文档文本内容
第01 讲 数列的基本知识与概念
目 录
模拟·基础演练.................................................................................................................. 2
题型01 数列的周期性..............................................................................................................2
题型02 数列的单调性..............................................................................................................3
题型03 递推公式求通项公式（累加法）
.....................................................................5
题型04 递推公式求通项公式（累乘法）
.....................................................................8
题型05 递推公式求通项公式（构造法）..........................................................................10
题型06 利用an 与Sn 的关系求通项公式
..................................................................11
重难·创新演练................................................................................................................14
真题·实战演练..................................................................................................................19
模拟·基础演练
考查重点：、本模块围绕数列通项与性质展开，重点研究数列周期、单调性判定方法；熟练运用累
加、累乘、构造三类递推模型求通项，掌握an 与Sn 互化通法；侧重式子变形、等价转化、分类讨
论，综合考查代数运算与逻辑推理能力。
题型01 数列的周期性
1．已知数列
满足
，
，则数列
的前2026 项和为（ ）
A．2025
B．2026
C．2027
D．2028
【答案】A
【详解】
，可以发现数列
是周期为3 的周期数列，
可以发现数列
是周期为3 的周期数列，
因为
所以数列
的前2026 项和为
.
2．设数列
满足
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【详解】因为
，且
，
所以
，
，
所以数列
的周期为2，故
故选：A
3．已知数列
满足
，
，则数列
的前7 项和为__________.
【答案】5
【详解】因为
，
，所以
，
，
，所以数列
的周期为3，
则数列
的前7 项和
.
4．若数列
满足
，则
_____.
【答案】
【详解】由
得，
，
所以数列周期为3，故
.
5．已知数列
满足
，且对于任意的
，都有
，则
除以5 的余数为
________．
【答案】2
【详解】由题目的条件可以知道
,即
，
所以有
,
且除以5 的余数为2，
;
除以5 的余数为3，
;
除以5 的余数为1，
;
除以5 的余数为2，
;
除以5 的余数为3，
显然,余数呈现2,3,1 的周期循环，所以
，即
除以5 的余数与
的相同为2.
故答案为：2
题型02 数列的单调性
6．已知数列
的通项公式为
，若
是数列
的最大项，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【详解】由题意得，
，又因为
，
所以
，
解得
，又因为
，所以
．
7．在等比数列
中，命题
： 数列
的首项
且公比
，命题
： 数列
是递增数列. 则命题
是命题
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若命题
成立，即
，公比
. 由等比数列通项
，
得
，
因为
，
，所以
，即
，
所以数列
是递增数列，因此
能推出
，充分性成立；
若数列
是递增数列，不一定满足命题
.
举反例：取
，公比
，数列各项为
，满足
，
确实是递增数列，但不满足
且
，因此命题
不能推出命题
，必要性不成立.
综上，命题
是命题
的充分不必要条件.
8．（多选）已知等比数列
的公比
，则（ ）
A．数列
是递增数列
B．数列
是递增数列
C．数列
是递增数列
D．数列
是递增数列
【答案】BCD
【详解】由等比数列
的公比
，得
，
对于A，
，当
时，
，数列
是递减数列，A 错误；
对于B，
，
，数列
是递增数列，B 正确；
对于C，
，
，数列
是递增数列，C 正确；
对于D，
，
，数列
是递增数列，D 正确.
9．已知
是等差数列，其公差为
，前
项和为
，则“
”是“数列
为单调递增数列”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若
，满足
，此时
，
，不满足数列
为单调递增数列，充分
性不成立；
若
，此时
，满足数列
为单调递增数列，但
不成立，必要性不成立；
所以“
”是“数列
为单调递增数列”的既不充分也不必要条件.
10．已知数列
的通项公式为
，
，若
是递增数列，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为数列
为递增数列，
，
所以
对
恒成立，
化简整理得，
对
恒成立，
由二次函数性质知当
时，
有最小值，即
，
所以
，故实数
的取值范围是
.
题型03 递推公式求通项公式（累加法）
11．已知数列
满足
，设数列
的前
项和为
，则
_____.
【答案】
【详解】数列
中，
，当
时，
，
则当
时，
，
而
满足上式，因此
，
，
则
，
所以
.
12．已知数列
满足
，
，则
的个位数字为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】A
【详解】由题设
，则
，
令
，得
，则
，
，
显然
也满足上式，
，则
，显然个位数字为2.
13．若
，且
，则
（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，得
，
则
，
由
，
，可得
，
又
，则
，
所以
.
14．将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数
字不是“拐弯数”的是（ ）
A．37
B．58
C．67
D．79
【答案】B
【详解】不妨设第n（
）个“拐弯数”为
，
不难发现
，
，
，
，…，
所以
（
），
利用累加法得
，
因而
，当
时，也符合上式，
所以
（
）．
令
可得，
，即
，
解得
或
（舍去），故
是“拐弯数”；
令
可得，
，即
，
解得
（舍去）或
（舍去），故
不是“拐弯数”；
令
可得，
，即
，
解得
或
（舍去），故
是“拐弯数”；
令
可得，
，即
，
解得
或
（舍去），故
是“拐弯数”.
15．已知函数
满足对任意实数
，都有
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，代入题设函数方程得：
，
将
代入化简，得递推关系：
，
当
时，有
，
则
，
，
，
故
，
故
，则
.
题型04 递推公式求通项公式（累乘法）
16．已知数列
满足
，
，则
的前6 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，
当
时，
，
显然，对于
时也成立，
所以
，
则
的前6 项和为
.
故选：C.
17．已知
，
，求数列
的通项．
【答案】
【详解】因为
，
所以
，
故
，
18．已知数列
中，
，
，
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
是等比数列
D．
【答案】D
【详解】由
，
，得
，
有
，
，
，
，
，
所以
，则
，
故
，
，故
，
，
是等比数列，
，故A、B、C 正确，D 错误.
故选：D.
19．数列
中，满足
，
，则
______．
【答案】
/
【详解】因为
，所以
.
所以
，
，
，…，
（
）.
各式相乘，可得：
，
显然
满足上式，则
，
所以数列
的前
项和为
，
所以
.
故答案为：
.
20．已知数列
中，
，则
______．
【答案】1024
【详解】由题意得
．
故
，
且经检验
满足该通项公式，
故
．
故答案为：1024.
题型05 递推公式求通项公式（构造法）
21．已知数列
满足
，则
的值为___________．
【答案】
/
【详解】由题意得
，而
，
故
是以1 为首项，5 为公比的等比数列，
故
；故
；可得
．
22．在数列
中，
，则通项公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，
又
，
所以
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
，所以
，所以
.
23．已知数列
的前
项和为
，
，则
的通项公式为________．
【答案】
【详解】对
两边同时除以
，
得
，即
，
则
是首项为
，公差为
的等差数列，
故
，得
．
24．已知数列
的首项
，且满足
，则
的值为（ ）
A．1025
B．1023
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
，
即
是以
为首项，
为公比的等比数列，
故
，即
，
令
，得
．
25．已知数列
满足
，
，则
_________
【答案】
【详解】由题意可得
，
则
，即
，易知
，
所以数列
是以为首项，以为公比的等差数列，
则
，故
.
故答案为：
.
题型06 利用an 与Sn 的关系求通项公式
26．记
为数列
的前n 项和，已知
，
，则
______．
【答案】
【详解】当
时，
，将其代入
，可得
，
即
，又
，则数列
是首项为、公比为的等比数列，
从而
，解得
.
27．（多选）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】由题意知
，则当
时，
，
两式相减可得
，整理得
，故
正确；
当
时，
，因为
，所以
，故
错误；
，故
错误；
，
，
，故
正确.
28．已知数列
中，
，对任意正整数
，均有
，则
的值为_____.
【答案】
【详解】设数列
的前
项和为
，由
可得，
，
当
时，有
，两式相减，
，
化简得
，
则当
时，
解得
，当
时，
，符合；当
时，由
求得
，也符合.
所以
.
29．已知正项数列
，其前
项和为
，且
(
)．则数列
的通项公式为
______．
【答案】
【详解】当
时，
，因此
，
则
，则
，
同时
，当
时，
，
因此
，
所以
，
而因为
，所以
，
即
，
所以
是首项
，公差
的等差数列，
因此
，
当
时，满足条件，
因此数列
的通项公式为
.
30．已知各项均为正数的数列
的前n 项和为
，且
.求
的通项公式；
【答案】
【详解】当
时，
，解得
或
（舍）；
当
时，由
，得
，
所以
，
即
，整理得
，
又
的各项均为正数，所以
，
所以数列
是首项为2，公差为1 的等差数列，所以
.
31．已知正项数列
的前
项和为
，
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
；
【分析】
【详解】（1）由题可知，
，所以有，
即
因为数列
是正项数列，所以
.
即数列
是以1 为公差的等差数列
令
，有
，所以解得，
（负舍）.
所以
.
重难·创新演练
设题创新:依托数阵、等积数列、最优值等全新定义与生活情景命题，突破常规通项套路，融合数
列单调性、恒成立求参、递推累加、an与Sn转化，侧重考查材料解读、模型转化、分类讨论与函
数结合的综合推理能力。
1．（2026·贵州铜仁·二模）已知数列
的前
项和
，若
，使得
成立，则实
数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
①，
所以当
时，
，解得
，
当
时，
②，
由①-②可得，
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，则
，
故由
，可得
，其中
③．
令
，则
，
由二次函数性质可知
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，故③式最大值为120，则
，
则实数
的取值范围为
.
2．【新角度】（2025·辽宁大连·模拟预测）下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等
差数列.
2
3
4
5
6
7
⋯
3
5
7
9
11
13
⋯
4
7
10
13
16
19
⋯
5
9
13
17
21
25
…
6
11
16
21
26
31
⋯
7
13
19
25
31
37
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
表中对角线上的一列数
构成数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】易知，数列
的递推公式为
，
所以
当
时，
累加得
，
所以
，即
.
满足上式，所以
.
故
.
3．（2026·山西太原·一模）已知
为数列
的前
项和，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
，因为
，所以
.
当
时，由
，得
，
两式相减可得
，即
.
因为
，所以
，又
，所以
.
因此数列
是公差为0，首项为的等差数列，
可得
，所以
.
4．【新考法】（2026·江苏南通·三模）已知数列
满足
，若对于任意
都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
时，
，而要满足
，
故
要单调递减，所以
，解得
，
时，
，要满足
，则
，
从而
，
还需满足
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
5．【新定义】（2026·广西百色·二模）对于数列
，定义
为数列
的“最优
值”，现已知数列
的“最优值”
，记数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．2027
B．
C．2028
D．
【答案】C
【详解】由已知
，所以
，
所以
，
时，
，
两式相减得
，
所以
，
也适合，所以
是等差数列，
所以
所以
.
6．【新定义】（2026·湖北孝感·一模）（多选）在数列
中，如果
的每一项与它的后一项的积等于
同一个非零常数，则称数列
为“等积数列”，非零常数为数列
的公积.已知数列
是等积数列，
且
，公积为2，设
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于选项A：由题可知，对任意的
，
，
则对任意的
，
，
则
，所以
，故A 正确；
对于选项B：因为
，
，即
，
由选项A 可知：
，所以
，故B 正确；
对于选项C：因为
，
所以
，故C 错误；
对于选项D：因为
，所以
，故D 正确.
7．【新考法】（2026·辽宁铁岭·一模）在正项数列
中，对任意
，
，
，若
为单调递增数列，则
的取值范围是________.
【答案】
【详解】对任意
，
成立，且
，
令
，则
，即当
时，
，
当
时，
，而
满足上式，因此
，
由
为单调递增数列，得
对
成立，
则
，化简得
，
于是
，而当
时，
，则
，解得
，
所以
的取值范围是
.
8．（2026·四川乐山·二模）已知数列
的前
项和为
，且
，则
_________.
【答案】
【详解】根据数列前
项和的性质，对任意
，
有
，代入
得：
，因为
，故
，
由
可得：
，
若存在
使得
，则
，
依此类推可得
，与
矛盾，
故对任意
都有
，
等式两边同除以
，整理可得：
，因此
是以首项为
，公差为
的等差数列，
由等差数列通项公式可得：
，
因此
.
9．【新情景】（2026·湖北武汉·三模）一辆快递车从
地往
地运送快递，沿途（包括
，
）共有
站.从
地出发时，装上发往后面
站的快递各1 件，到达后面各站后卸下前面各站发往该
站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1 件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列
.
(1)求
，
，并写出
与
的递推关系式；
(2)求数列
的通项公式，并求出
的最大值.
【答案】(1)
，
，
，
(2)
，
.
【分析】
【详解】（1）由题意可知
，
.
在第
个快递站卸下
件快递，同时装上
件快递，
则
，所以
，
.
（2）由（1）知
，
.
可得
，
，
也符合上式，所以
.
因为
，故当
时，
的最大值为
.
真题·实战演练
高频考点：数列周期性、单调性判断，an 与Sn 退位求通项，累加累乘构造递推求通项；结合充分
必要条件、实际情境命题，选填基础判断、解答求通项为主，式子变形是高频考查方向。
1．（2024·上海·高考真题）数列
，
，c 的取值范围为___________．
【答案】
【详解】因为
，则
，
可知数列
为等差数列，
则
，解得
，
所以c 的取值范围为
.
故答案为：
.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）当
时，
，解得
．
当
时，
，所以
即
，
而
，故
，故
，
∴数列
是以4 为首项，
为公比的等比数列，
所以
.
（2）
,
所以
故
所以
，
.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
当
时，
，所以
，
化简得：
，当
时，
，即
，
当
时都满足上式，所以
．
（2）因为
，所以
，
，
两式相减得，
，
，即
，
．
