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第13 课 导数与函数的单调性（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023春·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）对任意的 ，当 时，
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将不等式等价变形，构造函数 ，再借助函数单调性、最值求解作答.
【详解】依题意， ，令 ， ，
则对任意的 ，当 时， ，即有函数 在 上单调递减，
因此， ， ，而 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 是定义在R上的偶函数，当 时， ，则不等
式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导函数证明 在 单调递增，再根据奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】当 时， ，
因为 ，所以 恒成立，
所以 在 单调递增，
又因为 是定义在R上的偶函数，所以 在 单调递减，
所以 ，
所以由 可得 ，解得 ，
故选:D.
3．（2023春·河南开封·高二校考期中）若函数 在区间 上单调递增，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求导数，利用 在 上恒成立，分离参数进行求解.
【详解】 ，因为 在区间 上单调递增，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
因为二次函数 的图象的对称轴为 ，且开口向上
所以 的最小值为1，所以 .
故选：B.
4．（2023春·重庆北碚·高三西南大学附中校考期中）已知函数 为偶函数，定义域为R，当 时，
，则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导函数小于0，得到偶函数 在 上单调递减，从而对不等式变形后得到 ，
解出解集.
【详解】因为当 时， ，故偶函数 在 上单调递减，
故 变形为： ，
所以 ，显然 不满足不等式，
解得： ，故 .
故选：B
二、多选题
5．（2023·广东汕头·统考三模）设函数 的导函数为 ，则（ ）
A． B． 是函数 的极值点
C． 存在两个零点 D． 在(1，+∞)上单调递增
【答案】AD
【分析】首先求函数的导数，利用导数和函数的关系，即可判断选项.
【详解】 ，所以函数 在 上单调递增，所以函数不存在极值点，故B
错误，D正确； ，故A正确；
，得 ， 中， ，
所以 恒成立，即方程只有一个实数根，即 ，故C错误.
故选：AD6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则（ ）
A． 在 单调递增
B． 有两个零点
C．曲线 在点 处切线的斜率为
D． 是奇函数
【答案】AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可判断零点个数，根据导数的几何意义，以及奇偶性
的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A： ，定义域为 ，则 ，
由 都在 单调递增，故 也在 单调递增，
又 ，故当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
故A正确；
对B：由A知， 在 单调递减，在 单调递增，又 ，
故 只有一个零点，B错误；
对C： ，根据导数几何意义可知，C正确；
对D： 定义域为 ，不关于原点对称，故 是非奇非偶函数，D错误.
故选：AC.
三、填空题
7．（2023春·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学校考阶段练习）已知函数 ，则不等式
的解集是 .【答案】
【分析】由定义可判断函数的奇偶性，求导可得其单调性，从而可求解不等式.
【详解】因为函数 ，所以 ，即函数 为奇函数，
且 ，则函数 为增函数，
则不等式 等价于 ，
即 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：
8．（2023·安徽宣城·统考二模）已知函数 ，则不等式 的解集是 ．
【答案】
【分析】令 ，判断 的奇偶性与单调性，则问题转化为 ，即 ，即可得
到自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为 ，令 ，
则 ，
则函数 为偶函数，
又 ，
当 时， ， ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又 ，
由 可得 ，即 ，即 ，所以 ，解得 ，即不等式的解集是 .
故答案为：
9．（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知函数 ，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】先根据函数特点构造 ，得到其奇偶性和单调性，再对不等式
变形得到 ，根据单调性得到 ，解不等式求出答案.
【详解】令 ，定义域为R，
且 ，
所以 为奇函数，
变形为 ，
即 ，
其 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 在R上单调递增，
所以 ，解得： ，
所以解集为 .
故答案为：
四、解答题
10．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；(2)讨论 的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何性质求解即可.
（2）首先求导得到 ，再分类讨论 ， ， ， 情况的单调性即可.
【详解】（1）由已知 ，则 ，
当 时， ， ，
则曲线 在 处的切线方程为 ，即
（2）由（1）知， ，
①当 时， ，
当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减；
②当 时，由 ，得 ，
（ⅰ）当 时， ，
当 时， ， 在 ， 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减；
（ⅱ）当 时， ， ， 在 单调递增；
（ⅲ）当 时， ，当 时， ， 在 ， 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减；
综上可得：①当 时， 在 单调递增，在 单调递减；
②当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减；
③当 时， 在 单调递增；
④当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减.
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知 且 且 且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，利用导数研究其单调性后可得 的大小.
【详解】因为 ，故 ，同理 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 为减函数，在 为增函数，
因为 ，故 ，即 ，而 ，
故 ，同理 ， ， ，因为 ，故 ，
所以 .
故选：D．
【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其
单调性，此类问题，代数式变形很关键．
二、多选题
2．（2023春·江苏南京·高三江苏省江浦高级中学校考阶段练习）已知函数 ，下列命题
正确的是（ ）
A．若 是函数 的极值点，则
B．若 是函数 的极值点，则 在 上的最小值为
C．若 在 上单调递减，则
D．若 在 上恒成立，则
【答案】ABC
【分析】对于A，由 可求出 的值，对于B，由选项A，可求得 ，然后利用导数可求出
在 上的最小值，对于C，由题意可得 ，可求出 的范围，对于D，将问题转化为
在 上恒成立，构造函数 ，再利用导数求出其最大值即可
【详解】对于A，由 ，得 ，因为 是函数 的极值点，所以
，得 ，经检验 是函数 的极小值点，所以A正确，
对于B，由选项A，可知 ，则 ，由 ，得 或 ，由，得 ，所以 在 和 递增，在 上递减，所以当 时，
时， 取得最小值 ，所以B正确，
对于C，因为 在 上单调递减，所以 ，即 ，得 在
上恒成立，令 ，则 ，所以 在 单调递增，所以
，即 ，所以 ，所以C正确，
对于D，由 在 上恒成立，得 在 上恒成立，即
在 上恒成立，令 ， ，则 ，所
以 上单调递增，所以 ，所以 ，所以D错误，
故选：ABC
三、填空题
3．（2023春·贵州黔西·高二校考期中）过点 与曲线 相切的直线方程为
．
【答案】
【分析】由导数的几何意义得出切线方程 ，进而由切点的位置得出 ，从而得
出切线方程.
【详解】设切点坐标为 ， ， .
则切线方程为 ，因为 在切线上，所以 ，即
又 ，所以 ，
令 ， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以方程 只有唯一解为 .
即切点坐标为 ，故所求切线方程为 ，即 .
故答案为：
四、解答题
4．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 ，证明： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后对其导函数进行通分再对其分子因式分解，分类讨论 与 时 的单调性即
可.
（2）求出 ，将所证转化为 ，进而转化为证明 恒成立，构造函数
求其最大值即可证明.
【详解】（1）∵ ，定义域为 ，
则 ，①当 时， ， 在 上单调递增；
②当 时，当 时， ， 在 上单调递增
当 时， ， 在 上单调递减，
综上，①当 时， 在 上单调递增，
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）可得，当 时，
.
要证 ，
只需证 ，
即证 恒成立.
令 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
∴ 的最大值为 ，即： .
∴ 恒成立，
【三层练能力】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，则下列关系式恒成立的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造 ， ，求导研究其单调性，分类讨论得到正确选项.
【详解】构造 ， ，
则 ，
当 时， ， ，
所以 在 单调递增，
因为 ，
当 ， 时，则 ,所以 所以
单调递减，所以 ;
当 ， 时 ,所以 所以 ,
单调递增，所以 .
故选：A
【点睛】关键点点睛，构造函数，本题中构造 进行求解，利用函数单调性比较函数值的大
小，.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在 上的函数 满足 为
的导函数，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】构造函数 ，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】令 ，所以 ，因为 ，所以
，化简得 ，
所以 是 上的奇函数；
，
因为当 时， ，
所以当 时， ，从而 在 上单调递增，又 是 上的奇函数，所以 在
上单调递增；
考虑到 ，由 ，
得 ，即 ，
由 在 上单调递增，得 解得 ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：B.
