“8+4+4”小题强化训练20(导数与不等式恒成立(能成立)问题)（新高考地区专用）解析版_数学_专项复习_2024年_2024年高三数学复习必刷小题单选题填空题专项训练_资料

决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(20)
(导数与不等式恒成立(能成立)问题)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.若不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设知： 即 恒成立，令 且 ，则 ，
∴当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，∴
，故 ．
故选：D．
2.已知函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的定义域为 ，由题意得 在 上有解，即
在 上有解，其中 ，故 ，故实数 的取值范围是
.
故选：B．
f x f x f'x f'xcosx f xsinx
3.已知 是定义在R上的奇函数， 的导函数为 ，若 恒成立，则 的
解集为（ ）
π 
A．
π,
B．
π,
C．

2
,


D．
0,
【答案】D
gx f xsinx g'x f'xcosx
【解析】令函数 ，则 ，
f'xcosx， gx0，gx
因为 所以. 是增函数，
f x f 00 g0 f 0sin00
因为 是奇函数，所以 ， ，gx0 0, f x 0,
sinx
所以 的解集为 ，即 ≥ 的解集为 ；
故选：D.
f x ,0U0, x0,
4.（2023春·天津南开）已知 是定义在 上的奇函数，若对于任意的 ，都有
2f xxfx0成立，且 f 2 1 ，则不等式 f x 2 0解集为（ ）
2 x2
2, 2,00,2
A． B．
0,2 2,0 2,

C． D．
【答案】A
g(x)x2f(x) x,00,
【解析】令 ， ，
f x ,0U0, f xf x
因为 是定义在 上的奇函数，即 ，
gxx2 f xx2f xgx g(x)x2f(x)
， 是奇函数；
gx2xf xx2fxx2f xxfx0
又当x0时，   ，
g(x)
0,
g(x)
,0
在 上单调递增， 在 上单调递增；
1
又 f 2
2
， g222f22 ，
2
对于不等式
f x
x2
0 ，又x,00,，所以x20,
，
2
所以不等式 f x x2 0 等价于x2f x20，即x2f x2，即gxg2 ，
2
所以x2，即不等式 f x x2 0 解集为2,．
故选：A．
5.若关于 的不等式 在 内有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 有意义可知， .
由 ，得 .
令 ，即有 .因为 ，所以 ，令 ，
问题转化为存在 ，使得 .
因为 ，令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 ，所以当 时， .
因为存在 ，使得 成立，所以只需 且 ，解得 .
故选：A.
1 1
6.（2023·青海西宁·统考二模改编）设函数 f(x)x alnx（ ），函数gxxlnx ，若在[
x a2 e
1,e] x x f(x)g(x )
上存在 1， 2使 1 2 成立，则实数a的取值范围为（ ）
(,e1)
A. B. C. D.
【答案】B
[1,e] x x f(x)g(x ) x[1,e] f x gx
【解析】在 上存在 1， 2，使 1 2 成立，即当 时 max min，
1
又
gx1
x
，所以当
x[1,e]
时，gx0，
1 1
即函数 在区间 上单调递增，故gx g11ln1 1 ，
g(x) [1,e] min e e
x2ax1
fx ，
x2
x2 0 yx2ax1
a2411a24
因为 ，又 的判别式 ，
a[2,2] 0
fx0
f(x) [1,e]
①当 时 ，则 恒成立，即 在区间 上单调递增，
1 1 1
故 f x  f ee a，故 ，即e a1 ，得 ，
max e f(e)g(1) e e ae1
又a[2,2]，所以a[2,e1)；
a a24 a a24
②当a(,2)时0，
fx0
的两根为
x
1

2 ，
x
2

2 ，
x 0 x 0 f(x) [1,e] ae1 a2
此时 1 ， 2 ，故函数 在区间 上是单调递增．由①知 ，所以(,e1)
综上，a的取值范围为 ．
故选：B
7.（2023 春·江苏·高三前黄中学、姜堰中学、如东中学、沭阳中学联考）若关于 的不等式
对任意的 恒成立，则整数 的最大值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】因为 对于任意 恒成立，
等价于 对于任意 恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以 在 有且仅有一个根 ，满足 ，即 ，
当 时， ，即 ，函数 单调递减，
时， ，即 ，函数 单调递增，
所以 ，
由对勾函数可知 ，即 ，
因为 ，即 ， ， ，所以 ，
当 时，不等式为 ，因为 ，不合题意；
所以整数 的最大值为0.
故选：B8.（2023秋·广东深圳·高三人大附中深圳学校月考）已知函数 ，当 时，
恒成立，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，若 显然 不是恒大于零，故 .（由4个选项也是显然可得）
，则 在上恒成立；
当 时， 等价于 ，
令 在 上单调递增.
因为 ，所以 ，即 ,
再设 ，令 ，
时， ， 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
从而 ，所以 .
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.下列不等式正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】ABC
【解析】对于A：设 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时函数单调递减，当 时，函数单调递增，
所以函数在 时，函数取得最小值 ，故当 时， ，故A正确；对于B：设 ，所以 ，
令 ，解得 ，当 时，函数单调递增，当 时，函数单调递减，
所以在 时， （1） ，故当 时， 恒成立，故B正确；
对于C：设 ，所以 ，令 ，解得 ，当 时，函数单调
递减，当 时，函数单调递增，
所以当 时， （1） ，所以当 时， ，故C正确；
对于D：设函数 ，则 ，所以 是定义在 上单调递增的奇函数，
所以 时， 成立， 时， ，故D错误．
故选：ABC
 π
10.（2023春·山东聊城改编）已知偶函数 y f x 满足 cosx fxsinx f x0 对 x  0, 2  恒成立，下
列正确的是（ ）
π π π 6  π
2f   f   f   f  
A． 4 3 B． 4 2  6
π 3  π  π
f   f   2f 0 f  
C． 6 3  3 D．  4
【答案】AC
y f x f x f x
【解析】因为 为偶函数，则 ，
gxcosx f x gxcosx f xcosx f x
令 ，则 ，
gxcosx f x
所以 为偶函数，
 π
又 gxcosx fxsinx f x，则当x  0, 2   时 gx0 ，
所以 gx在  

0, π
2
 

上单调递增，则g0g  

π
6
 

g  

π
4
 

g  

π
3
 

，
π π π π π π
cos f  cos f   2f   f  
所以 4 4 3 3，即 4 3，故A正确；π π π π 3 π 2 π
cos f  cos f   f   f  
6 6 4 4，即 2 6 2 4，
π 6 π π 6  π
f   f   f   f  
则 4 2 6，即 4 2  6，故B错误；
π π π π 3 π 1 π
cos f  cos f   f   f  
6 6 3 3，即 2 6 2 3，
π 3 π π 3  π
f   f   f   f  
则 6 3 3，即 6 3  3，故C正确；
π π 2 π
cos0f 0cos f   f 0 f  
4 4，即 2 4，
π  π
2f 0 f   2f 0 f  
则 4，即  4，故D错误；
故选：AC
11.已知函数 ， ，若 ， ，使得 成立，则
a的取值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】AD
【解析】 ，
当 时， ，当 时， ，所以 在 上递减，在 ， 上递增，故当
， 时， ，对于二次函数 ，该函数开口向下，所以其在区间 ，
上的最小值在端点处取得，所以要使对 ， ， ， ，使得 成立，只需
，
因为函数 开口向下，所以当 ， 时， （1）， （2） ，所以 或 ，
所以 或 ，解得 ．
故选：AD．
12.（2023春·重庆·统考）（多选）已知 ，当 时，存在b， ，使得
成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．【答案】ABC
【解析】对A，由 ,令 ,
所以 ,
令 ,其对称轴为 ,故函数 在 上单调递增,
所以 ,
当 时,即 时, ,
则函数 单调递增,所以 .
当 时,即 时,存在 ,使得 ,即 ,
当 时, ,则函数 单调递减,
所以 0,与 矛盾,综上, ，A正确;
对B，由 可得 与 在 上存在分隔直线,
， ， ， ， ， ，
则 在 处的切线方程分别为: ,
所以 ,可得 ,故B正确;
对C，取 得 ,所以 ,得 ,故C正确,
对D，由C知 ，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
1
13.（2023·山东烟台·统考二模改编）已知函数 f xaex x2x ，若 f x在 上单调递增，则实数a的
2 R
取值范围是____________．
1,
【答案】1
【解析】由函数 f xaex x2x ，可得 fxaexx1，
2
f x fx0
R R
因为 在 上单调递增，可得 在 上恒成立，
x1
a
即 aex x10 在 R 上恒成立，即 ex 在 R 上恒成立，
x1 1(x1) x
令 hx ，可得hx  ，
ex ex ex
hx0 hx
x0
当 时， ， 单调递减；
hx0 hx
x0
当 时， ， 单调递增，
hx h01
x0
所以当 时，函数 取得极大值，即为最大值 ，
1,
a1
所以 ，即实数a的取值范围为 .
1,
故答案为：
f xlnxax2 x x
14.（2023春·山东德州改编）已知函数 ，若对任意两个不等的正实数 1， 2，都有
f x  f x 
1 2 2
x x ，则实数a的取值范围是____________．
1 2
1 
【答案】 ,
2 
x x 0
1 2
【解析】由题意,不妨设 ,
f x  f x 
1 2 2
因为对任意两个不等的正实数x,x ,都有 x x ,
1 2 1 2
f x  f x 2x 2x f x 2x  f x 2x
所以 1 2 1 2,即 1 1 2 2,
g(x) f(x)2xlnxax22x(x0)
构造函数 ,
gx gx 
则 1 2 ,
所以g(x)在(0,)上单调递增，
1
g(x) 2ax20
所以
x
在
(0,)
上恒成立,
1 1
a 
即
x 2x2
在
(0,)
上恒成立,
1 1 1 1 1x
设 m(x)  (x0) ,则 m(x)   ，
x 2x2 x2 x3 x3x(0,1) m(x)0,m(x)
所以当 时, 单调递增，
x(1,) m(x)0,m(x)
时, 单调递减，
1 1
所以m(x) m(1)1  ，
max 2 2
1
a
所以 .
2
1 
故答案为： ,
2 
15.（2023秋·辽宁·高三名校联盟联考）已知函数 ， ，若 ，
的
使得 成立，则t 取值范围是____________．
【答案】
【解析】当 时， ， ，
当 时， ，
令 ， ，
令 ，
，
在 上单调递增，而 ，
因此当 时， ， ，
当 时， ， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，则 ，解得 .
故答案为：
16.（2023秋·江苏南通如东·高三期初统测）若 ， 恒成立，则实数 的取值范
围是____________．
【答案】
【解析】因为 ， 恒成立，所以 在 上恒成立，
令 ， ，则 ，
所以 ，
令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，即 ，当 时， ，
即 ，所以 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 的最小值为 ，所以 .
故答案为：