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专题07 玩转比较大小
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 函数的单调性法
当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该
函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如
和
，利用指数函数
的单调性；
②指数相同，底数不同时，如
和
，利用幂函数
单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如
和
，利用指数函数
单调性比较大小.
1.（2026·北京大兴·三模）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用对数函数的单调性，对
同时取对数比较其大小.
【详解】已知
，同时取对数得：
，
，
又
，且函数
在区间
单调递增，因此
，
可得：
，即
，故
.
2.（2026·重庆北碚·模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解
【详解】构造指数函数
，底数
，所以
单调递减，即
；
，即
.
3.（2026·天津滨海新区·三模）设
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性，可得a 的范围，根据对数函数的单调性，可得b，c 的范围，比较即可得
答案.
【详解】因为
在R 上单调递增，所以
，则
，
因为
在
上单调递增，所以
，则
，
因为
在
上单调递增，且
，
所以
，则
.
题型02 中间值法
当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1 或者其它能判断大小
关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．
4.（2026·天津河西·三模）设
，
，
，则
，
，的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质，分别求得
，
和
，即可求解.
【详解】由指数函数的性质，可得
，即
，
且
，即
，
又由对数函数的性质，可得
，即
，
所以
.
5.已知
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指对函数的性质确定
，
，的范围，利用中间量比大小.
【详解】
，
，
，
．
题型03 作差法、作商法
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
6.已知a =1
2 +ln2,b=2
3 +ln3
2
,c=1
2 +2ln5
5
，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【答案】B
【解题思路】利用作差法、对数的运算性质、对数函数的性质比较即可.
【解答过程】a−b=1
2 +ln2−(
2
3 +ln3
2
)=−1
6 +ln2−ln3
2
=−1
6 +2ln2−ln3
2
=−1
6 +
ln4
3
2
=
3ln4
3
1
−
6
=
ln64
27e
6
<0
，则a<b，
a−c=1
2 +ln2−(
1
2 +2ln5
5
)=ln2−2ln5
5
=5ln2 2
−ln5
5
=ln32−ln25
5
>0，
则a>c，所以b>a>c.
故选：B.
7.已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则( )
A．a<b<c
B．b<c<a
C．c<b<a
D．a<c<b
【答案】 B
【详解】＝＝<＝<1，得b<c，又∵c<1<a＝0.8－0.4，
∴b<c<a.
故选B
题型04 估算法
1．常见的近似值：
根式：
（巧记：要死要死），
（巧记：一吃三个），
（巧民：
二二三得六），
分式：
，
指数式：
，
，
对数式：
，
，
，
，
，
三角式：
，
2．可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
8.设a = ❑√3.1，b=log35，c=2
0.2，则a,b,c的大小关系为( )
（ ）
A.c < b < a B.b < c < a C. a < b < c D. a < c < b
【答案】A
【详解】我们通过区间判定 + 近似值校验的方法推导大小关系：
1．判定c=2
0.2的区间：指数函数y=2
x为单调递增函数，0<0.2<0.5，因此2
0<2
0.2<2
0.5= ❑√2≈1.414，即
1<c<1.414，
2．
,所以b>c;
3．a = ❑√3.1>❑√3≈1.732>b,
所以c<b<a.故选A.
9.设a =ln3
3
，b=
❑√e
4
，c=log4e,则a,b,c的大小关系为( )
A. a < b < c B. b < a < c C.c < a < b D. c < b < a
【答案】A
【详解】我们通过统一对数形式 + 交叉相乘验证的方法推导大小关系：
1.统一表达式形式：利用换底公式将c 转换为自然对数形式，c=log4e=lne
ln4 =1
ln4
.
2.比较a 和b：即证明ln3
3
<
❑√e
4
，两边同乘正数12 得4ln3<3❑√e.计算左侧4ln3≈4×1.1=4.4，右侧
3❑√e≈3×1.6487≈4.9461，显然4.4<4.9461$，因此a<b.
3. 比较b 和c ：即证明
❑√e
4
<1
ln4
，两边同乘正数4ln4得❑√e⋅ln4<4. 计算左侧
❑√e⋅ln4≈1.6487×1.38≈2.275，显然2.275<4，因此b<c
综上可推导大小关系：a < b < c.
题型05 数形结合法
核心策略是构造相应的函数，借助函数的图象数形结合比较大小，辅助以“中间值搭桥”“作差、作商”等
技巧.
10.（25-26 高三·全国·一轮复习）已知实数a，b 满足等式
，则下列关系式成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】作出
的函数图象，如图所示：
观察易知a，b 的关系为
或
或
．
11.若实数x、y、z 满足
，则x、y、z 的大小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出
的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令
，得
，
在同一直角坐标系内作出函数
的图象，
则
分别是函数
，
的图象与直线
交点的纵坐标，
设
点的横坐标为
，
点的横坐标为
，观察图象得当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
所以ABD 是可能的，C 不可能.
12.（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数
，
，
满足
，则
，
，
的大
小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将问题化为
在
时函数值的大小比较问题，利用指数函数的图象分析
判断.
【详解】令
，则
，
所以对应函数依次为
，
根据指数函数的图象及其平移关系，
大致图象如下，
由图，随
从左到右移动依次有
，
，
，
，
即
，
，
，
，不可能有
.
题型06 糖水不等式法
熟记糖水不等式定理，理解浓度增大含义.解题先识别分式大小比较题型，匹配分子分母差值结构.通过
添常数、拆分式子凑出定理形式，直接快速放缩比大小.常用于分式比较、证明不等式、函数单调性判
断.注意分清分子分母大小与正负，严格满足正数条件，灵活逆向使用定理，避免结构套用错误.
13.设a =log32,b=log64,c=log13540,则a,b,c的大小关系为( )
A. c<b<a B. a<b<c C. b<a<c D. a<c<b
【答案】D
【详解】由题意可知,a =log32=lg2
lg3
,
b=log64=lg4
lg6 =2lg2
lg3+lg2 =lg2+lg2
lg3+lg2
,
利用糖水不等式m
n <m +k
n+k (n>m >0,k>0)可知a<b;
又c=log13540=lg40
lg135 =lg5+lg8
lg5+lg27 =3lg2+lg5
3lg3+lg5 =
lg2+1
3 lg5
lg3+1
3 lg5
=lg2+lg5
1
3
lg3+lg5
1
3
,
又因为5<8,lg5
1
3 <lg2
,
同理根据糖水不等式,lg2
lg3 <lg2+lg5
1
3
lg3+lg5
1
3
<lg2+lg2
lg3+lg2
,即a<c<b,故选：D.
14.已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解法一：
所以
.
解法二：由糖水不等式可得
，即a<b<c.
题型07 基本不等式法
灵活利用基本不等式进行比较大小
15.（2026·广西柳州·二模）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式，结合比较法逐一判断即可.
【详解】A：当
时，
，所以不正确；
B：
，
因为
，
，所以当
时，
，
当
时，
，当
时，
，因此不正确；
C：因为
，
，所以有
，正确；
D：因为
，
，所以有
，
即
，所以不正确.
故选：C
题型08 构造函数法
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同
构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
16.已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c 的大小关系为( )
A.b＜c＜a
B.c＜a＜b
C.a＜c＜b
D.c＜b＜a
【答案】C
【解析】设f(x)＝，则f′(x)＝，
当0＜x＜e 时，f′(x)＞0；当x＞e 时，f′(x)＜0，则f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
则当x＝e 时，f(x)max＝＝，
即b＞a，b＞c；
a－c＝－＝＝＜0，则c＞a，所以b＞c＞a.
17.设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过观察，找到三个数的相关性：发现它们均与0.1 有关，即
，
，
，然后确定构造函数这个思路，分别构造指数型函数,分式函数,对数型函数，接着用作差法，
通过指数不等式和对数不等式,以及求导和用单调性解决问题
【详解】设
，因为
，
当
时，
，当
时
，
所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故
，即
，
所以
，所以
，故
，所以
，
故
，
设
，则
,
令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
又
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
所以
，即
，所以
故选：C.
18.（2020·全国新课标Ⅰ卷）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】条件中的等式含有两个变量
，等式的两边都同时含有指数和对数，然后考虑能否化为相同的
结构，由
，可设
，利用作差法结合
的单调性即可
得到答案.
【详解】设
，则
为增函数，因为
所以
，
所以
，所以
.
，
当
时，
，此时
，有
当
时，
，此时
，有
，所以C、D 错误.
故选：B.
19.（25-26 高三上·河北·开学考试）已知函数
，则
的大小关系为(参考数据
∶
) （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出函数
的导数并探讨单调性，再结合给定数据比较大小.
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，由
，
所以
.
故选：A
20.（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）已知
且
，
且
，
且
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意构造函数
，利用导数求出函数单调性，再由单调性比较大小即可.
【详解】由
可得
，
令
，则有
，
，
，
又
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
且
时，
，
时，
，
由单调性知，
，且
，
所以
，即
，再由单调性知，
.
故选：D
题型09 放缩法
放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
21.（25-26 高三下·安徽·阶段检测）已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
放缩比较大小即可.
【详解】根据
可知
令
，得
，即
.
，对
同时取次方得
，
.
因为幂函数
在
单调递增，
，
，故
.
综上
.
22.（2026·辽宁·三模）设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设函数
，求导可得
，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，即
，
令
，代入可得
，即
，
设函数
，求导可得
，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，即
，
令
，代入可得
，即
，
所以
的大小关系为
.
题型10 泰勒不等式
1. 泰勒不等式
（1）
，其中
；
（2）
，其中
；
（3）
，其中
；
（4）
，其中
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
23.在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中
，
.
通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保
显示值的精确性，已知
，
，
.根据以上公式，则这三个数的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化简
，再利用泰勒公式近似求出
的值，再比大小即可.
【详解】由题意可得，
，
，
又
，则
.
故选：C
24.英国数学家泰勒给出如下公式：
；
；
，其中
．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多
的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若
，
，
，
则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】借助泰勒公式，进行适当放缩再比较即可.
【详解】
，
，
，则
，
因此
.
故选：C.
25.已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用泰勒放缩，即可比较大小.
【详解】
，
，
，
∴
.
故选：D.
题型11 帕德近似法
帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．
给定两个正整数m，n，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，
且满足：
，
，
，…，
．
注：
，
，
，
26.已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近，得
，
，
，综上，
.故选：B
27.已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用帕德逼近估算各值的近似值，比较大小关系.
【解析】
，
，
，
综上，
．
故选：B
