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专题18 函数背景下的不等式问题
考点一 利用图像解不等式
一、单选题
1．函数f（x）的图象如图所示，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由函数图象与导函数大小的关系可知：当 时， ，
当 时， ，故当 时， ；
当 时， ；当 时， ，
故 的解集为 .故选：A
2．已知函数 的图像如图所示，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由函数 的图像可得：在 时， ，在 时， ，因为 在分母上，所以 ，故 等价于 ，所以 的解集是 .
故选：C
3．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[0，1]
【解析】 在 上恒成立 在 上恒成立 的图象在 图象的上方，
其中 ，画出 与y=ax的图象，如下：
要想 在 上恒成立，则 ；令 ，则 ， ，
若 为 在 的切线，则 ，故要想 在 恒成立，则 ，
综上： .故选：D
4．若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题，可将 在 上有解转化为 至少有一个正数解，
构造 ，画出图形，如图：当 时， 与 相交于 点，要使 与 相交于 轴右侧，则需满足 ，
在函数 不断右移的过程中，若与 右侧曲线相切，则有 ，对应的 ，
解得 ，则 ，综上所述， 。故选：B.
5．已知函数 满足 若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】当 时， ， ，因为函数定义域为 ，
所以函数 为奇函数，作出函数 的图像，如图所示，
且 在 ， 上都为增函数，
由 ，得到 ，即 ，由图像可得 .
故选：B.
6．已知定义在R上的奇函数 在 上的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
【解析】根据奇函数的图象特征，作出 在 上的图象如图所示，
由 ，得 ，等价于 或
解得 ，或 ，或 ．
故不等式解集为： .故选: C.
7．已知函数 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】作出函数 与 的图象，如图，
当 时， ，作出函数 与 的图象，
由图象可知，此时解得 ；当 时， ，作出函数 与 的图象，
它们的交点坐标为 、 ，结合图象知此时 .
所以不等式 的解集为 .故选：C
8．定义：设不等式 的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解．若关于x的不等式
有最优解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 可转化为 .
设 ， ，则原不等式化为 .
易知m＝0时不满足题意.当m>0时，要存在唯一的整数 ，满足 ，
在同一平面直角坐标系中分别作出函数 ， 的图象，如图1所示则 ，即 ，解得 .
当m<0时，要存在唯一的整数 ，满足 ，
在同一平面直角坐标系中分别作出函数 ， 的图象，如图2所示
则 ，即 ，解得 .
综上，实数m的取值范围是 .故选：D
9．定义在 上函数 满足 ， .当 时， ，
则下列选项能使 成立的为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 关于点 对称，所以 ；
又 ，所以 ，所以有 ，故 关于直线 对
称，所以 .所以， ，所以有 ，所以 ，所以 的周期为4.
当 时， ，所以 ，
所以 时， .
当 时， ，所以 .
作出函数 在 上的图象如下图
当 时，由 可得， ，解得 ，所以 ；
当 时，由 可得， ，解得 ，所以 .
根据图象可得 时， 的解集为 .又因为 的周期为4，
所以 在实数集上的解集为 .
令 ，可得区间为 ；令 ，可得区间为 ，故A项错误；
令 ，可得区间为 ，故B项错误；
令 ，可得区间为 ；令 ，可得区间为 ，故C项错误；
令 ，可得区间为 ，故D项正确.故选：D.10．定义在 上的函数 满足 ， 时 ，若 的解集为
，其中 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 满足 ，所以函数 关于 对称，
作出函数 在区间 上的图象，又因为不等式 的解集为 ，其中 ，
根据图象可知：当直线 过点 时为临界状态，此时 ，
故要使不等式 的解集为 ，其中 ，则 ，故选： .
11．已知函数 ，若满足 的整数解恰有3个，则实数 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，得 ，所以满足 的整数解恰有3个，等价于函数 的图象
在直线 非上方的部分有3个整数点，由图可知点 满足条件，
所以当直线 的斜率 满足 ，其中 ，
所以 ，所以 ，故选：C二、多选题
12．若 ，则下列选项可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】在同一直角坐标系中，作出 ， 的图像．
由图可知，当 时，有 ，故A正确；当 时，显然有 ，故B正确；当
时，显然有 ，故C错误，D正确．故选：ABD.
13．函数 ，若不等式 恒成立，则a的值可以为
（ ）
A． B． C．1 D．
【解析】作出函数 的大致图象如图所示，
的图象关于点 中心对称，故 ，由 ，得，即 ，即 的图象向左平移2个单位后得到 的图象一定
在 的图象上方，如图，
，即 ，所以a的取值范围为 ．故选：AB.
14．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图象如图所示，那么满足
不等式 的x的可能取值是（ ）．
A． B． C． D．2
【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，
由题意，画出函数 在 上的图象，在同一坐标系内画出 的图象，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 的图象与 的图象交于 和 两点，
，即为 ，由图象可得，只需 或 ，故A，C可能取到，故选：AC．
三、填空题
15．若函数 定义在 上的奇函数，且在 上是增函数，又 ，则不等式 的解
集为_____________
【解析】依题意，函数 定义在 上的奇函数，图象关于原点对称，
在 上是增函数，在 上是增函数，且 .
的图象是由 的图象向左平移一个单位所得，由此画出 的大致图象如下图所示，
由图可知，不等式 的解集为 .
16．不等式 的解集为________．
【解析】作出 ，（其中 ）的图象，如图，
时， 单调递减， 单调递增，两个函数均过点 ，时， ， ，
时， ， ，
由图可知，当 时， ，
则不等式 的解集为 .
17．已知函数 ，则不等式 的解集是______.
【解析】因为函数 ，所以不等式 即为 ，
在坐标系中作出 的图象，如下图所示， 都经过 ，
即 的图象在 图象的下方，由图象知：不等式 的解集是 .
18．已知函数 若函数 有四个不同的零点 ， ， ， ，则
的取值范围是________．
【解析】函数 有四个不同的零点等价于函数 的图象与直线 有四个不同的交点．画出
的大致图象，如图所示．由图可知 ．不妨设 ，则 ，且， ．因为 ，所以 ，则
，故 ．
考点二 利用函数性质解不等式
1．奇函数 在定义域 上是减函数，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 在定义域 上为奇函数，
所以 ，
又函数 在定义域 上是减函数，所以 ，解得 .故选：A
2．已知 为定义在 上的奇函数， ，若 总有
．则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】∵ 是定义在 上的奇函数，∴函数 是 上的偶函数，因为对 ，总有 ，即 ，
所以 在 上为减函数，又 为偶函数，所以 在 上为增函数，
因为 ，所以 ， ，∵ 为定义在 上的奇函数，∴ ．
当 时，不等式 不成立；
当 时，不等式 可化为 ，即 ，
因为 在 上为减函数，所以 ，得 ；
当 时，不等式 可化为 ，即 ，
因为 在 上为增函数，∴ ，得 ，
综上所述，原不等式的解集为 ，故选：C．
3．已知函数 ，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，导数为 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；
所以 ，而 ，且 在 单调递减，在 单调递增，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，则原不等式的解集为 .故选：D.
4．已知函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为对任意 ， ，所以对任意 ， ，
所以对任意 ， ，令 ，则 函数单调递增，
又 ，则不等式 化为 ，
即 ，所以 ，解得 .故选：A
5．已知函数 在 上为奇函数，则不等式
的解集满足（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 在 上为奇函数,
所以 ，解得 ，又 ，
即 ，
所以 ，解得 ，解得 ，所以 ， ，
由 与 在定义域 上单调递增，所以 在定义域 上单调递增，
则不等式 ，即 ，等价于 ，
所以 ，解得 ，即不等式的解集为 .故选：C6．已知函数 若对任意的 ，存在 ，使
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】根据题意“对任意的 ，存在 ，使 ”,转化成 ；
易知 ，又 ，令 ，可得 ；
所以 时， ，即 在 上单调递减，
时， ，即 在 上单调递增；
因此 时， 取到在 上的极小值，也是最小值， ；
易得 ， ，易知二次函数开口向上，对称轴 ；
①当 时， 在 上单调递增， ，
所以 ，解得 ，不合题意，此时无解；
②当 时， 在 处取得最小值， ，
所以 ，解得 或 ，所以可得
③当 时， 在 上单调递减， ，
所以 ，解得 ，所以可得 ；
综上所述，实数 的取值范围是 .故选：C7．设函数 在定义域 上满足 ，若 在 上是减函数，且 ，则不
等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由 ，可得 为 上的奇函数，且 .
因为 在 上是减函数，所以 在 上是减函数.又 ，所以 .
由 ，可得 或 ，解得 或 .
所以不等式 的解集为 .故选:D.
8．已知定义域为 的奇函数 的图象是一条连续不断的曲线，当 时， ，当
时， ，且 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
解析】因为当 时， ，所以 在 单调递减；
当 时， ，所以 在 单调递增，
因为定义域为 的奇函数 ，则过点 ，且 ，则过点 ，
由奇函数的图象关于原点对称，画出示意图如下：或 ，故选：D.
9．已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，当 时，
，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设 ，则 ．
当 时， ，即 ，则 ，
故 在 上单调递增．因为 是偶函数，所以 ，
所以 ，则 是奇函数，
故 在 上单调递增．
因为 ，所以 ，则 ．
不等式 等价于 或
即 或 解得 或 ．故选：A.
10．已知函数 ，对任意的 ，都有 ，当 时， ，若，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 ，
可得 ，即 ，所以 为 上的奇函数，
因为 时， ，可得 ，
所以 在 为单调递减函数，且 ，
所以函数 在 上为单调递减函数，由不等式 ，
可得
整理得到 ，
即 ，可得 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 .故选：B.
11．已知函数 ，若 ，不等式 恒成立，则正实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，其中 ，则 ，且 不恒为零，
所以，函数 在 上为增函数，
又因为 ，故函数 为奇函数，
由 可得 ，
所以， ，所以， ，令 ，因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以， .故选：B.
12．已知函数 ，若对任意正数 ， ，都有 恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据 ，可知 ，
令 ，
由 ，知 为增函数，
所以 恒成立，分离参数得 ，
而当 时， 在 时有最大值为 ，
故 ，即实数 的取值范围为 .故选：C.
13．已知实数 ， ，且满足 恒成立，则 的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．4
【解析】依题意， ，
即 ，
设 ， 是奇函数且 在 上递增，
所以 ，即 ，
由基本不等式得 ，当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为 .故选：A
14．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 为奇函数， 为偶函数，记
，且当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 为奇函数，所以 ，即 ，
两边同时求导得 ，即 ，
所以 的图象关于直线 对称，且 ①；
又 为偶函数，所以 ，即 ，两边求导得
，即 ，所以 的图象关于点 中心对称，且
②；
由①②得 ，即 ，
所以 ，所以 的一个周期为 ，因为当 时， ，
当 时，则 ，所以 ，
当 时，则 ，所以 ，
作出函数 与 的图象如图所示，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，结合图象可知不等式 的解集为 .故选：C
二、填空题
15．已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，当 时， ，则不等式
的解集为______．
【解析】因为函数 的定义域为 ， 是偶函数，
则 ，即 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，
当 时， ，则函数 在 上单调递减，
故函数 在 上单调递增，
因为 ，则 ，即 ，
即 ，即 ，解得 或 ，
因此，不等式 的解集为 .
16．已知奇函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，当 时，有 ，
则 的解集为________．
【解析】当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
所以 ，且 的定义域为 ，关于原点对称，所以 也是定义在 上的奇函数，且 ，
又因为 在 上为增函数，所以 在 上为增函数，
由 ，得 ，
所以 ，因为 在 上为增函数，
所以 ，即 .所以 的解集为 .
