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3.1 导数的概念及运算
一、导数的概念
知识点1 平均速度
1．平均速度：我们把位移s看成关于时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间段[t ，t ]上的平均速度v＝
1 2
s(t )−s(t )
2 1 ．
t −t
2 1
2．物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的快慢．
知识点2 瞬时速度
1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
2．瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度v就无限
趋近于t＝t 时的瞬时速度．
0
3．设物体运动的时间与位移的函数关系为 s＝s(t)，则物体在 t 时刻的瞬时速度为 v＝
0
s(t +Δt)−s(t )
lim 0 0 ．
Δt
Δt→0
【注意】(1)“Δt→0”读作“Δt无限趋近于0”，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，
即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt始终不能为零．
s(t +Δt)−s(t )
(2)当Δt→0，比值 0 0 趋近于一个确定的常数时，此常数才称为物体在 t＝t 时的瞬时速
0
Δt
度．
s(t +Δt)−s(t ) s(t +Δt)−s(t )
(3)“lim”意为极限，lim 0 0 ＝l表示当Δt→0时， 0 0 以常数l为极限．
Δt Δt
Δt→0
知识点3 求曲线在某点处切线的斜率或方程
1．切线的斜率：当点 P无限趋近于点P 时，割线P P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置
0 0
的 直 线 P T 称 为 曲 线 y ＝ f (x) 在 点 P (x ， f (x )) 处 的 切 线 ， 则 切 线 P T 的 斜 率 k ＝
0 0 0 0 0 0
f (x +Δx)−f (x )
lim 0 0 ．
Δx
Δx→0
2．切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋
近于点P ，于是割线P P无限趋近于点P 处的切线P T，这时，割线P P的斜率k无限趋近于点P
0 0 0 0 0 0
处的切线P T的斜率k ．
0 0
【注意】(1)不管点P在点P 左侧附近，还是右侧附近，割线P P的斜率k的表达式是一样的．
0 0
(2)极限的几何意义：曲线y＝f (x)在x＝x 处的切线斜率．
0知识点4 导数的概念
1．平均变化率
对于函数y＝f (x)，设自变量x从x 变化到x ＋Δx，相应地，函数值y就从f (x )变化到f (x ＋Δx)．
0 0 0 0
Δy Δy
这时，x 的变化量为 Δx，y 的变化量为 Δy＝f (x ＋Δx)－f (x )．我们把比值 ，即 ＝
0 0 Δx Δx
f (x +Δx)−f (x )
0 0 叫做函数y＝f (x)从x 到x ＋Δx的平均变化率．
0 0
Δx
2．导数
Δy Δy
如果当Δx→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f (x)在x＝x 处
Δx Δx 0
可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x 处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x )或y'| ，
0 0 x＝x
0
Δy f (x +Δx)−f (x )
即f ′(x )＝lim ＝lim 0 0 ．
0 Δx→0 Δx Δx→0 Δx
Δy f (x +Δx)−f (x )
【注意】(1)平均变化率 ＝ 0 0 的几何意义就是函数y＝f (x)图象上的两点(x ，f (x ))
Δx Δx 0 0
与(x ＋Δx，f (x ＋Δx))所在直线的斜率．
0 0
(2)在导数定义中增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪一种形式，相应的Δy也必须选择
对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式．
知识点5 导数的几何意义
函数y＝f (x)在x＝x 处的导数的几何意义是曲线y＝f (x)在点P(x ，f (x ))处的切线的斜率．也就是
0 0 0
说，曲线y＝f (x)在点P(x ，f (x ))处的切线的斜率是f ′(x )．相应地，切线方程为y－f (x )＝f ′(x )(x
0 0 0 0 0
－x )．
0
【注意】切线的斜率k只与横坐标x 有关，与Δx无关．
0
利用导数的几何意义判断函数的变化
若f ′(x )＝0，则函数的图象在x＝x 处切线斜率k＝0；
0 0
若f ′(x )＞0，则函数的图象在x＝x 处切线斜率k＞0，则函数在x＝x 附近单调递增，且f ′(x )越大，
0 0 0 0
说明函数图象变化得越快；
若f ′(x )＜0，则函数的图象在x＝x 处切线斜率k＜0，且函数在x＝x 附近单调递减，且|f ′(x )|越大，
0 0 0 0
说明函数图象变化得越快．
【注意】f ′(x )的正负决定增减，|f ′(x )|的大小决定快慢．
0 0
知识点6 导函数(导数)
对于函数y＝f (x)，当x＝x 时，f ′(x )是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我
0 0
们称它为 y＝f (x)的导函数(简称导数)．y＝f (x)的导函数有时也记作 y′，即 f ′(x)＝y′＝
f (x+Δx)−f (x)
lim ．
Δx
Δx→0【注意】(1)f ′(x )是具体的值，是数值．
0
(2)f ′(x)是函数f (x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数．
二、导数运算
知识点1 基本初等函数的求导公式
1．几个常用函数的导数
原函数 导数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝x f ′(x)＝1
f (x)＝x2 f ′(x)＝2x
f (x)＝x3 f ′(x)＝3x2
1 1
f (x)＝ f ′(x)＝－
x x2
1
f (x)＝❑√x f ′(x)＝
2❑√x
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝αxα-1
f (x)＝sin x f ′(x)＝cos x
f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin x
f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝ax ln a
f (x)＝ex f ′(x)＝ex
1
f (x)＝log x(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝
a xlna
1
f (x)＝ln x f ′(x)＝
x
m
m m −1
【注意】(1)对于根式f (x)＝√n xm，要先转化为f (x)＝
xn
，所以f ′(x)＝ xn ．
n
(2)三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的改变．可用口诀记忆：正弦求导
数，弦变符不变；余弦求导数，弦变符也变．
知识点2 导数的四则运算法则
f (x)±g(x)的导数
两个函数f (x)和g(x)的和(或差)的导数：[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)．
【注意】推广式：[f (x)±f (x)±…±f (x)]′＝f ′ (x)±f ′ (x)±…±f ′ (x)．
1 2 n 1 2 nf (x)g(x)和f (x)的导数
g(x)
1．[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf (x)]′＝cf ′(x)．
[f (x)]
' f'(x)g(x)−f (x)g'(x)
2． ＝ (g(x)≠0)．
g(x) ［g(x)］ 2
【注意】积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；商的导数公式，分母平方，
分子用“减号”．
知识点3 复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这
个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．
复合函数的导数
一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝
g(x)的导数间的关系为y′ ＝y′ ·u′ ．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
x u x
【注意】(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；求导由外向内，并保持对外层函数求导时，
内层不变的原则．
(2)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．
(3)该公式可以推广至多层复合函数．
考点一 导数的概念与运算
考点二 在某点的切线问题
考点三 过某点的切线问题
考点四 已知切线（斜率)求参数
考点五 公切线的问题
考点六 切线条数与距离问题考点一 导数的概念与运算
1．（25-26高三上·江西上饶·期中）定义在 上的函数 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
2．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数 在 处可导，且 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（25-26高三上·广东汕头·期中）（多选）下列求导不正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
4．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）求下列函数的导数：
(1) ；
(2)
(3)
(4) ；
(5) ；
(6)
5．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）求下列函数导数
(1) ；
(2) ；6．（25-26高三上·天津·阶段检测）求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
考点二 在某点的切线问题
7．（25-26高三上·广东东莞·期中）已知函数 在 处的切线方程为 ，则 的值为
（ ）
A． B．3
C．4 D．5
8．（江苏盐城市2026届高三数学考前指导卷）在平面直角坐标系 中，点 在曲线 ： 上且在第
三象限内．若曲线 在点 处的切线为 ，则实数 ________．
9．（2026·河北张家口·二模）已知曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则
________．
10．（25-26高三上·天津静海·期中）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间．
11．（2026·安徽·模拟预测）函数 的图象在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
12．（25-26高三上·北京·期中）函数 在 处的切线方程为______．
考点三 过某点的切线问题13．（25-26高三上·江西上饶·期中）已知曲线 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求曲线 过原点 的切线方程．
14．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数 图象关于点 对称．
(1)求a，b；
(2)若过点 存在三条直线与曲线 相切，求实数m的取值范围．
15．（25-26高三上·辽宁抚顺·期中）已知 是函数 的导函数，且 ．
(1)求 的解析式；
(2)若曲线 存在过点 的切线，求实数 的取值范围．
16．（2026·河北雄安·三模）过点 可向曲线 作三条切线，则实数 的取值范围为________．
17．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程是
．
(1)求 ， 的值；
(2)求曲线 过点 的切线方程．18．（25-26高三上·广东惠州·期中）过点 作函数 图像的切线，则切线方程为__________.
考点四 已知切线（斜率)求参数
19．（25-26高三上·天津静海·期中）已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则
（ ）
A． B． C． D．
20．（重庆市巴蜀教育集团2025-2026学年高三上学期5月期中考试数学试题）函数 在 处的
切线与 轴平行，则实数 （ ）
A． B． C．0 D．1
21．（2026·广东深圳·二模）若直线 是曲线 的一条切线，则 ___________．
22．（2026高三·全国·专题练习）若曲线 在 处的切线方程为 ，则实数 的值
为（ ）
A． B．1 C． D．2
23．（25-26高三上·辽宁鞍山·期中）已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
24．（25-26高三上·广东东莞·期中）如图，函数 的图象在点P处的切线方程是 ，则
（ ）
A． B．2 C．0 D．3考点五 公切线的问题
25．（25-26高三上·湖北·期中）若直线既是曲线 在 处的切线，也是曲线 的切线，则实数
_________．
26．（25-26高三上·甘肃·期中）已知两函数 ， 的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则
（ ）
A．0 B．1 C．0或 D．0或1
27．（25-26高三上·广东韶关·期中）若曲线 在点 处的切线与曲线 相切，则正数
（ ）
A． B．1 C．2 D．3
28．（25-26高三上·湖南长沙·期中）若曲线 在点 处的切线也与曲线 相切，则
________．
29．（2026·河北·二模）若函数 的图象在点 处的切线恰好与函数 的图
象切于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
30．（2026·湖南湘西·三模）若直线 与函数 和 的图象均相切，则实数 的最大值
为___________．
考点六 切线条数与距离问题
31．（25-26高三上·黑龙江·月考）曲线 上的点到直线 距离的最小值为___________．
32．（2025·河北·模拟预测）已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线 的距离的最小
值为______.
33．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线 上任意一点，则点P到直线 的
距离的最小值为（ ）A． B． C． D．
34．（2026高二·全国·专题练习）已知函数 ， 的导函数为 ．判断经过点 的曲线
的切线有多少条.
35．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点 可作曲线 的切线条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
36．（24-25高三上·安徽·月考）已知函数 ，则函数 与函数 的公切线有
___________条．
1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知 ，则 与 的公切线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
2．（上海市虹口区2025-2026学年第二学期期末学生学习能力诊断测试高三数学试题）已知函数 是定义
在 上的奇函数，且 ，则函数 的表达式可以是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知定义域为R的函数 的导函数为 ，则 ＝
（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·天津静海·期中）若函数 ，则（ ）
A． B．C． D．
5．（24-25高三上·北京·期中）函数 的导函数 （ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高三上·贵州毕节·期中）已知函数 为奇函数，当 时，f (x)=ln(−x)+2x，则曲线 在
处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（25-26高三上·山东淄博·期中）已知函数 ，则曲线在点 处的切线在y轴上的截距为
（ ）
A．1－ln2 B．ln2－1 C．ln2 D．－ln2
8．（2026·辽宁辽阳·二模）函数 在 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则
的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．0
10．（25-26高三上·广东佛山·期中）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，则实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
11．（25-26高三上·江苏苏州·期中）曲线 与曲线 的公切线方程是（ ）
A． B．
C． D．12．（25-26高三上·江西·期中）（多选）已知函数 的公切线为 ，则
的值可能是（ ）
A．2 B． C．3 D．
13．（25-26高三下·重庆渝中·月考）（多选）已知 是定义在 上的奇函数，函数 在 处的切线与曲
线 相切于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．曲线 在 处的切线方程为
14．（25-26高三上·山东济南·期中）（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的值域是 .
B．曲线 在 处的切线方程为
C．若过点 至少可以作曲线 的三条切线，则
D．若点 是曲线 上的动点，则点 到直线 距离的最小值为
15．（25-26高三上·广东江门·期中）（多选）下列命题正确的有（ ）
A．若 ，则
B．已知函数 ，若 ，则
C．若 ，则
D．曲线 的一条切线的倾斜角 的取值范围是
16．（2026高三·全国·专题练习）曲线 上任意一点 到直线 的距离的最小值是________．17．（2026高三·全国·专题练习）已知 ，则 ______．
18．（25-26高三上·江苏无锡·期中）已知曲线 与 恰好存在两条公切线，则实数 的取值范围是
__________．
19．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）如图，函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则
+ =______．
20．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知 为正实数，且直线 与曲线 相切，则 的最大值为
__________.
21．（2026·河北沧州·二模）已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为 ，则
_________.
22．（2026·安徽·模拟预测）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 ________．
