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第 05 讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·福建厦门·统考模拟预测）全集 ，能表示集合 和 关系的
Venn图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由已知，可得 ，
所以 ，根据选项的Venn图可知选项D符合.
故选：D.
2．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知 ．若p为假命题，
则a的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为p为假命题，所以 ， 为真命题，
故当 时， 恒成立．
因为当 时， 的最小值为 ，
所以 ，即a的取值范围为 ．
故选：A.
3．（2023·河南安阳·统考二模）已知集合 ， ，则
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，所以 ，所以 或 ，
所以 或 ，
所以 ．
故选：D.
4．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）若集合 ，集合 ，满足
的实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 得： ，解得： ，即 ；
由 得： ，
， ， ，解得： .
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）关于 的方程 有两个不相等的实数根 ，且
，那么 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， 即为 ，不符合题意；
故 ， 即为 ，
令 ，
由于关于 的方程 有两个不相等的实数根 ，且 ，
则 与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故 时， ，即 ，解得 ，故 ，
故选：D
6．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 有两个不相等的实数根，且两个实数根都
大于2，则实数m的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令
由题可知：
则 ，即
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ ）的最小值为0，若关于x的不等式
的解集为 ，则实数c的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【解析】∵函数 （ ）的最小值为0，
∴ ，∴ ，
∴函数 ，其图像的对称轴为 ．
∵不等式 的解集为 ，
∴方程 的根为m， ，
∴ ，解得 ， ，
又∵ ，∴ ．故A，B，C错误.
故选：D．
8．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知关于 的不等式 的解集为 ，其
中 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D【解析】因为 的解集为 ，
所以 ，且 ， 是方程 的两根，
，得 ； ，
即 ，当 时，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
令 ，由对勾函数的性质可知函数
在 上单调递增，所以 ，
的最小值为3.
故选：D．
9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知关于 的 的解集是 ，则（ ）
A．
B．
C．关于 的不等式 的解集是
D． 的最小值是
【答案】AB
【解析】对于A， 的解集为 ， ，且 和 是方程 的两根，A
正确；
对于B，由A得： ， ， ，
，B正确；
对于C，由 得： ，
即 ，解得： ，即不等式 的解集为 ，C错误；
对于D， ，
，
在 上单调递增， ，D错误.
故选：AB.
10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知 ，关于 一元二次不等式 的解集中有
且仅有3个整数，则 的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】ABC
【解析】由 开口向上且对称轴为 ，
∴要使题设不等式解集有且仅有3个整数，则 ，解得 ，
∴ 的可能值A、B、C.符合.
故选：ABC.
11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）对于给定实数 ，关于 的一元二次不等式 的
解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由 ，分类讨论 如下：
当 时， ；
当 时， ；
当 时， 或 ；
当 时， ；
当 时， 或 .
故选：AB.
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）“关于x的不等式 对 恒成立”的一个
必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．【答案】BD
【解析】由题意可知，关于x的不等式 恒成立，
则 ，解得 ，
对于选项A，“ ”是“关于x的不等式 对 恒成立”的充要条件；
对于选项B， ,
故“ ”是“关于x⫋的不等式 对 恒成立”的必要不充分条件；
对于选项C， ,
⫋
“ ”是“关于x的不等式 对 恒成立”的充分不必要条件；
对于选项D中， , “ ”是“关于x的不等式 对 恒成立”必
要不充分条件，
⫋
故选：BD．
13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（
）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|01}
【答案】BCD
【解析】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是 ，解得 ，
A错误；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是 ，解得 ，B正确；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是 ，解得 ，C正确；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的充要条件是 ，解得 ，
，故必要条件是m∈{m|m>1}，故D正确.
故选：BCD.
14．（2023·全国·高三专题练习）若一元二次方程 的两个实根都大于 ，则 的取值
范围____
【答案】 或 .【解析】由题意得应满足 解得： 或 .
故答案为： 或 .
15．（2023·全国·高三专题练习）设 ，若 是 的充分条件，求实数
的取值范围是___________.
【答案】
【解析】 ，
， ，
若 是 的充分条件,则 ，
当 时， ，此时不满足 ，故舍去；
当 时， ，若满足 ，则 .
综上： .
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“ ， ”为真命题，则实数a的取值范
围是______ ．
【答案】
【解析】因为命题“ ， ”为真命题
则 ， 有解，
设 ，则 ，
当 时， 单调递减，所以 ，
所以 .
故答案为： .
1．（2015·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】由 ，可得 ，即 ；
由 ，可得 或 ，即 ；
∴ 是 的真子集，
故“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A
2．（2013·陕西·高考真题）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园
(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是
A．[15,20] B．[12,25] C．[10,30] D．[20,30]
【答案】C
【解析】
如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则 ，所以 ，又 ，
所以 ，即 ，解得 .
【考点定位】本题考查平面几何知识和一元二次不等式的解法，对考生的阅读理解能力、分析问题和解决
问题的能力以及探究创新能力都有一定的要求.属于中档题.
3．（2017·天津·高考真题）已知函数 设 ，若关于x的不等式 在R
上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式 为 (*)，
当 时，(*)式即为 ， ，
又 （ 时取等号），
（ 时取等号），
所以 ，
当 时，(*)式为 ， ，
又 （当 时取等号），
（当 时取等号），
所以 ，
综上 ．故选A．
4．（2013·重庆·高考真题）关于x的不等式 的解集为 ，且： ，则
a=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为关于x的不等式 的解集为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
解得 ，因为 ，所以 .
故选：A.
5．（2010·天津·高考真题）设函数f(x)=x- ,对任意x 恒成立，则实数m的取
值范围是________
【答案】【解析】因为 ，那么可知任意 ， 恒成立，即为
然后对于m<0时，则有 ．
当m>0时，则 恒成立显然无解，故综上可知范围是
考点：本试题考查了不等式恒成立问题．
点评：对于不等式的恒成立问题要转化为分离参数 思想求解函数的最值来处理或者直接构造函数，运用
函数的最值来求解参数的范围，这是一般的解题思路，属于中档题．
6．（2006·浙江·高考真题）不等式 的解是__________．
【答案】 或
【解析】不等式 等价于 ，解得 或 ，
故不等式的解集为： 或 ．
故答案为 或
7．（2019·天津·高考真题） 设 ，使不等式 成立的 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】 ，
即 ，
即 ，
故 的取值范围是 ．
8．（2018·天津·高考真题）已知 ，函数 若对任意x∈［–3，+ ），
f(x)≤ 恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】分类讨论：①当 时， 即： ，
整理可得： ，由恒成立的条件可知： ，
结合二次函数的性质可知：
当 时， ，则 ；
②当 时， 即： ，整理可得： ，
由恒成立的条件可知： ，
结合二次函数的性质可知：
当 或 时， ，则 ；
综合①②可得 的取值范围是 ，故答案为 .
