专题06 指数函数、对数函数与幂函数
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 指数幂的运算
指数幂运算的一般原则
（1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；
（4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。
1．（2026·上海）
为不为1 的任意实数，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，则
.
2．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】
，
当且仅当
，即
、
时，等号成立，
即
的最小值为
.
3．（2026·陕西安康·模拟预测）若
，则
___________．（用m，n 表示）
【答案】
【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得
，结合关系
可得结论.
【详解】因为
，所以
，
所以
．
4．（2026·安徽淮北·模拟预测）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】已知
，则
，
所以
，所以
.
因为
，所以
.
题型02 指数型函数的定义域和值域问题
函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x 的取值集合．
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M 的值域．
注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
5．下列函数中，定义域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项．
【详解】对于A 选项，函数
的定义域为
；
对于B 选项，由
，得
，故函数
的定义域为
；
对于C 选项，函数
的定义域为
；
对于D 选项，函数
的定义域为
．
故选：B．
6．（2026 高三·四川成都·期中）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可.
【详解】函数
的定义域满足
，解得
且
．
则函数定义域为
，
故选：D
7．（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
，
，
因为
在
上是单调递增函数，所以
，即
；
当
时，
，
，
因为
在
上是单调递减函数，所以
，即
；
综上可知，
的值域为
.故选项C 正确.
8．（2026·河南开封·模拟预测）已知
，且
，若函数
的值域为
，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性结合已知函数值域列出不等式计算即可.
【详解】若
，则
在
单调递减，即
，
，
当
时，
在
单调递增，则
，
此时两部分值域的并集不为
，不符合题意；
若
，则
在
单调递增，即
，
，
当
时，
在
单调递增，则
，
要使函数
的值域为
，则
，解得：
，
若
，则
，此时函数
的值域为
，不符合题意；
若
，则
在
单调递增，即
，
，
当
时，
在
单调递减，
则
，
，此时两部分值域的并集不为
，不符合题意；
综上，若函数
的值域为
，则
的取值范围是
题型03 判断指数函数图象的形状
1. 标准
：
递增，图象下凸过
；
递减，图象上凸过
；
2. 同坐标系多指数对比：作直线
，交点纵坐标越大，底数
越大；
3. 平移型
：遵循左加右减、上加下减，渐近线同步平移；
4. 正负区间趋势：
时，
函数值大于1，
函数值介于0~1 之间。
9．（2026 高三·广东佛山·期中）函数
的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过求函数的零点判断图像与
轴的交点，结合函数值的正负区间以及
时的极限状态
（或求导分析单调性）即可排除错误选项。
【详解】令
，即
，因为
恒成立，所以
，
解得
或
，数图像与
轴有两个交点
和
。
观察选项：A 选项：当
时图像一直在
轴下方，不符合
时
，故排除A；
B 选项：当
时图像有部分在
轴下方，而当
时，
，
，所以
，故排除
B；
D 选项： 由导数
可知，当
时
，函数单调递增，D
选项在
时单调递减，故排除D；
C 选项：图像过原点，在
时函数值为正且先增后减（存在极大值），在
后先减后增（存在极小
值），符合函数性质.
10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果.
【详解】
，
，则
，即定义域为
，
设
，则
，
故
为偶函数，图象关于
轴对称，排除BC，
当
时，
，
，
，
，排除A，
所以选项D 正确.
11．（2026 高三·全国·专题练习）函数
且
的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，则函数
需向下平移
个单位，不过
点，所以排除A，当
时，
有
，所以排除B，当
时，有
，所以排除C，故选D.
12．（2026 高三·广东揭阳·期中）在同一平面直角坐标系中，函数
与
的大致图
象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得所以
为奇函数，且
，即可求解.
【详解】由函数
，可得其定义域为
，
且
，
所以
为奇函数，则函数
的图象关于原点对称，
当
时，
，且
，所以
，
故选：B.
题型04 根据指数型函数图象判断参数的范围
1. 底数
：由增减性区分
或
，利用
处函数值大小比较底数；
2. 平移参数
：由渐近线
、定点横坐标判断正负；
3. 过定点、区间函数值大小列出不等式，联立求解参数取值；
4. 含参复合指数：结合图象高低、单调性，分类讨论底数范围。
13．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
有两个零点，则方程
有两个实根，
即
有两个实根，即直线
与函数
的图象有两个交点.
结合函数
的图象，可得
，
所以的取值范围是
.
14．（2026 高三·湖北·期中）已知函数
，若方程
有且仅有三个不等实根，则
实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数图像及反比例函数图象，通过数形结合可得出参数范围.
【详解】在同一平面直角坐标系中画出
的图象及直线
，如图所示，
由图可知，要使方程
有且仅有三个不等实根，
即
的图象与直线
有三个不同的公共点，
则只需
.
故选：B
15．（2026 高三·安徽·阶段检测）函数
，若
有2 个零点，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将
有2 个零点转化为函数
与
有2 个交点的问题，再数形结合即可求解.
【详解】
，
图象如下：
又
有2 个零点相当于
与
有2 个交点，
根据图象可得
，故
，
则实数
的取值范围为
.
故选：A.
16．（2026 高三·重庆·阶段检测）已知
，函数
与
的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
且
C．
且
D．
【答案】B
【分析】分别对
进行讨论分析，得到相应的函数图象，与已知图象进行对比，可得正确答案.
【详解】解：函数
因为已知图象连续，且
不恒等于1，所以
且
当
时,
,其图象大致为：
当
时，
,其图象大致为：
因为函数
的图象在第一象限单调递增，所以
.
当
时，其图象大致为：
当
时，其图象为：
当
时，其图象大致为：
对照已知图象，可得：
且
故选：B.
17．【多选】（2026 高三·山西·阶段检测）若函数
的图象经过第二、三、四象限，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】画出函数图象，分析该函数的单调性与
的符号，可得出
的取值范围.
【详解】若函数
的图象经过第二、三、四象限，则
的图象如下图所示：
函数
单调递减，所以
，所以
，
由题意可知
，解得
，所以
，
，
故选：AC.
题型05 指数型函数恒过定点问题
求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y 的值，即可得函数图象所过的
定点．
18．（2026 高三·全国·一轮复习）函数
（
且
）的图象必经过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，令
，求得
，且
，即可求解.
【详解】由函数
，令
，解得
，此时
，
所以函数
且
的图象必经过点
．
19．（2026·上海·模拟预测）已知函数
是指数函数，则函数
的图象过定点
___________
【答案】
【详解】由题意得，
，得
，则函数
的图象过定点
.
20．（2026 高三·湖南长沙·阶段检测）已知函数
恒过定点
，且点
在函数
的图象上，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．4
D．
【答案】C
【分析】先根据指数函数的性质求出定点
的坐标，再将其代入直线方程得到
与
的关系式，最后利用
基本不等式即可求解.
【详解】
过定点
，所以
，
因为点
在函数
的图象上，所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立.
所以
的最小值为4.
21．（2026 高三·江西赣州·阶段检测）已知函数
（
）的图象过函数
图象的定点，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
【答案】D
【分析】先求得
图象的定点
，得到
，再由
，结合基本
不等式，即可求解.
【详解】由函数
，令
，可得
，所以
图象的定点
，
又由函数
的图象过函数
图象的定点
，
可得
，即
，且
，
则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，所以
的最小值为.
故选：D.
题型06 指数函数图象应用
1. 零点个数：变形为
，转化两函数图象交点数量；
2. 求参数：利用图象交点、定点、渐近线列等式/不等式。
22．（2026·北京东城·模拟预测）已知函数
与
的图象关于
轴对称，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
【答案】A
【详解】函数
图象上任意一点
关于
轴对称的点为
，
代入
中得
，即
，得
.
23．（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数
，
，
满足
，则
，
，
的
大小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将问题化为
在
时函数值的大小比较问题，利用指数函数的图象分析
判断.
【详解】令
，则
，
所以对应函数依次为
，
根据指数函数的图象及其平移关系，
大致图象如下，
由图，随
从左到右移动依次有
，
，
，
，
即
，
，
，
，不可能有
.
24．【多选】（2026 高三·辽宁大连·期末）若方程
与
的解分别为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由题得出直线
与函数
，
的交点横坐标分别为
、
，根据反函数的性质
即可判断各选项．
【详解】由方程
和
可化为
和
，
即直线
与两函数
和
的交点横坐标分别为
、
，
由于
和
互为反函数，则它们的图像关于直线
对称，
如图所示，点
、
关于点
对称，
，且
，
所以
，故A 正确；
因为
，所以
，又
，
所以
，故B 正确；
对于C，由
，则
，即
，与
矛盾，故C 错误；
由
和
它们的图像关于直线
对称，所以
，
，
所以
，故D 正确；
故选：ABD．
25．（2026 高三·云南保山·期末）已知函数
，若函数
有三个不同
的零点
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意得
与
的图象有三个不同的交点
，作出
与
的图象，根据
二次函数的对称性，可得
，根据图象可得k 的范围，进而可得
的范围，即可得答案.
【详解】因为函数
有三个不同的零点
，
所以
，即
有三个不同的根
，
则
与
的图象有三个不同的交点
，
作出
与
的图象，如下图所示
当
时，
为开口向下，对称轴为
的抛物线，
则
关于
对称，所以
，即
，
由图象可得
，
令
，解得
，令
，解得
，
所以
，
则
，
即
的取值范围为
.
题型07 指数函数的性质及应用
1、比较幂值大小的3 种类型及处理方法
2、简单的指数不等式的解法
利用指数函数的单调性，将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小
关系.
(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，
若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．
3、指数型复合函数的单调性
(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考
察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性．
(2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1 还是0<a<1；二是f(x)
的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．
26．（2026·天津宝坻·模拟预测）下列函数中，在区间
上单调递减，且是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】逐一验证各选项是否同时满足在区间
上单调递减且为奇函数两个条件即可求解．
【详解】对A 选项，
的定义域为
，
，
既不满足
也不满足
，为非奇非偶函数，不符合要求，故A 错误；
对B 选项，
的定义域为
，
满足
，是奇函数，
根据幂函数性质，
在
上单调递增，在
上单调递增，不符合单调递减的要求，故B 错误；
对C 选项，
的定义域为
，关于原点对称，
满足
，是奇函数，
由反比例函数的性质可知，
在
上单调递减，两个条件均满足，故C 正确；
对D 选项，
的定义域为
，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，且根据对数函数
性质，
在
上单调递增，不符合要求，故D 错误．
27．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复合函数的单调性求解即可.
【详解】因为
为
上的增函数，
所以由复合函数的单调性知
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递减，满足题意；
当
时，
在
上单调递减，则
，
解得
.
综上，
.
28．（2026·甘肃金昌·模拟预测）已知
，
，若函数
在
上单调递
减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可.
【详解】由
在
上单调递减知
；
由
在
上单调递减知：
当
，即
满足题意；
当
，
，所以
，
由
在
上单调递减，得
，所以
，
综上，a 的取值范围是
.
29．（2026·天津）已知函数
，若
，
，
，则
，
，的大小关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简
，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小
即可.
【详解】由题意可得
，
因为函数
在
上单调递增，所以
，
又因函数
在
上单调递增，则
，
所以
，
因
，且
在
上单调递增，
所以
，即
.
故
.
30．（2026·河北邢台·模拟预测）已知函数
则满足
的实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】∵ 当
时，
为单调递增函数，当
时，
，所以此时
.
当
时，
为单调递增函数，
也为单调递增函数，
∴
在
上单调递增，且
.
∴ 函数
是定义域为
的单调递增函数.
令
，当
时，有
.
设
（
），则
，整理得
.
解得
或
，∵
，∴
不符合题意，舍去.
∴
，即
.
∵
在
上单调递增，
∴
等价于
，解得
.
∴ 实数
的取值范围为
，故选A.
题型08 指数函数的最值问题
1. 换元：设
，先求在定义域内的取值区间；
2. 按底数
判断
单调性；
3. 单调递增：最大对应
最大；单调递减：最小对应
最大；
4. 含参底数必须分类讨论，端点单独验证最值。
31．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
在区间
上的最大值是14，则实数
的值是（ ）
A．3
B．
C．3 或
D．5 或
【答案】C
【分析】按
分类，借助单调性求出最大值列式求解.
【详解】当
时，函数
都是R 上的减函数，则函数
是R 上的减函
数，
当
时，
，
，则
；
当
时，函数
都是R 上的增函数，则函数
是R 上的增函数，
当
时，
，
，则
，
所以实数
的值是或
.
32．（2026·全国·模拟预测）若函数
（
且
）的最大值为3，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】B
【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数求出
的值域，再分
、
讨
论即可.
【详解】由
，得
，则
的定义域为
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，且当
，
，
其值域为
，
而函数
在
上单调递增，
因此函数
的值域为
，
当
时，函数
在
上单调递减，值域为
，
无最大值，不符合题意；
当
时，函数
在
上单调递增，
当
时，
，解得
，符合题意，
所以
.
故选：B
33．（2026 高三·四川眉山·期末）函数
对
恒成立，则实数
的取值范围
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先应用参数分离得出
，再应用换元法应用指数函数值域结合二次函数计算最小值求解.
【详解】函数
对
恒成立，
则
，即
设
，
，则
，
当
时，
，
则实数
的取值范围
.
故选：A.
34．【多选】（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知函数
，若实数m，n 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】通过指数运算性质，极限思想求解.
【详解】已知
，
，令
，
则
，即
，
若
，则
，
，
，
，则
，
，此时存在实数m，n 满足
，假设
时，则
，函数
在
上单调递增，故
，所以
，与题设矛盾，故
，选项
正确；
若
，
，则满足
，但
，选项
错误；
由
可知
，则
，由
解得
，因为
，
故
，即
，选项
正确；
若
时，
，选项
错误.
题型09 指数函数的奇偶性
1. 判定前提：定义域关于原点对称；
2. 计算
，化简对比
、
；
3. 常见模型：
为奇函数；
为偶函数；
4. 含参数指数奇偶：利用
恒成立，对比系数求参数。
35．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知
，函数
，
为奇函数，则
（ ）
A．13
B．24
C．80
D．240
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质求出
的值，进而求解即可．
【详解】由
，
则
，
又函数
为
上的奇函数，则
，
即
对任意
成立，
整理得
所以
，即
，结合
，解得
，
所以
，即
．
36．（2026·湖南常德·模拟预测）已知函数
为奇函数，则实数
______．
【答案】1
【分析】根据奇函数的定义可将问题转化为
对定义域内的任意
恒成立，即可求解
.
【详解】由题意可得
对定义域内的任意
恒成立，故
，因此
，
化简可得：
对定义域内的任意
恒成立，
由于
是变化的，因此
，故
.
37．（2026·湖北武汉·模拟预测）若存在正实数a，使得函数
是定义在
上的奇函数，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，以及
，化简得到
，取
，分类讨论，取绝对值号，即可求解
的值.
【详解】由函数
的定义域
，可得其定义域关于原点对称，
又由
，
因为函数
是奇函数，可得
，即
，
即
恒成立，即
恒成立，
因为存在正实数
使得函数
定义在
上的奇函数，可取
，
当
时，可得
，
所以
，所以
；
当
时，可得
，
所以
，所以
，
综上可得，实数
的值为
.
38．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数，且在
上单调递增
B．
是奇函数，且在
上单调递减
C．
是偶函数，且在
上单调递增
D．
是偶函数，且在
上单调递减
【答案】C
【分析】先得出定义域，再应用偶函数定义判断偶函数，再结合对数复合函数单调性即可求解.
【详解】
的定义域为
，
因为
，所以
，即
为偶函数，
当
时，则
， 由复合函数的单调性质得：
在
上单调递增，
单
调递增，
所以
在
上单调递增.
39．【多选】（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
是偶函数，则
B．若
是奇函数，则
C．若
，则a 的取值范围为
D．若
，则
的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出
判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；利用
基本不等式求解D.
【详解】对于A，因为
为偶函数，则
，
所以
，整理得到
，
因为
对
恒成立，所以
，故A 正确，
对于B，因为
为奇函数，则
，
所以
，整理得到
，
因为
对
恒成立，所以
，故B 正确，
对于C，由
，得到
恒成立，即
恒成立，
又易知
，所以
，故C 错误，
对于D，令
，由
，得到
，
当且仅当
，即
时取等号，所以D 正确，
题型10 指数函数的实际应用
解决有关增长率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”
内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．
(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4 个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，
再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．
(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，
通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．
40．（2026 高三·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为
，其中
为初始质量，T 为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.
已知该物质的半衰期为8 天，则大约经过（ ）天后，剩余质量变为初始质量的
.
参考数据：
A．25
B．27
C．29
D．31
【答案】B
【分析】设经过天后，剩余质量变为初始质量的
，化简可得
，利用换底公式得到最终结果.
【详解】由题意，
，
设大约经过天后，剩余质量变为初始质量的
，
则有
，所以
，
（天），
故大约经过27 天后，剩余质量变为初始质量的
.
41．（2026·山东枣庄·模拟预测）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单
位：
）与时间（单位：
）间的关系为
，其中
，
是正的常数．如果在前
消除了
的
污染物，那么要消除
的污染物大约需要（参考数据：
，
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意整理可得
，代入题中数据，结合对数运算求解即可.
【详解】因为
，即
，
设消除
的污染物大约需要
，
由题意可得
，即
，取对数可得
，
两式相比可得
，则
，
所以要消除
的污染物大约需要
.
故选：C.
42．（2026 高三·江西·阶段检测）某科技公司为了让机器人走进千家万户，不断加大研发资金投入.该公司
2020 年全年投入研发资金3000 万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的
研发资金超过6000 万元的第一年是（ ）（参考数据：
）
A．2025 年
B．2026 年
C．2027 年
D．2028 年
【答案】D
【分析】每年投入的研发资金比上一年增长10%，则经过
年后全年投入的研发资金为
，
列不等式求解.
【详解】由题可知，该公司2020 年全年投入研发资金3000 万元，设从2020 年起经过
年后全年投入的研
发资金超过6000 万元，
则
，
化简得
，取对数得
，
故该公司全年投入的研发资金超过6000 万元的第一年是2028 年.
故选：D.
43．（2026 高三·四川·阶段检测）一种质量为
的物质，在化学分解中，经过时间（单位：
）后，
所剩的质量
（单位：
）与时间t 的函数关系为
（
，
均为参数，
且
）.已知
的该
物质，在化学分解中，经过
后，所剩的质量为
，再经过
后，所剩的质量为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件列出指数方程，再利用指数的运算得到
之间的关系.
【详解】本题考查函数的应用，考查数学运算的核心素养.
由题意可得
，
所以
，解得
.
故选：A
题型11 对数的运算
1、利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0 和logaa＝1(a>0 且a≠1)，进行变形求解，若已
知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解．
2、对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于
问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
3、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
44．（2026·山西晋城·模拟预测）若函数
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
所以
，
.
45．（2026·陕西西安·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
或 81
C．
D．81
【答案】B
【详解】由
得
，则
，
即
，得
或
，
则
或
.
46．（2026 高三·甘肃·竞赛）若
，则
_________．
【答案】
【详解】
，即
，
，故得
，所以
，
解得
.
47．（2026·河南开封·模拟预测）设
、
为正数，若
，且
，则
________．
【答案】
【分析】根据换底公式以及对数的运算性质可得出关于
的方程，解出
的值，可得出
的值，即可得
出
的值.
【详解】因为
、
为正数，若
，且
，即
，即
，
即
，即
，
整理可得
，即
，
解得
或
，故有
或
，故
.
题型12 对数型函数的定义域和值域
求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0 且不为1.
48．（2026·上海·模拟预测）已知函数
，则
的定义域是________．
【答案】
【详解】由题意，得
，即
，
则
的定义域是
.
49．（2026 高三·浙江杭州·阶段检测）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，得
，解得
，
所以函数
的定义域是
.
50．（2026 高三·青海西宁·阶段检测）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出函数定义域，根据对数运算，再由函数单调性求值域.
【详解】由
，解得
，
则
，
则
为增函数，所以
．
51．（2026·河南周口·模拟预测）若函数
的值域为
，则实数
的
取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分
，
，
，
四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值
域即可求解.
【详解】若
，则
在
上单调递减，在
上单调递减，
且当
时，
，当
时，
，
此时要想满足
的值域为
，则有
，解得
，结合
，可得
；
若
，则当
时，
，当
时，
，
的值域不为
，不合题意；
若
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，
且当
时，
，当
时，
，
的值域不可能为
，不合题意；
若
，则
在
上单调递增，在
上单调递增，
且当
时，
，当
时，
，
此时要想满足
的值域为
，则有
，解得
，结合
，可得
，
综上所述，实数
的取值范围为
.
52．（2026·湖南·模拟预测）已知函数
且
在
上的值域为
，则
（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
在
上具有相同的单调性，
所以
在
上单调，要满足题意，则
在
上单调递增，
所以
，解得
，故选C.
题型13 判断对数函数图象的形状
1.
：
递增，过
；
递减，过
；
2. 直线
与图象交点横坐标为底数，交点越靠右底数越大；
3.
：左加右减平移，
附近渐近线同步平移；
4.
时，
函数值正，
函数值负。
53．（2026 高三·江苏常州·期中）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数的奇偶性与函数值的正负，使用排除法求解.
【详解】令函数
，定义域为
，
，故
是奇函数，
其图象关于原点对称，排除选项
、
，
当
时，
，排除选项
，
所以函数
的图象大致为选项
.
54．（2026·河北廊坊·模拟预测）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可．
【详解】解：
，定义域为
，
，解得
或
，
过
和
，故CD 不符合题意；
又
时，
，
所以A 不符合题意，B 符合题意．
55．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数
，则它的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由奇偶性的定义及
时函数值符号，应用排除法即可得.
【详解】由题设，函数的定义域为
，且
，
所以
为奇函数，排除B、D，
当
时，
，故
，排除C.
故选：A
56．（2026 高三·上海·期中）设
，
，以下四幅图像中，可能代表函数
与
的
图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】逐一分析各选项的指数型函数图象或对数型函数图象得到参数
情况，进而得到另一个函数图
象性质即可判断得解.
【详解】对A，函数
单调递增，且图象与y 轴相交于x 轴下方，
所以
且
，
所以函数
单调递增且图象为
向右平移
个单位得到，不可能过原点，故A 错误；
对B，函数
单调递增，且图象过原点，
所以
且
，
所以函数
单调递增，且图象为
向上平移个单位得到，故B 正确；
对C，函数
单调递减，且图象过原点，
所以
且
，
所以函数
单调递减，且图象为
向右平移个单位得到，不可能过原点，
故C 错误；
对D，函数
单调递减，且图象过原点，
所以
且
，
所以函数
单调递减，故D 错误.
故选：B
题型14 根据对数型函数图象判断参数的范围
1. 底数
：增减性分
，利用
交点比较底数大小；
2. 平移参数由渐近线、零点横坐标判断正负；
3. 图象高低、定点、区间函数值列不等式，求解参数范围。
57．（2026 高三·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数
（
且
）的部分图象如图所示，
则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【详解】由函数图像知，
在定义域内单调递减，所以
，
根据图像可知函数
的图像是把
的图像向左平移小于1 个单位得到的，
所以
，解得
.
58．（2026 高三·江苏宿迁·期末）已知函数
的图象如图所示，则下列关系不可能
成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合对数函数的图象及函数图象的变换检验各选项即可求解．
【详解】由图可得，
，
，
则
，故A 正确；
则
，故B 正确；
因为
，
，所以
，故C 错误；
当
时，
，满足
，故D 可能成立；
故选：C．
59．【多选】（2026·广东深圳·模拟预测）若函数
的图象经过第二、三、四象限，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据题意
单调递减，且
，结合复合函数单调性求出答案.
【详解】
的图象经过第二、三、四象限，
故
单调递减，且
，解得
，
根据复合函数单调性可知，
单调递减，故
.
故选：BD
题型15 对数型函数恒过定点问题
令对数真数等于1，解出
，代入求出
，
即为定点；
多层复合对数：令含参数的真数整体等于1，消去参数计算定点坐标。
60．（2026 高三·全国·专题练习）函数
（
，且
）的图象恒过定点
，若点
在
上，其中
，则
的最小值为______．
【答案】
【分析】根据对数函数的性质求出
，进而得到
，根据
结合基本不等
式即可求出答案.
【详解】函数
（
，且
）的图象恒过定点
，
因为点
在
上，所以
，即
，
因为
，
所以
，
当且仅当
时，即
，
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
61．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数
且
的图像过定点
，正实数m､
n 满足n
，则
的最小值为__________.
【答案】
【分析】由对数函数性质确定
，
，进而得到
，再结合基本不等式即可求解.
【详解】当
时，
，所以函数
的图象过定点
，
所以
，
，代入
得
.
所以
，
当且仅当
时等号成立，即
，
时等号成立.
62．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数
的图象恒过定点
，且函数
的
图象在
处的切线也经过点
，则
______．
【答案】
/
【分析】先求出点A，利用导数的几何意义求出函数
的图象在
处的切线方程，代入点
的坐标，可得
.
【详解】对函数
，令
，则
，得
.
所以
.
函数
的定义域为
，
.
，所以
.
所以函数
的图象在
处的切线方程为
.
因为该切线过点
，所以
，解得
.
63．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）若函数
是
且
的反函数，则函数
图象必过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】因为函数
是
且
的反函数，
所以
且
，
令
，
因为
，
所以函数
图象必过定点
.
故选：D
题型16 对数函数图象应用
1. 零点问题：变形
，转化两函数交点个数；
2. 求参数：利用零点、渐近线、图象交点建立等式。
64．（2026 高三·全国·一轮复习）函数
的零点个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】B
【详解】当
时，令
，即
，解得
或
（舍去）.
当
时，令
，即
，即
.
在同一直角坐标系中作出两函数
与
（
）的图象，如图，
由图可知两图象只有一个交点.
综上可知，函数
的零点个数为
.
65．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数
，若
且
，则
的取值范围为
__________．
【答案】
【详解】
的图象如下图所示
由图象可知，当
时，
单调递减，所以
，此时
，
当
时，
，
，
，即
，化简可得
，解得
，
综上所述，因为
，所以
的取值范围为
.
66．（2026·云南昆明·模拟预测）若正数
满足
，则
的大小关系不可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意令
，分别作
，
，
的图象，然后利用数形结合从而
可求解．
【详解】令
，分别作
，
，
的图象，
当
时，此时
，A 正确；
当
时，
，C 正确；
当
时，
，D 正确；
因为
都为正数，所以结合图形不存在
这种情况，B 错误．
67．（2026·陕西·模拟预测）已知函数
，若
且
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式画出函数图象得
，再根据
将
转化为
，再构造函数
，
，利用导数说明函数的单调性，
即可求出函数的最小值，即可得.
【详解】由
，可得函数图象如下所示：
因为
且
，
所以
，且
，
所以
，
令
，
，
则
，
当
时
，当
时
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
.
题型17 对数函数的单调性及应用
1、比较对数式大小的常见类型及解题方法
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数
相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不
常借助1,0 等中间量进行比较
同
2、对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab 的不等式，借助y＝logax 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a>1 与
0<a<1 两种情况进行讨论．
(2)形如logax>b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax 的单
调性求解．
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0 且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进
行求解，或利用函数图象求解．
3、形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法
与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须
在定义域内讨论；二是底数与1 的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而
成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．
(1)先求g(x)>0 的解集(也就是函数f(x)的定义域)．
(2)当底数a>1 时，在g(x)>0 这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间
是f(x)的单调减区间．
(3)当底数0<a<1 时，在g(x)>0 这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区
间是f(x)的单调增区间．
68．（2026·山东聊城·模拟预测）若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，则
，
因为
在区间
上单调递增，且
为减函数，
由复合函数单调性知
在
上单调递减，
则有
解得
，
故
的取值范围是
，
故选：B．
69．（2026·吉林·模拟预测）若
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用对数函数的单调性将不等式转化为
，再通过换元和均值不等式求出表达式的最小
值，进而求解
的范围.
【详解】由已知得
，所以问题转化为
恒成立，
设
，则
，代入上式，所以问题转化为
时
恒成立，则只需
即可，
因为
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
，所以
，解得
.
70．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性分别计算
的范围即可求解．
【详解】对数函数
在
上单调递增，且
，
所以
，即
；
对数函数
在
上单调递增，且
，
所以
，即
；
对数函数
在
上单调递增，且
，
所以
，即
；
综上可得
．
71．（2026·四川成都·模拟预测）已知
是定义在
上的周期为2 的偶函数，当
时，
，设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到函数
的图象关于直线
对称，进而推得函数
也是周期等于
的函数，
化简得到
，结合对数函数的单调性，即可求解.
【详解】因为
是定义在
上的偶函数，可得
，
所以函数
的图象关于直线
对称，则有
，
再由
是定义在
上的周期为2 的函数，
可得函数
也是周期等于2 的函数，
所以
，
又因为
时，
是增函数，可得
．
72．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的图像如图所示，则函数
的
单调递减区间是_______.
【答案】
【分析】根据题意，由函数
的图像和对数函数
的性质，结合复合函数单调性的判定
方法，即可求解.
【详解】由函数
的图像，可得
在
上单调递减，在
上单调递增，
令
，可得
在
上单调递增，
要使得函数
单调递减，则满足
或
，
因为
，解得
或
，所以函数
的单调递减区间
.
73．（2026 高三·陕西西安·阶段检测）已知
是奇函数，则不等式
的解集是______.
【答案】
【分析】先根据奇函数的性质求出
的值，再判断函数
的单调性，最后利用函数的奇偶性与单调性求
解不等式.
【详解】
的定义域为
，因为
为奇函数，所以
，故
，即
.
代入可得
,其定义域为
，关于原点对称，
且
，为奇函数.
所以
符合题意，
又
均在
上单调递增，
故
在
上单调递增，由
，
得
又
为奇函数，即
，
所以
，
所以
，解得
或
，
故
或
，故原不等式的解集为
74．（2026 高三·广西百色·阶段检测）已知函数
是定义在
上的偶函数，且在区间
上对于任
意两个不相等的实数
、
恒有
成立，若实数
满足
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分析可知函数
在区间
上是减函数，将所求不等式变形为
，可得出
，利用绝对值的性质以及对数函数的单调性可解得实数
的取值范围.
【详解】在区间
上对于任意两个不相等的实数
、
恒有
成立，
不妨取
，则
，即
，
所以函数
在区间
上是减函数，
又函数
为偶函数，则
等价于
，
即
，可得
，解得
，故实数
的取值范围是
.
题型18 对数函数的最值
1. 换元
，先求定义域内
的取值范围；
2. 按
分析
单调性；
3. 单调递增：最大对应最大值；单调递减：最小对应最大值；
4. 含参底数必须分类讨论，验证区间端点取值。
75．函数
的最大值为_____.
【答案】
/
【分析】将函数展开化简为关于
的二次函数，即
，结合二次函数性质求结论.
【详解】
当
，即
时，
取得最大值
.
故答案为：
.
76．（2026 高三·全国·专题练习）若不等式
，当
时恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】
【详解】要使不等式
在
时恒成立.
即函数
的图像在
内恒在函数
图像的上方，而
的图像过点
.
由图可知，
，显然这里
，
所以函数
递减.
又
，所以
，又
，所以
.
所以所求实数
的取值范围为
.
77．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数
，则函数
的最小值为（ ）
A．-1
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】根据分段函数求最值的方法结合对数型复合函数的值域求解.
【详解】
的定义域为
，
当
时，
，
，所以
当
时，
，
,所以
.
所以
.
.
78．（2026·湖南长沙·模拟预测）设函数
，若对
定义域内的任意
，
恒成立，则
的最小值为______．
【答案】
/0.2
【分析】由
结合对数的运算性质可得
，将
代入
，再利用二次函数的性质
求解即可.
【详解】由题意可知：
的定义域为
，
令
，解得
；令
，解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
当
时，
，故
，所以
，
所以
，即有
，故
，
令
，由二次函数的性质得：
，故
的最小值为
.
79．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
若不等式
对
恒
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，求出函数
在
上的最大值，即可得出实数
的取值范围.
【详解】令
，
当
时，
，则
，
此时函数
在
上单调递增，故当
时，
；
当
时，即当
时，
，
因为函数
、
在
上均为增函数，此时函数
在
上单调递增，
故当
时，
；
当
时，
，则
，
因为函数
、
在
上均为增函数，
所以函数
在
上为增函数，
故当
时，
.
综上所述，当
时，
，
因为不等式
对
恒成立，故
.
即实数
的取值范围是
题型19 对数函数的奇偶性
1. 定义域先满足关于原点对称；
2. 计算
，变形对比
与
；
3. 经典奇函数：
；
4. 含参对数奇偶：利用
恒成立，解参数。
80．（2026 高三·浙江·期中）已知
是定义在
上且周期为
的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】∵
是定义在
上且周期为
的函数，∴
.
∵
是偶函数，∴
.
∵ 当
时，
，∴
，即
.
81．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知定义域为R 的偶函数
，当
时，
，则
________.
【答案】
【分析】先利用函数的奇偶性求出
时的表达式，结合指数与对数运算法则代入后即可求解.
【详解】设
，则
，
，
因为
为偶函数，则
，
即
，
因为
，则
.
82．（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数
为奇函数，则实数
的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】根据奇函数性质建立关于
方程求解.
【详解】由
可得
，
，
若
为奇函数，则有
，
即
，整理得
，
则
，解得
，
当
时，
，令
，解得
或
，
此时定义域为
关于原点对称，
符合
为奇函数，故
符合题意．
83．【多选】（2026 高三·陕西榆林·阶段检测）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
在定义域上是增函数
D．
在定义域上是减函数
【答案】AC
【分析】先求函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义判断可得AB 项的对错；再根据复合函数的单调性
可得CD 项的对错.
【详解】因为要使函数
有意义，则
，即
，
，解得
，所以函数
的定义域为
.
因此函数
的定义域关于原点对称.
又因为
，
故函数
为奇函数，所以A 正确，B 错误；
令
，则
，
因为函数
在
上单调递减，所以函数
在
上单调递增，
因此函数
在
上单调递增，且
，函数
在
上单调递增，
根据复合函数的单调性可知函数
在
上单调递增，
因此函数
在定义域上是增函数，故C 正确，D 错误.
题型20 反函数
1. 指数与对数互为反函数：
与
；
2. 反函数求法：
互换，解出
，定义域值域互换；
3. 图象关系：关于直线
对称；
4. 性质：原函数定义域=反函数值域，原函数值域=反函数定义域，单调性一致。
84．（2026·广东广州·模拟预测）若函数
的图象与
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．9
【答案】B
【分析】根据两个函数图象关于直线
对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作
为
的解析式，最后根据题意得到关于
的方程，求解
.
【详解】因为两个函数图象关于直线
对称，
所以
是
的反函数，
对
整理得：
，
，
交换
可得反函数：
，
又因为
，所以
，
化简可得：
，即
，
两边取以3 为底的对数，则
.
85．（2026 高三·全国·专题练习）若单调函数
的图像过点
，则函数
的反函数
的图像过点______．
【答案】
【详解】
,
故
的图像经过
，因此其反函数的图像经过
.
86．（2026 高三·安徽六安·阶段检测）已知函数
和
的图象上存在点关于直线
对称，
则实数a 的取值范围为________．
【答案】
【分析】将问题转化为
与
有交点，分离参数构造函数
，结合导数研究函
数的单调性以及最值即可求解.
【详解】
关于
的对称函数为
，
则函数
和
的图象上存在点关于直线
对称时，
与
有交点，
则
有解，即
有解，
令
，则
时有
，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
则
，且
，
，
，
，
所以
，则
．
87．（2026 高三·湖南长沙·开学考试）已知实数
满足
，
，则
__________.
【答案】
【分析】由
与
的交点关于
对称，结合
，
，从而有
与
关于
对称得到
且
，即可求.
【详解】由
关于
对称，又
与
垂直，
所以
与
的交点关于
对称，
结合题设有
，
，且
，
所以
是
与
的交点；
是
与
的交点，
所以
与
关于
对称，则
且
，
所以
.
题型21 对数函数的实际应用
对数函数应用题的解题思路
(1)依题意，找出或建立数学模型．
(2)依实际情况确定解析式中的参数．
(3)依题设数据解决数学问题．
(4)得出结论．
88．（2026 高三·全国·期末）医学规定：服用某药物后，100mL 血液中药物浓度不超过14mg 时，可正常
驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以
剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（ ）
参考数据：
，
，
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】由题意建立不等式，结合对数的运算法则，代入参考数据后即可求解.
【详解】由题意得，血液中药物浓度不超过
时，可正常驾驶机动车，
设患者服药后经过小时可正常驾驶，由题意得
，
即
，两边同时取对数得
，
即
，
，
，代入参考数据得
，
整理得
，故至少经过小时后可正常驾驶.
89．（2026 高三·安徽宣城·期末）甲型流感的爆发高峰通常在冬春季节，奥司他韦是一种常用于治疗甲型
流感的药物、患者口服该药物治疗后，血药浓度（单位：ng/mL）随时间（单位：h）的变化过程通常分为
吸收期（浓度上升）和消除期（浓度下降）．当血药浓度达到峰值后，进入消除期，其浓度
随时间t
的变化可以用指数衰减模型近似描述：
（
为峰值浓度，k 为消除速率常数）．根据临床数
据，某患者服用奥司他韦2 小时后血药浓度达到峰值，服用10 小时后血药浓度降至峰值的50%，则k 的值
大约为（ ）（参考数据：
，
）
A．0.087
B．0.076
C．0.0693
D．0.092
【答案】A
【分析】依题意得，
，即可求解．
【详解】某患者服用奥司他韦2 小时后血药浓度达到峰值，即进入消除期，
则
，
得
，
得
，
故选：A
90．（2026 高三·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，
常用
值来表示溶液的酸碱度.
的计算公式为
其中
表示溶液中氢离子的浓度，单位
是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度
摩尔/升，
则渭河咸阳段水溶液的
值约为（ ）（参考数据：
，
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由对数的运算性质可求得渭河咸阳段水溶液的
值.
【详解】由题意可知，渭河咸阳段水溶液的
值为
.
故选：D.
题型22 幂函数的定义及其应用
1. 标准定义
，系数必须为1，底数是自变量
，指数常数
；
2. 判断幂函数：剔除系数、常数项，只有
形式；
3. 已知幂函数过点，代入求指数
，再求值、解不等式。
91．（2026·上海杨浦·模拟预测）若幂函数
的图像经过点
，则实数
______.
【答案】3
【详解】代入
，即
，解得
.
92．（2026·四川广安·模拟预测）“
”是“
为幂函数”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由幂函数的定义求出
的值，再由充分必要条件判断即可.
【详解】因为
为幂函数，
所以
，
解得：
或
,
所以“
”是“
为幂函数”的充分且不必要条件.
93．（2026·上海闵行·模拟预测）已知
，若
是幂函数，且
，则
______.
【答案】
【分析】先根据幂函数的定义求出参数
，再利用已知函数值求出幂指数
得到完整解析式，最后代入计
算得到
的值.
【详解】已知
，且
是幂函数：
根据幂函数的定义，可得
，解得
；
将条件
代入得
，解得
，即函数解析式为
；
将
代入解析式得
.
题型23 幂函数的定义域和值域
按指数
分类：
1.
正整数：定义域
；
2.
正分数
：
偶则
，
奇则
；
3.
负数：
；
值域同步根据奇偶、正负指数对应判断。
94．（2026·四川绵阳·模拟预测）关于函数
，下列说法错误的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数在
上单调递减，在
上单调递增
D．函数是偶函数
【答案】C
【分析】整理可得
，结合二次函数分析定义域、值域以及单调性，即可判断ABC；再根据偶函
数的定义判断D.
【详解】因为函数
，
对于选项A：令
，解得
，
所以函数
的定义域为
，故A 正确；
对于选项B：因为
，则
，可得
，
所以函数
的值域为
，故B 正确；
对于选项C：因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
在上
单调递减，在
上单调递增，故C 错误；
对于选项D：因为函数
的定义域为
，关于原点对称，
且
，可知函数
为偶函数，故D 正确；
故选：C.
95．（2026 高三·上海·阶段检测）设
，若幂函数
的定义域与值域相同，则
的所
有可能取值组成的集合为______．
【答案】
【分析】根据幂函数的性质一一验证即可.
【详解】当
时,
,其定义域和值域均为
,符合题意,
当
时,
,其定义域为
,值域为
,不符合题意,
当
时,
,其定义域和值域均为
,符合题意,
当
时,
,其定义域和值域均为R,符合题意,
当
时,
,其定义域为R,值域为
,不符合题意,
当
时,
,其定义域和值域均为R,符合题意,
综上当幂函数的值域与定义域相同时,则a 的所有可能取值组成的集合为
.
故答案为:
.
96．（2026·安徽合肥·模拟预测）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别求出
在
上的值域以及
在
上的值域可得答案.
【详解】因
在
上单调递增，则
时，
，
又
在
上单调递增，则
时，
，
则
的值域为
，故A 正确．
题型24 幂函数的图象及应用
1. 所有幂函数均过定点
；
过原点，
不过原点；
2.
区间，指数越大图象越高；
3. 图象应用：比较幂值、解幂不等式、判断参数
范围。
97．（2026·上海·模拟预测）已知
，幂函数
的大致图象如图所示，则
_________．
【答案】
【详解】由图象知，
时，
在第一象限单调递减，故排除
，
图象关于
轴对称，故函数是偶函数，
时，
，定义域为
，满足
，是偶函数；
时，
，定义域为
，满足
，是奇函数；
．
98．（2026 高三·上海·阶段检测）幂函数
的图象与坐标轴没有公共点，则实数
__________
【答案】
【分析】根据幂函数的定义和图象的性质可得出关于
的等式与不等式，即可解得
的值.
【详解】因为幂函数
的图象与坐标轴没有公共点，
所以
，解得
.
故答案为：
.
题型25 幂函数的性质及其应用
1. 单调性：
在
递增；
在
递减；
2. 奇偶性：指数分数分母奇、分子奇为奇函数；分子偶为偶函数；
3. 比大小：同底看幂函数单调性，同指数直接对比底数；
4. 幂不等式：统一幂形式，利用
单调性脱幂，注意正负区间分类。
99．【多选】（2026 高三·吉林长春·阶段检测）已知幂函数
图象经过点
，则下列命题正确的有
（ ）
A．函数
为增函数
B．函数
为偶函数
C．若
，则
D．若
，则
.
【答案】ACD
【分析】求出函数的解析式，根据幂函数的图像性质即可逐项求解.
【详解】设幂函数
（
为实数），
其图像经过点
，
，解得
，
，其定义域为
，且
在
上为增函数，A 正确；
的定义域为
，
不具有奇偶性，所以B 错误；
时，
，选项C 正确；
函数
是上凸函数，
对定义域内任意的
，都有
成立，选项D 正确.
故选：ACD.
100．【多选】（2026 高三·甘肃·阶段检测）已知函数
的图象经过点
，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．
是偶函数
C．若
，则
或
D．当
时，
，若
，则
【答案】ABD
【分析】代入点可求解
，进而根据幂函数的性质即可求解ABC，利用作差法即可求解D.
【详解】因为函数
的图象经过点
，所以
，解得
，
所以
，故A 正确；
的定义域为
，对
，则
，且
，
所以函数
是偶函数，故B 正确；
因为
，所以
在
上单调递增，
由
，
是偶函数，得
，即
，
解得
，故C 错误；
因为当
时，
，所以
，
，
又
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
