文档文本内容
第05 讲 指数与指数函数
目录
第一部分：基础知识....................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾.............................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过.........................................................................................................3
高频考点一：指数与指数幂的运算.......................................................................................3
高频考点二：指数函数的概念...............................................................................................5
高频考点三：指数函数的图象...............................................................................................6
角度1：判断指数型函数的图象.....................................................................................6
角度2：根据指数型函数图象求参数..............................................................................8
角度3：指数型函数图象过定点问题............................................................................10
角度4：指数函数图象应用...........................................................................................13
高频考点四：指数（型）函数定义域...........................................................................15
高频考点五：指数（型）函数的值域.................................................................................17
角度1：指数函数在区间
上的值域......................................................................17
角度2：指数型复合函数值域.......................................................................................19
角度3：根据指数函数值域（最值）求参数.................................................................20
高频考点六：指数函数单调性.............................................................................................23
角度1：由指数（型）函数单调性求参数....................................................................23
角度2：根据指数函数单调性解不等式........................................................................24
高频考点七：指数函数的最值.............................................................................................26
角度1：求已知指数型函数的值域................................................................................26
角度2：根据指数函数最值求参数................................................................................27
角度3：含参指数（型）函数最值................................................................................30
第一部分：基础知识
（1）概念：式子
叫做根式，其中
叫做根指数，
叫做被开方数．
（2）性质：
①
(
且
)；
②当
为奇数时，
；当
为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是
(
，
，且
)；
②正数的负分数指数幂的意义是
(
，
，且
)；
③0 的正分数指数幂等于0；0 的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①
；
②
；
③
.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数
(
，且
)叫做指数函数，其中指数
是自变量，函数的定义域是
．
（2）指数函数
的图象和性质
底数
图象
性质
定义域为
，值域为
图象过定点
当
时，恒有
；
当
时，恒有
当
时，恒有
；
当
时，恒有
在定义域
上为增函数
在定义域
上为减函数
注意
指数函数
(
，且
)的图象和性质与
的取值有关，应分
与
来研究
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值
或范围
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
2．（2023·北京·高考真题）已知函数
，则
．
【答案】1
【知识点】求函数值、指数幂的运算、对数的运算
【分析】根据给定条件，把
代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数
，所以
.
故答案为：1
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：指数与指数幂的运算
典型例题
例题1．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知
，则
．
【答案】
【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值
【详解】因为
，所以
．因为
，则
，所以
，因此
．
例题2．（25-26 高一上·全国·课后作业）（1）化简：
；
（2）设
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）8
【知识点】指数幂的化简、求值
【详解】解：（1）原式
．
（2）令
，则
，
．
所以
．
精练高频考点
1．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知
是方程
的两根，求
的
值．
【答案】
【知识点】根式的化简求值
【详解】解：由题意，得
．又
，而
，所以
．所以
2．（24-25 高一下·广西南宁·开学考试）（1）计算：
（其中
）；
【答案】（1）
；（2）4
【知识点】指数幂的化简、求值、二倍角的正弦公式、辅助角公式
【分析】（1）由指数幂的运算性质即可求解；
【详解】原式
高频考点二：指数函数的概念
典型例题
例题1．（24-25 高一上·广东广州·期中）下列是指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】指数函数的判定与求值
【分析】运用指数函数的概念判断即可.
【详解】根据指数函数的特征：系数为1，底数满足
，自变量在指数位置可知，A，B，C 不满
足，D 满足．故选D.
答案：D.
例题2．（多选）（24-25 高一上·广东湛江·阶段练习）函数
是指数函数，则
的值不可
以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【知识点】根据函数是指数函数求参数
【分析】由指数函数的定义可得出关于实数
的等式与不等式，即可得出实数
的值.
【详解】因为函数
是指数函数，
则
，解得
.
故选：ACD.
精练高频考点
1．（25-26 高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【知识点】指数函数的判定与求值
【详解】根据指数函数定义可知，
是指数函数，B 正确：AD 均不是指数函数；
是指数
函数，C 正确．
2．（24-25 高一上·全国·课后作业）若函数
是指数函数，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【知识点】根据函数是指数函数求参数
【分析】利用指数函数定义可求解.
【详解】因为函数
是指数函数，所以需满足
，
解得
且
.故实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
高频考点三：指数函数的图象
角度1：判断指数型函数的图象
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】判断指数型函数的图象形状
【详解】因为该函数是偶函数，所以排除A，B．又
恒成立，所以C 正确．
例题2．（2025 高三下·全国·专题练习）已知
，则指数函数①
，②
的图象为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状
【分析】根据指数函数的性质判断即可.
【详解】由
，
，
在
上单调递减，所以排除AB 选项；
令
，
，此时图象①
在②
的下方
因此C 项正确．
故选：C.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广东东莞·期中）函数
（
，且
）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、指数型函数图象过定点问题
【分析】利用指数函数的图象和性质以及图象的平移变换进行判断.
【详解】因为函数
（
，且
），
当
时，
是增函数，并且恒过定点
，
又因为
的图象在
的基础上向下平移超过1 个单位长度，故D 错误，C 正确；
当
时，
是减函数，并且恒过定点
，
又
的图象在
的基础上向下平移了不到1 个单位长度，故A，B 错误.
故选：C.
2．（24-25 高三上·福建莆田·阶段练习）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】判断指数型函数的图象形状
【分析】根据指数函数的图象特征，即可判断选项.
【详解】由
，
根据指数函数的图象，B 选项符合题意.
故选：B.
角度2：根据指数型函数图象求参数
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）若指数函数
的图象如图所示，则1，
a，b，c，d 由小到大的顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围
【详解】利用特值法求解，取
，可知
．
例题2．（2024 高二上·山东枣庄·学业考试）
的图象如图所示，
为常数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围
【分析】根据指数函数图象性质即可判断得出结论.
【详解】由
可得
，
由图知函数单调递减，故
，排除A，B 项；
由图知，当
时，
，
因
时，函数
为减函数，故得
.
故选：D.
精练高频考点
1．（多选）（23-24 高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数
的图象如图所示，其中
为常数，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、指数函数图像应用、由指数（型）的单调性求参数
【分析】根据
的单调性确定
，由
确定
.
【详解】
，由图知
为减函数，故
，所以
，故A 正确C 错误；
由图知
，所以
，故B 错误D 正确.
故选：AD
2．（2024 高三·全国·专题练习）如图是指数函数（1）
；（2）
；（3）
；（4）
的
图象，则
，
，，
与1 的大小关系是 ．
【答案】
【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围
【分析】利用取特殊交点的纵坐标就是各个底数的大小，即可比较大小.
【详解】作直线
与四个指数函数图象相交，
由图可得
，即
．
故答案为：
角度3：指数型函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（25-26 高一上·全国·课后作业）函数
的图象恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】指数型函数图象过定点问题
【详解】令
，解得
，且
，故函数
的图象恒过定点
．
例题2．（多选）（24-25 高一上·河南驻马店·期末）已知曲线
（
且
）过定点
，且
的坐标满足方程
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】ACD
【知识点】指数型函数图象过定点问题、基本不等式求积的最大值、条件等式求最值、基本不等式“1”的
妙用求最值
【分析】A 选项，先由指数函数特征求出
，故
，由基本不等式求出积的最大值；B 选项，
，解得
，变形得到
，求出最小值；C 选项，变形得到
，由基本不等式“1”的妙用求出最小值；D 选项，变形得到
，由基本不等
式“1”的妙用求出最小值；
【详解】A 选项，令
，即
，此时
，故
，
由题意得
，
由基本不等式得
，即
，解得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，A 正确；
B 选项，
，故
，解得
，
则
，
故当
时，
取得最小值，最小值为
，B 错误；
C 选项，
，
因为
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为
，C 正确；
D 选项，因为
，
，
所以
，
故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，D 正确.
故选：ACD.
精练高频考点
1．（24-25 高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x 的函数
（
，且
）的图象恒过定点
A，则点A 的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】指数型函数图象过定点问题
【分析】根据指数函数的性质判断.
【详解】令
，则
，所以函数图象恒过定点
.
故选：D.
2．（24-25 高一上·贵州贵阳·期末）已知函数
且
无论a 取何值时，
的图象
恒过定点A，且A 在直线
上，则
的最小值为 .
【答案】9
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、指数型函数图象过定点问题
【分析】由函数的
的解析式，可得函数恒过定点A 的坐标，再由点A 在直线上，可得m，n 满足的条
件，由“1”的活用及基本不等式，可得
的最小值．
【详解】函数
且
，当
时
，
可得
，可得
的图象恒过定点
，
而A 在直线
上，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
，即
，
时，取等号，
所以
的最小值为
故答案为：
角度4：指数函数图象应用
典型例题
例题1．（2025 高三下·全国·专题练习）若曲线
与直线
有两个公共点，则
的取值范围是
．
【答案】
【知识点】指数函数图像应用
【分析】画出曲线
与直线
的图象，由条件结合图象求
的范围.
【详解】画出曲线
与直线
的图象如图所示，
由图象可得，如果曲线
与直线
有两个公共点，
则
的取值范围是
．
故答案为：
.
例题2．（多选）（24-25 高一下·湖北·阶段练习）已知函数
，若
有四个不
等的实数解
，
，
，
，下列说法正确的是（ ）
A．
有最小值2
B．m 的取值范围是
C．
D．方程
有4 个不同的解
【答案】ACD
【知识点】求函数零点或方程根的个数、奇偶函数对称性的应用、指数函数图像应用、函数与方程的综合
应用
【分析】由题意作出函数
的图像，由图像即可判断AB；根据偶函数的性质及二次函数的对称性，结
合图象即可判断C；令
，数形结合即可判断D．
【详解】解：由题意作出函数
的图像，如图所示：
可得
，
，
，
，
所以
有最小值2，故A 正确；
有四个不等的实数解
，
，
，
，可得
，故B 错误；
因为
为偶函数，所以图象关于
轴对称，
又
的对称轴为直线
，
所以由对称性可知
，
，可得
，故C 正确；
令
，则方程
可化为方程
，
结合图像得
有4 个解
，且
，
，
，
，
因为
有最小值2，所以只有当
时，
有4 个不同的x 与之对应，
故方程
有4 个不同的解，故D 正确，
故选：ACD．
精练高频考点
1．（24-25 高一上·安徽铜陵·期末）已知函数
，关于x 的方程
有4 个不等实根，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】指数函数图像应用、函数与方程的综合应用、函数图象的应用、分段函数的性质及应用
【分析】先得到
或
，画出函数
图象，数形结合得到不等式，求出答案.
【详解】
，即
，
故
或
，
画出函数
图象，如图所示．
所以方程
或
有4 个不等根，
所以
或
或
，
解得
．
故答案为：
2．（24-25 高一上·上海长宁·期末）已知函数
有两个不同的零点，则实数
的取值范围
为 ．
【答案】
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用
【分析】令
，得到
，由函数
的值域，得到
大致图
像，从而得到实数
的取值范围.
【详解】令
，即
，
令函数
，
所以函数
的大致图像为
所以
.
故答案为：
.
高频考点四：指数（型）函数定义域
典型例题
例题1．（24-25 高三上·吉林长春·期中）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】求指数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式
【分析】令
，运算求解即可得函数的定义域.
【详解】令
，解得
且
，
所以函数
的定义域为
.
故选：D.
例题2．（24-25 高三上·广东·阶段练习）已知函数
，则
有（ ）
A．最小值2
B．最小值
C．最大值2
D．最大值
【答案】A
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求指数型复合函数的定义域、判断指数型复合函数的单调性
【分析】求出函数定义域并确定单调性，进而求出函数的最值.
【详解】函数
中，
，则函数
的定义域为
，
函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，
又
在
上单调递增，因此函数
在
上单调递增，
，
而
在
上值域为
，且
，则函数
无最大值.
故选：A
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广东广州·期中）函数
的定义域是 ．
【答案】
【知识点】求指数型复合函数的定义域、判断指数函数的单调性
【分析】解不等式
，可得出原函数的定义域.
【详解】要使函数
有意义，则
，变形可得
，
因为指数函数
在
上单调递增，则
，解得
，
故函数
的定义域是
.
故答案为：
.
2．（23-24 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）函数
在区间
上有意义，求
的取值范围.
【答案】
.
【知识点】求指数型复合函数的定义域、求已知指数型函数的最值
【分析】将问题转化为不等式
在区间
上恒成立，然后参变分离，利用单调性即可求
解.
【详解】因为函数
在区间
上有意义，
所以，不等式
在区间
上恒成立，
∵
，∴
，∴
.
记
，
∵
与
是
上的减函数，
∴函数
在
上的单调递增.
∴
时，
恒成立.
∴
，即
的取值范围是
.
高频考点五：指数（型）函数的值域
角度1：指数函数在区间
上的值域
典型例题
例题1．（23-24 高三上·江苏镇江·阶段练习）函数
的值域为 .
【答案】
【知识点】求指数函数在区间内的值域
【分析】根据
结合指数函数性质分析求解即可.
【详解】因为
，且
在
单调递减，
则
，且
，
所以
的值域为
.
故答案为：
.
例题2．（23-24 高三上·上海长宁·期中）函数
在区间
上的值域为 .
【答案】
【知识点】求指数函数在区间内的值域
【分析】根据指数函数性质分析求解.
【详解】因为
在区间
上单调递增，则
，
所以函数
在区间
上的值域为
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（23-24 高三上·新疆喀什·期末）
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】求指数函数在区间内的值域
【分析】根据函数的单调性，即可求解函数的值域.
【详解】函数
单调递减，所以函数的最大值为
，
最小值为
，所以函数的值域为
.
故选：D
2．（24-25 高三上·上海静安·阶段练习）函数
的值域是 .
【答案】
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求指数函数在区间内的值域
【分析】根据指数函数的单调性即可求解.
【详解】易知指数函数
在
上单调递减，
所以
，即该函数在
上的值域为
.
故答案为：
角度2：指数型复合函数值域
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）函数
的单调递减区间为 ；函数
的值域是 ．
【答案】
【知识点】求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性
【详解】令
，当
时，u 单调递增．而
在
上是减函数，所以函
数
的单调递减区间为
．又
，所以
．
例题2．（24-25 高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数
，
，则
的值域为
.
【答案】
【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数型复合函数的值域
【分析】由题意，利用换元法（令
）可将原函数变形为关于的二次函数，结合二次函数的图象与性
质即可求解.
【详解】令
，则
，
原函数可变形为
，
其图象为开口向上的抛物线，对称轴为
，
所以该二次函数在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，函数取到最小值，为
；
当
时，得
，
所以
在
的值域为
.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高一下·山西·期中）函数
的值域为 .
【答案】
【知识点】求指数型复合函数的值域、基本不等式求和的最小值
【分析】根据基本不等式求得
的范围，然后根据指数函数的单调性即可求解.
【详解】
，当且仅当
，即
时等号成立，
又
在
上单调递增，所以
，所以函数
的值域为
.
故答案为：
2．（24-25 高一上·吉林长春·期中）函数
在
上的值域为 .
【答案】
【知识点】求指数型复合函数的值域
【分析】利用换元法，结合二次函数、指数函数的知识来求得正确答案.
【详解】设
，由于
，所以
，
所以
，
根据二次函数的性质可知，当
时，
取得最小值为
，对应
；
当
时，
取得最大值为
，
所以
取得的值域为
.
故答案为：
角度3：根据指数函数值域（最值）求参数
典型例题
例题1．（24-25 高三下·江西赣州·开学考试）已知函数
的值域为
．若
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）
【分析】由题意可知即
有解，且
无最大值，分为
，
，
三种情况讨论
求解.
【详解】由
，可知
有解，且
无最大值，
即
有解，且
无最大值，
当
时，
有解，
无最大值，符合题意；
当
时，
，则
有解，
当
时，
有最大值，则
有最大值，不符合题意；
当
时，
有解需满足
，解得
，
此时
无最大值，
无最大值，满足题意．
综上，实数
的取值范围是
．
故选：A．
例题2．（24-25 高三上·北京西城·开学考试）已知函数
的值域为
，则实数a 的取值范
围是 .
【答案】
【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、求指数
函数在区间内的值域、分段函数的性质及应用
【分析】先分别求出分段函数在不同区间函数的值域，再结合函数值域为
,得出参数范围.
【详解】当
,
当
,
因为函数
的值域为
,所以
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（24-25 高三下·山东·阶段练习）已知函数
的值域为
，且
，则
.
【答案】
【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）
【分析】根据条件，利用指数函数的性质，即可求解.
【详解】由指数函数的性质可知
，
若
，则
，为常数，不合题意；
若
，则
，不合题意；
若
，则
，
因为函数
的值域为
，则
，
又
，则
，解得
，
所以
.
故答案为：
.
2．（24-25 高一上·湖南怀化·期中）已知函数
(1)当
时，求
的值域
(2)求
单调区间
(3)若
的最大值为9，求实数a 的值
【答案】(1)
(2)单调递增区间是
，单调递减区间是
(3)2
【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、求指数型复合
函数的值域
【分析】（1）先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域；
（2）利用复合函数单调性的结论同增异减求解；
（3）根据第二问的结论求解.
【详解】（1）令
，原函数化为
，当
时，
，
所以
，故
的值域为
.
（2）
在
上单调递减，在
上单调递增，
又因为
在
上单调递减，
所以函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是
.
（3）由（2）可知，函数
在
处取最大值，
所以
，所以
，所以
.
高频考点六：指数函数单调性
角度1：由指数（型）函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数
在
上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】由指数（型）的单调性求参数
【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数的单调性列式求出
的范围.
【详解】函数
在
上单调递增，而函数
是R 上的增函数，
则函数
在
上单调递增，于是
，
所以a 的取值范围为
．
故选：D
例题2．（2025·青海西宁·二模）已知函数
在区间
上单调递减，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、由指数（型）的单调性求参数
【分析】根据“复合函数”的单调性的判断方法：“同加异减”，可求参数
的取值范围.
【详解】因为
为
上的单调增函数，根据复合函数单调性可知，
在区间
上单调递
减，故
，解得
．
故选：B．
精练高频考点
1．（2025·河北秦皇岛·一模）设函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】由指数（型）的单调性求参数
【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由
在区间
上单调递减，则需要
在区间
上单调递增，
故对称轴
，则
，解得
，
故选：C
2．（24-25 高一上·山东日照·期末）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、由指数（型）的单调性求参数
【分析】根据复合函数的单调性求解判断.
【详解】令
，对称轴为
，又
是R 上增函数，
因为
是
上的增函数，
所以
，即
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：A.
角度2：根据指数函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（25-26 高一上·全国·课后作业）设
，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由指数函数的单调性解不等式
【详解】因为
，所以
，解得
.
例题2．（23-24 高一上·四川凉山·期中）若不等式
对任意的
恒成立，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由指数函数的单调性解不等式
【分析】利用指数函数单调性及不等式恒成立，将问题化为
在
上恒成立，即可求参数范
围.
【详解】由题设
，即
，则
对任意
恒成立，
所以
在
上恒成立，只需
，
对于
，其在
上单调递增，则
，所以
.
故选：C
精练高频考点
1．（24-25 高二下·浙江·阶段练习）已知函数
，则不等式
成立的实数
m 的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式
【分析】利用函数的单调性和奇偶性解抽象函数不等式可得.
【详解】
，定义域为
关于原点对称，所以
为偶函数，
又当
时，
为增函数；当
时，
为减函数，
所以
即
，
两边平方整理可得
，解得
，
所以不等式
成立的实数m 的取值范围为
.
故答案为：
.
2．（2026 高三·全国·专题练习）不等式
的解集为 ．
【答案】
【知识点】由指数函数的单调性解不等式
【分析】先将
转化为
，再利用指数函数的单调性即可得到不等式，即可求得结果.
【详解】
，
，即
，
即
，故不等式的解集为
．
故答案为：
高频考点七：指数函数的最值
角度1：求已知指数型函数的值域
典型例题
例题1．（24-25 高一上·安徽·期中）设
，若函数
在
上的最小值是2，则其在
上的最大值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【知识点】求二次函数的值域或最值、求已知指数型函数的最值
【分析】设
，将此函数转化为一元二次函数的最值分析求解即可.
【详解】
．设
，
则
．因为
，所以
，
当
时，
；当
时，
．
故选：A．
例题2．（24-25 高三上·上海·课后作业）函数
的最大值为 ．
【答案】16
【知识点】求已知指数型函数的最值
【分析】首先求函数
的值域，再根据外层函数
的单调性，求函数的最大值.
【详解】设
，
，
所以
，
单调递减，
所以当
时，即
时，函数取得最大值
.
故答案为：16
精练高频考点
1．（23-24 高三下·河南新乡·期末）函数
的最大值为 .
【答案】4
【知识点】求二次函数的值域或最值、求已知指数型函数的最值
【分析】根据二次函数的性质得
，再由指数函数的性质即可求解.
【详解】因为
，所以
，
故函数
的最大值为4.
故答案为：4.
2．（23-24 高三上·全国·课后作业）函数
在区间［-1，1］上的最大值为 .
【答案】7
【知识点】求二次函数的值域或最值、求已知指数型函数的最值
【分析】利用换元法，令
，即可求出最大值.
【详解】令
，则
.
所以
即为
.
因为对称轴为
，所以
在.
上单调递增，
所以当
时，
为最大值.
故答案为：7
角度2：根据指数函数最值求参数
典型例题
例题1．（多选）（2025 高三·全国·专题练习）如果函数
在区间
上的最大
值是14，则a 的值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．
【答案】AC
【知识点】根据指数函数的最值求参数
【分析】令
，则
，然后按照
和
分类讨论，利用指数函数的单调性求得的范
围，然后结合二次函数的性质利用最大值列式求解即可.
【详解】令
，则
．
当
时，因为
，所以
，又函数
在
上单调递增，
所以
，解得
（负值舍去）.
当
时，因为
，所以
，又函数
在
上单调递增，
则
，解得
（负值舍去）．
综上知
或
．
故选：AC
例题2．（24-25 高三上·陕西渭南·期中）已知函数
．
(1)若
，求不等式
的解集
(2)若
，求
的单调区间
(3)若
有最大值3，求
的值
【答案】(1)
(2)单调递增区间是
，单调递减区间是
(3)1
【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据指数函数的最值求参数、由指数函数的单调性解不等式
【分析】（1）根据指数函数的单调性将指数不等式转化为一元二次不等式求解即可；
（2）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断
单调区间；
（3）令
，由指数函数的单调性知二次函数
有最小值
，进而得
，解之
即得参数值.
【详解】（1）当
时，
，
由
，得
，即
，解得
，
所以不等式
的解集
.
（2）当
时，
，
令
，由
在
上单调递增，在
上单调递减，
而
在R 上单调递减，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
即
的单调递增区间是
，单调递减区间是
．
（3）令
，
，
由于
有最大值3，所以
应有最小值
，
因此必有
．解得
，
即
有最大值3 时，a 为1.
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，若
的最大值为2，求
的值．
【答案】
【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据指数函数的最值求参数
【分析】设
，由
有最大值2，结合复合函数的单调性，知
有最小值
，则可将
问题转化为二次函数的最值问题，求解即可．
【详解】设
，则
．
∵
为减函数，又
有最大值为2，∴
有最小值
．
因此
，解得
．
的值为
.
2．（24-25 高三上·重庆沙坪坝·期末）已知函数
．
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)若
在
上的最大值为0，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据指数函数的最值求参数、由指数（型）的单调性求参数
【分析】（1）利用换元法结合同增异减可求参数的取值范围；
（2）利用换元法结合二次函数的性质可求参数的值.
【详解】（1）令
，则该函数为增函数，
因为
在
上单调递增，所以函数
在
上单调递增，
故
，即
.
（2）令
，则函数
的最大值为0，
①当
即
时，
，解得
；
②当
即
时，
，解得
，舍去；
综上，
角度3：含参指数（型）函数最值
典型例题
例题1．（24-25 高一上·重庆·阶段练习）已知函数
是偶函数，其中
为实数.
(1)求
的值.
(2)若函数
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】含参指数函数的最值、由奇偶性求参数、求对数函数的定义域
【分析】（1）由函数为偶函数可得
，化简整理即可得解；
（2）由（1）得
，令
，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为函数
是偶函数，
所以
，
即
，
所以
，
所以
；
（2）由（1）得
，
令
，
则
，对称轴为
，
当
时，
，
当
时，，
，
当
时，
，
综上所述，
.
例题2．（24-25 高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数
.
(1)若
在
上为增函数，求实数
的取值范围；
(2)若
在
上最小值为4，求实数
的值；
【答案】(1)
(2)
【知识点】含参指数函数的最值、由指数（型）的单调性求参数
【分析】（1）由复合函数的性质得
在
上是增函数，由此可得
的范围；
（2）换元后根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论．
【详解】（1）令
，由于
是增函数，若
在
为增函数，
则
在
上是增函数，
则
，所以
（2）令
即
最小值为4
若
则
时最小，得
.
若
则
时最小，得
无解.
若
时则
时最小，得
舍去.
.
精练高频考点
1．（2024 高二上·辽宁·学业考试）已知函数
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)当
时，
的最小值为
，求函数
的解析式；
【答案】(1)
(2)
【知识点】指数幂的化简、求值、含参指数函数的最值、指数函数最值与不等式的综合问题
【分析】（1）把
代入，结合指数幂的运算直接求解即得.
（2）令
，则
，将问题转化为求解
最小值问题，根据
和
两种情况分类讨论求解即可.
（3）利用换元法将恒成立问题转化为
恒成立，令
，则
，然后
利用函数的单调性求解最值即可求解.
【详解】（1）因为函数
且
，所以
，即
，解得
；
（2）令
，因为
，所以
，则
转化为
，
此抛物线开口向上，且对称轴
，
当
，即
时，
在
上单调递增，则
；
当
，即
时，
在
上单调的递减，在
上单调递增，
则
.
综上，
；
2．（23-24 高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求
在
上的最值；
(2)设函数
，若
存在最小值
，求实数
的值.
【答案】(1)最小值为
，最大值为8
(2)6
【知识点】求二次函数的值域或最值、含参指数函数的最值
【分析】（1）根据题意，设
，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结
果；
（2）根据题意，令
，结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果.
【详解】（1）当
时，
，
设
，则
，开口向上，对称轴
，
所以函数
在
上单调递减，
上单调递增，
所以
，
，
所以
在
上的最小值为
，最大值为8.
（2）
，
设
，当且仅当
，即
时取得等号，
所以
，
，对称轴
.
当
，即
时，
，在
上单调递增，
则当
时，
，解得
，不满足题意；
当
，即
时，
在
上单调递减，
上单调递增，
所以
时，
，解得
或
（舍去），
综上，实数
的值为6.
