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第05 讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
内容导航
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知识解构
知识点1 一元二次不等式与三个二次的关系 知识点2 分式不等式的解法
知识点3 绝对值不等式的解法 知识点4 高次不等式的解法（穿根法）
知识点5 指数对数不等式的解法 知识点6 含参一元二次不等式的解法
题型破译 (含超链接）
题型
1
一元二次不等式的基础解法
【方法技巧】
【易错分析】
题型
2
三个二次的综合应用
【方法技巧】
【易错分析】
题型
3
分式与高次不等式的解法
【方法技巧】
【易错分析】
题型
4
绝对值与指数对数不等式的解法
【方法技巧】
【易错分析】
题型
5 含参一元二次不等式的解法
【方法技巧】
【易错分析】
题型
6 含参不等式恒成立
/ 能成立问题
【方法技巧】
【易错分析】
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
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命题透视·考情前瞻
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
分式与高次不等式
——
全国二卷 T4 (5 分)
全国Ⅰ卷T1（5 分）
全国Ⅰ卷T10（5 分）
绝对值不等式
——
——
全国甲卷（理） T21
（6 分）
全国甲卷（文） T23
（12 分）
指数对数不等式
——
全国一卷 T5 (5 分)
——
含参不等式恒成立 /
能成立
——
全国一卷 T22 (4 分)
全国甲卷（文） T20
（6 分）
考情分析
一元二次不等式是高中不等式板块的核心基础，是解决函数定义域、值域、单调
性、导数等问题的必备工具，新高考弱化纯技巧性运算，强化与其他知识的融合
考查，突出数学运算与逻辑推理素养。
1.
题型：单选 / 多选第 1～8 题（5 分），填空题第 13～15 题（5 分），
解答题穿插于函数、导数、数列、解析几何（3～6 分），总分 5～11 分；
整体难度中等偏易，属于高频必考内容。
2.
四大考查方向：
① 一元二次不等式的基础解法及三个二次的关系；
② 分式、高次、绝对值、指数对数不等式的转化求解；
③ 含参不等式的分类讨论求解；
④ 不等式恒成立、能成立问题求参数范围。
3.
综合融合：常与集合运算、函数定义域 / 值域、导数单调性、数列通项、
圆锥曲线范围问题结合，作为工具性知识考查。
复习目标
1.
熟练掌握一元二次不等式的解法，深刻理解三个二次（二次函数、一元二次
方程、一元二次不等式）的内在联系；
2.
掌握分式、高次、绝对值、指数对数不等式的转化求解方法；
3.
掌握含参一元二次不等式的分类讨论标准与步骤；
4.
熟练运用分离参数法、最值法解决不等式恒成立、能成立问题；
5.
能将实际问题转化为不等式模型求解取值范围。
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
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知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
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知识点1 一元二次不等式与三个二次的关系
1、一元二次不等式的一般形式a x
2+bx +c>0或a x
2+bx +c<0（a≠0），其中a,b,c 为常数。
2、三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx
＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{ x | x 1＜
x ＜
x 2}
∅
∅
注意：
2.1、有关分数的性质
(1)若a>b>0，m>0，则
；
(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b⇔
.
2.2、对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a ＝
0 时的情形.
2.3、当Δ<0 时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.
3、一元二次不等式的解法步骤
1.
化正：将二次项系数化为正数；
2.
求根：求对应一元二次方程的根；
3.
画图：画出对应二次函数的草图；
4.
写解集：根据图象写出不等式的解集。
自主检测（2026·云南昆明·模拟预测）（多选题）若函数
有两个极值点，设这两个极
值点为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】先对函数求导，将两个极值点转化为导函数对应的二次方程的两个正根，利用韦达定理直接判断
选项A，B；再根据根的范围确定
，分析函数单调性，结合
处的函数值，判断
，
与
的大小关系，验证选项C，D．
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【详解】
，
，
因为
有两个极值点
，
所以
在
上有两个不同的根，
所以方程
有两个不同的正根，
根据韦达定理得
，
，A 正确，B 错误；
因为
且
，所以
，
当
或
时，
；当
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
，C 正确，D 正确．
知识点2 分式不等式的解法
核心思想：转化为整式不等式求解，注意分母不能为 0。
1.
f ( x)
g( x) >0⇔f ( x)· g( x)>0
2.
f ( x)
g( x) <0⇔f ( x)· g( x)<0
3.
f ( x)
g( x) ≥0⇔{f ( x)· g( x)≥0
g( x)≠0
4.
f ( x)
g( x) ≤0⇔{f ( x)· g( x)≤0
g( x)≠0
自主检测（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】依题意
，
，则
.
知识点3 绝对值不等式的解法
1.
基本类型
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￮| x|<a(a>0)⇔-a< x<a
￮| x|>a(a>0)⇔x<-a 或x>a
2.
拓展类型
￮|f ( x)|< g( x)⇔- g( x)<f ( x)< g( x)
￮|f ( x)|> g( x)⇔f ( x)<- g( x)或f ( x)> g( x)
￮|f ( x)|>|g( x)|⇔f
2( x)>g
2( x)
自主检测（2026·天津·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题知
，解得
，故
，
，解得
，故
，
．
知识点4 高次不等式的解法（穿根法）
1.
步骤：
a. 化正：将不等式化为( x - x1)( x - x2)…( x - xn)>0（或 < 0）的形式，确保最高次项系数为正；
b. 标根：将所有根标在数轴上；
c. 穿线：从数轴右上方开始，按照 “奇穿偶回” 的原则穿线（奇次根穿过数轴，偶次根不穿过）；
d. 写解集：根据数轴上方（>0）或下方（<0）的区间写出解集。
自主检测（2025·江苏宿迁·二模）设函数
， 其中
.若不等式
对任意
恒成立，则
________.
【答案】
/
【分析】先设
，代入函数解析式计算得出根，再对应相等计算求解.
【详解】若
，取
，所以
，
则
，
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所以
的根为
且
，
的根为
且
，
由于
与
均为首项系数为正的三次多项式，要使其乘积
恒成立，则它们的零点
必须完全相同，
所以只有当
时，
成立，
所以
，所以
.
故答案为：
.
知识点5 指数对数不等式的解法
核心思想：利用指数函数和对数函数的单调性转化为整式不等式，注意定义域限制。
1.
指数不等式
￮当a>1时，a
f ( x)>a
g( x)⇔f ( x)> g( x)
￮当0<a<1时，a
f ( x)>a
g( x)⇔f ( x)<g( x)
2.
对数不等式
￮当a>1时，loga f ( x)>loga g( x)⇔{
f ( x)>0
g( x)>0
f ( x)>g( x)
￮当0<a<1时，loga f ( x)>loga g( x)⇔{
f ( x)>0
g( x)>0
f ( x)<g( x)
自主检测（2026·重庆·二模）已知集合
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】不等式
，即
，即
，
解得
，故
，
不等式
可化为
，即
，
解得
，故
，
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所以
.
知识点6 含参一元二次不等式的解法
分类讨论的三个层次：
1.
讨论二次项系数a的符号：a>0、a=0、a<0；
2.
讨论判别式Δ的符号：Δ>0、Δ=0、Δ<0；
3.
当Δ>0时，讨论两根x1, x2的大小关系。
自主检测（2026·西藏林芝·二模）（多选题）已知关于
的不等式
的解集为
，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集为
D．不等式
的解集为
【答案】AD
【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得
、
、间关系，即可判断B；利用
、
、间
关系，计算即可判断C、D.
【详解】对于选项A：由关于
的不等式
的解集为
，可得
，故A 正确；
对于选项B：由题意可得
，
故
，
，则
，故B 错误；
对于选项C：
，由
，故
，即
，
所以不等式
的解集为
，故C 错误；
对于选项D：
，
由
，则该不等式解集为
，故D 正确.
题●型●破●译
题型1 一元二次不等式的基础解法
例1-1 已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【分析】先解出一元二次不等式，然后根据集合的交集运算即可
【详解】由题意可得：
集合B 内元素为小于3 的整数，则
故选：C
例1-2 设集合
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】化简集合A，B，再利用数轴求出结论.
【详解】由
得
，则有
，
，
∵
在
上单调递增，则
，
，如图，
观察数轴得
.
故选：D
方法技巧 不等式性质的快速判断
1.
严格按照 “化正→求根→画图→写解集” 四步求解；
2.
对于Δ≤0的情况，直接根据二次函数图象写出解集；
3.
注意不等式中的等号是否成立。
易错分析 忽略前提条件
1. 未将二次项系数化为正数，导致解集方向错误；
2. 求根时计算错误；
3. 忽略等号条件，导致解集漏写端点。
【变式训练1-1】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出
再求
即可.
【详解】因为
，所以
，
又
， 所以
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故选：B.
【变式训练1-2】（2026·北京·三模）设全集
，集合
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
可得：
，所以
，
由
，所以
，所以
.
【变式训练1-3】（2026·福建漳州·三模）已知
是定义域为
的奇函数，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用奇函数定义域含
时
及
求出参数
，再将函数变形判断单调性，
最后结合奇偶性与单调性脱去函数符号，转化为一元二次不等式求解．
【详解】因为
是定义域为
的奇函数，
所以
，所以
，所以
．
因此，
，
，
即
，所以
．
因为
，所以
．
又
是减函数，
所以
，解得
．
【变式训练1-4·变载体】（多选题）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知点
，点
为圆
上的动点，则（ ）
A．
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B．存在点
使
C．
构成的三角形面积最大值为
D．若
恒成立，则
的取值范围为
【答案】AD
【分析】先求出圆
的圆心和半径，由圆上的点到定点距离的最小值等于圆心到定
点的距离减去圆半径，求得
，结合两点间距离公式及二次函数的最值，判断A；根据正弦定
理及正弦函数的最值求得
的范围，从而得到
的范围判断B；分析
构成的三角形
面积最大值情况，判断C；由
恒成立，得
，得关于
的不等式，求解可得
的取值范
围，判断D.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
，又
，
对于A，因
为圆
上的动点，则
.
而
，
当且仅当
时，等号成立，所以
，所以A 正确；
对于B，由
，得点
在圆
外.
当
三点共线时，
；
当
三点不共线时，由正弦定理得，
，
所以
.
因为
，所以
.
又
，所以
.
综上所述，
，所以B 错误；
对于C，设点
到直线
的距离为
，则
的面积
.
因为点
在圆上，所以
的最大值等于半径为，所以
.
当
或
时，
.
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所以
构成的三角形面积无最大值，所以C 错误；
对于D，若
恒成立，则
恒成立，
即
恒成立，化简得
，
解得
或
，所以D 正确.
题型2 三个二次的综合应用
例2-1 已知关于
的不等式
的解集为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得b＝3a，c＝－4a，再由基本不等式计算即可
得出结论．
【详解】由
的解集为
可知，
1 和
是方程
的两个实数根，且a＜0，
由根与系数的关系可得
，即可得
，
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立；
因此
．
故选：D．
例2-2（2025·云南昆明·模拟预测）（多选题）已知关于x 的不等式
的解集为
，
则下列说法正确的有（ ）．
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A．
B．不等式
的解集为
C．
D．
【答案】AB
【分析】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到
之间
的关系，可判断BCD.
【详解】关于x 的不等式
的解集为
，
由不等式的解集为两根之间，得
，故A 正确；
由题意可知
和4 是方程
的两根，
可得
，解得
，
对于B，
，所以
，
所以不等式的解集为
，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
对于D，当
时，
，故D 错误.
故选：AB．
方法技巧
1.
已知一元二次不等式的解集，可转化为对应二次方程的根，利用韦达定理求参数；
2.
注意二次项系数的符号与解集形式的对应关系；
3.
二次函数的零点、方程的根、不等式的解集三者可以相互转化。
易错分析
1. 忽略二次项系数的符号，导致参数求解错误；
2. 韦达定理公式记错；
3. 转化时混淆不等式的方向。
【变式训练2-1·变载体】（2026·四川广安·模拟预测）已知函数
的解集为
．在数列
中有
，当
时，记
(1)求数列
的通项公式．
(2)设数列
满足
，数列
的前
项和为
，求证：
．
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【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由韦达定理求出
的值，即可写出答案；
（2）根据题意写出数列
的通项公式，利用裂项相消求出
，即可得证.
【详解】（1）由题意可知：
是函数
的两个零点.
由韦达定理可知：
所以
当
时，
所以
;
（2）已知
，由（1）可得
，
当
时，
.
当
时，
.
则
，
去括号可得
当
时，
，满足
.
当
时，
，因为
，所以
，则
，即
.
综上，
.
【变式训练2-2·】（2026·云南·模拟预测）已知二次函数
，且
的解集为
．
(1)求函数
的解析式；
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(2)若函数
，求
在区间
上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次不等式解集与方程根的关系，结合韦达定理求解即可.
（2）对
变形化简，结合函数的单调性求解即可.
【详解】（1）因为
的解集为
，所以
，且
的两根为
和2.
所以
，
，解得
，
.
所以
.
（2）
.
因为
，所以
，令
，则
.
又
在
上单调递增，
，
，
所以
在
上的值域为
，
即
在区间
上的值域为
.
【变式训练2-3】（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于
的不等式
的解集为
.
(1)求a，b 的值并求解不等式
的解集；
(2)当
，
且满足
时，有
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
，
；解集为
.
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出
，
的值，进而求解
不等式.
（2）根据基本不等式求出
的最值，结合不等式恒成立即可求出范围.
【详解】（1）由题意知，1 和2 是
的两个根，且
，
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所以
，
，解得
，
.
将
，
代入
可得，
，即
，
解得
或
.
所以解集为
.
（2）由（1）知，
（
，
），
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
的最小值为8.
又
恒成立，故
恒成立，即
，解得
.
的取值范围为
.
题型3 分式与高次不等式的解法
例3-1 已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可知：集合
，
且集合
，
所以
.
例3-2（2026·湖南怀化·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，
，
.
方法技巧 求代数式范围的规范步骤
1.
分式不等式必须移项通分，不能直接乘分母；
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2.
穿根法严格遵循 “奇穿偶回” 原则；
3.
注意分母不为 0 和偶次根的特殊情况。
易错分析 范围扩大问题
1.
分式不等式直接乘分母，忽略分母符号和不为 0 的条件；
2.
穿根时忘记 “奇穿偶回”，导致解集错误；
3.
高次不等式未将最高次项系数化为正数。
【变式训练3-1】（2026·辽宁辽阳·二模）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得.
【详解】
，
故
，解得
或
，
故该不等式的解集为
.
【变式训练3-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）不等式
的解集为__________．
【答案】
【分析】转化成分式不等式组，分别求解再取交集.
【详解】由题意得：
，
由
，化简得
，解得：
；
由
，化简
，解得
；
取交集得：
【变式训练3-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
．
(1)求
极值点的个数，并解不等式
；
(2)求证：若
，则
【答案】(1)2 个；
；
(2)证明见解析
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【分析】（1）求导
，由
不同实根的个数判断；由
，利用穿根法求解；
（2）由
，设
，代入
求解.
【详解】（1）因为
，
所以
，
令
，
因为
，两个根为
，
当
或
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取得极值，所以有两个极值点；
由
，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
所以
的解集为：
.
（2）由
，
设
，
则
，
，
所以
，
所以当
时，
.
题型4 绝对值与指数对数不等式的解法
例4-1 设集合
，
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解不等式求得集合
，然后利用集合交集定义运算的结果.
【详解】由
可得
，则
，即
，
又由
可得
，则
，即
，
∴
.
故选：A.
例4-2（2026·天津滨海新区·三模）已知
：
，
：
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据对数函数的单调性及分式不等式的解法解不等式，再结集合间的关系判断求解.
【详解】因为
，
，
因为
是
的真子集，
所以
是
的必要不充分条件.
方法技巧
1.
绝对值不等式根据类型选择合适的等价转化方法；
2.
指数对数不等式先化为同底数，再利用单调性转化；
3.
对数不等式必须保证真数大于 0。
易错分析
1. 绝对值不等式漏写等价条件；
2. 指数对数不等式忽略底数范围对单调性的影响；
3. 对数不等式忘记考虑真数的定义域。
【变式训练4-1】（2026·山西忻州·模拟预测）设集合
，
，则
中整
数的个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．16
【答案】B
【分析】先分别求解对数不等式和分式不等式得到集合
、
，计算二者的交集后统计交集中的整数个数
即可.
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【详解】对数函数
的定义域为
，不等式
可变形为
，
由于
在
上单调递增，因此
，即
.
分式不等式
等价于{
( x - 4)( x +1)≤0
x +1≠0
，解得
，即
.
，其中的整数为
，共4 个.
【变式训练4-2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，结合指数函数的单调性解得
，即
；
由
，解得
，即
，
则
【变式训练4-3·变考法】（2026·湖南湘西·三模）已知函数
的定义域为
,
，
且当
时，
，若f (ln β)< f (lnα )<f (0)，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集中所有区间的长度之和为（区间的长度
区间右端点
区间左
端点）
D．若关于
的不等式
有且仅有一个整数解，则
【答案】BCD
【分析】利用函数单调性的定义分析出函数
为
上的增函数，结合该函数的单调性与对数函数的单
调性得出
，再利用函数单调性与不等式的基本性质可判断A 选项；构造函数
且
，利用导数分析该函数的单调性，结合不等式的性质可判断B 选项；利用函数
的单调性
以及分式不等式的解法与题意可判断C 选项；由题设条件得出
，变形得出
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，对实数
的取值进行分类讨论，结合题意得出关于
的不等式，解之可判断D
选项.
【详解】因为函数
的定义域为
,
，
任取
、
且
，
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
，
所以
，所以
为
上的增函数，
又
，所以
，所以
．
对于A，
，则
，
又
，所以
，故A 错误；
对于B，由
在
上单调递增，可知
，故
，
对于
且
，
，
所以
在
上单调递减，则
，
所以β < 2sin β <sinα +sin β，故B 正确；
对于C，由
可得
，
即
，
等价于
，
借助数轴，得到各个因式之积的符号，如图所示：
所以原不等式的解集是
或
，区间的总长度为，故C 正确；
对于D，不等式
两边同时平方可得
，
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当
时，
恒成立，不符合题意，
当
时，
，则原不等式可化为
，
解得
或
，此时，原不等式有无数个整数解，不符合题意，
当
时，
，则原不等式可化为
，解得
，
若原不等式有且仅有一个整数解，则这个整数解为，所以
，
所以
，解得
，又因为
，所以
，故D 正确．
题型5 含参一元二次不等式的解法
例5-1（2026·青海西宁·二模）已知集合
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出集合
，再利用集合间的关系，即可求解.
【详解】由
，得到
，解得
，则
,
又
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
又
，当
时，
，
当
时，
，
由
是任何集合的子集，可得
满足条件，
综上所述，
.
例5-2（2026·陕西·二模）已知集合
，若
，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
所以
.
因为
，且
，
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所以
，即实数
的取值范围是
.
方法技巧
1.
按照 “二次项系数→判别式→根的大小” 的顺序进行分类讨论；
2.
分类时做到不重不漏；
3.
最后将各种情况的结果综合起来。
易错分析
1. 忽略二次项系数为 0 的情况；
2. 分类讨论不全面；
3. 比较根的大小时出错。
【变式训练5-1】（2026·湖北十堰·二模）已知集合
，
若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】已知集合
；
已知集合
，由于
可得是
的正因数；
当
时，
；当
时，
；当
时，
；当
时，
；
所以
；
因为
，集合
中的最大元素为
，所以
必须大于等于6，即
，所以实数
的取值范围是
.
【变式训练5-2】（2026·上海普陀·二模）设
，集合
，
，若集合
，且满足条件的A 恰有2 个，则a 的取值范围为______.
【答案】
或
【分析】由题意得出
是一元集，然后按
的正负或0 分类讨论求解．
【详解】由题意
的子集恰有2 个，所以
是一元集，
若
，则
，而
，
满足题意，
若
，则
，
，此时
，不合题意；
若
，则
，
，
只含一个元素，则
，
综上，
的取值范围是
或
．
【变式训练5-3】（2026·山西吕梁·二模）设
，函数
.若
恰有一个零
点，则a 的取值范围是_______.
【答案】
.
【分析】利用函数表达式求出函数的定义域，通过分离参数，构造新函数，分类讨论新函数的单调性，根
据单调性判断交点情况，从而得到答案.
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【详解】由于函数
恰有一个零点，等价于
只有一个解，
令
，因此
，可得
或
，
因此，函数
的定义域必须满足
或
，以及
，
①当
时，函数
的定义域为
，则
，令
，符合条件.
②当
时，由
可得，
或
，
先考虑
的情况，当
时，
显然不成立，因此，只考虑
且
的情况，
此时方程
变为
两边平方得
，
化简得
，
令
，则
，
令
，得
，
因此当
时，
单调递减，当
时，
单调递增；当
时，
单调递减，
且
时
，
时
，
，
，
因此当
时，方程
有两个解，即方程
有两个解；
当
时，方程
有唯一解，即方程
在
上有唯一解；
再考虑
的情况，此时方程
变为
，
两边平方得
，化简得
，
令
，则
，
令
，得
，
所以当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
且
时，
，
，
所以当
时，方程
有两个解，即方程
有两个解；
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当
时，方程
有唯一解，即方程
在
上有唯一解.
因此，要使函数
恰有一个零点，则
的取值范围只能取
.
③当
时，由
可得，
，
先考虑
的情况，则函数
的定义域为
，
此时方程
变为
，化简可得
，
由②可知
在
时没有解，因此不符合条件；再考虑
的情况，由于
，因此也
不符合条件.
综上所述，若函数
恰有一个零点，因此
的取值范围为
.
【变式训练5-4】（2026·云南怒江·模拟预测）已知
，使得不等式
成立的一个充分不必要条
件是
，则
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】解分式不等式，再结合充分不必要条件建立关于
的不等式求解即可.
【详解】由
，可得
且
.
因为
，所以
，故不等式的解集为
.
由
是不等式成立的充分不必要条件，可得
是
的真子集，
故
，解得
，
所以
的取值范围是
.
题型6 含参不等式恒成立 / 能成立问题
例6-1（2026·吉林·三模）若
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用对数函数的单调性将不等式转化为
，再通过换元和均值不等式求出表达式的最小
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值，进而求解
的范围.
【详解】由已知得
，所以问题转化为
恒成立，
设
，则
，代入上式，所以问题转化为
时
恒成立，则只需
即可，
因为
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
，所以
，解得
.
例6-2（2026·江西九江·模拟预测）（多选题）已知不等式
对任意实数
恒成立，则
实数
的可能取值为（ ）
A．
B．1
C．3
D．5
【答案】BC
【分析】首先根据绝对值三角不等式求
的最小值，再根据不等式恒成立，转化为
，
即可求解.
【详解】不等式
，
由不等式
恒成立，可知
，
即
，解得：
，
选项中满足条件的只有BC.
方法技巧 优先使用分离参数法
1.
恒成立问题优先使用分离参数法，转化为求函数的最值；
2.
恒成立：f ( x)>a恒成立⇔f ( x)min>a；f ( x)<a恒成立⇔f ( x)max<a；
3.
能成立：f ( x)>a能成立⇔f ( x)max>a；f ( x)<a能成立⇔f ( x)min<a；
4.
若无法分离参数，可结合二次函数图象分析。
易错分析
1、混淆恒成立与能成立问题的最值要求；
2、求函数最值时忽略定义域；
3、分离参数时除以负数未改变不等号方向。
【变式训练6-1】（2026·天津武清·模拟预测）已知函数
，当
时，对于
，
恒成立，则
取值范围为____________________．
【答案】
【分析】根据绝对值的概念，化简不等式，根据恒成立的条件，列出不等式，对不等式的参数进行分类讨
论，进而求出参数范围.
【详解】由
可得
，
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即
，
对于
是关于
的一次函数，因为
，
，所以
，
对于
，
恒成立，等价于
恒成立，
即
，
对于
，当
时，
不等式不能恒成立，不符合题意，
当
时，即
时，可得
，在
不等式恒成立，符合题意，
当
时，即
时，可知
，则此时函数
在
上单调递减，
所以
时，得
，解得
，即
取值范围为
；
对于
，可知
时，
不等式不能恒成立，不符合题意，
当
时，即
时，可得
，在
不等式恒成立，符合题意，
当
时，即
时，可知对称轴
，则此时函数
在
上单调递
增，
所以
时，得
，解得
，即
取值范围为
；
综上所述，
取值范围为
.
【变式训练6-2】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数
，
，不等式
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围为_____________．
【答案】
【分析】分类讨论先去绝对值符号，根据二次函数的对称性，依次讨论对称轴
与端点
的大小关系，结合最值求解一元二次不等式组即得.
【详解】令
，即
，
由题意可知
在R 上恒成立，
①若
，即
时，
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要满足题意需
，
整理得
，解得
或（
舍去），
故得
；
②若
，即
时，
要满足题意需
，
整理得
，
解得
或
，与前提矛盾舍去；
③若
，即
时，
要满足题意需
，
整理得
，解得
或（
，舍去），
故得
；
综上所述
或
故
【变式训练6-3】（2026·上海宝山·三模）已知
是实数，不等式
．
(1)若
，求上述关于
的不等式的解集．
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(2)若上述不等式对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将
看作整体，然后由二次不等式解法可得答案；
（2）由题可得
，然后由基本不等式求得
最小值可得答案.
【详解】（1）原不等式等价于
或
，
又
，
或
，
则不等式解集为：
；
（2）由题设可得
恒成立，即
，
注意到
，当且仅当
时取等号，从而
.
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
一、单选题
1．（2015·安徽·高考真题）函数
的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【答案】A
【分析】根据图象，由
确定
，求导后，确定
有两个不相等的正实数根
，
结合函数单调性，韦达定理即可求出答案.
【详解】由图象可知
，
有两个不相等的正实数根
，且
在
上单调递增，在
上
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单调递减，
所以
，
所以
，
综上：
，
，
，
.
故选：A
2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
【详解】
即为
即
，故
，
故解集为
.
故选：C.
二、填空题
3．（2025·上海·高考真题）不等式
的解集为_________．
【答案】
【分析】转化为一元二次不等式
，解出即可.
【详解】原不等式转化为
，解得
，
则其解集为
.
故答案为：
.
4．（2024·上海·高考真题）已知
，求
的
的取值范围_______.
【答案】
【分析】分
与
两段求解二次不等式可得.
【详解】根据题意知
.
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当
时，
,即
，解得
，则有
；
当
时，
,即
，
，即
时，不等式
都成立.
综上所述，
的
的取值范围为
.
故答案为：
.
5．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取
值范围是______.
【答案】
【分析】原问题等价于
恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可
得
，由右侧函数的单调性可得实数
的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数
的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
结合题意可得实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
一、解答题
1．（19-20 高一·全国·课后作业）已知集合
，
，求
.
【答案】
【分析】解出集合
、
，然后利用并集的定义可求出集合
.
【详解】
，
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或
，
画数轴如图，可知
.
【点睛】本题考查并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数集之间的运算时，可
充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题.
2．（19-20 高一·全国·课后作业）已知
,求
的取值范围.
【答案】
【解析】由
将两边平方，可得
，再表示出夹角的余弦值，根据余弦
函数的有界性得到不等式，解得.
【详解】解：
,则
.
,得
,
,
即
.
，
,
的取值范围是
.
【点睛】本题考查向量的数量积的应用，一元二次不等式的解法，属于基础题.
3．（19-20 高一·全国·课后作业）已知
，
，求
，
.
【答案】
或
，
或
.
【解析】求出集合
、
，然后利用交集和并集的定义可求出集合
，
.
【详解】
或
，
或
.
因此，
或
，
或
.
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【点睛】本题考查交集与并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数集之间的运算
时，可充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题.
4．（19-20 高一·全国·课后作业）要建造一个容积为
，深为6m 的长方体无盖蓄水池，池壁的造价
为95 元/
，池底的造价为135 元/
，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7 万元以内
（精确到0.1 m）？
【答案】长度应该在
内
【解析】设水池的长为
，宽为
，总造价为
元；从而可得
，
，从而求解二次不等式的解集．
【详解】解：设水池的长为
，宽为
；总造价为
元；
则
，故
；
；
则
；
解得，
；
故水池的长在
到
时，才能使水池的总造价控制在
万元以内．
【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．
5．（19-20 高一·全国·课后作业）当k 取什么值时，一元二次不等式
对一切实数x 都成立.
【答案】
【解析】对k 分k＜0 和k＞0 两种情况讨论，即得解.
【详解】解：当
时，要使一元二次不等式
对一切实数x 都成立，
则二次函数
的图象在x 轴下方，
即
，得
.
当
时，二次函数
的图象开口向上，一元二次不等式
不可能对一切实数
x 都成立.
综上可知，
.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．（19-20 高一·全国·课后作业）某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位:m)和汽车刹车前的车速v(单位:
)之间有如下关系:
.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽
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车刹车前的车速至少为多少(精确到
)?
【答案】
【分析】根据题意可得不等式
,结合一元二次不等式与一元二次方程的关系,由二次函数
的图像与性质,即可求得刹车前的最小速度.
【详解】根据题意,得
.
移项整理,得
.
对于方程
,
则
,方程有两个实数根
,
.
画出二次函数
的图象如下图所示:
结合图象得不等式的解集为
或
从而原不等式的解集为
或
因为车速
,所以
而
,所以这辆汽车刹车前的车速至少为
【点睛】本题考查了一元二次不等式与二次函数在实际问题中的应用,属于基础题.
