文档文本内容
第05 讲 复数
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：复数的概念...........................................................................................................................3
高频考点二：复数的几何意义...................................................................................................................5
高频考点三：复数分类...............................................................................................................................6
高频考点四：复数模..................................................................................................................................8
高频考点五：待定系数求复数
................................................................................................10
高频考点六：复数的四则运算..................................................................................................................12
高频考点七：共轭复数.............................................................................................................................14
第一部分：基础知识
1、复数的概念
我们把形如
的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足
.全体复数所构成的集合
叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母
表示,即
,其中的
与
分别叫做复数
的实部与虚
部.
2、复数相等
在复数集
中任取两个数
，
，（
），我们规定
.
3、复数的分类
对于复数
(
),当且仅当
时,它是实数；当且仅当
时,它是
实数0；当
时,它叫做虚数；当
且
时,它叫做纯虚数.这样,复数
(
)可以分类如下:
4、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数
复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数
平面向量
5、复数的模
向量
的模叫做复数
)的模，记为
或
公式：
，其中
复数模的几何意义：复数
在复平面上对应的点
到原点的距离；
特别的，
时，复数
是一个实数，它的模就等于
(
的绝对值).
6、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0 的两
个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数
的共轭复数用
表示，即如果
，则
.
7、复数代数形式的加法（减法）运算
（1）复数的加法法则
设
，
，（
）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：
的复数
叫做复数
减去复数
的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】先根据共轭复数的定义写出
，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得，
，故
.
故选：D
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】C
【知识点】求复数的模
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若
，则
.
故选：C.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：复数的概念
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）设复数
在复平面内对应的点为
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】B
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、根据复数的坐标写出对应的复数
【分析】先得到
，利用复数除法法则得到
，求出虚部.
【详解】由题意可知
，所以
，
则
的虚部为
.
故选：B.
例2．（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数
，则
是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数
满足
，则
均为实数
【答案】D
【知识点】复数的基本概念、已知复数的类型求参数、复数的坐标表示、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.
【详解】对于A 中，由虚数单位
，可得A 错误；
对于B 中，若
，那么
，所以B 错误；
对于C 中，虚轴上的点
对应复数
，所以C 错误；
对于D 中，若复数
满足
，虚数不能比较大小，则
均为实数，D 正确.
故选：D.
精练高频考点
1．（2025·陕西·模拟预测）复数
的虚部是（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【答案】D
【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算
【分析】直接利用复数的乘法法则计算可得答案.
【详解】因为
，
所以复数
的虚部为3.
故选：D.
2．（24-25 高一下·贵州六盘水·阶段练习）下列关于复数
（
）的说法一定正确的是（ ）
A．存在
使得
小于0
B．存在
使得
C．不是实数
D．实部和虚部均为1
【答案】C
【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、判断特称（存在性）命题的真假、复数的基
本概念
【分析】根据复数的大小比较条件判断选项A；根据复数的幂运算判断选项B；根据实数、虚数、实部和
虚部的概念判断选项C 和选项D.
【详解】对于选项A：
因为复数不能直接比较大小，只有两个复数都是实数时才能比较大小，所以A 错误.
对于选项B：
因为
，所以只有当
时，
的幂次方才有可能为实数.
当
时，验证
是否为1.
，可以看出周期为4，所以
，所以B 错误.
对于选项C：
因为
，所以
为复数，不是实数，所以C 正确.
对于选项D：
因为
不一定是1，所以实部不一定为1.所以D 错误.
故选：C.
高频考点二：复数的几何意义
典型例题
例1．（2025·湖北·模拟预测）已知复数
满足
（是虚数单位），复数
在复平面内对应的
点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数的乘方运算以及除法运算求解即可.
【详解】∵
，∴
，
∴
，
∴复数
在复平面内对应的点
，位于第二象限.
故选：B.
例2．（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数除法求解，再结合复数对应的点判断即可.
【详解】
，所以
对应的点
位于第四象限.
故选：D
精练高频考点
1．（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）在复平面内，复数
（i 为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数的乘方
【分析】根据复数代数形式的乘方、除法运算化简
，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为
，
所以
，则
在复平面内对应的点为
，位于第一象限.
故选：A．
2．（2025·山东聊城·二模）复数
满足
，其中i 为虚数单位，则
对应的点在复平面的（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据题意，化简得到复数
，然后结合复数的几何意义即可知道结果.
【详解】因为
，所以
则其对应点的坐标为
，位于第二象限.
故选：B.
高频考点三：复数分类
典型例题
例1．（2025·吉林·模拟预测）已知复数
为纯虚数，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．
或1
D．2
【答案】B
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】由纯虚数定义列方程和不等式即可求解.
【详解】由题可得
.
故选：B
例2．（2025·云南曲靖·二模）已知复数
，若
，则实数
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
【答案】C
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、已知复数的类型求参数
【分析】根据给定条件，利用复数的分类列式计算作答.
【详解】因为
,
所以
，
故选：C
例3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知复数
（
）为正实数，则
．
【答案】2
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】利用复数的概念进行求解即可
【详解】由题意得
解得
．
故答案为：2.
精练高频考点
1．（2025·江西鹰潭·二模）复数
，若
为纯虚数，则
（ ）
A．4
B．
C．1
D．
【答案】D
【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算
【分析】由共轭复数的概念和纯虚数的概念结合复数的乘法运算可得.
【详解】由题意可得
，
因为
为纯虚数，即
为纯虚数，
所以
，解得
.
故选：D
2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知复数z 与
都是纯虚数，则
.
【答案】
【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算
【分析】由题意设
，代入
，整理后由
为纯虚数即可求解．
【详解】由题意设
，
则
，
则
，解得
则
故答案为：
.
3．（2025·山西临汾·三模）已知
，复数
为纯虚数，则
．
【答案】2
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】由纯虚数的概念列出等式求解即可.
【详解】由题意可得
，
解得：
，
故答案为：
高频考点四：复数模
典型例题
例1．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】先设复数，再根据模长得出
，再结合两点间距离公式转化为圆心到点的距离减半径计
算求解.
【详解】设
，故
；
而
，
故
的最小值为
，
故选:C．
例2．（2025·安徽·三模）已知复数
满足
，则
（ ）
A．有最小值2
B．有最大值2
C．有最小值
D．有最大值
【答案】C
【知识点】求复数的模、由复数模求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】设
，根据复数的模得到
，再计算
，即可得解.
【详解】设
，由
，
则
，所以
，
解得
，所以
，当且仅当
时取等号，
所以
有最小值
，无最大值．
故选：C
例3．（2025·上海浦东新·三模）已知复数
满足
，则
（i 是虚数单位）的最小值为
.
【答案】
【知识点】求点到直线的距离、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】确定复数的轨迹，结合点到线的距离公式即可求解.
【详解】设
，
则由
可得：
，
则
，即
或
的几何意义为射线上的点与
的距离，
结合图像可知：
到
的距离即为最小值，
最小值为：
，
故答案为：
精练高频考点
1．（2025·广东·模拟预测）若复数z 满足
，那么
的最大值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】利用复数模的几何意义转化复数z 满足的限制条件，进而求得
的最大值.
【详解】设复数、
在复平面内对应的点分别为
，
复数
在复平面对应的点为：
，
由
可知：复数z 在复平面内对应的点到两点
的距离之和为2，
而
，所以点
在线段
上，故
，
则
，
当
时，
的最大值为
.
故选：B.
2．（24-25 高三下·广东·阶段练习）已知为虚数单位，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化、求复数的模
【分析】利用复数的模的运算，再结合指对数转化即可求解.
【详解】由复数的模得：
，
所以有
，
故选：D.
3．（2025·河南·三模）若复数z 满足
，则
的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、共轭复数的概念及计算
【分析】根据已知有
，确定
对应点的轨迹，再应用圆上点到定点距离范围的求法得到
的范围.
【详解】由
，即
对应点在以复平面的原点为圆心，1 为半径的圆上，
由
表示上述圆上点到点
的距离，结合圆的性质，易知
.
故选：D
高频考点五：待定系数求复数
典型例题
例1．（多选）（2025·山东青岛·一模）下列计算结果与
相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】设
，则
，利用复数的乘法以及复数的模长公式逐项判断即可.
【详解】设
，则
，
，
，
，
所以
，同理可得
，
因此，
，
故选：ACD.
例2．（2025·江西南昌·模拟预测）已知复数z 满足
，则z 的虚部为 .
【答案】
【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、复数的相等
【分析】设
，利用复数相等可得
，求解即可.
【详解】设
，则
，
所以
，解得
或
，所以
或
，
所以
的虚部为
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（2025·山东·二模）已知
，
，则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数的相等、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】设复数
，根据共轭复数的定义求出
，再结合已知条件列出方程组求解
的
值，从而得到复数
，最后确定其在复平面内的位置.
【详解】设复数
，则共轭复数
，
因为
，
列出方程组为：
求解该方程组得：
.
所以复数
.
在复平面内对应点坐标为
，横坐标
，纵坐标
，
所以该点在第一象限.
故选：A.
2．（2025·广东揭阳·三模）若复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的模
【分析】设
，
，再根据复数除法运算和等量关系即可求出参数
，再结合复数的模的计
算公式即可计算求解.
【详解】设
，
，则
，即
，
整理得
，故
，注意到
，
则只能
，故
，
故
.
故选：D.
高频考点六：复数的四则运算
典型例题
例1．（2025·重庆·模拟预测）若复数z 使得
为纯虚数，则
（ ）.
A．
B．2
C．
D．4
【答案】B
【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的除法运算
【分析】根据复数的除法运算及复数的概念、复数的模的定义运算即可.
【详解】设
，
则
，
所以
，
，
即
，所以
.
故选：B
例2．（2025·天津红桥·二模）若为虚数单位，且
则实数
.
【答案】
【知识点】复数的除法运算、复数的相等、复数代数形式的乘法运算
【分析】化简复数，再由复数相等可得
解方程即可得出答案.
【详解】因为
所以
解得：
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（2025·河南·模拟预测）在复平面内，复数z 对应的点与
对应的点关于实轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】复数的除法运算
【分析】先化简复数
，再利用复数的几何意义求解.
【详解】
，
所以
．
故选：B
2．（2025·河北·模拟预测）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】先分母实数化，整理后写出复数，结合模长公式计算即可.
【详解】
，则
，
故选：C．
高频考点七：共轭复数
典型例题
例1．（24-25 高三下·山东·阶段练习）已知复数
满足
（为虚数单位），则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】利用复数的除法运算求出复数
，根据共轭复数及虚部的定义求解.
【详解】因为
，所以
，
因此
，故
的虚部为
．
故选：A.
例2．（2025·上海长宁·二模）复数
，
，则
．
【答案】
/
【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】由已知可得
，根据复数的乘法运算即可求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（2025·广西南宁·模拟预测）已知i 为虚数单位，复数
，复数z 的共轭复数为
，则
的虚部为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算
【分析】方法一、设
代入化简，即可求得复数z；
方法二、利用
为实数可得
，即可得出
的虚部.
【详解】方法一、设
，
，
所以
，
，
，所以
的虚部为
，
故选：A．
方法二、
，得
，则有
，
所以
的虚部为
，
故选：A．
2．（2025·河南南阳·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】由复数的除法运算、乘方运算得到
，再由共轭复数得到
.
【详解】
，所以
，
故选：A
