文档文本内容
第01 讲 函数的概念及其表示
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：函数的概念...........................................................................................................................3
高频考点二：函数定义域...........................................................................................................................4
角度1：具体函数的定义域.................................................................................................................4
角度2：抽象函数定义域.....................................................................................................................4
角度3：已知定义域求参数.................................................................................................................5
高频考点三：函数解析式...........................................................................................................................6
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）..........................................................................................6
角度2：换元法求解析式（换元必换范围）.......................................................................................6
角度3：待定系数法............................................................................................................................7
角度4：方程组消去法........................................................................................................................ 8
高频考点四：分段函数...............................................................................................................................8
角度1：分段函数求值........................................................................................................................ 8
角度2：已知分段函数的值求参数......................................................................................................9
角度3：分段函数值域（最值）问题..................................................................................................9
高频考点五：函数的值域.........................................................................................................................10
角度1：二次函数求值域...................................................................................................................10
角度2：分式型函数求值域...............................................................................................................10
角度3：根式型函数求值域...............................................................................................................11
角度4：根据值域求参数...................................................................................................................11
第三部分：典型易错题型.........................................................................................................................12
第一部分：基础知识
1、函数的概念
设
、
是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系
，使对于集合
中的任意一个数
，在
集合
中都有唯一确定的数
和它对应，那么称
为从集合
到集合
的一个函数，记作
，
.
其中：
叫做自变量，
的取值范围
叫做函数的定义域
与
的值相对应的
值叫做函数值，函数值的集合
叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等
的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
解析法（最常用）
图象法（解题助手）
列表法
就是把变量
，
之间的关
系用一个关系式
来
表示，通过关系式可以由
的值求出
的值.
就是把
，
之间的关系绘
制成图象，图象上每个点的
坐标就是相应的变量
，
的值.
就是将变量
，
的取值列
成表格，由表格直接反映出
两者的关系.
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函
数．
5、高频考点结论
5.1 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4)
的定义域是
.
(5)
(
且
)，
，
的定义域均为
.
(6)
(
且
)的定义域为
.
(7)
的定义域为
.
5.2 函数求值域
（1）分离常数法：
将形如
(
)的函数分离常数，变形过程为：
，再结合
的取值范围确定
的取值范围，从而确定
函数的值域.
（2）换元法：
如：函数
，可以令
，得到
，函数
可以化为
(
)，接下来求解关于t 的二次函数的值域问
题，求解过程中要注意t 的取值范围的限制．
（3）基本不等式法和对勾函数
（4）单调性法
（5）求导法
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的概念
典型例题
例题1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合
，
是
的函数，且满足
，则这样的函数
的个数为（ ）
A．31
B．33
C．41
D．133
例题2．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）设集合
，
，那么下面的
个图
形中，能表示集合
到集合
且以集合
为值域的函数关系的有（ ）
A．①②③④
B．①②③
C．②③
D．②
精练高频考点
1．（24-25 高三上·甘肃庆阳·期中）下列图形中，可以表示函数（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（24-25 高三上·黑龙江·期中）已知下列集合
，
与对应关系
，则
：
为从
到
N 的函数的是（ ）
A．
，
，
：2 倍
B．
，
，
：2 倍
C．
，
，
：开平方
D．
，
，
：平方
高频考点二：函数定义域
角度1：具体函数的定义域
典型例题
例题1．（24-25 高三下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·上海·三模）函数
的定义域为 .
精练高频考点
1．（24-25 高三下·湖南永州·期中）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三下·全国·专题练习）函数
的定义域是 .
角度2：抽象函数定义域
典型例题
例题1．（24-25 高三上·安徽亳州·阶段练习）函数
的定义域为
，函数
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域
为 ，函数
的定义域为 ．
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
．
2．（2024 高三·全国·专题练习）（1）已知函数
的定义域是
，求函数
的定义域．
（2）已知函数
的定义域是
，求函数
的定义域．
角度3：已知定义域求参数
典型例题
例题1．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数
在
上有意义，则实数a 的
取值范围为 ．
例题2．（2024 高三·全国·专题练习）（1）若函数
的定义域为
，则实数
的取值范
围是 ．
（2）若函数
的定义域为
，则实数
取值范围是 ．
精练高频考点
1．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域是
，则实数
的取值范围是
．
2．（24-25 高三上·上海杨浦·开学考试）已知函数
的定义域为R，则函数
的值域为
高频考点三：函数解析式
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）
典型例题
例题1．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，则
．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
满足
，求函数
的解析式．
角度2：换元法求解析式（换元必换范围）
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（23-24 高三上·河南商丘·期中）已知
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高二下·全国·专题练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
角度3：待定系数法
典型例题
例题1．（24-25 高三上·福建福州·期中）若函数
是二次函数，满足
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三上·湖北随州·阶段练习）已知
是一次函数且
，求
的解析式．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数
满足
，则函数
的
解析式为
2．（24-25 高三上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求
的解析式.
(1)
是一次函数，且满足
；
(2)
.
角度4：方程组消去法
典型例题
例题1．（24-25 高三上·云南大理·阶段练习）若函数
满足关系式
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
满足
，则
．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·辽宁·期末）已知函数
满足
，则
.
2．（24-25 高三上·云南文山·期中）已知定义在
上的函数
满足
，则函数
的解析式是 ．
高频考点四：分段函数
角度1：分段函数求值
典型例题
例题1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·江西·模拟预测）已知函数
满足
若
，则
（ ）
A．1
B．4
C．5
D．2024
精练高频考点
1．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数
，则
.
2．（2025·广西河池·二模）已知
，求
.
角度2：已知分段函数的值求参数
典型例题
例题1．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数
，若
，则实数a 的值为
（ ）
A．
或2
B．
或1
C．1
D．
例题2．（2025·吉林·模拟预测）已知函数
，若
，则
．
精练高频考点
1．（2025·福建厦门·三模）已知函数
若
，则
．
2．（2025·江西南昌·二模）已知函数
，若
，则
.
角度3：分段函数值域（最值）问题
典型例题
例题1．（2025·山东威海·三模）已知函数
的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（多选）（24-25 高三上·浙江温州·期末）若函数
存在最小值，则实数
的
值可以是（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．
精练高频考点
1．（24-25 高三·上海·期中）已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围为
．
2．（24-25 高三上·上海普陀·期末）已知函数
有最小值，则
的取值范围为
．
高频考点五：函数的值域
角度1：二次函数求值域
典型例题
例题1．（2025 高二下·湖南郴州）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
，求当
时，
的最大值
．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·贵州六盘水·期末）如果函数
，那么函数
的值域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三上·河北保定·专题练习）二次函数
，其两实数根分别为0，4，且当
时，最大值为10
(1)求函数的解析式；
(2)设
，当
时，求函数的最小值.
角度2：分式型函数求值域
典型例题
例题1．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数
的值域（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高二下·上海·期中）函数
的值域是 .
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的最大值为 ．
2．（2025 高三·全国·专题练习）
，
，则
的值域为 ．
3．（2025 高三全国·专题练习）已知函数
，求
的取值范围．
角度3：根式型函数求值域
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数
的值域为
，则实数
的
值为 .
精练高频考点
1．（24-25 高三上·辽宁朝阳·期末）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·四川内江·阶段练习）函数
的值域为 ．
角度4：根据值域求参数
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的值域是
，则
，
．
例题2．（24-25 高三上·上海·阶段练习）已知
，若函数
的值域为
，则
的
取值范围是 ．
精练高频考点
1．（23-24 高三上·福建龙岩·期末）已知函数
，若
的值域为
，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·山东·期中）若函数
的值域为R，则实数m 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
的值域为
，则k 的取值范围是
．
第三部分：典型易错题型
备注：求函数解析式容易忽略定义域
1．（24-25 高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知
，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·山东潍坊·开学考试）已知
，则
.
备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“ ”的取值范围叫定义域
1．（24-25 高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数
的定义域为
，则函数
的
定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域为 .
