文档文本内容
第05 讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................2
高频考点一：分离变量法...........................................................................................................................2
高频考点二：分类讨论法...........................................................................................................................7
高频考点三：等价转化法.........................................................................................................................12
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题.......................................................................................18
高频考点五：值域法解决双参等式问题...................................................................................................26
第一部分：基础知识
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式能成立（有解）问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端
是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量
的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：
，使得
能成立
；
，使得
能成立
．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法(
，
或
，
)求解．
3、等价转化法
当遇到
型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数
，进而只需满足
，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
（1）
,
,使得
成立
（2）
,
,使得
成立
（3）
,
,使得
成立
（4）
,
,使得
成立
5、值域法解决双参等式问题
,
,使得
成立
①
，求出
的值域，记为
②
求出
的值域，记为
③则
,求出参数取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离变量法
典型例题
例题1．已知函数
.
(1)当
在
处的切线是
时，求
的单调区间与极值；
(2)若
在
上有解，求实数
的取值范围.
【答案】(1)减区间
，增区间
，极小值
，无极大值.
(2)
【分析】（1）根据切线求得
，利用导数求得
的单调区间与极值.
（2）由不等式
分离参数
，然后利用构造函数法，结合导数来求得
的取值范围.
【详解】（1）
，
若
在
处的切线是
，
则
，
则
，
令
，得
，令
，得
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
且
在
处取得极小值
，无极大值.
（2）依题意，
①在
上有解，
①可化为
，
设
，
，
由（1）知
，当且仅当
时函数值为
，
所以当
单调递减；
单调递增；
所以
，
所以
的取值范围是
.
例题2．已知函数
其中
为常数.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若
，使
成立，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）由题意，将其等价转化为
在
有解，即
，令
，进而利用导数分析单调性求解即可.
【详解】（1）由
，得
，
则
，
故所求切线方程为
，即
.
（2）
，使
成立，
即
，使
成立，
则
在
有解，即
.
令
，
，
令
得
；令
得
，
故
在
单调递增，在
单调递减，
所以
，
则
，故
的最小值为
.
精练高频考点
1．已知函数
的极小值为
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，且存在
，使得
成立，求实数b 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据函数
的极小值为
，求得a，再利用导数的几何意义求解；
（2）由（1）知：得到
在
上递增，再将存在
，使得
成立，转化为存在
，使得
成立，令
，求得其最大值即可.
【详解】（1）因为函数
，
所以
，显然
，
因为函数
的极小值为
，
所以
，解得
，
此时当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故极小值为
，满足要求，
所以
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
；
（2）由（1）知：当
时，
，
所以
在
上递增，
因为存在
，使得
成立，即
，
所以存在
，使得
成立，
所以存在
，使得
成立，即
成立，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
取得最大值
，
又
，所以
，则实数b 的取值范围是
.
2．已知函数
，且
在
处取得极值．
(1)求m 的值及
的单调区间；
(2)若存在
，使得
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
.
【分析】（1）对函数求导，由
求参数，进而研究函数的单调区间；
（2）问题化为
在
上能成立，利用导数求
的最大值，即可得范围.
【详解】（1）由题设
，且
，即
，
所以
，当
时
，当
时
，
所以
的递减区间为
，递增区间为
，即
处取得极小值，满足，
综上，
，
的递减区间为
，递增区间为
；
（2）由题设
，即
在
上能成立，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递增，
当
时，
，即
在
上单调递减，
由
时
，
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，则
.
3．已知函数
（a 为实常数）．
(1)若
，求证：
在
上是增函数；
(2)当
时，求函数
在
上的最大值与最小值及相应的x 值；
(3)若存在
，使得
成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)答案见解析；
(3)
.
【分析】（1）利用导数证明函数的区间单调性即可；
（2）利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可；
（3）将问题化为
在
上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范
围.
【详解】（1）由题设
，则
，
则在
上有
，故
在
上是增函数，得证；
（2）由题设
，则
，
当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
所以最小值为
时
，最大值为
时
；
（3）由题设
在
上能成立，则
，
对于
，则在
上
恒成立，
故
在
上单调递增，且
时
，即在
上
恒成立，
所以
在
上能成立，
令
且
，则
，
对于
且
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递减，
当
时，
，即
在
上单调递增，
当
，
，即在
上
恒成立，
在
上
恒成立，则
在
上单调递增，故
，
所以
.
高频考点二：分类讨论法
典型例题
例题1．（24-25 高三上·江苏泰州·期中）已知函数
．
(1)求证：
；
(2)过点
作直线与函数
的图象均相切，求实数
的值；
(3)已知
，若存在
，使得
成立，求实数
的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）等价变形所证不等式，再构造函数，利用导数求出最大值即得.
（2）设出直线与函数
图象相切的切点，利用导数求出切线方程，再与
联立结合判别式求出
值.
（3）结合（1）的结论，按
分类，借助导数讨论得解.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
不等式
，
令
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，即
，
因此
，所以
.
（2）依题意，
，设直线与函数
图象相切的切点为
，
则切线的方程为：
，
又直线过点
，于是
，
整理得
，即
，令
，
求导得
，即
在
上单调增，又
，因此
，
切线的方程为
，由与函数
的图象相切，得
，
即
，于是
，解得
，
所以实数
的值是
.
（3）①当
时，
，则
，使
，符合题意；
②当
时，
，
，则
，又由（1）知，
，
因此
，不合题意；
③当
时，令
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
则
，
令
，求导得
，
由
，得
时；由
，得
时，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
因此
，即当
时，不合题意，
所以
的最大值为
.
例题2．（23-24 高三上·北京·阶段练习）已知函数
，
．
(1)若
在点
处的切线为
，求实数
的值；
(2)设函数
，求函数
的单调区间与极值；
(3)若存在
，使得
成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见详解
(3)
【分析】（1）求出
的导数
，根据
在点
处的切线为
，得
得解；
（2）求出
，判断
的正负，得解；
（3）令
，把题干中的问题转化为在
上有
，再利用导数研究
的
单调性，对
进行分类讨论，求出不同范围下的
，得解.
【详解】（1）
，
，又
在点
处的切线为
，得
，
即
，解得
.
（2）
，
，
，
令
，解得
，令
，解得
，
，
单调递增，
，
单调递减，
在
处取得极大值，极大值为
，无极小值.
（3）令
，
，使得
，
等价于在
上，
，
，
，
，
，
令
，
，令
，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
即
时，
在
上单调递减，
，则
，解得
，
，
，
当
即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，因为
，所以
，
则
，即
，不合题意，
综上，
的取值范围为
.
精练高频考点
1．（2025·新疆喀什·二模）已知函数
(1)当
时，求
的极值；
(2)若存在
，使得
，求
的取值范围．
【答案】(1)极大值为，极小值为
(2)
【分析】（1）结合导数分析函数
的单调性，进而求解极值；
（2）求导，分
，
，
三种情况分析求解即可.
【详解】（1）当
时，
，
则
，
令
，得
；令
，得
或
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
则
时，函数
取得极大值
，
时，函数
取得极小值
.
（2）由
，
，
则
，
当
时，
，此时
，函数
在
上单调递增，
则
，即
；
当
时，
，
则
时，
；
时，
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，即
，与
矛盾，不符合题意；
当
时，
，此时
，函数
在
上单调递减，
则
，即
恒成立，符合题意.
综上所述，
的取值范围为
．
2．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
的图象的一条切线方程是
.
(1)求
；
(2)若关于
的不等式
有解，求
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）设切点
，根据导数的几何意义求得
，结合
，构造
，应用导数研究其零点，即可求参数值；
（2）问题化为
有解，构造
研究不等式能成立求参数范围.
【详解】（1）设
的图象与直线
切于点
，则
①，
，则
，即
，代入①式得
.
令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，当且仅当
时取等号，
故
，即
.
（2）由题意得
有解，即
有解.
令
，则
，
若
，则
，则
，符合题意；
若
，即
，则
，不符合题意；
若
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，解得
.
综上，
的取值范围为
.
高频考点三：等价转化法
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若不等式
在区间
上有解，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
．
【分析】（1）求出
，分类讨论确定
和
的解得单调性；
（2）用分离参数法转化问题为不等式
在区间
上有解，引入函数
，
求出
的最小值即可得．
【详解】（1）由题意知函数
的定义域为
，
而
，
当
时，
恒成立，函数
在
上单调递增；
当
时，由
，得
，
由
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）因为不等式
在区间
上有解，
所以
在区间
上有解，此时
，
即
在区间
上有解，
令
，则
．
令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，所以
．
当
时
；当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，
综上可知，实数a 的取值范围是
．
例题2．（23-24 高二下·天津和平·阶段练习）已知函数
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
都有
求实数a 的取值范围；
(3)设
若
使得
成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
在
上单调递减，在
上单调递增.
(2)
(3)
【分析】（1）代入
，求导即可得出函数
的单调区间；
（2）
，都有
等价于
时，
恒成立，然后分类讨论求
即可.
（3）令
，即存在
，使得
，然后分类讨论求
即可求解.
【详解】（1）当
时，
，
令
，解得
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）
，都有
，
即
时，
恒成立,
,令
,
①当
，即
时,
，
，所以
在
单增，
所以
，满足题意.
②当
，即
时，
此时
，
，
i）当
时，即
时，
，
，所以
在
单增，
所以
，满足题意.
ii）当
时，即
时，
此时
，所以
，不满足题意.
综上所述：当
时，满足
时，
恒成立.
.
（3）令
，
即存在
，使得
，
即存在
，使得
，
，
i）当
时，此时在
上，
，
单减，
，即
，满足题意.
ii）当
时，此时在
上，
，
单增，
在
上，
，
单增.
，
，即
，
，不满足题意.
iii）当
时， 此时在
上，
，
单增，
，解得
，满足题意.
综上所述：
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式
（或
）转化为证明
（或
），进而构造辅助函数
；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·北京朝阳·开学考试）已知函数
．
(1)若
，求函数
的最小值；
(2)设函数
，求函数
的单调区间；
(3)若在区间
上存在
，使得
成立，求
的取值范围．
【答案】(1)1
(2)当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增
(3)
或
【分析】（1）
，第一步求函数的导数，第二步求极值点，分析零点两侧的单调性，求得最
小值；
（2）
，求导，根据函数的定义域是
，所以讨论
和0 的大小关系，分
和
两种情况讨论函数的单调性；
（3）根据（2）将问题转化为在
上存在
，使得
，讨论极值点
与定义域的关系，分
，
，
三种情况讨论函数的最小值，令
，求实数
.
【详解】（1）
的定义域为
，
当
时，
，
1
0
单调递减
极小值
单调递增
所以
在
处取得极小值1，函数没有极大值，
所以
的最小值为
．
（2）
，
，
①
时，即
时，
在
上
，在
上
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
②当
，即
时，在
上
，
所以函数
在
上单调递增．
综上所述：当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增．
（3）由题意可知在
上存在
，使得
成立，
即在
上存在
，使得
，
即函数
在
上的最小值
，由第（2）问可知：
①当
，即
时，
在
上单调递减，
∴
，∴
，又∵
，∴
，
②当
，即
时，
在
上单调递增，
∴
，
③当
，即
时，∴
，
∵
，此时不存在
使
成立，
综上可得所求
的范围是：
或
．
2．（2024·山东泰安·三模）已知函数
.
(1)讨论
的最值；
(2)若
，且
，求
的取值范围.
【答案】(1)最小值为
，无最大值.
(2)
.
【分析】（1）求得
，结合导数的符号，求得函数
的单调区间，进而求得其最值；
（2）把不等式转化为
，令
，利用导数求得函数的单调性与最值，进
而求得
的取值范围.
【详解】（1）.解：因为
的定义域为
，可得
.
当
时，令
，可得
；
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故当
时，
取得极小值，也是最小值，且最小值为
，无最大值.
（2）解：当
时，由
，可得
，
整理得
，即
，
令
，
则
，
由（1）知，当
时，
的最小值为
，即
恒成立，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
故当
时，
取得最大值
，即
，
故
的取值范围为
.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意
恒成立与存在性问题的区别．
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
典型例题
例题1．（24-25 高三下·天津·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)当
时，若对于任意
，总存在
，使得
，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求定义域，求导，分
和
两种情况，得到函数单调性；
（2）
在
上的最大值小于等于
在
的最大值，在（1）基础上得到
的最大
值，并求出
，从而得到不等式，得到
，令
，
，求导，得到其单调性，并结合特殊点函数值，得到答案.
【详解】（1）由
，定义域为
，
则
，
当
时，
，
故函数
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时，令
得
，令
得
，
故函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
综上所述，当
时，函数
的单调递增区间为
；
函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）当
时，若对于任意
，总存在
，使得
，
即
在
上的最大值小于等于
在
的最大值，
由（1）知，
在
上单调递增，在
上单调递减；
故
.
由
，
，则
，
由于
，故
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，
故
，
所以
，即
.
令
，
，
则
，
故
在
上单调递减，
又
，
所以当
时，
，
故m 的取值范围为
.
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，其中参数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)设函数
，存在实数
，使得不等式
成立，
求a 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，对分类讨论求解单调区间；
（2）不等式
成立，转化为
，然后求解函数的最大与最小值列出不等式求
解．
【详解】（1）
，
（1）当
时，
，
，
的减区间是
．
（2）当
时，
，
的减区间是
．
（3）当
时，
，
，
的增区间是
，
，
的减区间是
．
综上，当
时，减区间是
；当
时，增区间是
，减区间是
.
（2）
，
，因为存在实数
，使得不等式
成立，
，
，
，
,
，
，
单减，
，
，
单增．
．
，
，
，
．
例题3．（24-25 高三下·江苏盐城·阶段练习）已知函数
a>0，
.
(1)若函数
与
在
处有相同的切线，求实数b 的值；
(2)当
，
时，求证：
；
(3)当
时，记
，若存在
，使得
是自然对数的底
数.），求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）分别求出两个函数得导数，根据相同切线，则有相同得斜率和根即可求得；（2）构造函数
，求导根据单调性和最值即可比较大小；（3）对
进行分类讨论，构造函数求导根据
最值来说明.
【详解】（1）函数
则
，
因为函数
与
在
处有相同的切线，则在
有相同的函数值，
即
，
，解得
.
（2）当
时，
，
构造函数
，
，当
时，
，当x≥0，
，
则
，所以
在
上单调递增，且
，所以
；
当
时，
，当
，
，
，
，所以
；
（3）当
时，
，
求导得：
，当
时，
，
在
上单调递增，且
，当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，所以
，
，
，
，
，
令
，则
，所以
在
上单调递增，
，即
，由
，
可得
，
令
，
，对
求导得，
，
所以
在
上单调递增，
又
，所以
；
当
时，
，
在
上单调递增，且
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
所以
，
，
，
，
，令
，求导得
，所以
在
上单调递减，
，即
，由
，可得
，令
，
，对
求导得，
，所以
在
上单调递减，又
，所以
，综上，实数
的取值范围是
精练高频考点
1．（24-25 高三下·河南南阳·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
，使得
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由函数解析式明确定义域，求导，根据参数的取值范围，分类讨论，利用一次函数以及二
次函数的性质，结合导数与函数的单调性，可得答案；
（2）由题意可得
，根据（1）可得函数
在
上的单调性以及最大值，由函数
的解析式可得其单调性以及最大值，化简不等式，可得答案.
【详解】（1）由函数
，则其定义域为
，
求导得
，
令
，
当
时，
，令
得
，令
得
，
则
得
，
得
，
所以函数
单调递减区间为
，单调递增区间为
；
当
时，函数
为二次函数，由
，则令
得
或
，
当
时，函数
开口向上，
当
，即
时，
得
或
，
得
，
由
得
或
，
得
，
则函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
；
当
，即
时，
当且仅当
取等号，则
，
故函数
的单调递增区间为
；
当
，即
时，
得
或
，
得
，
由
得
或
，
得
，
则函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
；
当
时，函数
开口向下，显然
，
得
，
得
，由
得
，
得
，
则函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
综上所述，当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
；
当
时，函数
的单调递增区间为
；
当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
；
当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）由函数
，则函数
在
上单调递增，
故其最大值
，
当
时，由（1）可知函数
无最大值，不合题意；
当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
函数
在
上的最大值为
，
由题意可得：
，则
，解得
，
综上所述，
的取值范围为
.
2．（24-25 高二下·河南郑州·期末）已知函数
，
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
，
，使得
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数
求导，并因式分解，分
、
、
讨论，并比较两根大小，根据
的
取值范围，求函数
的单调区间；
（2）根据题意得
，根据函数性质分别求出两函数的最大值，比较大小得实数
的取值范
围.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
.
①当
时，由
可得
，由
可得
，
此时，函数
的增区间为
，减区间为
；
②当
时，即当
时，
由
可得
；由
可得
或
，
此时，函数
的增区间为
和
，减区间为
；
③当
时，即当
时，对任意的
，
恒成立且
不恒为零，
此时，函数
的单调递增区间为
；
④当
时，即当
时，
由
可得
；由
可得
或
，
此时，函数
的增区间为
和
，减区间为
.
综上所述，当
时，函数
的增区间为
，减区间为
；
当
时，函数
的增区间为
和
，减区间为
；
当
时，函数
的单调递增区间为
；
当
时，函数
的增区间为
和
，减区间为
.
（2）若
，
，使得
，则
，
，故
在
上单调递增，
当
时，
取得最大值1，即
.
由（1）知，当
时，
，
令
，得
，故
.
当
时，
无最大值，不符合题意.
综上所述：实数
的取值范围为
.
3．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知
，
，其中是自然对数的底数．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，
．存在
，
，使得
成立，试求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）先求导，然后对a 分类讨论，判断
符号的正负，从而可得单调区间；
（2）转化为
，
，进而可得a 的取值范围.
【详解】（1）由题
，
.
当
，则
，则此时
在
上单调递减；
当
，则
.
若
，即
时，令
得
，令
得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增；
若
，即
时，此时
在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）
时，由（1）可得
；
又
，则
，得
在
上单调递增，
则
.
又注意到存在
，
，使得
，
等价于
时，
，
则
，又
，
则
.
高频考点五：值域法解决双参等式问题
典型例题
例题1．（23-24 高一上·湖北·期末）已知函数
(1)当
时，解不等式
；
(2)已知
，当
时，若对任意的
，总存在
，使
成立，求
正实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
（2）先求
和
在区间
上的值域，然后列不等式组来求得
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
由
，
解得
或
，
所以不等式的解集为
.
（2）当
时，
，
对称轴为
，且
，
，
所以对任意的
，
.
时，
是增函数，
，
由
得
，
若对任意的
，总存在
，使
成立，
所以
，解得
，
所以正实数
的取值范围是
.
例题2．（24-25 高一下·四川泸州·期中）若存在实数对
，使得等式
对定义域中
每一个实数
都成立，则称函数
为“
型函数”.
(1)若函数
是“
型函数”，求
的值；
(2)若函数
是“
型函数”，求
和
的值；
(3)已知函数
，函数
是“
型函数”，对应的实数对
为
，当
时，
.若对任意
时，都存在
，使得
，求实数
的取值范
围.
【答案】(1)
(2)
，
(3)
【分析】（1）根据题中定义得出
，结合指数运算可求得实数
的值；
（2）根据“
型函数”的定义得出
，可得出
恒成立，即可得出
实数
、
的值；
（3）根据题意可知
在
的值域是
的子集，求出
，分析可知，问题等价于函数
在区间
上的值域为
的子集，然后对实数
的取值进行分类讨论，求出函数
在区间
上的值域，根据集合的包含关系可求得实数
的取值范围.
【详解】（1）已知函数
是“
型函数”，
根据“
型函数”的定义，
，
因为
，所以
，故
，可得
.
（2）因为函数
是“
型函数”，所以
，即
.
由题意可知
，所以
恒成立，
所以
，解得
，
.
（3）因为函数
是“
型函数”，对应的实数对
为
，所以
.
当
时，
；
当
时，则
.
当
时，
，
在
上单调递减.
故当
时，
，则
在
的值域为
.
因为对任意
时，都存在
，使得
，
所以
在
的值域是
的子集，
根据题意
，在等式
中，令
可得
，解得
，合乎题
意；
若函数
在区间
、
上的值域为
、
，则
，
，
对任意的
，则
，则
，且
，即
，
所以，问题等价于函数
在区间
上的值域为
的子集，
当
时，
，其对称轴为
.
①若
，即
，
在
上单调递增，
，
此时
为
的真子集，不合乎题意；
②若
，即
时，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，且
，
，
由题意可知，函数
在
上的值域为
的子集，则有
，
解得
，
③若
，即
，
在
上单调递减，
，
此时
不是
的子集，不合乎题意.
综上：
的取值范围是
.
精练高频考点
1．（24-25 高一上·山东淄博·阶段练习）“函数
的图像关于点
对称”的充要条件是“对于函数
定义域内的任意x，都有
”.若函数
的图像关于点
对称，且当
时，
.
(1)求
的值；
(2)设函数
（ⅰ）证明：函数
的图像关于点
对称；
（ⅱ）若对任意
，总存在
，使得
成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)4；
(2)（ⅰ）证明过程见解析；（ⅱ）
.
【分析】（1）由对称性得到
，故
；
（2）（ⅰ）计算得到
，得到
的图像关于点
对称；
（ⅱ）分离常数得到
在
上单调递增，求出
的值域为
，设
在
上的
值域为
，由题意得
，分
，
和
三种情况，结合对称性，得到
的单调
性，得到值域
，结合
得到不等式组，求出
的取值范围.
【详解】（1）函数
的图像关于点
对称，
故
，
令
得
；
（2）（ⅰ）证明：
，
故
，
故函数
的图像关于点
对称；
（ⅱ）
，
故
在
上单调递增，其中
，
，
故
的值域为
，
设
在
上的值域为
，由题意得
，
图象开口向上，对称轴为
，且
，
当
时，
若
，即
，函数
在
上单调递增，
由对称性可知，
在
上单调递增，故
在
上单调递增，
因为
，所以
，
所以
，由
得
，解得
，
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
由对称性可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
结合对称性可知，
或
，
因为
，所以
，
，
又
，
所以
，
所以当
时，满足
；
当
，即
时，
在
上单调递减，
由对称性可知，
在
上单调递减，故
在
上单调递减，
因为
，所以
，
所以
，由
得
，解得
，
综上，
的取值范围为
.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，
一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的
研究确定含参式子满足的条件；
二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；
三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
2．（24-25 高三上·江苏泰州·期中）已知函数
，
.
(1)若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(2)若对任意
，存在
，使得
，求
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可；
（2）根据任意性和存在性的性质，结合二次函数和一次函数在闭区间上的值域进行求解即可.
【详解】（1）因为对任意
，不等式
恒成立，
所以
即
对任意
恒成立，
则
，解得
，
故
的取值范围为
；
（2）设函数
在区间
的值域为A，
在区间
上的值域为B，
因为对任意
，存在
，使得
，所以
，
当
时，
，即函数
在区间
的值域为
，
函数
的对称轴为
，
，则
在
上单调递增，故
，
而
不是
的子集，不符合；
当
时，则
在
上单调递减，故
，
要使
，则
，解得
，
综上，
的取值范围是
.
3．（24-25 高一上·福建福州·期中）已知
是定义域为
的奇函数，当
时，
.
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在
的值域；
(3)我们知道：函数
的图象关于
轴成轴对称图形的充要条件是函数
为偶函数，有同学发
现：可以将其推广为：函数
的图象关于直线
成轴对称图形的充要条件是函数
为
偶函数.已知函数
的图象关于直线
对称，且当
时，
，若
，
，使得
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数的奇偶性以及
时的解析式，求
时函数的解析式，依据奇函数的性质，确
定
时的函数值即可；
（2）利用换元法以及二次函数的单调性即可求解；
（3）根据函数的对称性，求出
时函数的解析式，进而确定
的解析式，结合已知条
件以及二次函数的性质分情况分析即可确定实数
的取值范围.
【详解】（1）
当
时，
，
，
又
是奇函数，
，
.
（2）当
时，
，
令
，则
，
，
，
二次函数开口向上，对称轴为
，
当
时，
，
函数
在
的值域为
.
（3）
函数
的图象关于直线
对称，
由题意可得：函数
为偶函数，
，
，
当
时，
，
，
令
，其中
，
函数
在
的值域记为
，函数
在
的值域记为
，
由（2）知
，
，
，使得
，
即
，
只需
，
二次函数
开口向上，且对称轴为
，
①当
时，
在
单调递增，
，
，解得：
，
②当
时，
在
单调递减，
，
，解得：
，
③当
时，
在
单调递减，在
单调递增，
，
，解得：
，
综上：
的取值范围为：
.
