文档内容
第 01 讲 数列的基本知识与概念
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：数列的周期性........................................................................................................................2
题型二：数列的单调性........................................................................................................................3
题型三：数列的最大（小）项............................................................................................................5
题型四：数列中的规律问题................................................................................................................7
题型五：数列的恒成立问题................................................................................................................9
题型六：递推数列问题......................................................................................................................11
02 重难创新练....................................................................................................................................13
03 真题实战练....................................................................................................................................25题型一：数列的周期性
1．（2024·四川广安·二模）已知数列 满足 ， （ ），则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ， ，
， ， ，
又 ，所以
故选：A
2．（2024·河南新乡·二模）已知在数列 中， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】由 可得
因此 故 ，
故选：D
3．若数列 满足 （ 且 ），则 的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】因为 且 ，
所以 ，所以数列 具有周期性，且 ，所以 .
故选：A.
4．（2024·广西南宁·一模）已知数列 的首项 （其中 且 ），当 时， ，
则 （ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解析】 ， ， ， ，故数列 的周期为3.
故 .
故选：B
题型二：数列的单调性
5．已知数列 的通项公式为 ，若 为递增数列，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，若 为递增数列，则∴T n+ 2n
2
+
n
3 − 1
n
=3− 1
n
<3.，
有 ，解得 ，
则 ，
当 时， ，所以 ,
则 的取值范围为 .
故选：D.
6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知递增数列 的前n项和为 ，若 ， ，
则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】当 时， ，即 ，则 .
当 时，由 ，得 ，
得 ，则 ，易知 ，即 .
又 ，所以 是首项为1，公比为 的等比数列.
又 单调递增，所以 ，解得 .
故选：C
7．（2024·高三·河南·期末）已知数列 是单调递增数列， ， ，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ，由于数列 为单调递增数列，
即 ， ，
整理得 ，
令 ，则 ， ，
所以数列 单调递减，故 是数列 的最大项，
则 的取值范围为 ，故C正确.
故选：C．
8．已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且 单调递增，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 为等差数列，且 ，所以 ，
因为数列 为递增数列，则 ，即 从第二项开始，各项均为正数，又因为 恒成立，所以数列 为常数数列或递增数列，所以 ，
则有 ，解可得 ，
综上可得， ，所以实数 的取值范围为 ．
故选：D．
9．已知数列 的通项公式为 ，当它为递增数列时， 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 是单调递增数列，所以对于任意的 ，都有 ，
即 ，化简得 ，
所以 对于任意的 都成立，因为 ，所以 .
故选：A
题型三：数列的最大（小）项
10．已知数列{an}的通项公式为 ，则此数列的最大项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方法一： － ＝ · ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
所以 ，
所以数列 有最大项，为第8项和第9项，且 .
方法二：设数列 的第n项最大，则 ，即 ，
解得 ，又 ，则 或 ，
故数列{a}有最大项，为第8项和第9项，且 .
n
故选：D
11．（2024·广东广州·一模）已知数列 的前 项和 ，当 取最小值时， .
【答案】3
【解析】因为 ，则当 时， ，
又当 时， ，满足 ，故 ；
则 ，
又 在 单调递减，在 单调递增；
故当 时， 取得最小值，也即 时， 取得最小值.
故答案为： .
12．（2024·高三·广东潮州·期末）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，若 ，
则数列 中最小项的值为 ．
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ， ，
则 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ，所以 ，
所以当 时 取得最小值 .
故答案为：
13．（2024·上海普陀·一模）若数列 满足 ， （ ， ），则 的最小值是
.
【答案】6
【解析】由已知 ， ，…， ， ，
所以 ， ，
又 也满足上式，所以 ，
设 ，由对勾函数性质知 在 上单调递减，在 递增，
因此 在 时递减，在 时递增，
又 ， ，
所以 的最小值是6，
故答案为：6.
14．已知数列 的通项公式 ，则数列 的最大项的值为 ；数列 的最小项
的值为 ．
【答案】
【解析】由 ，
则当 时， 随 的增大而减小，且 ；
当 时， 随 的增大而减小，且 ，
所以数列 的最大项的值为 ；最小项的值为 ．
故答案为： ； ．
题型四：数列中的规律问题
15．（2024·浙江·模拟预测）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：， ， ，…，按此规律，若 分裂后，其中有一个奇数是2019，
则m的值是（ ）
A．46 B．45 C．44 D．43
【答案】B
【解析】题目所给规律可以表示为等式 ，
故由题目条件知 ，即 且 .
故 ， ，
这得到 ，从而 .
故选：B.
16．（2024·福建厦门·一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙
粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数
从小到大依次排列，则其第8个数为（ ）
A．51 B．70 C．92 D．117
【答案】C
【解析】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为 ，
所以五边形数依次为 ，即第8个数为92.
故选：C
17．（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙
滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，
同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1， 等叫作“三角数”或
“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六
边形数，那么第20个六边形数为（ ）
A．778 B．779 C．780 D．781
【答案】C【解析】六边形数从小到大排成一列，形成数列 ，
依题意， ，归纳得 ，
所以 .
故选：C
18．（2024·海南·模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用
于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别
为 ，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（ ）
A．1012 B．1016 C．1912 D．1916
【答案】C
【解析】观察此数列，偶数项为 ，可得此时满足 ，
奇数项为 ，可得 ，
所以 ， ，则 ，
所以 .
故选：C.
题型五：数列的恒成立问题
19．（2024·高三·陕西渭南·期中）已知数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，满足 ，
，且 .若对任意 ， 恒成立，则实数 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】因为 ，所以当 时， ，
相减得 ，即 ，
所以 ，
当 时， 也适合 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
对任意 ， 恒成立，所以 ，即实数 的最小值为 .故答案为：
20．已知数列 的通项公式为 .若对于任意 ，不等式 恒成立，则实
数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，
所以 .
设 ，
则 .
设 ，则 ，
令 ，解得 ，即 在 上单调递增，
令 ，解得 ，即 在 上单调递减，
又 ， ， ，
所以当 时， ，即 ，
所以 .
当 时， ，即 ，所以 .
综上， ，所以 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
21．在数列 中， ，若对任意的 恒成立，则实数 的最小值
.
【答案】
【解析】由 整理得 ，即 ，又 ，故数列 是以4为首项，4为公比的等比数列，可得 ,
不等式 ，可化为 ，
令 ，当 时， ；
当 时， ， ，
故当 时， 单调递减，故 ，
综上， ，
所以 ，故 最小值为 ．
故答案为：
题型六：递推数列问题
22．（2024·陕西咸阳·三模）在数列 中， ， ，则 （ ）
A．43 B．46 C．37 D．36
【答案】C
【解析】法一：由题得
，
所以 .
法二：由题 ， ，
所以 .
故选：C.
23．（2024·北京昌平·二模）已知数列 满足 ，则数列 的前4项和等于（ ）
A．16 B．24 C．30 D．62
【答案】C
【解析】由已知可得，
当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
所以数列 的前4项和等于 ，
故选：C.
24．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进
行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今
年起第n年绿洲面积为 万平方千米．
(1)求第n年绿洲面积 与上一年绿洲面积 的关系；
(2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（ ）
【解析】（1）由题意得
，
所以 ．
（2）由（1）得 ，
．
又 ，所以 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
，
即 ．
令 ，即 ，
两边取常用对数得 ，
所以
，
，
至少经过6年，绿洲面积可超过60%．25．（2024·天津河西·模拟预测）已知桶 中盛有3升水，桶 中盛有1升水.现将桶 中的水的 和桶
中的水的 倒入桶 中，再将桶 与桶 中剩余的水倒入桶 中；然后将桶 中的水的 和桶 中的水
的 倒入桶 中，再将桶 与桶 中剩余的水倒入桶 中；如此继续操作下去.
(1)求操作1次后桶 中的水量；
(2)求操作 次后桶 中的水量；
(3)至少操作多少次，桶 中的水量与桶 中的水量之差小于 升？（参考数据：
， ）
【解析】（1）记桶 中的水量为 ，桶 中的水量为 ， ，
所以 .
（2）根据题意可得： ， ，
所以 ，所以 ，
即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
，所以 .
（3） ， ，
令 ，得 ，两边取对数，
得 ，
所以至少经过5次操作，才能使桶 中的水量与桶 中的水量之差小于 .1．（2024·甘肃兰州·一模）数列 满足 ， ，则 （ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【解析】因为 ， ，
所以 ， ， ， ，
， ， ， ， ，
又 ，
所以 .
故选：B
2．（2024·高三·山西大同·期末）等比数列 中， 为其前 项和， ，且 成等差数列，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】设公比为 ，
由 成等差数列，得 ，
又数列 为等比数列，所以得 ，解得 ，
所以 ，
令 ，
则 ，所以数列 递增数列，
所以当 时， 取得最小值1.
故选：D.
3．（2024·山东济南·二模）已知 是各项均为正整数的递增数列， 前 项和为 ，若 ，
当 取最大值时， 的最大值为（ ）
A．63 B．64 C．71 D．72
【答案】C
【解析】因为 是定值，要使当 取最大值时 也取得最大值， 需满足各项尽可能取到最小值，
又因为 是各项均为正整数的递增数列，所以 ，即 是首相为 ，公
差为 的等差数列，其中 ； 的前 项和为 ；
当 时， ；
当 时， ；
又因为 ，
所以 的最大值为 ，此时 ， 取得最大值为 .
故选：C.
4．（2024·河南·模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日
本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数
就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数 ，按照上述规则
实施第 次运算的结果为 ，若 ，且 均不为1，则 （ ）
A．5或16 B．5或32
C．5或16或4 D．5或32或4
【答案】B
【解析】由题知 ，因为 ，则有：
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数， ；
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数，且 ；若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数，且 ；
若 为奇数，则 ，可得 ；若 为偶数，则 .
综上所述： 或32.
故选：B
5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把
数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三
行的1，5，12，22称为五边形数．则三角形数､正方形数所构成的数列的第5项分别为（ ）
A．14，20 B．15，25 C．15，20 D．14，25
【答案】B
【解析】三角形数：
第一个数1，第二个数 ，第三个数： ，
第四个数 ，第五个数 ，
正方形数：
第一个数 ，第二个数 ，第三个数： ，
第四个数 ，第五个数
故选：B
6．（多选题）（2024·浙江绍兴·二模）已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，前 项积为 ，且
， ，则（ ）
A．数列 是递增数列 B．数列 是递减数列
C．若数列 是递增数列，则 D．若数列 是递增数列，则
【答案】ACD【解析】由题意可知 ，且 ， ，
故有 且 （否则若 ，则 的符号会正负交替，这与 ， ，矛盾），
也就是有 或 ，
无论如何，数列 是递增数列，故A正确，B错误；
对于C，若数列 是递增数列，即 ，由以上分析可知只能 ，故C正确；
对于D，若数列 是递增数列，显然不可能是 ，（否则 的符号会正负交替，这与数
列 是递增数列，矛盾），
从而只能是 ，且这时有 ，故D正确.
故选：ACD.
7．（多选题）（2024·辽宁·一模）已知数列 的首项为 ，且 ，则（ ）
A．存在 使数列 为常数列
B．存在 使数列 为递增数列
C．存在 使数列 为递减数列
D．存在 使得 恒成立
【答案】ABD
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，则 ，设 ， ，
所以 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
当 时 ， ， ，
故当 使数列 为常数列，故A正确；
当 时，由 在 上单调递增，又 ，所以 ，故B正确；
当 时，由 在 上单调递减，又 ，
所以 ，又 在 上单调递增且 ，
所以 ，所以存在 使得 恒成立，即D正确；
由上述分析可知，不存在 使数列 为递减数列，故C错误.
故选：ABD
8．（多选题）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，
13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列．
下面关于斐波那契数列 说法正确的是（ ）
A．
B． 是奇数
C．
D．
【答案】AD
【解析】由已知得数列 满足递推关系 .
选项A：
，A正确；
选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，2022＝674×3，恰好能被3整除，且 为偶
数，所以 也为偶数，故B错误；
选项C：若选项C正确，又 ，则 ，
同理 ，依次类推，可得 ，显然错误，故C错误；
选项D： ，
所以 ，故D正确．
故选：AD．
9．（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ， 单调递增，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
又因为 单调递增，所以 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 即 ，
则 的取值范围为 ，
故答案为： .
10．数列 的通项公式是 ，若数列 是递增的，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由数列 是递增的，则 ，即 ，
整理可得 ，由一次函数的单调性且 ，则 ，
解得 .
故答案为： .
11．（2024·重庆·二模）记正项数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值
为 .
【答案】
【解析】当 时， ，则 或 （舍去），
当 时，由 ，得 ，
两式相减得 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以数列 是等差数列，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
由 随 的增大而增大， ， ，
则 ，所以 的最小值为 .
故答案为： .
12．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 和等比数列 满足 ，
，则数列 在 时取到最小值．
【答案】2或6
【解析】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
则 ，
解得 ， ，
故
当 时， ，
此时 ，
故 ，
，
令 得， ，
令 得 ，
故 ，且 ，
所以当 时， 取得最小值，
当 时， ，此时 ，
故 ，
显然 ， ， ， ， ， ，……，
当 时，奇数项为负，偶数项为正，
当 且为奇数时，
，
即当 且为奇数时， ，当 时， ，即 ，
故只需计算出 ， ，
，
显然 最小，
综上，n=2或6.
故答案为：2或6
13．（2024·重庆·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ，记 ，则
；若数列 满足 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】因为数列 的前 项和为 ，且 ，
当 时，则 ，解得 ，
当 时，由 可得 ，
上述两个等式作差可得 ，则 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 ，
所以， ，则 ，且 ，
所以， ，，
则 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，则 ，故数列 从第二项开始单调递增，
因为 ，且 ，
所以， 的最小值为 .
故答案为： ； .
14．（2024·全国·模拟预测）设数列 的前n项和为 ，且 ．若 对 恒成立，
则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】法一：因为 ，当 时， ，两式相减得 ，则
，两式相减得 ．
当 时， ，则 ；当 时， ，则 ．
则 ．
要使 对 恒成立，则 即 解得 ，
所以 的取值范围为 .
法二： ，当 时， ，
两式相减得 ，则 ，
两式相减得 ，所以数列 都是以2为公差的递增数列，
要使 对 恒成立，只需 而 ，
则 解得 ,
所以 的取值范围为 .故答案为：
15．（2024·高三·黑龙江大庆·期末）已知数列 满足： ，设数列
的前 项和为 ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【解析】数列 满足： ，
时 ，
时， ，
得 ，即 ，
时也满足 ，则有 .
，
，
不等式 恒成立，即 ，解得 或 .
即实数 的取值范围为 .
故答案为：
16．数列 定义如下： ，且当 时， ，已知 ，则正整数n的值为
.
【答案】
【解析】由题设知，当 为偶数时， ；当 为奇函数时， .
因为 ，所以， 为偶数.
从而， , 是偶数，
则 , 是偶数，
则 ， 是奇数；
则 是偶数，
依次可得：
， 是偶数；
， 偶数；
， 偶数；
， 偶数；
， 偶数；
，
所以， .
故答案为：
17．已知数列 满足 ．若 ，则 ；前60项和为 ．
【答案】 1 1830
【解析】数列 满足 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，解得 ．
因为 ，
所以有 ， ， ， ， ， …，…， ，
从而可得 ， ， ， ， ， ， ，，…．
从第1项开始，依次取1个相邻奇数项的和都等于2；从第2项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8
为首项，16为公差的等差数列．
所以 的前60项和为 ．
故答案为·：1，1830.
18．（2024·陕西西安·模拟预测）数列 满足 ， ，则 ．
【答案】 /-0.5
【解析】因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ， ， ，
所以 是一个周期数列，且周期为3，故 ．
故答案为：
1．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和
为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ， ．
由，即
根据累加法可得， ，当 时 ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
，
由累乘法可得 ，且 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
由裂项求和法得：
所以 ，即 ．
故选：A．
2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙：
是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
3．（2019年浙江省高考数学试卷）设 ，数列 中， ， ,则
A．当 B．当
C．当 D．当【答案】A
【解析】若数列 为常数列， ，则只需使 ，选项的结论就会不成立.将每个选项的 的
取值代入方程 ，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、
C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.若数列
为常数列，则 ，由 ，
可设方程
选项A： 时， ， ，
，
故此时 不为常数列，
，
且 ，
，则 ，
故选项A正确；
选项B： 时， ， ，
则该方程的解为 ，
即当 时，数列 为常数列， ，
则 ，故选项B错误；
选项C： 时， ，
该方程的解为 或 ，
即当 或 时，数列 为常数列， 或 ，
同样不满足 ，则选项C也错误；
选项D： 时， ，
该方程的解为 ，
同理可知，此时的常数列 也不能使 ，
则选项D错误.
故选：A.4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷））设等差数列 的公差为d，若数列
为递减数列，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 是等差数列，则 ，又由于 为递减数列，所以
，故选C.
考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.
5．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家
经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3， 6,10，…记为数列 ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列
，可以推测：
（Ⅰ） 是数列 中的第 项；
（Ⅱ） ．（用 表示）
【答案】 5030； .
【解析】由三角形数规律可得 ，
所以 ，累加得 ，
所以 ，当 时仍成立，故 ，
写出若干项有：
其中能被5整除的有 ，故 ，
从而由上述规律可猜想： （ 为整数），
所以 ，即 是数列 中的第5030项.
故答案为：5030； .6．（2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（福建卷））五位同学围成一圈依序循环报数，规
定：
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同
学所报出的数之和；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 ．
【答案】5
【解析】设第n个数为 ，则有 ．由递推公式可得，当报到第4k（ ）个数的
时候，恰好是3的倍数，当k取4,9,14,19,24时，甲同学拍手一次，共5次．
7．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学）已知数列 满足
则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】∵an ﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an ）+（an ﹣an ）+…+（a﹣a）+a＝2[1+2+…+
+1 ﹣1 ﹣1 ﹣2 2 1 1
（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33
且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33．
从而
设f（n） ，令f′（n） ，
则f（n）在 上是单调递增，在 上是递减的，
因为n N ，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．
+
∈
又因为 ， ，
所以 的最小值为
故答案为
8．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））数列 满足 ， ，
则 ．
【答案】 /
【解析】由已知得， ， ，所以 ，， ，
， ， ， ．
故答案为：
9．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【解析】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
10．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））设 ，对1，2，···，n的一个排列
，如果当s
