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第05 讲 指数与指数函数
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
一、单选题
1．（25-26 高一上·全国·课后作业）
（ ）
A．3
B．
C．9
D．81
【答案】B
【知识点】指数幂的化简、求值
【详解】
．
2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）若
是
上的单调递增函数，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数
【分析】根据函数在各段上单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式
组，解得即可.
【详解】若
为
上的增函数，则
，解得
，
故
的取值范围是
．
故选：A．
3．（2025 高二下·湖南郴州·学业考试）定义一种运算
则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值
【分析】化简函数
的解析式，结合指数函数的值域可得出函数
的值域.
【详解】由
可得
，解得
；由
可得
，解得
.
所以
.
故当
时，
；
当
时，则
，
.
综上所述，函数
的值域为
.
故选：B.
4．（2025 高二下·湖南郴州·学业考试）函数
与
的图象关于（ ）
A．
轴对称
B．
轴对称
C．直线
对称
D．原点中心对称
【答案】D
【知识点】函数对称性的应用、指数函数图像应用
【分析】根据给定条件，利用对称性逐项判断即得.
【详解】令函数
，
，
对于A，
，
，
，A 错误；
对于B，
，
，
，B 错误；
对于C，点
在
的图象上，而
，即点
不在
的图象上，C 错
误；
对于D，
，
，两个函数图象关于原点中心对称，D
正确.
故选：D
5．（25-26 高一上·全国·课后作业）化简
的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】指数幂的化简、求值
【详解】
．
6．（24-25 高二下·湖南·阶段练习）设函数
，则
（）
A．图象关于
对称，且在
上是增函数
B．图象关于
对称，且在
上是减函数
C．图象关于
对称，且在
上是增函数
D．图象关于
对称，且在
上是减函数
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的应用、判断指数型复合函数的单调性
【分析】验证
或
是否与
相等即可判断函数的对称轴，再结合复合函
数即可判断单调性.
【详解】因为
，所以
，
注意到
，所以
图象关于直线
对称；
当
时，
，
因为
在
上单调递减，
在
上单调递增，
由复合函数的单调性可知
在
上单调递减，
故选：B
二、多选题
7．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知
，则下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值
【详解】对于
，故A 正确；对于
，故B 正确；对于C，由
题意可知
，由于
，所以
，故C
正确；对于D，原式
，由于
，所以
原式
，故D 错误．
三、填空题
8．（24-25 高二上·四川绵阳·阶段练习）已知
且
，则
的最小
值为
【答案】4
【知识点】指数幂的运算、基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式结合指数的运算，即可得解.
【详解】由题意，
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为4.
故答案为：4.
四、解答题
9．（24-25 高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算：
(1)
；
(2)
；
(3)若
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、
求值
【分析】（1）（2）应用有理数指数幂的运算性质化简求值；
（3）将有理数指数幂化为根式或分式形式求值即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
；
（3）由
得
.
10．（24-25 高一下·江西抚州·阶段练习）已知函数
为偶函数．
(1)求
的值；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、解不含参数的一元二次不等式、基本不等
式的恒成立问题、由奇偶性求参数
【分析】（1）由偶函数的性质可得出
，求出
的值，然后验证函数
为偶
函数即可；
（2）利用基本不等式可求出函数
的最大值，即可得出关于实数
的不等式，解之即
可.
【详解】（1）因为函数
的定义域为
，且为偶函数．
则
，即
，解得
，此时，
，
则
，即函数
为偶函数，故
.
（2）因为
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故函数
的最大值为，
因为
恒成立，则
，即
，
解得
或
，即实数
的取值范围是
.
11．（24-25 高一下·上海·阶段练习）设函数
（
且
）是定义
域为R 的奇函数．
(1)求k 的值；
(2)若
，试判断并说明函数
的单调性；
(3)在（2）的条件下求使不等式
恒成立的t 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
在R 上单调递减；
(3)
【知识点】判断指数函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、函数
不等式恒成立问题
【分析】（1）根据奇函数的性质可得
，由此求得
的值；
（2）由
，可求出
的范围，利用函数的奇偶性；
（3）将不等式化为
，再利用函数的单调性转化为
，利用
即可求解.
【详解】（1）∵
是定义域为R 的奇函数，
∴
，
∴
，此时
，满足
，
综上，
.
（2）由（1）知
，且
，
∵
，∴
，
又
，且
，∴
，
在R 上单调递减，
在R 上单调递增，
故
在R 上单调递减，
（3）不等式
化为
，
∵
是定义域为R 的奇函数，
∴
，即
，
∴
，∴
恒成立，
∴
，解得
．
∴
.
B 相遇高考
1．（2024·天津·高考真题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一
般幂函数的单调性
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，
和
都当且仅当
，所以二者
互为充要条件.
故选：C.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】比较函数值的大小关系、比较指数幂的大小
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断
即可.
【详解】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为
为偶函数，则
，
又因为
不恒为0，可得
，即
，
则
，即
，解得
.
故选：D.
C 素养提升
1．（2025·河北张家口·三模）已知函数
，
，且
，都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数、由指数
（型）的单调性求参数
【分析】结合条件根据单调性的定义可得函数
在
上
单调递增，然后根据分段函数单调递增法则，结合导数法及单调性的性质研究每段的单调
性，列不等式组求解即可.
【详解】
，
，且
，都有
即
，
记
，
则由单调性的定义知，函数
在
上单调递增，
则需满足：
在
上单调递增①，
在
上单调递增②，
且
③，
对于①，要使
在
上单调递增，
则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
所以
，因为
，所以
，解得
；
对于②，因为
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增时，
；
对于③，
，所以
；
所以
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
故选：B
2．（2025·山西忻州·模拟预测）函数
的大致图象是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、指数函数的
判定与求值
【分析】根据函数的定义域判断D，根据奇偶性判断A，再由函数自变量
时，函
数值的变化趋势判断C.根据函数性质，判断B.
【详解】函数
的定义域为
，排除选项D；
，
故函数
为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A；
当
时，
；
当
时，
，排除选项C；
综上所得，选项B 符合题意．
故选：B．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
与
的
图象有3 个交点
，则
.
【答案】3
【知识点】函数对称性的应用、指数函数的判定与求值
【分析】根据
，得到
与
的图象均关于点
对称，即可根据
函数的对称性求解.
【详解】由题意得
，
因为
，
的定义域为
，所以
的图象关于点
对称.易知，由于
的图象为一条直线且恒过点
，故
的图象关于点
对称
因为
，所以3 个交点
中的一个交点为
，且剩余2 个交
点关于点
对称，则
.
故答案为：3
4．（24-25 高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数
.
(1)若
的最小值为
，求
的值；
(2)在（1）的条件下，若不等式
有实数解，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【知识点】求指数函数在区间内的值域、对勾函数求最值、根据二次函数的最值或值域求
参数、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）令
，则
，结合二次函数性质讨论对称轴的
位置及最小值求参数值；
（2）问题化为
有解，根据指数函数及对勾函数性质求右侧的最小值，即可得
参数范围.
【详解】（1）令
，则
开口向上，且对称轴为
，
当
时，
在
上单调递增，此时无最值，不满足；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，可得
（正值舍）.
（2）由题意
有解，即
有解，
对于
，当且仅当
时取等号，
又
趋向正负无穷时，
分别趋向于0、正无穷，则
均趋向于正无穷，
故只需
，即
.
5．（24-25 高一下·北京·开学考试）设
，且
的图象过点
，
(1)求
表达式；
(2)计算
；
(3)试求
的值．
【答案】(1)
(2)1
(3)1012
【知识点】指数幂的化简、求值、由函数对称性求函数值或参数
【分析】（1）根据
列方程，解方程得到
，即可得到
；
（2）根据
表达式计算
；
（3）根据对称性求函数值.
【详解】（1）由题意得
，解得
，
所以
.
（2）
.
（3）由（2）得
，
，
，
，
所以
.
