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第05 讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................2
高频考点一：分离变量法...........................................................................................................................2
高频考点二：分类讨论法...........................................................................................................................7
高频考点三：等价转化法.........................................................................................................................12
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题.......................................................................................18
高频考点五：值域法解决双参等式问题...................................................................................................26
第一部分：基础知识
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式能成立（有解）问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端
是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量
的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：
，使得
能成立
；
，使得
能成立
．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法(
，
或
，
)求解．
3、等价转化法
当遇到
型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数
，进而只需满足
，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
（1）
,
,使得
成立
（2）
,
,使得
成立
（3）
,
,使得
成立
（4）
,
,使得
成立
5、值域法解决双参等式问题
,
,使得
成立
①
，求出
的值域，记为
②
求出
的值域，记为
③则
,求出参数取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离变量法
典型例题
例题1．已知函数
.
(1)当
在
处的切线是
时，求
的单调区间与极值；
(2)若
在
上有解，求实数
的取值范围.
例题2．已知函数
其中
为常数.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若
，使
成立，求
的最小值.
精练高频考点
1．已知函数
的极小值为
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，且存在
，使得
成立，求实数b 的取值范围．
2．已知函数
，且
在
处取得极值．
(1)求m 的值及
的单调区间；
(2)若存在
，使得
，求实数a 的取值范围．
3．已知函数
（a 为实常数）．
(1)若
，求证：
在
上是增函数；
(2)当
时，求函数
在
上的最大值与最小值及相应的x 值；
(3)若存在
，使得
成立，求实数a 的取值范围．
高频考点二：分类讨论法
典型例题
例题1．（24-25 高三上·江苏泰州·期中）已知函数
．
(1)求证：
；
(2)过点
作直线与函数
的图象均相切，求实数
的值；
(3)已知
，若存在
，使得
成立，求实数
的最大值．
例题2．（23-24 高三上·北京·阶段练习）已知函数
，
．
(1)若
在点
处的切线为
，求实数
的值；
(2)设函数
，求函数
的单调区间与极值；
(3)若存在
，使得
成立，求
的取值范围．
精练高频考点
1．（2025·新疆喀什·二模）已知函数
(1)当
时，求
的极值；
(2)若存在
，使得
，求
的取值范围．
2．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
的图象的一条切线方程是
.
(1)求
；
(2)若关于
的不等式
有解，求
的取值范围.
高频考点三：等价转化法
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若不等式
在区间
上有解，求实数a 的取值范围．
例题2．（23-24 高二下·天津和平·阶段练习）已知函数
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
都有
求实数a 的取值范围；
(3)设
若
使得
成立，求实数a 的取值范围.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·北京朝阳·开学考试）已知函数
．
(1)若
，求函数
的最小值；
(2)设函数
，求函数
的单调区间；
(3)若在区间
上存在
，使得
成立，求
的取值范围．
2．（2024·山东泰安·三模）已知函数
.
(1)讨论
的最值；
(2)若
，且
，求
的取值范围.
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
典型例题
例题1．（24-25 高三下·天津·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)当
时，若对于任意
，总存在
，使得
，求
的取值范围.
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，其中参数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)设函数
，存在实数
，使得不等式
成立，
求a 的取值范围．
例题3．（24-25 高三下·江苏盐城·阶段练习）已知函数
a>0，
.
(1)若函数
与
在
处有相同的切线，求实数b 的值；
(2)当
，
时，求证：
；
(3)当
时，记
，若存在
，使得
是自然对数的底
数.），求实数a 的取值范围.
精练高频考点
1．（24-25 高三下·河南南阳·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
，使得
，求实数a 的取值范围.
2．（24-25 高二下·河南郑州·期末）已知函数
，
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
，
，使得
，求实数
的取值范围.
3．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知
，
，其中是自然对数的底数．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，
．存在
，
，使得
成立，试求实数
的取值范围．
高频考点五：值域法解决双参等式问题
典型例题
例题1．（23-24 高一上·湖北·期末）已知函数
(1)当
时，解不等式
；
(2)已知
，当
时，若对任意的
，总存在
，使
成立，求
正实数m 的取值范围．
例题2．（24-25 高一下·四川泸州·期中）若存在实数对
，使得等式
对定义域中
每一个实数
都成立，则称函数
为“
型函数”.
(1)若函数
是“
型函数”，求
的值；
(2)若函数
是“
型函数”，求
和
的值；
(3)已知函数
，函数
是“
型函数”，对应的实数对
为
，当
时，
.若对任意
时，都存在
，使得
，求实数
的取值范
围.
精练高频考点
1．（24-25 高一上·山东淄博·阶段练习）“函数
的图像关于点
对称”的充要条件是“对于函数
定义域内的任意x，都有
”.若函数
的图像关于点
对称，且当
时，
.
(1)求
的值；
(2)设函数
（ⅰ）证明：函数
的图像关于点
对称；
（ⅱ）若对任意
，总存在
，使得
成立，求实数a 的取值范围.
2．（24-25 高三上·江苏泰州·期中）已知函数
，
.
(1)若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(2)若对任意
，存在
，使得
，求
的取值范围.
3．（24-25 高一上·福建福州·期中）已知
是定义域为
的奇函数，当
时，
.
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在
的值域；
(3)我们知道：函数
的图象关于
轴成轴对称图形的充要条件是函数
为偶函数，有同学发
现：可以将其推广为：函数
的图象关于直线
成轴对称图形的充要条件是函数
为
偶函数.已知函数
的图象关于直线
对称，且当
时，
，若
，
，使得
，求实数
的取值范围.
