文档内容
专题 3-5 利用导函数解决恒（能）成立问题
目录
..................................................................................1
题型一：分离变量+最值法...............................................................................................................1
题型二：分类讨论法.........................................................................................................................9
题型三：同构法...............................................................................................................................16
题型四：最值定位法解决双参不等式问题...................................................................................23
.............................................................32
一、单选题.......................................................................................................................................32
二、多选题.......................................................................................................................................38
三、解答题.......................................................................................................................................41
题型一：分离变量+最值法
【典例分析】
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的实数 恒成立，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三阶段练习（文））设 是定义在 上的连续函数 的导
函数，且 .当 时，不等式 恒成立，其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知函数 .
(1)若 在 上恒成立,求实数 的取值范围;
(2)若函数 在 上单调递增,求实数 的取值范围.
【提分秘籍】
①若 )对 恒成立，则只需 ；
②若 对 恒成立，则只需 ．
③ ，使得 能成立 ；
④ ，使得 能成立 ．
【变式演练】
1．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二期中（文））若函数 在
上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式 对任意实数x都成立，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2022·海南·模拟预测）若 时，关于 的不等式 恒成
立，则实数 的值可以为（ ）
（附： ）A． B． C． D．
4．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）若不等式 （其中 是
自然对数的底数）对 恒成立，则实数 的取值范围为________
5．（2022·浙江宁波·一模）已知函数 ， ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）若在区间 ， 内至少存在一个实数 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
题型二：分类讨论法
【典例分析】例题1．（2022·四川省岳池中学高三阶段练习（理））已知函数 ，
，其中 是自然对数的底数．
(1)若 的最小值为0，求 ；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围．
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 的图像在 处的切
线与直线 垂直．
(1)求 的解析式；
(2)若 在 内有两个零点，求 的取值范围；
(3)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值．
【提分秘籍】
①首先可以把含参不等式整理成适当形式如 、 等；
②从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值或最值；
③得出结论.
【变式演练】
1．（2023·陕西西安·高三期末（理））已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；(2)若 ， ，求实数a的取值范围．
2．（2022·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 恒成立，求正实数 的取值范围.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）若存在 ，当 时， ，求实数 的取值范围.
题型三：同构法
【典例分析】
例题1．（2022·河北·模拟预测）已知
.
(1)当 时，求 的单调性；(2)若 恒大于0，求 的取值范围.
例题2．（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知 ， .
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)若不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围．
【提分秘籍】
①对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两
边
是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．
②为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的
方 法 有 ： 、 、 、 、 、
，有时也需要对两边同时加、乘某式等.
③ 与 为常见同构式： ， ； 与 为常见同构
式： ， .
【变式演练】
1．（多选）（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数 ，若
恒成立，则实数 的可能的值为（ ）
A． B． C． D．2．（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ，求 的取值范围．
3．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时， 在 时恒成立，求实数 的最小
值.
题型四：最值定位法解决双参不等式问题
【典例分析】
例题1．（2022·湖南省临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数
若对 ,使得 成立,则
实数 的最小值是
A． B． C．2 D．3例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 , ,若对任
意 都存在 使 成立,则实数 的取值范围是______.
例题3．（2022·江西·南昌十中高二阶段练习（理））已知函数
， .
(1)若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值；
(2)求 的单调区间；
(3)若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围．
【提分秘籍】
最值定位法解决双参不等式问题
（1） , ,使得 成立
（2） , ,使得 成立
（3） , ,使得 成立
（4） , ,使得 成立
【变式演练】
1．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）设函数
，其中 .若对 ，都 ，使得不等式 成立，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
2．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）已知函数 ，
，若任意 ，存在 ，使 ，则实数 的取值范
围是__________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，若存在
， ，使得 成立，则实数a的取值范围是___________.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知 ， ，若 ，
使得 成立，则实数 的最小值是_________．
5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数 ， ，
．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ， ，使得 ，求实数 的取值范围．
一、单选题
1．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数 ，若 对任意的
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．2．（2022·广东·红岭中学高二期中）若关于 的不等式 ，对 恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，使 ，则
实数 的取值范围为（ ） ∃
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数 与 满足：存在实数 ，使得 ，
则称函数 为 的“友导”函数．已知函数 为函数
的“友导”函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东·高三开学考试）已知 ，若对任意的 恒成立，则实数
a的最小值为（ ）
A．e B． C． D．
6．（2022·安徽滁州·高二期末）已知当 ，不等式 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知函数 ， ，若
， 使得 成立，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
8．（2022·河南·濮阳南乐一高高三阶段练习（理））已知函数 ，
．若 ，都 ，使 成立，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三阶段练习）已知函数 ，满足对任
意的 ， 恒成立，则实数a的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，若 恒成立，
则实数 的可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）若存在正实数x，y，使得等式
成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（
）
A． B． C． D．2
三、解答题
12．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，曲线
处的切线斜率为0
求b;若存在 使得 ，求a的取值范围．13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，
(Ⅰ) 设函数 ，讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）求证：当 时，
14．（2022·福建省漳州第一中学高二阶段练习）已知f（x）＝ ．
（1）曲线 在点（1，f（1））处的切线斜率为0，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜x2在（1，＋ ）恒成立，求a的取值范围．
15．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 ， ．
（1）求 的最大值与最小值；
（2）若 对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
