文档文本内容
第05 讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
目 录
模拟·基础演练.......................................................................................................................................1
题型01 一元二次不等式的基础解法.................................................................................2
题型02 三个二次的综合应用.............................................................................................6
题型03 分式与高次不等式的解法...................................................................................13
题型04 绝对值与指数对数不等式的解法.......................................................................18
题型05 含参一元二次不等式的解法...............................................................................25
题型06 含参不等式恒成立 / 能成立问题
.................................................................33
重难·创新演练.....................................................................................................................................44
真题·实战演练.....................................................................................................................................53
模拟·基础演练
考查重点：一元二次不等式的应用
题型01 一元二次不等式的基础解法
一、单选题
1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合
，
，则
的元素个数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解绝对值不等式及一元二次不等式可得集合
，再由交集的定义可得.
【详解】由
得
，即
，
又因为
，所以
，即
.
由
，解得
，所以
.
因此，
，所以
的元素个数为
.
2．（2026·江苏南京·三模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解不等式可化简集合A，然后由交集定义可得答案.
【详解】由题，
或
，则
.
3．（2026·福建龙岩·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得
，
再根据交集的概念得
.
4．（2026·天津静海·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题可得
，解得
或
，即
，
所以
.
5．若实数
，
，满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知可得a，b，c 大小不等，且b 在a，c 之间，取a=0 可排除两个选项，将
用
表示出即可得解.
【详解】因实数
，
，满足
，则a，b，c 大小不等，且b 在a，c 之
间，
取a=0，则
，即选项A，C 都不正确，
而
，即选项D 不正确，选项B 正确.
故选：B
6．（2026·江苏苏州·三模）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求解不等式
的解集得到
的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断关系.
【详解】由
，得
，即
，
则“
”是“
”的必要不充分条件.
7．（2026·北京·模拟预测）若直线
与圆
无公共点，则（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】A
【详解】由
得
，则圆心
，半径
.
因为直线
与圆
无公共点，
所以圆心
到直线
的距离
，
即
，化简得，
，解得，
或
.
二、填空题
8．（2026·河北沧州·三模）不等式
的解集为__________．
【答案】
【详解】原不等式可化简为
，即
，得
，
故不等式的解集为
【新考法】9．记
表示k 个元素的有限集，
表示非空数集E 中所有元素的
和，若集合
，则
_____，若
，则m 的最小值为_____.
【答案】
21
【分析】第一空，根据集合新定义可写出
的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出
，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出m 的范围，即可
求得答案.
【详解】当
时，
表示3 个元素的有限集，
由
可知
或
或
或
，
故
；
由题意知
，
故由
可得
，即
，
解得
或
（舍去），
结合
，故m 的最小值为21，
故答案为：
；21
三、解答题
【新情境】10．（2026·广东茂名·二模）某智能设备装有3 个独立运行的芯片
，
，
，设备正常工作
的条件是至少有2 个芯片正常运行，其中
，
正常运行的概率均为
，
正常运行的概率为
．
(1)若
，在恰有2 个芯片正常运行的条件下，求
正常运行的概率；
(2)若该设备正常工作的概率大于
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用条件概率及相互独立事件的概率计算即可；
（2）该设备正常工作，即有2 个或3 个芯片正常运行，结合相互独立事件的概率公式计算，得到关于
的
不等式组，求解可得
的取值范围．
【详解】（1）记事件M：恰有2 个芯片正常运行.
事件N：芯片C 的运行正常．
由题可知，
.
.
所以在恰有2 个芯片正常运行的条件下，C 的运行正常的概率为
.
（2） 若该设备正常工作，则恰有2 个或恰有3 个芯片正常运行.
所以该设备正常工作的概率为
．
所以
，结合
解得
，
所以
的取值范围为
．
题型02 三个二次的综合应用
一、单选题
1．一元二次不等式
的解为
，那么
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意得出a、b、c 的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【详解】一元二次不等式
的解为
，
所以
的解为
，且
，
由韦达定理得
，代入得
，
故选：D.
【新思维】2．已知不等式
有实数解．结论（1）：设
是
的两个解，则对
于任意的
，不等式
和
恒成立；结论（2）：设
是
的一个解，若总存在
，
使得
，则
，下列说法正确的是（ ）
A．结论①、②都成立
B．结论①、②都不成立
C．结论①成立，结论②不成立
D．结论①不成立，结论②成立
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选
项.
【详解】当
且
时，
的解为全体实数，故对任意的
，
与
的关系不确定，例如：
取
而
，所以
，故结论①不成立.
当
且
时，
的解为
，其中
是
的两
个根.当
此时
，但 值不确定，比如：
，取
，则
，但
，故结论②不成立.
故选：B
3．设集合
，
，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】若
的两个根分别为
，利用一元二次方程的根与对应不等式解集的关系得
，由韦达定理结合已知条件求
，进而可求
.
【详解】若
的两个根分别为
且
，
∴
且
，
，
∵
，且
，
∴
，
综上，可得：
.
故选：A.
4．已知函数
，满足
，且
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题设知
关于
对称且开口向上，根据二次函数的对称性
有
，
求解集.
【详解】依题意，有二次函数关于
对称且开口向上，
∴根据二次函数的对称性：若
，即有
，
∴
.
故选：C
5．已知
，关于
的不等式
的解集中有且只有个整数，则
的值可以是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【解析】本题首先可以令二次函数
，则开口向上且对称轴为
，然后结合题意与二次
函数对称性得出
，最后通过计算即可得出结果.
【详解】令二次函数
，
则二次函数
开口向上，且对称轴为
，
根据二次函数对称性可知：
若不等式
的解集中有且只有个整数，则需要满足
，
即
，解得
，
故选：D.
【新角度】6．设函数
，则“
”是“
”都恰
有两个零点的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据二次函数零点的分布情况，从充分性和必要性进行推理论证，即可容易判断选择.
【详解】显然
是
的最小值，若
有两个零点，
设
，且
，由
得
或
，
由题意
只有两个零点，因此
无解，
有两个不等实根，
即
，
，必要性得证，
若
，由于
，因此
有两个零点，
设为
，不妨设
，由
得
或
，
显然
无解，
有两个不等实根，
即
有两个零点，充分性得证，
故题中是充分必要条件，
故选：C.
7．已知区间
是关于x 的一元二次不等式
的解集，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】C
【分析】由题知
，
，
，则可得
，则
，利用基本不
等式“1”的妙用来求出最小值.
【详解】由题知
是关于x 的一元二次方程
的两个不同的实数根，
则有
，
，
，所以
，且
是两个不同的正数，
则有
，
当且仅当
时，等号成立，故
的最小值是
.
故选：C
二、多选题
8．已知关于
的不等式
的解集为
，则（ ）
A．
B．不等式
的解集为
C．
D．不等式
的解集为
或
【答案】ABD
【分析】由题知
，且方程
的解为
，根据韦达定理得
，由此根
据不等式的性质逐项求解即可.
【详解】因为不等式
的解集为
，
所以
，且方程
的解为
，故A 正确；
则
，即
，
因为
，所以
，即
，
则不等式
的解集为
，故B 正确；
，
，故C 错误；
，即
，
解得
或
，故D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
【新思维】9．已知函数
有两个零点，则实数
的取值范围是________．
【答案】
【分析】将函数零点个数问题转化为方程的解或两函数图象交点个数问题.分类讨论方程
根的
情况，当
时，去掉绝对值转化为新方程根的情况探讨；当
时，转化为函数
，
图象交点个数分析即可.
【详解】令
，得
，
设
，
，
记方程
的判别式
.
①当
，即
时，
恒有
，则
，
，
令
，得方程
，
其判别式
，
若
，则方程有两相等实根，即函数
有且仅有一个零点，不满足题意；
若
，
恒成立，即方程有两不等实根，即函数
有两个零点，满足题意.
故当
，或
时，函数
有两个零点；
②当
，即
，或
时，
在同一直角坐标系中分别作出
的图象，
由函数
的图象与
轴交于
，且斜率
，
而直线
恰为
的对称轴.
故结合图象可知，两函数在
无交点，在
恒有两交点
故
，或
时，函数
恒有两个零点.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【新情境】10．等差数列
的公差为d，关于x 的不等式
＋
＋c≥0 的解集为[0，22]，则使
数列
的前n 项和
最大的正整数n 的值是________．
【答案】11
【分析】由条件可得
，
，
，即
，所以
是单调递减数列，故
，然后分析
的正负，从而得到答案.
【详解】关于
的不等式
的解集为[0，22]
所以
，
，
所以
，
所以
是单调递减数列，故
，
令
得
，所以
前11 项为正，从第12 项起为负，所以前11 项和最大．
故答案为：11
四、解答题
11．设函数
．
(1)若函数
在
上不单调，求a 的取值范围；
(2)对任意
，都存在
，使得
成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二次函数单调性知对称轴在
之间，则
，解出即可.
（2）将题目转化为对任意的实数
关于y 的方程
有解，
∴
，对任意
恒成立，即转化为
，对任意
恒成立，然后设二次函数
，
，对对称轴分
，
和
讨论
即可.
【详解】（1）∵函数
在
上不单调，
∴
，即
，
所以实数a 的取值范围是
；
（2）由已知，对任意的实数
，
关于y 的方程
有解，
即对任意的实数
关于y 的方程
有解，
∴
，对任意
恒成立，
即
，对任意
恒成立，
记
，
，
①当
，即
时，
在
上单调递增，
则
，解得
或
，故
；
②当
时，
，解得
，故
；
③当
，即
时，
在
上单调递减，
则
，而
，故
，
综上所述a 的范围是
．
题型03 分式与高次不等式的解法
一、单选题
1．（2026·安徽滁州·模拟预测）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由集合的交集运算求解.
【详解】
,
则
.
2．（2026·吉林延边·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因
，
解得
或
，即
或
又
，则
.
3．（2026·河南·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
.
，
或
，
.
4．（2026·陕西榆林·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
所以
．
5．（2026·辽宁大连·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解不等式
，得到集合
，结合交集的运算即可求解.
【详解】解不等式
，即
解得
或
即
，则
.
【新角度】6．（2026·辽宁大连·模拟预测）数列
满足
，设
的
前
项和为
，若
，则实数
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用裂项相消法可求
，结合
可求实数
的取值范围，逐项判断后可得正确选项.
【详解】因为
，
故
，
由裂项相消法可得
，
故
，
因为
，故
，
故
，
故
，
，
而
，
，
，
，
故选：C.
二、多选题
7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知
，则（ ）
A．
的解集为
B．
的解集为
C．当
时，
的最小值为1
D．
，
恒成立
【答案】AC
【分析】根据分式不等式的解法、均值不等式求最值、作差法比较大小等方法逐一验证选项判断正误.
【详解】对于A：
等价于
，解得
或
，故A 正确，
对于B：
等价于
，即
，
整理得
，解得
，且
，故B 错误；
对于C：当
时，
，
当且仅当
时取等号，故C 正确；
对于D：
，
，即
，故D 错误.
8．（2026·河南商丘·模拟预测）已知函数
，若
的解集为
或
，
则（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．
的图象的对称中心的纵坐标为
D．不等式
的解为
【答案】ABD
【分析】先由
的解集可得
是函数的极值点也是函数的零点，进而可得
值及函数解析式，
再根据函数的解析式判断函数的单调性及对称中心，以及解不等式可得.
【详解】因为
的解集为
或
，所以
为
的极值点也是
的零点，如
图:
由题意得
，则
，解得
，故A 正确.
又因为
为
的零点,所以
，解得
，
故
，则
，
当
时，
，故
在
上单调递增，故B 正确.
假设
的图象的对称中心为
，则对
，
，则
，
即
，所以
,解得
，
而
，
所以
的图象的对称中心的纵坐标为
，故C 错误.
又因为
，得
，
，
所以
，得
，故D 正确.
三、填空题
【新思维】9．（2025·江西·二模）已知对任意的
，不等式
恒成立，则
的取值集合为__________.
【答案】
【分析】利用分类讨论思想，分
和
两种情况，第一种情况直接解不等式，结合反比例函数,可得
答案；第二种情况利用数形结合思想，结合题意建立不等式组，可得答案.
【详解】当
时，由
，可得
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立，此时
不存在；
当
时，由
对任意的
恒成立，
作出
的大致图象，如图所示：
由题意可知
，又
是整数，
所以
或
或
.
故答案为：
.
10．不等式
的解集为 ____________
【答案】
或
或
【分析】将分式不等式化为
，应用穿根法求解集即可.
【详解】由题设得
，
所以
或
或
，故解集为
或
或
.
故答案为：
或
或
题型04 绝对值与指数对数不等式的解法
一、单选题
1．（2026·山东济宁·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题设
，
或
，
所以
.
2．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合
，
，则
的非空子集的个
数为（ ）
A．3
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【详解】由题设
，
，
所以
，则其非空子集的个数有
个.
3．（2026·河北衡水·模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由
，得
，解得
或
，
由
，得
或
，解得
或
，
因此“
”是“
”的充要条件.
4．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解分式不等式可得集合
，再根据指数不等式可得集合
，利用交集运算可得结果.
【详解】解分式不等式可得
，由
，
所以
.
故选：B
5．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】化简集合
，根据集合的交集运算求解即可.
【详解】∵
，∴
，即
，∴
，
∵
，∴
，解得
，∴
，
∴
.
故选：B
6．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分式不等式的解法求出集合A，根据对数函数的定义域求出集合B，再根据交集运算方法即
可得到答案．
【详解】
，
，
∴
，
故选：C．
7．（2025·江苏·模拟预测）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别求出集合
和集合
，根据交集的定义求出
.
【详解】由题意知，
，
，所以
.
故选：C.
【新思维】8．已知直线与曲线
和
分别相切于点
，
.有以下命题：
（1）
(
为原点)；（2）
；（3）当
时，
.则真命题的个数为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】先利用导数求斜率得到直线的方程，可得出
，分类讨论
的符号，计算化
简
并判断其符号即得命题①正确；由
结合指数与对数的互化，得
到
，即得
的范围，得命题②错误；构造函数
，研究其零点
，
再构造函数
并研究其范围，即得到
，得到命题③正确.
【详解】
，
，所以直线的斜率
，直线的方程为
，即
，同理根据
可知，直线的方程为
，故
，得
.
命题①中，若
，由
可得
，此时等式
不成立，矛盾；
时，
，因此，
若
，则
，有
，此时
；
若
，则
，有
，此时
.
所以根据数量积定义知，
，即
，故①正确；
命题②中，由
得
，得
或
，故②错误；
命题③中，因为
，由②知，
，
或
，
故当
时，即
，设
，则
，故
在
是增函数，而
，
，故
的根
，因为
，故构造函数
，
，则
，故
在
上单调递减，所以
，
故
，故③正确.
故选：C.
二、多选题
9．（2026·江西宜春·模拟预测）若
，则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】通过解分式不等式，根据指数函数，对数函数以及三角函数性质逐项分析即可.
【详解】由
，解得：
或
，
对于A，因为
，所以
，
由
，故A 正确；
对于B，由
，故B 错误；
对于C，由
，故C 正确；
对于D，由
，故D 正确．
三、填空题
【新思维】10．（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合
，集合
，则
__________．
【答案】
【分析】利用分段讨论的方法将集合
中方程的绝对值符号去掉，通过解方程得到集合
，通过解分式不
等式及高次不等式得到集合
，再根据交集的定义计算即可得解.
【详解】当
时，
，
令
，解得
，与
矛盾，故方程无解；
当
时，
，
等式恒成立，所以
都是方程的解；
当
时，
，
令
，解得
，与
矛盾，故方程无解，
所以
.
因为
等价于
，即
，
用穿根法可得不等式组的解为
或
，
所以
.
因为
，
，
所以
.
四、解答题
【新角度】11．（2025·上海长宁·二模）已知函数
的定义域
，对任意实数a，定义集合
．
(1)已知
，求
．
(2)已知
，若集合
只有一个元素，求a 的值；
(3)已知
，其中
且
，求证：集合
是一个区间．
【答案】(1)
(2)1
(3)见详解
【分析】（1）由题意可知，
即不等式
的解集，解此不等式即可得到结果；
（2）构造函数
，可知
即
的解集，将集合
只有一个元素，转化为方程
有唯一解，且函数
在该点处与
轴相切.再借助导数，求
即可求出
的值
（3）构造函数
，可知
即
的解集，求导，令
，解得
两根
和1，通过讨论两根的大小情况，来研究
的正负，进而研究
的单调性，通过
的正负来
说明
的解集，即集合
必是一个区间.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
由题意可知
即不等式
的解集，
可化为
，整理可得
，
即
，解得
或
，
所以
.
（2）函数
的定义域为
，
由题意可知
即不等式
的解集，
令
，所以
即
的解集，
若集合
只有一个元素，即方程
有唯一解，
且函数
在该点处与
轴相切.
因为
，
（i）当
时，
恒成立，
在
上单调递增，
所以
，
无解，故不成立；
（ii）当
时，令
，解得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，即
，
即
，解得
.
经检验，当
时，
，
所以
只有一个解，且
，
符合题意，故a 的值为1；
（3）函数
的定义域为
，
由题意可知
即不等式
（
且
）的解集，
即
（
且
）的解集
令
，
则
，
①当
时，
恒成立，
单调递增，当
所以
的解集，即集合
必是一个区间；
②当
时，令
，解得
所以
在
上单调递增，在
和
单调递减，
且
，所以
的解集，即集合
必是一个区间；
③当
时，令
，解得
所以
在
上单调递增，在
和
单调递减，
且
，所以
的解集，即集合
必是一个区间；
题型05 含参一元二次不等式的解法
一、单选题
1． “
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求解不等式
，再根据充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为
，
因为当
时，必然满足
，所以“
”能推出“
”，充分性成立；
当
时，满足
，但不满足
，所以“
”不能推出“
”，必要性不
成立.
故选：A.
2．已知关于
的不等式
的整数解恰有4 个，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先对不等式
变形为
，再根据不等式
）的整数解恰有4 个，对
进行限制即可得出答案.
【详解】由
，得
，因为不等式
）的整数解恰有4 个，则
或
，所以
或
．
故选：
．
3．已知关于
的不等式
对任意
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】根据题意，分
和
两种情况讨论，即可求出
的取值范围．
【详解】当
时，不等式
化为
恒成立，
当
时，不等式
不能恒成立，
当
时，要使不等式
恒成立，需
，
解得
，
综上所述，不等式
对任意
恒成立，
的取值范围是
，
故选：A.
4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【详解】因关于
的不等式
的解集为
，
则
，即
，
则
，即
，
所以
，解得
或
．
二、多选题
5．（2026·河南开封·模拟预测）已知
，若关于
的方程
有两个不相等的
实数根
，
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
的最小值为4
C．关于
的不等式
的解集为
D．
是关于
的不等式
的一个解
【答案】ACD
【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以
，解得
，
因为
，所以
，即取
，A 正确；
选项B，由韦达定理
，则
，由A 选项可知
，且
，所以
，
，当
时，
单调递增，因此
，则
，无法取到最小
值4，B 错误；
C 选项，令
，代入原方程得
，即若
为原方
程两根，则
为
的两根，又因为
，
所以
，已知
，所以不等式解集为
，C 正确；
D 选项，将
代入得
，因为
，因此
，
即
是不等式的一个解，D 正确.
6．（多选）已知关于
的不等式
的解集为
或
，则下列选项中正确的是
（ ）
A．
B．不等式
的解集是
C．
D．不等式
的解集为
或
【答案】BD
【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可.
【详解】
关于
的不等式
的解集为
或
，
，故A 错误；
对于B、C 选项，已知
和3 是关于
的方程
的两根，
由根与系数的关系得
，
则
，
，
不等式
，即
，又
，解得
，B 正确；
且
，C 错误；
对于D 选项，不等式
，即
，即
，
解得
或
，
故不等式
的解集为
或
，D 正确.
故选：BD.
三、填空题
7．已知集合
，若
，则实数
的取值范围是_____．
【答案】
【分析】由题意可得集合
以及两集合之间的包含关系，分情况讨论
的解集，建立不等式得解．
【详解】由
可得
，
又
，
，
当
时，
，由
可得
或
，所以
；
当
时，
，满足
；
当
时，
，由
可得
或
，所以
；
综上，实数
的取值范围是
．
四、解答题
8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，关于
的不等式
的
解集为
.
(1)若
时，求
；
(2)若
是
的充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
或
或
；
(2)
【分析】（1）求定义域得集合
，解不等式得集合
，再由交集合的运算法则计算；
（2）分
，
，
解不等式得集合
，根据充分条件的定义列不等式组求解．
【详解】（1）（1）由
，解得
且
，
所以集合
且
，
不等式
可化为
当
时，不等式可化为为
，
所以
，故集合
，
又
或
，
所以
或
或
；
（2）因为
是
的充分条件，所以
是
的子集，
又
且
，
当
时，
，满足题意，
当
时，
，
所以
或
，结合
解得，
，
当
时，
，
所以
，得
.
综上，实数
的取值范围为
.
【新思维】9．（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数
是
上的偶函数，将函数
的图象先向右平移2 个单位，再向下平移1 个单位得到
的图象．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的值域；
(3)设
，解关于
的不等式：
．
【答案】(1)
（或
）；
(2)
；
(3)当
时，
；当
时，
；当
时，
.
【分析】（1）通过幂函数定义和偶函数性质确定
，再利用图象平移规律求
；
（2）先求
的取值范围，结合指数函数单调性求值域；
（3）将不等式转化为含参数的二次不等式，通过因式分解后分类讨论求解集.
【详解】（1）由幂函数定义，
，解得
或
.
当
时，
，是
上的偶函数，符合要求；
当
时，
，定义域不为
且非偶函数，舍去.
故
，经图象平移（右移2 个单位，下移1 个单位），
得
.
（2）因
，且
单调递增，
故
，值域为
.
（3）不等式
整理为
.
当
时，解集为
；
当
时，解集为
；
当
时，解集为
.
10．已知函数
.
(1)若不等式
的解集为
，求
的取值范围；
(2)解关于
的不等式
.
【答案】(1)
(2)
当
时，不等式的解集为
或
；
当
时，不等式的解集为R；
当
时，不等式的解集为
或
.
【分析】（1）分
和
两种情况讨论，结合一元二次不等式恒成立问题求解得答案；
（2）将不等式转化为
，分
，
，
三种情况讨论求解.
【详解】（1）因为
的解集为
，
若
，得
，符合题意；
若
时，则
，解得
；
综上所述：实数
的取值范围是
.
（2）由不等式
，化简得
，
即
，其对应方程
的两根为
，
当
，即
时，不等式的解集为
或
；
当
，即
时，解集为R；
当
，即
时，不等式的解集为
或
；
综上所述：当
时，不等式的解集为
或
；
当
时，不等式的解集为R；
当
时，不等式的解集为
或
.
11．已知二次函数
．
(1)若
的解集为
，分别求a，b 的值；
(2)解关于x 的不等式
．
【答案】(1)
；
(2)
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
．
【分析】（1）由题意可知1，b 是方程
的根，结合韦达定理即可求得答案.
（2）求出
的两根，分类讨论a 的范围，根据两根的大小，即可求得答案.
【详解】（1）由
的解集为
，则1，b 是方程
的根，且
，
由
，解得
；由
，解得
，
所以
.
（2）由二次函数
，知
，
不等式
整理得
，即
，
当
时，不等式等价于
，
当
，即
时，解得
或
；
当
，即
时，解得
或
；
当
，即
时，解集为
或
；
当
时，不等式等价于
，解得
，
所以当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
．
题型06 含参不等式恒成立 / 能成立问题
一、单选题
1．（2026·河南·一模）已知函数
，若
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对
分类讨论：分
，
，
，
四种情况讨论即可.
【详解】当
时，
的对称轴
在
轴的右边，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
所以
，解得
，结合
得，
；
当
时，
，
恒成立，满足条件
；
当
时，
在
上单调递减，所以
，解得
，
所以只需考虑
的情况，
的对称轴为
，
若
，即
时，
的最小值为
，
，解得
，故
满
足条件；
若
，即
时，
在
上单调递减，
，解得
，所以
满足条件；
综上所述，a 的取值范围是
.
2．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当
，
且满足
时，若
恒成立，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，
，
，利用基本不等式推得
，再由
恒成立得
，求解即得.
【详解】因为
，
且满足
，
，
即
，则
，即
，当且仅当
时，等号成立，
又因为
恒成立，所以
，即
，
即
，解得
.
3．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（ ）
A．命题
，
，则命题p 的否定是：
，
B．“
”是“
”的充分不必要条件
C．方程
的两根都大于1 的充要条件是
D．
是关于x 的不等式
对一切实数x 恒成立的充要条件
【答案】B
【分析】对于A，根据全称量词的命题的否定要求判断；对于B，利用不等式的性质与举反例说明即可；
对于C，利用三个二次的关系，数形结合列不等式求解即可判断；对于D，根据参数
的取值分类讨论，
并结合图象列不等式求解即得.
【详解】对于A，因含全称量词的命题的否定需要改变量词，否定结论，
故命题
，
的否定是：
，
，故A 错误；
对于B，由
可得
；但
时，满足
，却得不到
，
故“
”是“
”的充分不必要条件，故B 正确；
对于C，设
，则方程
的两根都大于1 等价于：
，解得
，故C 错误；
对于D，对于x 的不等式
，当
时，不等式
恒成立，
当
时，不等式
对一切实数x 恒成立等价于
，解得
.
综上可得，
是关于x 的不等式
对一切实数x 恒成立的充要条件，故D 错误.
4．（2026·河北邯郸·二模）已知函数
，若对任意
，且
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分析函数
的单调性与对称性，结合函数性质得到
的最小值，进而求解
小于
的最小值，再解一元二次不等式得到
的取值范围.
【详解】已知
，由于
在R 上单调递减，故
是
上的增函数.
对任意
，有
.
已知
，即
，由
是增函数得：
，
因此：
，即
恒大于.
不等式
恒成立，等价于：
整理得
，即
，
解得：
，即
的取值范围是
.
5．（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y 满足
，不等式
恒成立，则实数m
的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
【答案】A
【详解】因为不等式
恒成立，
所以
.
因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
所以
，所以
，所以
，
所以实数m 的取值范围是
．
二、多选题
6．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）下列叙述正确的是（ ）
A．已知幂函数
是奇函数，则实数
B．先将曲线
向右平移
个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的
，所得曲线的解
析式为
C．若关于
的不等式
有解，则实数
的取值范围为
D．函数
在区间
内有零点
【答案】AD
【分析】根据幂函数的定义，可得m 值，根据奇偶性的定义，即可得判断A 的正误；根据平移伸缩变换的
原则，可得变化后的解析式，即可判断B 的正误；分析可得当
时，符合题意，即可判断C 的正误；
根据零点存在性定理，可判断D 的正误.
【详解】选项A：由
为幂函数，得
，解得
或
，
当
时，
，
，为偶函数，故舍去，
当
时，
，
，为奇函数，符合题意，故A 正确；
选项B：将曲线
向右平移
个单位长度，得
，
再将曲线上各点的横坐标变为原来的
，得
，故B 错误；
选项C： 当
时，
恒成立，此时
符合题意，故C 错误；
选项D：因为
与
在
均为单调递增函数，
所以
在
上单调递增，
又
，
，
所以
，则
在区间
内有零点，故D 正确.
三、填空题
【新考法】7．（2026·北京房山·二模）设集合
，
，给出下列四个结论：
①
且
；
②
且
；
③ 若
，则
且
；
④ 若
且
，则
．
其中正确结论的序号是____．
【答案】②③
【详解】1.当
时，
恒成立，与条件
矛盾，
解
得
或
，所以
不在
中；
2. 当
，即
时
有两个零点，分别为
，
由集合
中条件
得
，解得
，
所以
；
3. 当
，即
时，
有两个零点，分别为
，
由集合
中条件
得
，解得
，
所以
；
综上所述
是开口向上的二次函数，在
上不可能恒为负，所以
，
对于①，
且
，①错误；
对于②，
且
，②正确；
对于③，若
，则
且
，③正确；
对于④，若
且
，则
或
，④错误．
8．（2026·天津·二模）已知
，
，函数
在
上的最大值为
，若
对任意
恒成立，则
的取值范围为__________.
【答案】
【分析】分析
对函数的影响，再对
分类讨论，根据二次函数的单调性找到最值和
的关系，进行求
解.
【详解】设
，
，则
，
对于固定的
，
在
的值域是
，值域的区间长度为
，
此时函数
在
的最大值为
的含义是：数轴上，点
到区间
上所有点的最大距
离为
.
若
，则
，若
或
，则
，所以
.
对任意
恒成立等价于
，即：
，
，
①当
时，即：
时，
在
上单调递增，所以
，令
，解得
，符合题意；
②当
，即：
时，
，而
，
，
若
，则：
，
，因为
，所以
，则
，不满足条件；
若
，则
，
，令
，解得：
或
，不满足条件；
③当
，即：
时，
在
上单调递减，所以
，令
，解得：
，符合条件.
综上所述，
的取值范围为
.
9．（2026·天津河东·二模）已知二次函数
，若对于任意
，都有
成立，
则实数
的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据
的范围分类讨论，结合对于任意
，都有
成立，解不等式即可求解．
【详解】因为
是一个区间，所以
，
二次函数
的对称轴为直线
，
①当
时，即
，函数
在
上单调递增，
所以
，
要使对于任意
，都有
成立，则
，
所以
，解得
；
②当
时，即
时，
函数
在
处取得最小值，
，
则
，不等式无解；
③当
时，即
，函数
在
上单调递减，
所以
，
则
，不等式无解；
综上所述，
的取值范围是
．
10．（2026·重庆·模拟预测）设
，若对
，则
_____．
【答案】24
【详解】
，
，
代入
，可得
，即
，
展开
，可得
，
即
，
化简可得
，
因为
，当
时，代入可得
，恒成立，
当
时，化简可得
代入
，可得
即
，
设函数
，
因为
是开口向上的二次函数，且
，又要满足当
时
，
所以
必须是函数的重根，即另一个根
，解得
，
，解得
，
所以
.
四、解答题
【新思维】11．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R 的函数
与实数
，定义集合
(1)若
，求
；
(2)若
，
，且对任意实数x 均有
，求实数k 的取值范围；
(3)是否存在定义域为
的图像连续的函数
，使得
？若存在，给出一个满足要求
的函数；若不存在，请给出证明.
【答案】(1)
(2)
(3)见解析，不存在
【分析】（1）根据集合定义，结合
，得到不等式
求解；
（2）法一：根据集合定义，结合
得到
恒成立求解；法二：
因为对任意实数
均有
，所以等价于对任意
、
，不等式
恒成立，所以将
，
，
代入不等式，化简得到关
于
和
的式子，将式子转化为关于
的二次型恒成立问题，利用二次函数恒成立的条件求解
的范围；
（3）考虑构造满足条件的函数，通过反证法证明不存在.
【详解】（1）由题意得
，
即
，
即
，化简得
，
因为
，所以
，所以
；
（2）法一：由题意得
，
即
，
即
，
当
时，
，
而
，
所以
，解得
，
因为
，所以
；
法二：由题意得
，
，
，
即
，
整理为关于
的二次函数恒成立问题
，
该二次函数开口向上（
），对称轴
，
要对所有
恒正，需判别式
：
可得
，
化简得
，
令
，式子变为
，
该二次函数开口向上，对称轴
，
最小值
处
，
结合
，解得
；
（3）当
时，
，
故
与
同号，
取
得
，
不妨设
，则
，
由连续性与零点定理可证，对任意
，
当
时，
，
取
得
，
因
，故
，
同理可证：对任意
，即对任意
，
记
，则对任意
，
结合
，
得
①，
对任意
，令
，
代入
的不等式得
，
因
，故
，
结合
，得
②，
结合①②，对任意
有
，
化简得
，但左边是开口向上的二次函数，
当
时趋向
，不可能恒成立，矛盾.
因此不存在满足条件的函数.
重难·创新演练
设题创新:综合考察
一、单选题
1．（2026·山东·模拟预测）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，且对于对数函数
在
时单调递增，
所以原不等式等价为
，
由
，等价为
，解得
或
；
由
，即
，解得
，
综上得
，所以原不等式的解集为
.
2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，分别求得
和
，结合集合交集的定义与运算，即可求解.
【详解】由不等式
，可得
，解得
，
可得集合
，
又由函数
，可得
，解得
，可得集合
，
根据集合交集的定义与运算，可得
3．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，若
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题得
或
，解得
，故选项D 正确．
4．（2026·北京·三模）已知集合
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先分别求解集合
、实数集下
的补集与集合
，再计算二者的交集即可得到结果.
【详解】因为
，即集合
，所以
；
由
，整理得
，等价为
，解得
，
所以集合
，
所以
.
5．已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】应用赋值法构造出
的等量关系，再结合不等式性质判断即可.
【详解】由题意，
，
.
赋值
，得
；
赋值
，得
，即
，
当
时，
，
当
时，则
，所以
，即
；
赋值
，得
，解得
，
即
；
AC 项，由
，
，
得
，
其中由
，可知
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
；故AC 错误；
BD 项，
，得
；
又
，所以
，
则
，
故
，且
不恒为
，故B 错误，D 正确.
故选：D.
6．实数
，
，满足：
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】用立方和公式和完全平方公式将
用
与
表示，再分离出
，使用基本不等式求解即
可.
【详解】∵
，∴
，
∴
，∴
，
∴
，
∵
，
，令
，则
易知
与
均不为
且符号相同，∴
，解得
或
.
（此时，可通过验证
时，
满足题意，
，结合选项确定选项D 正确.）
又∵
，
，
，
，
∴由基本不等式，
，当且仅当
时，等号成立，
∴
，
又∵
，
∴
，（当
时，
），
∴解得
，即
，当且仅当
时，等号成立.
∴综上所述，
的取值范围是
.
故选：D.
7．（2026·陕西西安·三模）已知函数
有三个互不相等的零点，则a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】法一，设
，
，作出函数图象数形结合求解，法二，对
分类讨论求
解即可.
【详解】法一：
，
设
，
，令
，得
．作出
，
的大致图象，如图，
因为
有三个互不相等的零点，所以
要有两个大于
的相异零点，记为
，
，
由根与系数的关系得
，解得
或
，
所以
的取值范围是
．
法二：
．
①若
，
只有一个零点，舍去；
②若
，当
或
时，
，
则
，令
，
得
；
当
时，
，
则
，
要使
有三个互不相等的零点，方程
需在
内有两个不相等的实数根，
则
，解得
．
③若
，当
或
时，
，则
，
令
，得
．
要使
有三个互不相等的零点，要满足
，得
；
当
时，
0，则
，
要使
有三个互不相等的零点，方程
需在
内有两个不相等的实数根，
则
，解得
.
综上所述，
的取值范围是
．
二、多选题
【新思维】8．（2026·江西宜春·模拟预测）用
表示不超过
的最大整数，则（ ）
A．
B．
是
的充分不必要条件
C．函数
的值域为
D．方程
的解集为
【答案】BCD
【分析】根据函数的新定义逐项分析即可.
【详解】对于A，当
不是整数时，如
，则有
，不满足
，故A 错误；
对于B，若
，则有
，区间长度小于，因此
，因此充分性成立，
若
，不妨令
，此时有
，但
，
，因此必要性不成
立，
即
是
的充分不必要条件，故B 正确；
对于C，由于
，
，不妨设
，由于
，
从而
，
因此函数
变为
，
当
时，
，此时
，
，
，
当
时，
，
当
时，
，此时
，
，
，
因此，函数
的值域为
，故C 正确.
对于D，方程
可变为
，根据取整函数的性质有
，
代入
得
，即
，解得
，
又因为
必须是整数，不妨设
，则
，同时
，
因为
，因此
的可能取值为
，
当
时，
，当
时，
，舍去，当
时，
，符合条件；
当
时，
，当
时，
，符合条件，当
时，
，舍
去；
当
时，
，当
时，
，符合条件，当
时，
，舍去；
因此方程
的解集为
，故D 正确.
9．（2026·江西南昌·二模）已知
时，关于
的不等式
恒成立，则下列判断正
确的是（ ）
A．
，
B．
C．
D．
的最大值为
【答案】ABD
【分析】首先利用导数分析
的符号，然后结合不等式恒成立条件分析二次式
可
判断AB；根据
是
的根结合韦达定理可判断C；由
可得
，令
，利用导数求其最大值可判断D.
【详解】已知
，设
，
，令
，解得
，
在
上递减，
上递增，最小值
，
又
时，
，故
，
，
，
时
，因此
有两个不同的正零点
，
要使
恒成立，开口向上的二次式必须和
同号，
因此二次式的零点恰好就是
，即
.
由韦达定理：
，
，因为
都是正数，
故
，
，A 正确；
二次式有两个不同零点，判别式
，即
，B 正确；
因为
是
的根，故
，
，
两式相乘得：
，即
，C 错误；
由
得
，代入目标式化简：
，
令
，求导得
,
当
时，
，
递增；
当
时，
，
递减.
因此
的最大值为
，D 正确.
三、填空题
10．（2026·甘肃·模拟预测）若函数
的两个极值点都为正数，则实数
的
取值范围是__________．
【答案】
【分析】首先求出函数的导数，根据题意得二次方程有两个不等正根，再根据不等式求解即可.
【详解】已知
，进而
.
令
，设其两个根为
，由题意
.
二次方程有两个不等正根，则
，
解得
或
，则实数
的取值范围
.
【新思维】11．设函数
在
上存在导数
，对任意
，都有
，在
上
，若
，则实数m 的取值范围为______.
【答案】
【分析】构造函数
，转化不等式为
，利用函数
单调性求参数范围即
可.
【详解】令
，则
，
是
上的奇函数．
又当
时，
，
所以
在
上单调递减，又
是
上的奇函数．
所以
是
上的减函数．
由
故
等价于
，
，
所以
，解得
故答案为：
12．已知
若对任意
，
恒成立，则实数a 的取值范围为
___________.
【答案】
.
【分析】不等式可以转化为
，先考虑
时，当
时，考虑
和
两种情况对根式不等式进行讨论，最后求出答案.
【详解】由题意，
.
当
时，
，
；
当
时，
（1）若
，则
，设
，于是
，所以
.
（2）若
，首先
，而函数
在
上单调递减，则
，而函数
在
上单调递减，则
，则
，设
，于是
，
所以
.
综上：
.
真题·实战演练
高频考点：一元二次不等式的应用
一、单选题
1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数
的图像如图所示，则不等式
的解集
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题可根据图像得出结果.
【详解】结合图像易知，
不等式
的解集
，
故选：A.
2．（2011·山东·高考真题）设集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解不等式化简集合
，再由交集的概念，即可得出结果.
【详解】∵
，
，
∴
.
故选：A.
3．（2020·全国I 卷·高考真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得
，得到结果.
【详解】由
解得
，
所以
，
又因为
，所以
，
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交
运算，属于基础题目.
4．（2019·浙江·高考真题）设
，数列
中，
，
,则
A．当
B．当
C．当
D．当
【答案】A
【解析】若数列
为常数列，
，则只需使
，选项的结论就会不成立.将每个选项的
的
取值代入方程
，看其是否有小于等于10 的解.选项B、C、D 均有小于10 的解，故选项B、
C、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确.
【详解】若数列
为常数列，则
，由
，
可设方程
选项A：
时，
，
，
，
故此时
不为常数列，
，
且
，
，则
，
故选项A 正确；
选项B：
时，
，
，
则该方程的解为
，
即当
时，数列
为常数列，
，
则
，故选项B 错误；
选项C：
时，
，
该方程的解为
或
，
即当
或
时，数列
为常数列，
或
，
同样不满足
，则选项C 也错误；
选项D：
时，
，
该方程的解为
，
同理可知，此时的常数列
也不能使
，
则选项D 错误.
故选：A.
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论
的可能取值，利用“排除法”求解.
5．（2019·全国II 卷·高考真题）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1)
B．(-2，1)
C．(-3，-1)
D．(3，+∞)
【答案】A
【分析】先求出集合A，再求出交集．
【详解】由题意得，
，则
．故选A．
【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．
二、填空题
6．（2024·上海·高考真题）已知
则不等式
的解集为______．
【答案】
【分析】求出方程
的解后可求不等式的解集.
【详解】方程
的解为
或
，
故不等式
的解集为
，
故答案为：
.
7．（2026·上海·高考真题）关于
的不等式
的解集为____________.
【答案】
【分析】由
可得:
，解不等式可得其解集.
【详解】由
可得:
，
解得:
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
8．（2025·上海·高考真题）不等式
的解集为_____．
【答案】
【分析】将不等式
化为
，即可得答案.
【详解】由题意得不等式
即
，
即不等式
的解集为
，
故答案为：
9．（2019·天津·高考真题） 设
，使不等式
成立的
的取值范围为__________.
【答案】
【分析】通过因式分解，解不等式．
【详解】
，
即
，
即
，
故
的取值范围是
．
【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元
二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化
正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
10．（2012·天津·高考真题）已知集合
，集合
且
则m =__________，n = __________.
【答案】-1,1
【详解】
且
是方程
的根，故
此时
,所以
.
【考点定位】本题考查绝对值不等式、二次不等式的解法，考查学生利用转化思想的解题能力
三、解答题
11．（2026·上海·高考真题）已知
，函数
，
．
(1)已知
，求
的解集；
(2)已知
，是
在点
处的切线，
是过点
且垂直于的直线，
与、
在第一象限
内均无公共点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出参数
，解不等式即可求出
的范围；
（2）求出直线与
的方程，利用
与、
在第一象限内均无公共点，得出
与
无正实数解，分离参数，转化为直线
与
与曲线
在
内均无交点，对
求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数
的取值
范围.
【详解】（1）由题意，
，
在
与
中，
，解得
，
∴
，
∵
，
∴
，解得
或
或
∴不等式的解集为
.
（2）由题意及（1）得，
，
在
中，
，
∴
∵直线为
在点
的切线，
∴直线的方程为：
，即
，
∵
是过点
且垂直于的直线，
∴直线
的方程为：
，即
，
在
中，
，
与、
在第一象限内均无公共点，
∴
与
无正实数解，
分离参数得，
，
，
∴直线
与
与曲线
在
内均无交点，
而
，
当
时，解得
（舍）或
，
∴当
即
时，函数单调递减，
当
即
时，函数单调递增，
∴
在
处取最小值，
，
当
时，
，当
时，
，
∴
且
，即
或
，
∴实数
的取值范围为
.
12．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记
是公差不为0 的等差数列
的前n 项和，若
．
（1）求数列
的通项公式
；
（2）求使
成立的n 的最小值．
【答案】(1)
；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得
的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：
，则：
，
设等差数列的公差为
，从而有：
，
，
从而：
，由于公差不为零，故：
，
数列的通项公式为：
.
(2)由数列的通项公式可得：
，则：
，
则不等式
即：
，整理可得：
，
解得：
或
，又
为正整数，故
的最小值为
.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数
列的有关公式并能灵活运用.
13．（2017·全国·高考真题）已知函数
．
(1)若
，求
的取值范围；
(2)求
的极小值．
【答案】(1)
；
(2)4
【分析】（1）列出不等式直接求解即可.
（2）求出函数
的导数，并探讨单调性，再确定极值点并求出极值.
【详解】（1）由
，解得
，所以x 的取值范围为
.
（2）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
单调递减；当
时，
在
上单调递增，
所以当
时，
取得极小值
.
