，则
________.
【答案】0
【详解】
，
；
曲线上任意一点处切线的斜率为
，由于
，即斜率
的取值范围为
.
要使
图象上有两条切线互相垂直，即存在
，使得
.
区间内必须同时包含正数和负数，即
，得
.
设
，则
.
，
即
；
，得
；
，
；
，解得
，得
.
当
时，斜率
的取值范围为
，可取
，
，符合题意.
.
题型7 切线的条数问题
例7-1（2024·25 高三上·山西·期末）已知过点
作曲线
的切线有且仅有1 条，则
的值
为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【详解】设切点为
，由已知得
，则切线斜率
，
所以切线方程为
，
因为直线过点
，则
，
化简得
，
又因为切线有且仅有1 条，即
，解得
或2，
故选：A
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例7-2（2025·26 高三·全国·一轮复习）已知函数
，若曲线
有两条过坐标原点
的切线，则
的取值范围是__________．
【答案】
【详解】设过坐标原点的切线与
相切于点
，
，
，
在点
处的切线方程为：
，
，
，
，且过坐标原点的切线有两条，
，解得：
或
，
即
的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式7-1】（2025·26 高三上·山东泰安·期末）函数
，过点
，
，可以作函数
的两条切线，求实数
的取值范围______.
【答案】
【详解】设切点坐标为
，因为
，
所以切线的斜率
，
所以切线方程是
，
因为切线过点
，
所以
，即
，
因为过点
可以作曲线的两条切线，
所以方程
有两个不同的根，
所以
，
解得
或
.
故答案为：
.
【变式7-2】（2025·海南海口·模拟预测）过
轴上一点
作曲线
的切线，若这样的切
线不存在，则整数的一个可能值为_________．
【答案】
，
，
，只需写出一个答案即可
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【详解】设切点为
，因为
，所以切线方程为
．
因为切线经过点
，所以
，
由题意关于
的方程
没有实数解，
则
，解得
．
因为为整数，所以的取值可能是
，
，
.
故答案为：
，
，
，只需写出一个答案即可
【变式7-3·变考法】（2025·26 高三上·福建厦门·期末）若过
可作曲线
的三条切线，切点的
横坐标分别为
，
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设切点坐标为
，曲线
的切线方程为
，
代入
，得
，该方程有三个不同的解
，
，
．
令
，
，
令
，则
或
，
当
和
时，
，当
时，
，知
的增区间为
，
，减区间为
，
所以函数在
和
处分别取得极大值和极小值，要想函数
有三个不同零点，
则
满足题意．
此时
，
对比可得
，
故选:
．
【变式7-4】（2026·河北雄安·三模）过点
可向曲线
作三条切线，则实数
的取值范围为
________．
【答案】
【详解】设曲线
的切点坐标为
，
，
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则切线方程为
，
点
在该直线上，有
，
整理得
，
由题意可得函数
的图象与直线
有三个不同交点，
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
、
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
又当
时，
，
时，
，
故当
时，函数
的图象与直线
有三个不同交点，
即实数
的取值范围为
.
题型8 公切线问题
例8-1（2026·河南焦作·一模）已知曲线
与
的公切线为，则在
轴上的截距为
___________．
【答案】
/
【详解】设曲线
上的切点为
，
又因为
，所以直线
，
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即
设曲线
上的切点为
，
又因为
，所以直线
，
即
因为是公切线，所以
，解得
所以
所以在
轴上的截距为
例8-2（2025·陕西汉中·一模）若直线
（
）是曲线
与曲线
（
）的公切
线，则
（ ）
A．1
B．2
C．e
D．
【答案】B
【详解】令
，
，则
，
．
设直线
与曲线
相切于点
，
则
，解得
，所以公切线
，即
.
令
，解得
，所以
，解得
．
故选：B.
方法技巧 公切线问题的处理策略
解决公切线问题时，要抓住两个核心条件：一是两个函数在各自切点处的导数值相等，即切线斜率相
同；二是两个切点既在对应函数图象上，又在同一条切线上。我们需要分别设出两个函数的切点横坐
标，依据斜率相等、坐标满足曲线与直线方程列出方程组，再通过解方程组求出切点横坐标及公切线方
程。
【变式8-1】（2025·26 高三上·山东·期中）若直线为曲线
与
的公切线，则直线
的方程可以为_________.（写出符合条件的一个方程即可）
【答案】
（或
）
【详解】直线与曲线
的切点为
，
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，切线的斜率为
，
所以切线方程为
，即
．
直线与曲线
的切点为
，
，切线的斜率为
，
所以切线方程为
，即
，
因为直线为曲线
与
的公切线，
所以
，
由
得
，两边取自然对数得
，
即
，即
，
代入
得
，即
，解得
或
，
所以
或
，
所以的方程为
或
．
故答案为：
（或
）．
【变式8-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（多选）若两曲线
与
存在公切线，则正实数
的取值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】设切线与两曲线
与
的切点分别为
，
，
由
，得
，由
，得
，
则两切线方程分别为
与
，
化简得
，
又两条切线为同一条，可得
，得
，
令
，得
，
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当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
，∴
所以实数
的取值可能是1，，
．
故选：ABD.
【变式8-3】（2025·26 高三上·河南南阳·期末）已知
，若直线
是曲线
与
曲线
的公切线，则
________
【答案】1
【详解】设直线
在
处的切点坐标为
，
在
处的切点坐标为
，
，
，
因为直线
是曲线
和
的公切线，所以
， 解得
，则
，
把
代入直线
中可得
，又
，解得
，
把
代入直线
中可得
，
再把
代入
中可得
，即
，所以
.
故答案为：1
题型9 利用导数的几何意义求距离最值
例9-1（2026·广东东莞·模拟预测）设点
在曲线
上，点
在直线
上，则
的最小值为
_____.
【答案】
【详解】设与直线
平行并与
相切的直线为
，
则两平行线间的距离即为
的最小值，
因为
，所以
，设切点为
，
则
，解得
，此时
，则切点为
，
代入
中，可得
，解得
，
则直线方程为
，而
可化为
，
由平行线间距离公式得平行线间距离为
.
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例9-2（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，
，
（其中是自然对数的底数），则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，进而
，
又
在
上，
故
的最小值可以看成是
图像上的点离直线
的最近距离的平方，
，
所以
图像上离直线
的最近的点为斜率为2 的切线的切点
令
， 即得
，令
，
单调递增且
，
所以
，即切点横坐标为
，切点为
，
所以
的最小值为
.
方法技巧 利用导数的几何意义求解最值问题
借助数形结合的思想，将代数最值转化为图像上的直观位置关系来分析。这类问题最常用的方法是平移
切线法：通过平行移动函数的切线，观察切线与曲线的位置变化，找到临界状态下的切线位置，从而确
定对应的最值。
【变式9-1】（2025·陕西西安·二模）若M 是曲线
上任意一点，则点M 到直线
的
最小距离为_________.
【答案】
【详解】由
得
，
当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
则作出
和
图像如图：
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则曲线
上任意一点M 到直线
的最小距离，
即为斜率为3 的切线的切点到直线
的距离；
设与直线
平行的直线
与曲线相切于点
，
因为
，所以
，即
，
解得
或
（舍去），
所以
，即切点为
，
所以切点到直线
的距离为
.
故答案为：
.
【变式9-2】（2026·安徽淮南·二模）已知定义在
上的函数
，其导函数为
，对
，满足
，
，点
，
分别为曲线
和直线
上的
动点，则
的最小值等于________.
【答案】
【详解】由题设
，即
，故
且
为常数，
而
，则
，故
，
所以
，令
，
当
时
，
在
上单调递减，
当
时
，
在
上单调递增，
且
时
恒成立，
，
若
是
的一条切线，且
，而
，
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所以切线
对应为
，即
，
令
，显然
，
，
所以，在R 上
恒成立，即在R 上
恒成立，则
，
所以
图象恒在
和
图象的上方，又
与
平行，
要使
最小，等价于求
与
的最小距离，即为
.
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设曲线
在点
处的切线方程为
，
因为
，
所以
，
所以
所以
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
故选：C
2．（2025·全国一卷·高考真题）若直线
是曲线
的一条切线，则
_________.
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【答案】
【详解】法一：对于
，其导数为
，
因为直线
是曲线的切线，直线的斜率为2，
令
，即
，解得
，
将
代入切线方程
，可得
，
所以切点坐标为
，
因为切点
在曲线
上，
所以
，即
，解得
.
故答案为：
.
法二：对于
，其导数为
，
假设
与
的切点为
，
则
，解得
.
故答案为：
.
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
__________.
【答案】
【详解】由
得
，
，
故曲线
在
处的切线方程为
；
由
得
，
设切线与曲线
相切的切点为
，
由两曲线有公切线得
，解得
，则切点为
，
切线方程为
，
根据两切线重合,所以
，解得
.
故答案为：
4．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数
，则曲线
在点
处的切线与两坐标轴
所围成的三角形的面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
则
，
即该切线方程为
，即
，
令
，则
，令
，则
，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积
.
故选：A.
5．（2025·天津·高考真题）已知函数
(1)
时，求
在点
处的切线方程；
(2)
有3 个零点，
且
.
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明
．
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析.
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
，
则
，则
，且
，
则切点
，且切线的斜率为，
故函数
在点
处的切线方程为
；
（2）（i）令
，
，
得
，
设
，
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则
，
由
解得
或
，其中
，
；
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
且当
时，
； 当
时，
；
如图作出函数
的图象，
要使函数
有3 个零点，
则方程
在
内有个根，即直线
与函数
的图象有个交点.
结合图象可知，
.
故
的取值范围为
；
（ii）由图象可知，
，
设
，则
，
满足
，由
可得
，
两式作差可得
，
则由对数均值不等式可得
，
则
，故要证
，
即证
，只需证
，
即证
，又因为
，则
，
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所以
，故只需证
，
设函数
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减；
故
，即
.
而由
，
可知
成立，故命题得证.
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）当
时，则
，
，
可得
，
，
即切点坐标为
，切线斜率
，
所以切线方程为
，即
.
（2）解法一：因为
的定义域为
，且
，
若
，则
对任意
恒成立，
可知
在
上单调递增，无极值，不合题意；
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，
由题意可得：
，即
，
构建
，则
，
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可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
；
解法二：因为
的定义域为
，且
，
若
有极小值，则
有零点，
令
，可得
，
可知
与
有交点，则
，
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，符合题意，
由题意可得：
，即
，
构建
，
因为则
在
内单调递增，
可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
.
7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线
关于直线
对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若
在
存在极值，求a 的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)存在
满足题意，理由见解析.
(3)
.
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
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则
，
据此可得
，
函数在
处的切线方程为
，
即
.
（2）令
，
函数的定义域满足
，即函数的定义域为
，
定义域关于直线
对称，由题意可得
，
由对称性可知
，
取
可得
，
即
，则
，解得
，
经检验
满足题意，故
.
即存在
满足题意.
（3）由函数的解析式可得
，
由
在区间
存在极值点，则
在区间
上存在变号零点;
令
，
则
，
令
，
在区间
存在极值点，等价于
在区间
上存在变号零点，
当
时，
，
在区间
上单调递减，
此时
，
在区间
上无零点，不合题意;
当
，
时，由于
，所以
在区间
上单调递增，
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所以
，
在区间
上单调递增，
，
所以
在区间
上无零点，不符合题意；
当
时，由
可得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故
的最小值为
，
令
，则
，
函数
在定义域内单调递增，
，
据此可得
恒成立，
则
，
由一次函数与对数函数的性质可得，当
时，
，
且注意到
，
根据零点存在性定理可知:
在区间
上存在唯一零点
.
当
时，
，
单调减，
当
时，
，
单调递增，
所以
.
令
，则
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，
所以
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，
所以函数
在区间
上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数
得取值范围是
.
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1．求下列函数在给定点的导数：
（1）
在
处的导数；
（2）
在
处的导数．
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】
【详解】（1）因为
可以看作函数
和
的复合函数，
所以
，
所以当
时，
；
（2）因为
可以看作函数
和
的复合函数，
所以
，
所以当
时，
.
2．已知函数
，且
，求
．
【答案】
【详解】解：因为
，所以
，因为
，所以
，
解得
3．已知函数
满足
，求
在
的导数．
【答案】
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【详解】解：因为
，所以
，所以
，解得
4．已知函数
.
(1)求这个函数的导数；
(2)求曲线
在点
处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）
；
（2）由（1），
，又
，
则切线方程满足
.
5．设曲线
在点
处的切线与直线
垂直．求a 的值．
【答案】
【详解】解：
，
，
所以在点（0,1）处的切线斜率为
，
又因为切线与直线
垂直，
，
.
