文档文本内容
第01 讲 函数的概念及其表示
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：函数的概念...........................................................................................................................3
高频考点二：函数定义域...........................................................................................................................5
角度1：具体函数的定义域.................................................................................................................5
角度2：抽象函数定义域.....................................................................................................................7
角度3：已知定义域求参数.................................................................................................................8
高频考点三：函数解析式.........................................................................................................................10
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）........................................................................................10
角度2：换元法求解析式（换元必换范围）.....................................................................................12
角度3：待定系数法..........................................................................................................................13
角度4：方程组消去法......................................................................................................................16
高频考点四：分段函数.............................................................................................................................17
角度1：分段函数求值......................................................................................................................17
角度2：已知分段函数的值求参数....................................................................................................19
角度3：分段函数值域（最值）问题................................................................................................20
高频考点五：函数的值域.........................................................................................................................23
角度1：二次函数求值域...................................................................................................................23
角度2：分式型函数求值域...............................................................................................................25
角度3：根式型函数求值域...............................................................................................................27
角度4：根据值域求参数...................................................................................................................29
第三部分：典型易错题型.........................................................................................................................31
第一部分：基础知识
1、函数的概念
设
、
是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系
，使对于集合
中的任意一个数
，在
集合
中都有唯一确定的数
和它对应，那么称
为从集合
到集合
的一个函数，记作
，
.
其中：
叫做自变量，
的取值范围
叫做函数的定义域
与
的值相对应的
值叫做函数值，函数值的集合
叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等
的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
解析法（最常用）
图象法（解题助手）
列表法
就是把变量
，
之间的关
系用一个关系式
来
表示，通过关系式可以由
的值求出
的值.
就是把
，
之间的关系绘
制成图象，图象上每个点的
坐标就是相应的变量
，
的值.
就是将变量
，
的取值列
成表格，由表格直接反映出
两者的关系.
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函
数．
5、高频考点结论
5.1 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4)
的定义域是
.
(5)
(
且
)，
，
的定义域均为
.
(6)
(
且
)的定义域为
.
(7)
的定义域为
.
5.2 函数求值域
（1）分离常数法：
将形如
(
)的函数分离常数，变形过程为：
，再结合
的取值范围确定
的取值范围，从而确定
函数的值域.
（2）换元法：
如：函数
，可以令
，得到
，函数
可以化为
(
)，接下来求解关于t 的二次函数的值域问
题，求解过程中要注意t 的取值范围的限制．
（3）基本不等式法和对勾函数
（4）单调性法
（5）求导法
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的概念
典型例题
例题1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合
，
是
的函数，且满足
，则这样的函数
的个数为（ ）
A．31
B．33
C．41
D．133
【答案】C
【知识点】函数关系的判断
【分析】由
知
，且不能只
，
中至少还要有1 个函数
值等于1，然后进行分类列举即可.
【详解】因为
，若
，则
，所以
，
若仅
，设
，则
，
所以函数不能仅有
，在
中至少还要有1 个函数值等于1，具体分类如下：
1、若5 个函数值都为1，此时共有1 种情况；
2、若仅有4 个函数值为1,又
，4 个中取3 个函数值为1 有
种，另一个的取值有3 种情况，此
时共有
种；
3、若仅有3 个函数值为1，4 个中取2 个函数值为1 有
种，另外2 个的取值有
种，此时共有
种；
4、若仅有2 个函数值为1，4 个中取1 个函数值为1 有
种，另3 个的取值有1 种，此时有
种情况；
综上共有
，
故选：C.
例题2．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）设集合
，
，那么下面的
个图
形中，能表示集合
到集合
且以集合
为值域的函数关系的有（ ）
A．①②③④
B．①②③
C．②③
D．②
【答案】D
【知识点】函数关系的判断
【分析】根据函数的定义，且定义域为
，值域为
，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意知，函数的定义域为
，值域为
，
对于①中，函数的定义域不是集合
，所以①不正确；
对于②中，函数的定义域为集合
，值域为集合
，能表示集合
到集合
且以集合
为值域的函数关
系，
所以②正确；
对于③中，函数的定义域为集合
，值域不是集合
，所以③不正确；
对于④中，集合
中的元素在集合
中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确.
故选：D.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·甘肃庆阳·期中）下列图形中，可以表示函数（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】函数关系的判断
【分析】根据函数的定义判断即可.
【详解】作直线
，
，通过平移直线，只有B 选项的图象满足：其图象和直线至多有一个交点，
即只有B 选项符合题意.
故选：B.
2．（多选）（24-25 高三上·黑龙江·期中）已知下列集合
，
与对应关系
，则
：
为从
到
N 的函数的是（ ）
A．
，
，
：2 倍
B．
，
，
：2 倍
C．
，
，
：开平方
D．
，
，
：平方
【答案】ABD
【知识点】函数关系的判断
【分析】根据函数的定义逐项分析判断即可.
【详解】对于AB：因为
，符合题意，故AB 正确；
对于C：因为
，不符合函数定义，故C 错误；
对于D：因为
，符合题意，故D 正确；
故选：ABD.
高频考点二：函数定义域
角度1：具体函数的定义域
典型例题
例题1．（24-25 高三下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据二次根式被开方数大于等于零及分母不为零可得函数的定义域.
【详解】由题意得，
，解得
或
，
∴函数
的定义域为
.
故选：C.
例题2．（2025·上海·三模）函数
的定义域为 .
【答案】
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据被开根数非负及分母不为零列不等式组求解.
【详解】
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高三下·湖南永州·期中）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域
【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0 联立不等式组求解.
【详解】函数
，
，
，
．
故选：B.
2．（2025 高三下·全国·专题练习）函数
的定义域是 .
【答案】
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据分母不等于零和被开方数大于等于零列不等式，解不等式即可.
【详解】由题意得
，解得
.
故答案为：
.
角度2：抽象函数定义域
典型例题
例题1．（24-25 高三上·安徽亳州·阶段练习）函数
的定义域为
，函数
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域
【分析】根据
的定义域可得
，即可根据分式以及根式的性质求解.
【详解】由于
的定义域为
，故
，
因此
的定义域满足
，解得
且
，
故定义域为
，
故选：C
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域
为 ，函数
的定义域为 ．
【答案】
【知识点】抽象函数的定义域
【分析】先求得
的范围，进而可得
的定义域为
，利用
，进而求得函数
的定义域.
【详解】因为
由
，得
，所以
的定义域为
．
由
，得
，所以函数
的定义域为
．
故答案为：
．
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
．
【答案】
【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域
【分析】根据
的定义域为
，得到
的定义域为
，再由
求解.
【详解】解：因为
的定义域为
，
则
，即
，
所以
的定义域为
，
又
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
2．（2024 高三·全国·专题练习）（1）已知函数
的定义域是
，求函数
的定义域．
（2）已知函数
的定义域是
，求函数
的定义域．
【答案】（1）
；（2）
．
【知识点】抽象函数的定义域
【分析】（1）由括号内范围相同求解即可；
（2）定义域为自变量
的范围，先求出
范围，再求
的范围即可；
【详解】（1）由题意，
，则
，
解得
或
，
因此函数
的定义域为
．
（2）由题意，
的定义域为
，即
，
所以有
，
，
故函数
的定义域为
．
角度3：已知定义域求参数
典型例题
例题1．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数
在
上有意义，则实数a 的
取值范围为 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、已知函数的定义域求参数
【分析】先由题设得
在
上恒成立，再由一元二次函数性质列出关于a 的不等式组计算
即可得解.
【详解】由题意可知
在
上恒成立，
则
，
所以满足题意的实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
例题2．（2024 高三·全国·专题练习）（1）若函数
的定义域为
，则实数
的取值范
围是 ．
（2）若函数
的定义域为
，则实数
取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数
【分析】（1）根据条件，将问题转化成
无解，再分
和
两种情况讨论，即可求出
结果；
（2）根据条件，将问题转化成
的解集为
，再分
和
两种情况讨论，即可求出
结果.
【详解】（1）因为
的定义域为
，又
有意义需
，
所以
无解；当
时，方程无解，符合题意；
当
时，
，解得
．
综上实数
．
（2）因为函数
的定义域为
，所以不等式
的解集为
，
当
时，
恒成立，满足题意；
当
时，则
，解得
．
综上，实数
的取值范围是
．
故答案为：
.
精练高频考点
1．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域是
，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【知识点】已知函数的定义域求参数
【分析】分析可知
对任意实数
都成立，分
和
两种情况，结合
判别式列式求解.
【详解】由题意得
对任意实数
都成立，
当
时，
，符合题意；
当
时，满足
，解得
；
综上所述，实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
2．（24-25 高三上·上海杨浦·开学考试）已知函数
的定义域为R，则函数
的值域为
【答案】
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求指数函数在区间内的值域、一元二次不等式在实数
集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数
【分析】由题意在R 上
恒成立，求得
，再结合指数函数、分式型函数的性质求
的值域.
【详解】由题设知，在R 上
恒成立，
所以
，则
，故
，
所以
在
上单调递增，故
.
故答案为：
高频考点三：函数解析式
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）
典型例题
例题1．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】根据题意利用配凑法分析求解，注意函数的定义域.
【详解】因为
，
且
，所以
．
故选：D.
例题2．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数解析式.
【详解】依题意，
，显然
，
所以
.
故选：B
精练高频考点
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，则
．
【答案】
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】应用配凑法得出解析式.
【详解】因为
，所以
．
故答案为：
.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
满足
，求函数
的解析式．
【答案】
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】利用配凑法可求得函数
的解析式.
【详解】因为
．
故
．
角度2：换元法求解析式（换元必换范围）
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】通过换元法即可求解；
【详解】利用换元法令
求解析式即可．
令
，则
，且
，则
，
可得
，
所以
.
故选：B.
例题2．（23-24 高三上·河南商丘·期中）已知
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】已知f（g（x））求解析式、求二次函数的值域或最值
【分析】利用换元法求得函数解析式，进而求出函数的值域.
【详解】设
，则
，则
，
因此
，
，
所以函数
的值域为
.
故选：C
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】利用换元法令
求解析式，注意的取值范围．
【详解】令
，则
，因为
，则
，
，
所以
．
故选：B．
2．（2024 高二下·全国·专题练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】利用换元法求解即可.
【详解】令
，则
，
所以
，
所以
.
故选：A.
角度3：待定系数法
典型例题
例题1．（24-25 高三上·福建福州·期中）若函数
是二次函数，满足
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式
【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案.
【详解】设
（
），由
，则
，
由
，则
，
整理可得
，则
，解得
，
所以
.
故选：B.
例题2．（24-25 高三上·湖北随州·阶段练习）已知
是一次函数且
，求
的解析式．
【答案】
【知识点】已知函数类型求解析式
【分析】由函数
为一次函数可设
，再结合条件列方程求
，由此可得结论.
【详解】因为
是一次函数，
可设
，
因为
，
所以
，
即
，
所以
，解得
，
所以
的解析式是
．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数
满足
，则函数
的
解析式为
【答案】
【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式
【分析】设
，待定系数法求解.
【详解】设
，
因为
，
所以
，解得
，
所以
.
故答案为：
2．（24-25 高三上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求
的解析式.
(1)
是一次函数，且满足
；
(2)
.
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式
【分析】（1）设
，利用待定系数法确定函数解析式；
（2）将原式中的x 与
互换，建立方程组，求解即可.
【详解】（1）由题意，设
因为
，
所以
，
即
，
由恒等式性质，得
，
解得
，
则所求函数解析式为
.
（2）因为
，将原式中的x 与
互换，得
，
于是得关于
的方程组：
，
解得
.
角度4：方程组消去法
典型例题
例题1．（24-25 高三上·云南大理·阶段练习）若函数
满足关系式
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】求函数值、函数方程组法求解析式
【分析】先将已知等式中的
与
替换，列出方程组求得函数解析式，再赋值代入计算即得.
【详解】在
中，
用
替换
，可得：
，解得
,
故
故选：A.
例题2．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
满足
，则
．
【答案】
【知识点】函数方程组法求解析式
【分析】根据给定条件，利用方程组的方法求出函数解析式即得.
【详解】由
，可得
，
联立两式消去
，可得
．
故答案为：
.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·辽宁·期末）已知函数
满足
，则
.
【答案】
【知识点】函数方程组法求解析式
【分析】通过两次赋值将
替换成
和将
替换成
，构造方程组求解即可；
【详解】由
，①
将
替换成
，可得：
，②
再将①中
替换成：
，可得：
，③
①②相减可得：
，④
③④相加可得：
，
所以
，
故答案为：
2．（24-25 高三上·云南文山·期中）已知定义在
上的函数
满足
，则函数
的解析式是 ．
【答案】
【知识点】函数方程组法求解析式
【分析】利用方程组法求解即可.
【详解】由
，①
得
，②
由
得
，
所以
.
故答案为：
.
高频考点四：分段函数
角度1：分段函数求值
典型例题
例题1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数函数的判定与求值、对数函数的概念判断与求值
【分析】根据给定条件，依次判断代入求值.
【详解】函数
，则
，
所以
.
故选：A
例题2．（2025·江西·模拟预测）已知函数
满足
若
，则
（ ）
A．1
B．4
C．5
D．2024
【答案】A
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值
【分析】通过计算求得函数的周期即可得到答案.
【详解】因为
，所以
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，发
现从第6 项开始就是以3 为周期的周期函数，
，为3 的倍数，则
．
故选：A
精练高频考点
1．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数
，则
.
【答案】
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数函数的判定与求值
【分析】根据分段函数的解析式，先求出
，再求出
即可.
【详解】因为
，所以
.
故答案为：
2．（2025·广西河池·二模）已知
，求
.
【答案】9
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值
【分析】先判断自变量所属区间，再代入对应解析式，根据函数值所属区间再代入对应解析式解得结果.
【详解】
，
又
.
故答案为：
角度2：已知分段函数的值求参数
典型例题
例题1．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数
，若
，则实数a 的值为
（ ）
A．
或2
B．
或1
C．1
D．
【答案】D
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量
【分析】对实数a 分情况讨论列出等式即可得到结果.
【详解】当
时，因为
，得到
，解得：
,
又因为
在区间
上单调递增，只有这一个根，又因为
,故将
舍去；
当
时，由
，得到
，解得：
，
综上：实数a 的值为
故选：D
例题2．（2025·吉林·模拟预测）已知函数
，若
，则
．
【答案】
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量
【分析】设
，
，得到
，再结合分段函数讨论求解即可.
【详解】设
，
，
，
当
时，
，
，
无解，不符合题意；
当
时，
，
；
当
时，
，
，
无解，不符合题意；
当
时，
，
．
故答案为：
精练高频考点
1．（2025·福建厦门·三模）已知函数
若
，则
．
【答案】8
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、对数的运算
【分析】求出
，再判断
的范围，即可利用
求解.
【详解】
，
所以
，
因为
时，
，
所以
，
，解得
，
故答案为：
2．（2025·江西南昌·二模）已知函数
，若
，则
.
【答案】2
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、指数幂的运算
【分析】根据分段函数的解析式分类讨论求解即可.
【详解】由题意知，当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
，与
矛盾，此时
无解.
所以
.
故答案为：2
角度3：分段函数值域（最值）问题
典型例题
例题1．（2025·山东威海·三模）已知函数
的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】分段函数的值域或最值、根据分段函数的单调性求参数
【分析】由函数的单调性可得，当
时，
，然后结合其值域为
，即可得到
的值
域，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
在
单调递增，
在
单调递增，
所以当
时，
单调递增，则
，
又函数
的值域为
，
所以
时，函数
的值域要取到
的所有实数，
所以
，
当
时，即
时，函数
单调递增，
时，
，
当
时，
，即
，
所以
，即
的取值范围是
.
故选：C
例题2．（多选）（24-25 高三上·浙江温州·期末）若函数
存在最小值，则实数
的
值可以是（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．
【答案】ACD
【知识点】求对数函数的最值、根据二次函数的最值或值域求参数、分段函数的值域或最值
【分析】分类讨论，结合二次函数的性质求出
的取值范围即可得解.
【详解】当
时，
，此时函数无最小值；
当
时，
，
若
时，则
，此时函数有最小值；
若
时，则
的对称轴为
，
在
上先增后减，没有最小值；
若
时，
的对称轴为
，
当
时，要使函数有最小值，
则
即可，解得
.
当
时，要使函数有最小值，
则
，无解
.
综上，
，所以实数
的值可以是
.
故选：ACD
精练高频考点
1．（24-25 高三·上海·期中）已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围为
．
【答案】
;
【知识点】分段函数的值域或最值
【分析】根据
时，
，由值域为
判断出
，再求出
时
的范围，从而
，
解不等式即可.
【详解】当
时，
，因为值域为
，
所以
，即
，
此时
时，
，即
，
由值域为
得：
，
综上：
，
故答案为：
.
2．（24-25 高三上·上海普陀·期末）已知函数
有最小值，则
的取值范围为
．
【答案】
【知识点】求对数函数在区间上的值域、分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】根据二次函数、对数函数的性质及已知可得
，进而有
，结合分段函数解析式求
的范围.
【详解】由
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
上的最小值为2，
由
在
上单调递增，值域为
，
所以要使
有最小值，则有
，即
，则
，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
，
综上，
.
故答案为：
高频考点五：函数的值域
角度1：二次函数求值域
典型例题
例题1．（2025 高二下·湖南郴州）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】求二次函数的值域或最值
【分析】利用配方法可求出原函数的值域.
【详解】因为
，当且仅当
时，等号成立，
故函数
的值域为
.
故选：D.
例题2．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
，求当
时，
的最大值
．
【答案】
【知识点】求二次函数的值域或最值
【分析】对的取值范围进行分类讨论，由此求得
的最大值
的表达式.
【详解】二次函数
开口向上，
，
当
时，
，
；
当
时，
，
，
综上有
精练高频考点
1．（24-25 高三上·贵州六盘水·期末）如果函数
，那么函数
的值域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、利用函数单调性求最值或值域、求
二次函数的值域或最值
【分析】根据二次函数在区间
上的单调性，即可得到结果.
【详解】
，开口向上，对称轴为直线
，
在区间
上单调递增，
，
时，
的值域是
.
故选：C
2．（2025 高三上·河北保定·专题练习）二次函数
，其两实数根分别为0，4，且当
时，最大值为10
(1)求函数的解析式；
(2)设
，当
时，求函数的最小值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式、判断二次函数的单调性和求解单调区间
【分析】（1）根据根计算求参，再结合最大值是10，即可求出解析式；
（2）分类讨论结合单调性计算得出最小值.
【详解】（1）二次函数
有两实数根分别为0，4，所以
，
所以
，所以二次函数为
，对称轴为
，
当
时，当
时，最大值为
，所以
，所以当
时函数解析式为
，
当
时，当
时，最大值为
，所以
，所以当
时函数解析式为
.
（2）当
时函数解析式为
，开口向上，对称轴为
，
当
时，
时，函数单调递减，当
时，
，
当
时，
时，函数单调递减，
时，函数单调递增，当
时，
，
当
时，
时，函数单调递增，当
时，
；
角度2：分式型函数求值域
典型例题
例题1．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数
的值域（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】利用分离常数法求解.
【详解】因为函数
的定义域为
，
，
所以函数
的值域为
.
故选：D.
例题2．（24-25 高二下·上海·期中）函数
的值域是 .
【答案】
且
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】求出给定函数的定义域，再利用分离常数法求出函数的值域.
【详解】函数
中，
，则
且
，
于是
，由
，得
；由
，得
，
所以原函数的值域为
且
.
故答案为：
且
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的最大值为 ．
【答案】
/0.25
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】利用判别式法求函数值域即可.
【详解】原函数可以化简为
在
时有解，
当
时，
，
当
不等于0 时，
，
解得
且
不等于0，
故所求最大值为
.
故答案为：
.
2．（2025 高三·全国·专题练习）
，
，则
的值域为 ．
【答案】
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域
【分析】化简函数解析式可得
，令
，通过换元法结合函数单调性可
求函数值域.
【详解】由题意得，
．
令
，则
，则
可化为
．
∵函数
，
在
上均为增函数，
∴
在
上为增函数，
∵
时，
，
时，
，
∴
的值域为
．
故答案为：
.
3．（2025 高三全国·专题练习）已知函数
，求
的取值范围．
【答案】
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域
【分析】分离常数后，结合函数单调性即可求解.
【详解】
，容易知道函数
在
上单
调递减，
所以
或
.
所以
的取值范围为
.
角度3：根式型函数求值域
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域
【详解】因为
，所以
，即
．又
在
上单调递增，故
当
时，函数取最大值为
，即
的值域为
．
例题2．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数
的值域为
，则实数
的
值为 .
【答案】13
【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】令
，则
，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意可得
，解得
，
令
（
），则
，
所以
，开口方向向下，对称轴为
，
所以
在
单调递减，
故当
时，
有最大值，最大值为
，解得
.
故答案为：13.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·辽宁朝阳·期末）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】换元法，令
，得到
，从而得到函数值域.
【详解】令
，则
，
则
，
故当
时，
取得最大值，最大值为
，
所以
的值域为
.
故选：D
2．（23-24 高三上·四川内江·阶段练习）函数
的值域为 ．
【答案】
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数
值域
【分析】利用换元法将问题转化为二次函数的值域求解，即可得答案.
【详解】令
，
，则
，
则
，即为
，
其图象对称轴为
，则该函数在
上单调递减，
故
，
故函数
的值域为
，
故答案为：
角度4：根据值域求参数
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的值域是
，则
，
．
【答案】
3
【知识点】根据值域求参数的值或者范围
【分析】首先将函数变形为
，这个方程组有解，则判别式大于0，再由韦达定理即可求
的结果.
【详解】将函数变形为
．
当
时，这个关于x 的方程有解，
则
，即
．
由题设知
，
是方程
的两个根，
根据韦达定理，得
，
，
解得
，
．
当
时，
，
也满足题意．
故答案为：
例题2．（24-25 高三上·上海·阶段练习）已知
，若函数
的值域为
，则
的
取值范围是 ．
【答案】
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据值域求参数的值或者范围
【分析】根据给定条件，求出函数
值域包含
的
范围即可.
【详解】由函数
的值域为
，得函数
值域包含
，
则
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
精练高频考点
1．（23-24 高三上·福建龙岩·期末）已知函数
，若
的值域为
，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据二次函数的最值或值域求参数、根据分段函数的值域（最
值）求参数
【分析】首先分析函数
的取值情况，从而判断
，再结合
得到
，再
分
和
两种情况讨论，当
时结合函数
在
上的单调性，得到
，从而求出的取值范围.
【详解】对于函数
，当
时，
，当
时，
，
而
，即有
，依题意，
，又
，解得
，则
；
当
时，函数
在
上的取值集合为
，不符合题意，
当
，函数
在
上单调递增，
则
，所以
，解得
，
所以实数的取值范围是
.
故选：A
2．（23-24 高三上·山东·期中）若函数
的值域为R，则实数m 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据值域求参数的值或者范围
【分析】根据题意，先求得函数
和
交点坐标，然后分别画出两个函数图像，结
合图像，即可得到结果.
【详解】
据题意，函数
，
令
，整理得
，解得
或
，
即函数
和
交点的横坐标为
和0，
在同一坐标系内做出函数
和
的图像，如图所示，
要使函数
的值域为R，则
，
所以实数m 的取值范围为
．
故选：C．
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
的值域为
，则k 的取值范围是
．
【答案】
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据值域求参数的值或者范围
【分析】问题等价于函数
的值域包含
，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】函数
的值域为
，则函数
的值域包含
，
∴
，且
，解得
．
故答案为：
．
第三部分：典型易错题型
备注：求函数解析式容易忽略定义域
1．（24-25 高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知
，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】化简得
，由
，得
，即可得
的解析式.
【详解】因为
，
又因为
，所以
，
所以
的解析式为：
.
故选：B.
2．（24-25 高一下·山东潍坊·开学考试）已知
，则
.
【答案】
【知识点】已知f（g（x））求解析式、求对数函数的解析式
【分析】利用换元法即可得到函数解析式.
【详解】令
，因为
，则
，
，
，
，
则
.
故答案为：
.
备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“ ”的取值范围叫定义域
1．（24-25 高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数
的定义域为
，则函数
的
定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域、求对数函数的定义域
【分析】求出函数
的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数
，可得出关于
的不
等式，即可解得函数
的定义域.
【详解】对于函数
，
，则
，
所以，函数
的定义域
，
对于函数
，有
，即
，解得
.
因此，函数
的定义域为
.
故选：D.
2．（24-25 高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域为 .
【答案】
【知识点】抽象函数的定义域
【分析】根据抽象函数定义域性质计算求解即可.
【详解】由题意知
.
故答案为：
.
