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第04 讲 简单的三角恒等变换
A 夯实基础 B 相遇高考、模拟
A 夯实基础
1．（23-24 高一下·江苏南通·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接使用半角公式
（或逆用二倍角公式
得
到半角公式）即可.
【详解】
.
故选：C.
2．（23-24 高一上·全国·阶段练习）设3π<α<4π，cos
＝m，那么cos
等于（ ）
A．
B．－
C．－
D．
【答案】B
【分析】先分析
的范围，确定象限，利用cos2
＝
求解即可.
【详解】由于cos
＝2cos2
－1，可得cos2
＝
.又3π<α<4π，所以
<
<π.所
以
cos
<0.所以cos
＝－
.
故选：B
3．（2024·福建福州·模拟预测）已知角
的大小如图所示，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．
【答案】A
【分析】由图中的信息可知
，化简
即可.
【详解】由图可知，
，
；
故选：A.
4．（2025·广东广州·三模）已知
都是锐角，
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】法一：先利用平方关系求出
，
，再根据
，
利用两角差的余弦公式展开计算即可.法二：
，可得
，进而
利用
可求值.
【详解】法一：由
是锐角，得
.
因为
是锐角，所以
.
又因为
，所以
，
所以
.
法二：由已知可得
，所以
，
∴
.
故选：C.
5．（2025·陕西咸阳·一模）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】以
为整体，利用倍角公式结合齐次式问题分析求解即可.
【详解】由题意可得：
.
故选：C.
6．（24-25 高三上·山东临沂·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
，利用诱导公式及二倍角公式计算可得.
【详解】因为
，
所以
.
故选：D
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二倍角的余弦公式，以及诱导公式，即可求解.
【详解】
.
故选：C
另解：
，
所以
.
故选：C
8．（24-25 高一下·四川成都·阶段练习）已知锐角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出
，由两角和的正切公式展开，结合已知求得
和
，然后求
得
，再由两角差的正弦公式计算．
【详解】由
得
，所以
，
又
，所以
，
由
，解得
，或
（舍去，此时
不是锐
角），
，
是锐角，
，
，则
，
所以
．
故选：C．
【点睛】思路点睛：本题考查两角和正切公式，万能公式，同角间的三角函数关系，两角
差的正弦公式．解题关键是确定选用公式的顺序，解题时由函数名及角的关系确定选用的
公式及顺序．．
9．（多选）（23-24 高一上·山东菏泽·期末）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】AB 选项，利用余弦半角公式计算；C 选项，逆用正切和角公式计算；D 选项，利
用
得到
，变形得到
.
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，因为
，
即
，
故
，
所以
，
即
，故D 错误.
故选：AC.
10．（多选）（24-25 高一下·四川·阶段练习）下列选项化简值为1 的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据二倍角即可求解AC，根据辅助角公式即可求解BD.
【详解】对于A,
，A 错误，
对于B，
，B 正确，
对于C,
，C 正确，
对于D，
，故D 错误，
故选：BC
11．（23-24 高一·全国·课堂例题）已知
，则
．
【答案】
或
【分析】方法一：根据
求出
，结合
的范围，得到
，结合
，求出答案；
方法二：根据
求出
，分两种情况，结合
进行求解.
【详解】方法一：因为
，所以
．
由
，可得
，
，
则
，
，所以
．
故
，
将
代入可得
，
将
代入可得
，
故
或
；
方法二：因为
，所以
．
若
，则
；
若
，则
．
故答案为：
或
12．（24-25 高一下·四川成都·期中）已知
，则
的值为
.
【答案】
【分析】根据和差公式及辅助角公式化解得
，再利用二倍角公式可求
得值.
【详解】
，
，
故答案为：
.
13．（24-25 高一下·江苏南通·期末）已知函数
．
(1)若
，求
的最大值和最小值；
(2)设
为锐角，且
，求
的值．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对函数解析式进行恒等变换，再根据定义
域，求出值域，求出最大值和最小值.
（2）根据同角三角函数的平方关系，和两角和的余弦公式，求出
的余弦值，判断角
的值.
【详解】（1）由题意得
，
当
时，
，
所以
的最大值是2，最小值是
.
（2）
则
，同理
，
由
，得
，
因为
为锐角，所以
，则
.
14．（24-25 高一下·四川乐山·阶段练习）已知函数
．
(1)求
的单调递减区间；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将函数
化简为
的形式，再根据正弦函数的单调性
求解单调区间；
（2）先根据已知条件求出
和
的值，再利用两角差的余弦公式来求
的值.
【详解】（1）
.
由
，
解得
，
所以
的单调递减区间是
.
（2）已知
，则
，所以
.
因为
，所以
.
所以
.
所以
.
B 相遇高考、模拟
1．（2025·江西新余·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】A
【分析】根据两角和差的余弦可得
，再由同角三角函数的基本关
系式得
，故可求
，从而求得
.
【详解】因为
，
又因为
，且
，
,
所以
，故
，
又由于
，
所以
，
由于
，
故选：A．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知角
的始边为
轴的非负半轴，终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】B
【分析】根据角的范围可确定
为二四象限角，则
､
，即可利用二倍角公式得
，利用弦切互化即可求解.
【详解】由题意，得角
是第四象限角，则
，
故
，则
为二四象限角，则
､
，
又因为
，
所以
（舍去）或
，
所以
.
故选：B.
3．（2025·安徽蚌埠·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的诱导公式对
进行化简，结合已知条件求解.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
=
=
.
故选：D.
4．（2025·安徽淮北·模拟预测）已知
且
则tanβ=（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
求得
，代入题意中的等式，利用二倍角
的余弦公式求出
，结合同角的商数关系计算即可求解.
【详解】因为
，所以
，
得
，又
，
解得
，由
，解得
，
所以
，
所以
.
故选：C
