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专题17 参变分离法解决导数问题
1.分离变量法
在处理含参 的函数 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程 ，转
化为 这样就将把研究含参函数 与 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数 与
动直线 的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。
（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；
（2）解题过程中可能遇到的问题：
①参数无法分离；②参数分离后的函数 过于复杂；
③讨论位置关系时可能用到 的函数极限，造成说理困难.
2.分类：
分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种
注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！
一、单选题
1．已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，
显然 在区间 的最小值为 ，所以 ．故选：B．
2．若函数 在 上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 在 上是增函数，
所以 在 上恒成立，即 ，即 恒成立，
又 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，故选：B
3．已知函数 （ 为自然对数的底数），若 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】若 在 上恒成立，则 在 上恒成立等价于
在 上恒成立，令 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，故 .故选：B.
4．关于x的方程 在 内有解，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时，可得 显然不成立；
当 时，由于方程 可转化为 ，
令 ，可得 ，
当 时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减，
所以当 时，函数 取唯一的极大值，也是最大值，
所以 ，所以 ，即 ，所以实数m的取值范围 .故选：A.
5．若函数 没有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可得， 没有零点，
或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），即 没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.
令 ， ，则 ，
令 则 在 上单调递减且 ，
所以当 时， ， ， 单调递增，
当 时， ， ， 单调递减，
故当 时， 取得最大值 ，又 时， ， 时， ，
结合图象可知， 即 .故选：C.
6．若对任意正实数x，不等式 恒成立，则实数a的范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为不等式 恒成立， ，所以 恒成立，
设 ，则 ，
因为 ，令 ，则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故选：A7．已知函数 ，若存在 ，使得 ，则实数a的取值范围为：（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可得 在 上能成立，所以 在 上能成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递减，且
，即 ，因此 在 上单调递增，在 上单调递减，所以
，所以 ，故选：B.
8．当 时， 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在区间 上递增，在区间 上递减，故 ，故 .故选：A.
9．对任意 ，不等式 恒成立，则正数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．e
【解析】∵ ，∴ ．
令 ，则不等式化为 ．
∵ 为增函数，∴ ，即 ．
令 ，则 ，当 时， ，即 递减；当 时， ，即 递增；所以 ．∴实数a的最大值为e．故选：D
10．已知函数 ，若当 时， 有解，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【解析】 有解，即 ，设 ，则 ，
不等式转化成 在 时有解，则 有解，记 ，
则 ，再令 ，
则 ，那么 在 时递增，所以 ，于是 ， 在 时递
增，故 ，记 ， ，于是 有
解，只需要 .故选：C
二、多选题
11．已知函数 有两个零点 ， ，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． D．若 ，则
【解析】令 得 ，记
，令 得
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
且 时， ， ， 时，据题意知 的图象与 的图象有两个交点，且交点的横坐标为 ， ，
所以 ，故A选项正确；
因为 ，所以当 时， ， 递增，
因为 ，所以 ，故B选项正确；
当 时， ， ，
又因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，所以C选项错误；
因为 在 递增，在 递减，且
所以 ， ，因为 ，所以
因为 ，所以
所以 ，故D选项正确
故选：ABD.
12．已知函数 在区间 上只有一个零点，则实数 可取的值有（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可知， 在区间 上只有一个根，
等价于 在区间 上只有一个根，
等价于 与 的图像有唯一一个公共点，
由 得 ，令 得 ，当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
∴在区间 内，当 时 取极小值也是最小值，∴当 ，
又 ， ，且 ，
则满足条件的 的取值范围是 ，
所以 可取的值为 、 .故选:CD.
13．设函数 (e为自然对数的底数).若存在 使 成立，则实数a的取值可
以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】易知 在定义域内单调递增，若 ，则 ，若 ，则
.故存在 使 成立，则 ，即 在 上有解.
故 ，
设 ，则 ，令 ，
在 上 单减，在 上 单增，
故 即 ， 在 上单增，又 ，故 .
故选：BC.
14．已知定义在R上的奇函数 在 上单调递增，则“对于任意的 ，不等式
恒成立”的充分不必要条件可以是（ ）
A． B．C． D．
【解析】奇函数 在 上单调递增，则在 上也单调递增，即 是R上的单增函数；
，
则 ， ，即 在 上恒成立；
令 ，
则 ，
记 ， 恒成立，即 单减，
又 ， ，则必有 ，使 ，
故 ， ， ， ，
因此 ， ， 单增， ， ， 单减，
因此 ，
由 代入得 ，
故若使 在 上恒成立，则 ，
根据充分不必要条件的定义可以判断C、D正确，A、B错误；故选：CD.
三、填空题
15．若函数 是R上的减函数，则实数a的最小值为_______
【解析】由题意得， 在R上恒成立，即 在R上恒成立，
令 ，当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，
故 ，故 ，即函数a的最小值为 ，16．已知函数 ，若对任意正数 ，当 时，都有 成立，
则实数m的取值范围是______．
【解析】由 得，
令 ，∴ ，∴ 在 单调递增，
又∵ ，∴ ，在 上恒成立，即
令 ，则
∴ 在 单调递减，又因为 ，∴ ．
17．已知函数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实
数 的取值范围为___________.
【解析】因为 ，
所以 为奇函数，因为 ，所以 为 上的增函数，
由 得 ，则 ，
因为 ，所以 ．
令 ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故 ，所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 .
18．已知 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是________．
【解析】依题意，知 ，即 对任意 恒成立，从而 ，因此由原不等式，得 恒成立．令 ，则 ．令 ，得 ．当
时， ．函数 在 上单调递增；当 时， ，函数 在 上单调递
减，所以 ，故实数 的取值范围是 ．
四、解答题
19．已知函数 .
（1）求函数 在区间 上的最大值和最小值(参考数据： )；
（2）若不等式 有解，求实数a的取值范围.
【解析】（1）求导得： ，令 可得 ，令 可得
，于是函数 在 单调递增，在 单调递减，
于是当 时， 取最大值为 ，
又 ， ，于是当 时， 取最小值为
综上：当 时， 取最大值为 ，当 时， 取最小值为
（2）原不等式即为： ，可化简为
记 ，则原不等式有解可转化为 的最大值
求导得： ，于是函数 在 上单调递增，在 上单调递减
于是： ，于是 ，解得： .
20．已知函数 ， .
（1）若 的图像在 处的切线经过点 ，求 的值；（2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）由题知 的定义域为 .
又 ，则 .又因为 ，所以切点为 .
所以 ，解得 .
（2）当 时， .
当 时，不等式 恒成立，即不等式 ， 恒成立.
设 ， ，则 .
因为 ，所以 .
所以 在 上单调递减，从而 .
要使原不等式恒成立，即 恒成立，故 .即 的取值范围为 .
21．已知函数 ，曲线 在点 处的切线 的斜率为4.
(1)求切线 的方程；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】(1)函数 的定义域为 ， ，
由题意知， ，所以 ，
故 ，所以 ，切点坐标为
故切线 的方程为 ．
(2)由（1）知， ，所以 ，可化为： ，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取得最大值 ，
故当 时， 在 上恒成立，
所以实数 的取值范围是 .
22．已知函数 ．
(1)若 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；
(2)若曲线 存在过点 的切线，求证： ．
【解析】(1)由已知有 恒成立，即代表 恒成立，
因为 ，故 恒成立，令 ，故 ，
令 ，解得： ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 的最大值为 ，
故 ，所以 的取值范围是 ；
(2)：设切点为 ，又因为 ，
所以函数在 处的切线斜率 ，
所以函数在 处的切线方程为： ，又切线经过点 .故可得： ，
化简整理可得： ，令 ，
，令 ，解得 ，故 在 上单调递减， 单调递增，
故 在 的最小值为 ，故： ，得证．
23．已知函数
(1)当 时，求函数f（x）的单调区间；
(2)若函数 在 上有两个极值点，求实数 的取值范围.
【解析】(1)当 时， ，
，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
所以 的增区间是 ， 减区间是 ．
(2) ，
，
由题意 在 上有两个不等实根，即 有两个实根，
设 ，则 ，
时， ，所以 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，所以 ，其中 ， ，
所以当 时， 在 上有两个实根，
即当 时，函数 在 上有两个极值点.
24．已知函数 的图象在点 处的切线与直线 平行（e是自然对数
的底数）.
(1)求函数 的解析式；
(2)若 在 上恒成立，求实数k的取值范围.
【解析】(1)由题意得 ，所以 ，
又 的图象在点 处的切线与直线 平行，所以 ，
解得 ，所以 .
(2) 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
因为 ，所以 .
令 ，则 .
当 时， ；当 时， .
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，故 ，即实数k的取值范围是 .
25．已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；(2)当 时， ，求 的取值范围.
【解析】（1） 时， ， ，
令 ， .
∴ 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
（2）法一：常规求导讨论
.
①当 时，令
且当 时， ， ；当 时， ， .
注意到 ， 时， 符合题意.
②当 时， ， 在 上 ，
此时 符合题意.
③当 时，令 ， ，
且当 在 上 ， 上 ， 上 ，
此时 符合题意.
③当 时，令 ， ，
且当 在 上 ， 上 ， 上 ，此时只需 ，显然成立.
④当 时，令 ， ，
且当 在 上 ， 上 ， 上 .
此时只需 .
综上：实数 的取值范围 .
法二：参变分离
① 时，不等式显然成立.
②当 时， ，令 ，
.
令 且当 时， ， ；当 时， ， ，
∴ ，∴ .
26．已知函数 ， .
（1）若 在 处取得极值，求 的值；
（2）若 在区间 上单调递增，求 的取值范围；
（3）若函数 有一个零点，求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，则 ，
由于 ，则 ，∴ ，当 时，
因为 的定义域为 ，则 时， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以 在
处取得极小值，所以 符合题意，故 .
（2） ，∴ 在 恒成立，
即 在 恒成立，∴ 的取值范围为 .
（3） 在 有1个根
即方程 在 有1个根，
令 ， ，则
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，且 ，
， 时， ，
当 即 时，1个根；当 即 时，1个根，
综上： 的取值范围为 .
27．已知函数 .
（I）求函数 的单调区间和极值；
（II）若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（I）因为 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；且 ，无极小值；
（II）因为 在区间 上恒成立，
所以 在区间 上恒成立，设 ，则 ，
因为 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 .
28．已知函数 ．
(1)求函数 的最小值；
(2)若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围．
【解析】(1)求导： ，即
当 解得 当 解得
的单调递减区间为 ；单调递增区间为
函数 的最小值为
(2)由（1）得 ，所以要使得 恒成立，必须满足：
，下面证明：当 时 恒成立
， 只需证明 ，
设 ，则
由（1）得 且只在 取等号，当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增
.综上 ．
解法二：（变量分离）整理得：
只需 ，先证明： ，构造 ， ，
当 时， ， 单调递增 ，从而证明得
，
当仅且当 即 处取得等号. ， . ，
解法三：（不分离）
得
下面证明当 时，
只需证明
设 ，
则
由（1）得 且只在 取等号
当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增.
综上 ．
29．已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若当 时， 恒成立，求a的取值范围.
【解析】(1)因为 ，所以 ，又 ，
所以切线方程为 ，即
(2)由 知 ，因为
所以 ，当 时， ，
当 时， ，当 时，
构造函数 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故 时， ，因此
当 ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
故 时， ，因此 ，综上：
30．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；(2)设函数 ，若 在其定义域内恒成立，求实数 的最小值；
(3)若关于 的方程 恰有两个相异的实根 ，求实数 的取值范围，并证明 .
【解析】(1)当 时， ，所以 ， ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为： ，即
(2)由题意得， ，因为 在其定义域内恒成立，
所以 在 恒成立，即 在 恒成立，
等价于 ，令 ，所以 ，
令 解得 ，令 解得 ，所以函数 在 单调递增，
在 单调递减，所以 ，所以 ，即 ，故 的最小值为 .
(3)先证明必要性：
由 得 ，即 ，
令 ，则 ，
设 ，则 ，因为 ，所以 恒成立，
函数 在 单调递减，而 ，故在 上 ， ，
单调递增，在 上 ， ， 单调递减，
所以 .
故方程 恰有两个相异的实根只需： ，
所以实数 的取值范围是 ；
再证明充分性：当 时，方程 恰有两个相异的实根，
条件等价于 ，即 ，即 与 ，
当 ， 时有两个不同的交点，所以 ，
由上面必要性的证明可知函数在 单调递增，在 单调递减，
所以 在 时的最大值为： ，最小值趋近于负无穷，
所以当 时，程 恰有两个相异的实根，即充分性成立.
下证： ，不妨设 ，则 ， ，
所以 ，因为 ，
所以
，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以当 时， ，
即 ，所以 ，所以 .
