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第05 讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
内容导航
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知识解构
知识点1 一元二次不等式与三个二次的关系 知识点2 分式不等式的解法
知识点3 绝对值不等式的解法 知识点4 高次不等式的解法（穿根法）
知识点5 指数对数不等式的解法 知识点6 含参一元二次不等式的解法
题型破译 (含超链接）
题型
1
一元二次不等式的基础解法
【方法技巧】
【易错分析】
题型
2
三个二次的综合应用
【方法技巧】
【易错分析】
题型
3
分式与高次不等式的解法
【方法技巧】
【易错分析】
题型
4
绝对值与指数对数不等式的解法
【方法技巧】
【易错分析】
题型
5 含参一元二次不等式的解法
【方法技巧】
【易错分析】
题型
6 含参不等式恒成立
/ 能成立问题
【方法技巧】
【易错分析】
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
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命题透视·考情前瞻
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
分式与高次不等式
——
全国二卷 T4 (5 分)
全国Ⅰ卷T1（5 分）
全国Ⅰ卷T10（5 分）
绝对值不等式
——
——
全国甲卷（理） T21
（6 分）
全国甲卷（文） T23
（12 分）
指数对数不等式
——
全国一卷 T5 (5 分)
——
含参不等式恒成立 /
能成立
——
全国一卷 T22 (4 分)
全国甲卷（文） T20
（6 分）
考情分析
一元二次不等式是高中不等式板块的核心基础，是解决函数定义域、值域、单调
性、导数等问题的必备工具，新高考弱化纯技巧性运算，强化与其他知识的融合
考查，突出数学运算与逻辑推理素养。
1.
题型：单选 / 多选第 1～8 题（5 分），填空题第 13～15 题（5 分），
解答题穿插于函数、导数、数列、解析几何（3～6 分），总分 5～11 分；
整体难度中等偏易，属于高频必考内容。
2.
四大考查方向：
① 一元二次不等式的基础解法及三个二次的关系；
② 分式、高次、绝对值、指数对数不等式的转化求解；
③ 含参不等式的分类讨论求解；
④ 不等式恒成立、能成立问题求参数范围。
3.
综合融合：常与集合运算、函数定义域 / 值域、导数单调性、数列通项、
圆锥曲线范围问题结合，作为工具性知识考查。
复习目标
1.
熟练掌握一元二次不等式的解法，深刻理解三个二次（二次函数、一元二次
方程、一元二次不等式）的内在联系；
2.
掌握分式、高次、绝对值、指数对数不等式的转化求解方法；
3.
掌握含参一元二次不等式的分类讨论标准与步骤；
4.
熟练运用分离参数法、最值法解决不等式恒成立、能成立问题；
5.
能将实际问题转化为不等式模型求解取值范围。
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
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知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
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知识点1 一元二次不等式与三个二次的关系
1、一元二次不等式的一般形式a x
2+bx +c>0或a x
2+bx +c<0（a≠0），其中a,b,c 为常数。
2、三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx
＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
2.1、有关分数的性质
(1)若a>b>0，m>0，则
；
(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b⇔
.
2.2、对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记 时的情形.
2.3、当Δ<0 时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.
3、一元二次不等式的解法步骤
1.
化正：将二次项系数化为正数；
2.
求根：求对应一元二次方程的根；
3.
画图：画出对应二次函数的草图；
4.
写解集：根据图象写出不等式的解集。
自主检测（2026·云南昆明·模拟预测）（多选题）若函数
有两个极值点，设这两个极
值点为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点2 分式不等式的解法
核心思想：转化为整式不等式求解，注意分母不能为 0。
1.
f ( x)
g( x) >0⇔f ( x)· g( x)>0
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2.
f ( x)
g( x) <0⇔f ( x)· g( x)<0
3.
f ( x)
g( x) ≥0⇔{f ( x)· g( x)≥0
g( x)≠0
4.
f ( x)
g( x) ≤0⇔{f ( x)· g( x)≤0
g( x)≠0
自主检测（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点3 绝对值不等式的解法
1.
基本类型
￮| x|<a(a>0)⇔-a< x<a
￮| x|>a(a>0)⇔x<-a 或x>a
2.
拓展类型
￮|f ( x)|< g( x)⇔- g( x)<f ( x)< g( x)
￮|f ( x)|> g( x)⇔f ( x)<- g( x)或f ( x)> g( x)
￮|f ( x)|>| g( x)|⇔f
2( x)> g
2( x)
自主检测（2026·天津·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点4 高次不等式的解法（穿根法）
1.
步骤：
a. 化正：将不等式化为( x - x1)( x - x2)…( x - xn)>0（或 < 0）的形式，确保最高次项系数为正；
b. 标根：将所有根标在数轴上；
c. 穿线：从数轴右上方开始，按照 “奇穿偶回” 的原则穿线（奇次根穿过数轴，偶次根不穿过）；
d. 写解集：根据数轴上方（>0）或下方（<0）的区间写出解集。
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自主检测（2025·江苏宿迁·二模）设函数
， 其中
.若不等式
对任意
恒成立，则
________.
知识点5 指数对数不等式的解法
核心思想：利用指数函数和对数函数的单调性转化为整式不等式，注意定义域限制。
1.
指数不等式
￮当a>1时，a
f ( x)>a
g( x)⇔f ( x)> g( x)
￮当0<a<1时，a
f ( x)>a
g( x)⇔f ( x)< g( x)
2.
对数不等式
￮当a>1时，loga f ( x)>loga g( x)⇔{
f ( x)>0
g( x)>0
f ( x)>g( x)
￮当0<a<1时，loga f ( x)>loga g( x)⇔{
f ( x)>0
g( x)>0
f ( x)<g( x)
自主检测（2026·重庆·二模）已知集合
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点6 含参一元二次不等式的解法
分类讨论的三个层次：
1.
讨论二次项系数a的符号：a>0、a=0、a<0；
2.
讨论判别式Δ的符号：Δ>0、Δ=0、Δ<0；
3.
当Δ>0时，讨论两根x1, x2的大小关系。
自主检测（2026·西藏林芝·二模）（多选题）已知关于
的不等式
的解集为
，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集为
D．不等式
的解集为
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题●型●破●译
题型1 一元二次不等式的基础解法
例1-1 已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-2 设集合
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
方法技巧 不等式性质的快速判断
1.
严格按照 “化正→求根→画图→写解集” 四步求解；
2.
对于Δ≤0的情况，直接根据二次函数图象写出解集；
3.
注意不等式中的等号是否成立。
易错分析 忽略前提条件
1. 未将二次项系数化为正数，导致解集方向错误；
2. 求根时计算错误；
3. 忽略等号条件，导致解集漏写端点。
【变式训练1-1】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】（2026·北京·三模）设全集
，集合
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】（2026·福建漳州·三模）已知
是定义域为
的奇函数，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【变式训练1-4·变载体】（多选题）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知点
，点
为圆
上的动点，则（ ）
A．
B．存在点
使
C．
构成的三角形面积最大值为
D．若
恒成立，则
的取值范围为
题型2 三个二次的综合应用
例2-1 已知关于
的不等式
的解集为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-2（2025·云南昆明·模拟预测）（多选题）已知关于x 的不等式
的解集为
，
则下列说法正确的有（ ）．
A．
B．不等式
的解集为
C．
D．
方法技巧
1.
已知一元二次不等式的解集，可转化为对应二次方程的根，利用韦达定理求参数；
2.
注意二次项系数的符号与解集形式的对应关系；
3.
二次函数的零点、方程的根、不等式的解集三者可以相互转化。
易错分析
1. 忽略二次项系数的符号，导致参数求解错误；
2. 韦达定理公式记错；
3. 转化时混淆不等式的方向。
【变式训练2-1·变载体】（2026·四川广安·模拟预测）已知函数
的解集为
．在数列
中有
，当
时，记
(1)求数列
的通项公式．
(2)设数列
满足
，数列
的前
项和为
，求证：
．
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【变式训练2-2·】（2026·云南·模拟预测）已知二次函数
，且
的解集为
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
，求
在区间
上的值域．
【变式训练2-3】（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于
的不等式
的解集为
.
(1)求a，b 的值并求解不等式
的解集；
(2)当
，
且满足
时，有
恒成立，求
的取值范围.
题型3 分式与高次不等式的解法
例3-1 已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2（2026·湖南怀化·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 求代数式范围的规范步骤
1.
分式不等式必须移项通分，不能直接乘分母；
2.
穿根法严格遵循 “奇穿偶回” 原则；
3.
注意分母不为 0 和偶次根的特殊情况。
易错分析 范围扩大问题
1.
分式不等式直接乘分母，忽略分母符号和不为 0 的条件；
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2.
穿根时忘记 “奇穿偶回”，导致解集错误；
3.
高次不等式未将最高次项系数化为正数。
【变式训练3-1】（2026·辽宁辽阳·二模）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）不等式
的解集为__________．
【变式训练3-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
．
(1)求
极值点的个数，并解不等式
；
(2)求证：若
，则
题型4 绝对值与指数对数不等式的解法
例4-1 设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2（2026·天津滨海新区·三模）已知
：
，
：
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
方法技巧
1.
绝对值不等式根据类型选择合适的等价转化方法；
2.
指数对数不等式先化为同底数，再利用单调性转化；
3.
对数不等式必须保证真数大于 0。
易错分析
1. 绝对值不等式漏写等价条件；
2. 指数对数不等式忽略底数范围对单调性的影响；
3. 对数不等式忘记考虑真数的定义域。
【变式训练4-1】（2026·山西忻州·模拟预测）设集合
，
，则
中整
数的个数是（ ）
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A．3
B．4
C．5
D．16
【变式训练4-2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-3·变考法】（2026·湖南湘西·三模）已知函数
的定义域为
,
，
且当
时，
，若f (ln β)< f (lnα )<f (0)，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集中所有区间的长度之和为（区间的长度
区间右端点
区间左
端点）
D．若关于
的不等式
有且仅有一个整数解，则
题型5 含参一元二次不等式的解法
例5-1（2026·青海西宁·二模）已知集合
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2（2026·陕西·二模）已知集合
，若
，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
1.
按照 “二次项系数→判别式→根的大小” 的顺序进行分类讨论；
2.
分类时做到不重不漏；
3.
最后将各种情况的结果综合起来。
易错分析
1. 忽略二次项系数为 0 的情况；
2. 分类讨论不全面；
3. 比较根的大小时出错。
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【变式训练5-1】（2026·湖北十堰·二模）已知集合
，
若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】（2026·上海普陀·二模）设
，集合
，
，若集合
，且满足条件的A 恰有2 个，则a 的取值范围为______.
【变式训练5-3】（2026·山西吕梁·二模）设
，函数
.若
恰有一个零点，
则a 的取值范围是_______.
【变式训练5-4】（2026·云南怒江·模拟预测）已知
，使得不等式
成立的一个充分不必要条
件是
，则
的取值范围是__________.
题型6 含参不等式恒成立 / 能成立问题
例6-1（2026·吉林·三模）若
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2（2026·江西九江·模拟预测）（多选题）已知不等式
对任意实数
恒成立，则
实数
的可能取值为（ ）
A．
B．1
C．3
D．5
方法技巧 优先使用分离参数法
1.
恒成立问题优先使用分离参数法，转化为求函数的最值；
2.
恒成立：f ( x)>a恒成立⇔f ( x)min>a；f ( x)<a恒成立⇔f ( x)max<a；
3.
能成立：f ( x)>a能成立⇔f ( x)max>a；f ( x)<a能成立⇔f ( x)min<a；
4.
若无法分离参数，可结合二次函数图象分析。
易错分析
1、混淆恒成立与能成立问题的最值要求；
2、求函数最值时忽略定义域；
3、分离参数时除以负数未改变不等号方向。
【变式训练6-1】（2026·天津武清·模拟预测）已知函数
，当
时，对于
，
恒成立，则
取值范围为____________________．
【变式训练6-2】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数
，
，不等式
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围为_____________．
【变式训练6-3】（2026·上海宝山·三模）已知
是实数，不等式
．
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(1)若
，求上述关于
的不等式的解集．
(2)若上述不等式对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围．
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
一、单选题
1．（2015·安徽·高考真题）函数
的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
3．（2025·上海·高考真题）不等式
的解集为_________．
4．（2024·上海·高考真题）已知
，求
的
的取值范围_______.
5．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值
范围是______.
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
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一、解答题
1．（19-20 高一·全国·课后作业）已知集合
，
，求
.
2．（19-20 高一·全国·课后作业）已知
,求
的取值范围.
3．（19-20 高一·全国·课后作业）已知
，
，求
，
.
4．（19-20 高一·全国·课后作业）要建造一个容积为
，深为6m 的长方体无盖蓄水池，池壁的造价
为95 元/
，池底的造价为135 元/
，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7 万元以内
（精确到0.1 m）？
5．（19-20 高一·全国·课后作业）当k 取什么值时，一元二次不等式
对一切实数x 都成立.
6．（19-20 高一·全国·课后作业）某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位:m)和汽车刹车前的车速v(单位:
)之间有如下关系:
.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽
车刹车前的车速至少为多少(精确到
)?
