文档内容
第 01 讲 数列的基本知识与概念
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”
（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕
草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那
契数列 满足： ， ， ，若 ，则k等于（ ）
A．12 B．13 C．89 D．144
【答案】A
【解析】由斐波那契数列的性质可得：
所以k等于12.
故选:A.
2．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若数列 满足 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 .又因为 ，
所以 ，
所以 是周期为4的数列，故 .
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）著名的波那契列 ： ， ， ， ， ， ， ，满足 ，
，那么 是斐波那契数列中的
（ ）
A．第 项 B．第 项 C．第 项 D．第 项
【答案】C
【解析】因为 ，所以
.
故选：C
4．（2023·宁夏银川·校联考二模）数列 满足 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 .
故选：C
5．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若数列 中， ， ，且 ，
记数列 的前n项积为 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，得 ， ， ， ， ， ，
发现数列 是以6为周期的数列，且前6项积为1，则 ， ，
所以原式的值为 ，
故选：D．
6．（2023·全国·高三专题练习）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产
保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，
好看又壮观.小明同学在研究数列 时，发现其递推公式 就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即 ，如果该数列 的前两项分别为 ，其前 项和
记为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 得，
所以
，
.
故选：D.
7．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知数列 ，若 ，则 （ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
【答案】B
【解析】由 ，
令 ，则 ，则 ，
令 ，则 ，则 .
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是递增数列，且 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】数列 是递增数列，且 ，则 ，解得 ，
故 的取值范围是
故选：D
9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列说法中，正确的有（ ）
A．已知 ，则数列 是递增数列
B．数列 的通项 ，若 为单调递增数列，则
C．已知正项等比数列 ，则有
D．已知等差数列 的前 项和为 ，则
【答案】AD
【解析】对于A中，由 ，可得 ，所以数列 是递增数列，所以A正确；
对于B中，若数列 的通项 ，
则 恒成立，
所以 ，所以B错误；
对于C中，正项递增的等比数列 ，若 ，
可得 ，此时 ，
所以C不正确；
对于D中，等差数列 的前 项和为 且 ，
根据 构成等差数列，即 构成等差数列，
可得 ，解得 ，所以D正确.
故选：AD.
10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ，若数列 是递减
数列，则实数k不能取的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【解析】由题意得：
数列 是递减数列
对于一切的 恒成立即 对于一切的 恒成立
故 对于一切的 恒成立，当 时， 有最大值
故 ，所以
故选：AB
11．（多选题）（2023·河北沧州·高三沧州市一中校考阶段练习）对任意的 ，由关系式
得到的数列满足 ，则函数 的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由 且 ，即 ，即函数 图象上任意一点 都满足 ，结合选
项可知函数 的图象不可能是BCD，
故选：BCD.
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若数列 满足 ，则数列
中的项的值可能为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】AC
【解析】由题意可得 ，
，，
所以数列 是周期为2的数列，
所以数列 中的项的值可能为 ， ．
故选：AC．
13．（多选题）（2023·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）已知数列 满足 ， ，记
数列 的前 项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】因为 ， ，
所以 ，故A错误；
， ，所以数列 是以 为周期的周期数列，
所以 ，故B错误；
因为 ， ，
所以 ，故C正确；
，故D正确；
故选：CD
14．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ， ，且 ，则
___________．
【答案】
【解析】由 ， ，可得 ， ， ，…，
所以 是以3为周期的周期数列，
因为 ，所以 ，
故答案为：0．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则 ______．
【答案】
【解析】由数列 满足 ，且 ，
可得 ， ， ， ， ， ，…，
所以 是以4为周期的周期数列，所以 ．
故答案为： .
16．（2023·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）设 且 ，已知数列 满足
，且 是递增数列，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为 是递增数列，所以 解得 ，
故答案为: .
17．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若存在常数 ，使得对任意的正整数n都
有 ，则 的最小值为______.
【答案】 /4.5
【解析】因为 ，
由已知 ，所以 ， ，
设 ，则 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
故 ，所以 ， ， ，所以 ，所以B－A的最小值为 ，
故答案为： .
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 满足 ， 为正整数，若
，则实数 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】当 时，函数 严格单调递减，
当 时，函数 严格单调递增，
所以当 时， 取到最小值，
因为数列 满足 ，
若 ，则 是数列的最小项，
所以 ，故实数 的取值范围是 .
故答案为: .
19．（2023·全国·高三专题练习）知数列 的通项公式为 ，则数列 的最大项为第
______项．
【答案】4
【解析】解法一：∵ ，
∴当 时， ；当 时， ，
即 ，故数列 的最大项为第4项．
解法二：设数列 中的最大项为 ，则
即 解得 ．
∵ ，∴ ．故数列 的最大项为第4项．
20．（2023·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）某企业第一年年初有资金2000万元，将其投入
生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年
开始，每年年底上缴资金 万元，并将剩下的资金全部投入下一年生产，设第 年年底企业上缴资金后剩
余资金为 万元.（1）用 表示 ， ，并写出 与 的关系式；
（2）若公司希望经过5年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金 的值.（精确到
0.01）
【解析】（1）由题意得： ，
，
.
（2）由（1）得
整理得
由 ，即 ，
解得 万元 .
1．（2015•上海）若无穷等差数列 的首项 ，公差 ， 的前 项和为 ，则
A． 单调递减 B． 单调递增 C． 有最大值 D． 有最小值
【答案】
【解析】 无穷等差数列 的首项 ，公差 ，
是递减数列，且先正值，后负值；
的前 项和为 先增加，后减小；有最大值；
故选： ．
2．（2022·全国甲卷·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一
颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ，
， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】[方法一]:常规解法
因为 ，
所以 ， ，得到 ，
同理 ，可得 ，
又因为 ，
故 ， ；
以此类推，可得 ， ，故A错误；
，故B错误；
，得 ，故C错误；
，得 ，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设 则
故D正确.3．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，易得 ，依次类推可得
由题意， ，即 ，
∴ ，
即 ， ， ，…， ，
累加可得 ，即 ，
∴ ，即 ， ,
又 ，
∴ ， ， ，…， ，
累加可得 ，
∴ ，
即 ，∴ ，即 ；
综上： ．
故选：B．
4．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】因为 ，所以 ， ．
由
，即
根据累加法可得， ，当且仅当 时取等号，
，
由累乘法可得 ，当且仅当 时取等号，
由裂项求和法得：
所以 ，即 ．
故选：A．
5．（2021·全国甲卷·统考高考真题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙：
是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
6．（2020·北京·统考高考真题）在等差数列 中， ， ．记 ，则数
列 （ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
且由 可知 ，
由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，
故数列 中的正项只有有限项： ， .
故数列 中存在最大项，且最大项为 .
故选：B.
7．（2004·江苏·高考真题）设数列 的前n项和为 ， （对于所有 ），且 ，
则 的数值是___________．
【答案】
【解析】因为， （对于所有 ），
所以，当 时， ，
所以 ，解得 .
所以， 的数值是
故答案为：
8．（2022·北京·统考高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给
出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【解析】由题意可知， ， ，
当 时， ，可得 ；当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，
所以， ，则 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，①对；
假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，
故数列 不是等比数列，②错；
当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减数列，③对；
假设对任意的 ， ，则 ，
所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
9．（2004·浙江·高考真题）如图， 的在个顶点坐标分别为 ，设 为线段BC的中点，
为线段CO的中点， 为线段 的中点，对于每一个正整数n， 为线段 的中点，令 的坐标
为 ， ．
(1)求 及 ；
(2)证明 ；
(3)若记 ，证明 是等比数列．
【解析】（1）因为 ，所以 ， ， ，
， ，
，
因为 为线段 的中点，所以 ，
所以 ，
所以 为常数列，
所以 ；
（2）由（1） ，
所以 ；
（3） ，
又 ，
所以 是公比为 ，首项为 的等比数列．
