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第06 讲：拓展一：基本不等式
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
一、单选题
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知复数
为方程
的两个解，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】根据一元二次方程的复数根的求解方法求得
，再根据复数的除法运算求出
，再求复数的模即可.
【详解】因为
，所以
，所以
，
所以
，或
，
若
，
则
，
所以
，
若
，
则
，
所以
，
故选：B.
2．（2025·安徽合肥·三模）
的虚部为（ ）
A．1
B．
C．8
D．
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算
【分析】根据复数的运算法则，化简得到
，结合复数的概念，即可求解.
【详解】
，
故复数的虚部为1.
故选：A．
3．（2025·陕西安康·模拟预测）已知复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】根据复数的除法，和复数的模长计算方法求解.
【详解】由
，得
，所以
.
故选:A.
4．（2025·湖北·模拟预测）若复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】根据复数的运算法则和共轭复数的定义求出
，再结合虚部的定义求解即可.
【详解】由
，则
，即
，
则
，所以
的虚部为1.
故选：B.
5．（2025 高三·全国·专题练习）在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】通过复数乘法法则计算出复数，再根据复数与复平面内点的对应关系确定其坐
标，最后根据坐标判断所在象限.
【详解】因为
．所以该复数在复平面内对应的点的坐标为
，位于第一象限．
故选：A.
6．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数
与复数
对应的点关于实轴对称，
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【知识点】求复数的模
【分析】首先根据复平面内关于实轴对称的点的坐标特征求出复数
，然后再根据复数模
的计算公式求出
.
【详解】
，其在复平面内对应的点为
.
因为复数
与复数
对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横
坐标不变，纵坐标互为相反数.所以
对应的点为
，那么复数
.
由
，其中
，
，将其代入模的计算公式可得：
.
故选：B.
7．（24-25 高一下·甘肃酒泉·期中）已知复数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】先根据复数的除法运算法则求出
，再根据复数的模的计算公式求出
；也可利
用复数模的性质
来求解
.
【详解】方法一：
由题意，
，
所以，
.
方法二：
已知
，则
.
已知
，则
.
因为
，根据复数模的性质
，可得：
.
故选：B.
二、多选题
8．（2025·浙江宁波·模拟预测）设
为复数，是复数单位，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若
对应的点在第二象限，则
对应的点也位于第二象限
D．若
，则
的最小值是
【答案】AD
【知识点】利用椭圆定义求方程、与复数模相关的轨迹（图形）问题、共轭复数的概念及
计算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数的乘方运算判断A；举例说明B 错误；由复平面中点的表示方法判断C；
由复数模的几何意义求出复数
对应的点的轨迹判断D.
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，取
，
，
，等式不成立，故B 错误；
对于C，设
，若
对应的点
在第二象限，
则
，
，即
对应的点
位于第四象限，故C 错误；
对于D，若
，
则在复平面内复数
对应的点到
、
距离和为常数
，且
，
则在复平面内复数
对应的点的轨迹是以
、
为焦点的椭圆，
其中
的最小值就是椭圆上的点到原点的距离最小值，故
，故D 正确.
故选：AD.
三、填空题
9．（2026 高三·全国·专题练习）已知复数z 满足
，则
的最小值为
．
【答案】2
【知识点】复数的坐标表示
【分析】设复数z 在复平面内对应的点为Z， 由复数的几何意义可知，将问题转化为x 轴
上的动点Z 到定点
距离的最小值，即可接替.
【详解】设复数z 在复平面内对应的点为Z，因为复数z 满足
，
由复数的几何意义可知，点Z 到点
和
的距离相等，
所以在复平面内，点Z 的轨迹为x 轴，
又
表示点Z 到点
的距离，
所以
的最小值为x 轴上的动点Z 到定点
距离的最小值，
所以
的最小值为2．
故答案为： 2
四、解答题
10．（24-25 高三·山东菏泽·）在复平面内，复数
，
．
(1)若复数
对应的点在虚轴上，求实数
的取值范围；
(2)若复数
对应的点在第二象限或第四象限，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
或
．
【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数
【分析】（1）依题意可得实部为
，解得即可；
（2）依题意可得
，解不等式即可得解.
【详解】（1）由题意得
，解得
或
；
（2）复数
在复平面内对应的点为
，
依题意可得
，
则
或
解得
或
，即实数
的取值范围为
或
．
11．（23-24 高三·宁夏银川·期中）设
，复数
.
(1)求m 为何值时，z 为纯虚数；
(2)若复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，求m 的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数
【分析】（1）根据纯虚数的概念即可列出方程，进而求解即可；
（2）复平面内的点位于第四象限，则横坐标大于0，同时纵坐标小于0，据此列出不等式
求解即可.
【详解】（1）由
解得
或
；
当
时，
是纯虚数，
当
时，
为实数，
所以
.
（2）因为
在复平面内对应的点位于第四象限，
所以
，解得
.
12．（23-24 高二下·江苏·期中）设实部为正数的复数
，满足
，且复数
在
复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.
(1)求复数
；
(2)若
为纯虚数，求实数
的值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【知识点】已知复数的类型求参数、由复数模求参数、复数代数形式的乘法运算、共轭复
数的概念及计算
【分析】（1）利用复数的运算法则、模长公式及几何意义计算即可；
（2）利用共轭复数的概念及复数的四则运算计算即可.
【详解】（1）设
，
，
，由题意：
①
计算
，得
②
①②联立，解得
，
得
.
（2）
，
所以
且
，解得
.
B 相遇高考
1．（2024·广东江苏·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】复数的乘方、复数的除法运算
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为
，所以
.
故选：C.
2．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数
．
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘法运算
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】
.
故答案为：
.
C 素养提升
1．（2025·重庆·模拟预测）对于复数
，如果复数
同时满足以下两个条件：①
，
且
，使得
，②
，则称
为
的反演.已知复数
的实部等于1，
为
的反演，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求复数的实部与虚部、求复数的模
【分析】设
，则
，利用判别式法可求
的最小值.
【详解】设
，则
，
所以
，故
，故
，
故
，
设
，则
，其中
，
若
，则
；
若
，则
即
，
故
，
故
，故
，
故
，
故选：C.
2．（2025·江西新余·模拟预测）我们称复数
与
对应，
若复数
在复平面
内的图象分别如图①、②所示，则与
对应的复数
在复
平面
内的大致图象分别对应选项中①、②的是：（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】设
曲线上的点
，表示出
，令
，根据
的大小关系可排
除B、D；根据
时
的斜率可排除C.
【详解】
，故：
，
曲线上的点
到原点的距离
，直线
的斜率为
，
记
，
则
时，有
，
，
即取定一条过原点的射线交两曲线交于两个点，其中离原点远的为②，排除B、D；
而末端值
时，直线
的斜率为
，故排除C.
故选：A．
3．（多选）（2025·江西·模拟预测）已知方程组
有且仅有一个复数解
，则实数
的可能取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据复数模的几何意义及直线与圆的位置关系即可求解．
【详解】由方程组在复平面上的几何意义可知，问题等价于以
为圆心、1 为半径的圆
与点
和
所连线段的垂直平分线相切，设
，
，
则
中点为
，
，所以
垂直平分线的斜率为
，
则
垂直平分线的方程为
，整理得
，
由点到直线的距离公式有
，即
，
解得
或
，
故选：AC．
4．（2025 高三·全国·专题练习）任何一个复数
都可以表示成
的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗
发现：
，我们称这个结论为棣莫弗定理．计
算
．
【答案】
【知识点】三角表示下复数的乘方与开方
【分析】根据
，即可根据棣莫弗定理求解.
【详解】因为
，
所以
，
故答案为：
．
