文档文本内容
第05 讲 指数与指数函数
目录
第一部分：基础知识....................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾.............................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过.........................................................................................................3
高频考点一：指数与指数幂的运算.......................................................................................3
高频考点二：指数函数的概念...............................................................................................3
高频考点三：指数函数的图象...............................................................................................4
角度1：判断指数型函数的图象.....................................................................................4
角度2：根据指数型函数图象求参数..............................................................................5
角度3：指数型函数图象过定点问题..............................................................................7
角度4：指数函数图象应用.............................................................................................7
高频考点四：指数（型）函数定义域.............................................................................8
高频考点五：指数（型）函数的值域...................................................................................9
角度1：指数函数在区间
上的值域........................................................................9
角度2：指数型复合函数值域.........................................................................................9
角度3：根据指数函数值域（最值）求参数.................................................................10
高频考点六：指数函数单调性.............................................................................................10
角度1：由指数（型）函数单调性求参数....................................................................10
角度2：根据指数函数单调性解不等式........................................................................11
高频考点七：指数函数的最值.............................................................................................12
角度1：求已知指数型函数的值域................................................................................12
角度2：根据指数函数最值求参数................................................................................12
角度3：含参指数（型）函数最值................................................................................13
第一部分：基础知识
（1）概念：式子
叫做根式，其中
叫做根指数，
叫做被开方数．
（2）性质：
①
(
且
)；
②当
为奇数时，
；当
为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是
(
，
，且
)；
②正数的负分数指数幂的意义是
(
，
，且
)；
③0 的正分数指数幂等于0；0 的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①
；
②
；
③
.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数
(
，且
)叫做指数函数，其中指数
是自变量，函数的定义域是
．
（2）指数函数
的图象和性质
底数
图象
性质
定义域为
，值域为
图象过定点
当
时，恒有
；
当
时，恒有
当
时，恒有
；
当
时，恒有
在定义域
上为增函数
在定义域
上为减函数
注意
指数函数
(
，且
)的图象和性质与
的取值有关，应分
与
来研究
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·北京·高考真题）已知函数
，则
．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：指数与指数幂的运算
典型例题
例题1．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知
，则
．
例题2．（25-26 高一上·全国·课后作业）（1）化简：
；
（2）设
，求
的值．
精练高频考点
1．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知
是方程
的两根，求
的
值．
2．（24-25 高一下·广西南宁·开学考试）（1）计算：
（其中
）；
高频考点二：指数函数的概念
典型例题
例题1．（24-25 高一上·广东广州·期中）下列是指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（多选）（24-25 高一上·广东湛江·阶段练习）函数
是指数函数，则
的值不可
以是（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（25-26 高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一上·全国·课后作业）若函数
是指数函数，则实数a 的取值范围为 .
高频考点三：指数函数的图象
角度1：判断指数型函数的图象
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025 高三下·全国·专题练习）已知
，则指数函数①
，②
的图象为
（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广东东莞·期中）函数
（
，且
）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·福建莆田·阶段练习）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
角度2：根据指数型函数图象求参数
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）若指数函数
的图象如图所示，则1，
a，b，c，d 由小到大的顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2024 高二上·山东枣庄·学业考试）
的图象如图所示，
为常数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（多选）（23-24 高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数
的图象如图所示，其中
为常数，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高三·全国·专题练习）如图是指数函数（1）
；（2）
；（3）
；（4）
的
图象，则
，
，，
与1 的大小关系是 ．
角度3：指数型函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（25-26 高一上·全国·课后作业）函数
的图象恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（多选）（24-25 高一上·河南驻马店·期末）已知曲线
（
且
）过定点
，且
的坐标满足方程
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
精练高频考点
1．（24-25 高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x 的函数
（
，且
）的图象恒过定点
A，则点A 的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一上·贵州贵阳·期末）已知函数
且
无论a 取何值时，
的图象
恒过定点A，且A 在直线
上，则
的最小值为 .
角度4：指数函数图象应用
典型例题
例题1．（2025 高三下·全国·专题练习）若曲线
与直线
有两个公共点，则
的取值范围是
．
例题2．（多选）（24-25 高一下·湖北·阶段练习）已知函数
，若
有四个不
等的实数解
，
，
，
，下列说法正确的是（ ）
A．
有最小值2
B．m 的取值范围是
C．
D．方程
有4 个不同的解
精练高频考点
1．（24-25 高一上·安徽铜陵·期末）已知函数
，关于x 的方程
有4 个不等实根，则实数a 的取值范围是 ．
2．（24-25 高一上·上海长宁·期末）已知函数
有两个不同的零点，则实数
的取值范围
为 ．
高频考点四：指数（型）函数定义域
典型例题
例题1．（24-25 高三上·吉林长春·期中）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三上·广东·阶段练习）已知函数
，则
有（ ）
A．最小值2
B．最小值
C．最大值2
D．最大值
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广东广州·期中）函数
的定义域是 ．
2．（23-24 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）函数
在区间
上有意义，求
的取值范围.
高频考点五：指数（型）函数的值域
角度1：指数函数在区间
上的值域
典型例题
例题1．（23-24 高三上·江苏镇江·阶段练习）函数
的值域为 .
例题2．（23-24 高三上·上海长宁·期中）函数
在区间
上的值域为 .
精练高频考点
1．（23-24 高三上·新疆喀什·期末）
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·上海静安·阶段练习）函数
的值域是 .
角度2：指数型复合函数值域
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）函数
的单调递减区间为 ；函数
的值域是 ．
例题2．（24-25 高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数
，
，则
的值域为
.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·山西·期中）函数
的值域为 .
2．（24-25 高一上·吉林长春·期中）函数
在
上的值域为 .
角度3：根据指数函数值域（最值）求参数
典型例题
例题1．（24-25 高三下·江西赣州·开学考试）已知函数
的值域为
．若
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三上·北京西城·开学考试）已知函数
的值域为
，则实数a 的取值范
围是 .
精练高频考点
1．（24-25 高三下·山东·阶段练习）已知函数
的值域为
，且
，则
.
2．（24-25 高一上·湖南怀化·期中）已知函数
(1)当
时，求
的值域
(2)求
单调区间
(3)若
的最大值为9，求实数a 的值
高频考点六：指数函数单调性
角度1：由指数（型）函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数
在
上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·青海西宁·二模）已知函数
在区间
上单调递减，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（2025·河北秦皇岛·一模）设函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一上·山东日照·期末）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
角度2：根据指数函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（25-26 高一上·全国·课后作业）设
，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（23-24 高一上·四川凉山·期中）若不等式
对任意的
恒成立，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（24-25 高二下·浙江·阶段练习）已知函数
，则不等式
成立的实数
m 的取值范围为 ．
2．（2026 高三·全国·专题练习）不等式
的解集为 ．
高频考点七：指数函数的最值
角度1：求已知指数型函数的值域
典型例题
例题1．（24-25 高一上·安徽·期中）设
，若函数
在
上的最小值是2，则其在
上的最大值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
例题2．（24-25 高三上·上海·课后作业）函数
的最大值为 ．
精练高频考点
1．（23-24 高三下·河南新乡·期末）函数
的最大值为 .
2．（23-24 高三上·全国·课后作业）函数
在区间［-1，1］上的最大值为 .
角度2：根据指数函数最值求参数
典型例题
例题1．（多选）（2025 高三·全国·专题练习）如果函数
在区间
上的最大
值是14，则a 的值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．
例题2．（24-25 高三上·陕西渭南·期中）已知函数
．
(1)若
，求不等式
的解集
(2)若
，求
的单调区间
(3)若
有最大值3，求
的值
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，若
的最大值为2，求
的值．
2．（24-25 高三上·重庆沙坪坝·期末）已知函数
．
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)若
在
上的最大值为0，求
的值．
角度3：含参指数（型）函数最值
典型例题
例题1．（24-25 高一上·重庆·阶段练习）已知函数
是偶函数，其中
为实数.
(1)求
的值.
(2)若函数
，求
的最小值.
例题2．（24-25 高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数
.
(1)若
在
上为增函数，求实数
的取值范围；
(2)若
在
上最小值为4，求实数
的值；
精练高频考点
1．（2024 高二上·辽宁·学业考试）已知函数
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)当
时，
的最小值为
，求函数
的解析式；
2．（23-24 高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求
在
上的最值；
(2)设函数
，若
存在最小值
，求实数
的值.
