文档文本内容
第01 讲 数列的基本知识与概念
目 录
模拟·基础演练.................................................................................................................. 2
题型01 数列的周期性..............................................................................................................2
题型02 数列的单调性..............................................................................................................2
题型03 递推公式求通项公式（累加法）
.....................................................................3
题型04 递推公式求通项公式（累乘法）
.....................................................................3
题型05 递推公式求通项公式（构造法）............................................................................4
题型06 利用an 与Sn 的关系求通项公式
.....................................................................4
重难·创新演练.................................................................................................................. 5
真题·实战演练.....................................................................................................................7
模拟·基础演练
考查重点：、本模块围绕数列通项与性质展开，重点研究数列周期、单调性判定方法；熟练运用累
加、累乘、构造三类递推模型求通项，掌握an 与Sn 互化通法；侧重式子变形、等价转化、分类讨
论，综合考查代数运算与逻辑推理能力。
题型01 数列的周期性
1．已知数列
满足
，
，则数列
的前2026 项和为（ ）
A．2025
B．2026
C．2027
D．2028
2．设数列
满足
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
3．已知数列
满足
，
，则数列
的前7 项和为__________.
4．若数列
满足
，则
_____.
5．已知数列
满足
，且对于任意的
，都有
，则
除以5 的余数为
________．
题型02 数列的单调性
6．已知数列
的通项公式为
，若
是数列
的最大项，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
7．在等比数列
中，命题
： 数列
的首项
且公比
，命题
： 数列
是递增数列. 则命题
是命题
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（多选）已知等比数列
的公比
，则（ ）
A．数列
是递增数列
B．数列
是递增数列
C．数列
是递增数列
D．数列
是递增数列
9．已知
是等差数列，其公差为
，前
项和为
，则“
”是“数列
为单调递增数列”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．已知数列
的通项公式为
，
，若
是递增数列，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 递推公式求通项公式（累加法）
11．已知数列
满足
，设数列
的前
项和为
，则
_____.
12．已知数列
满足
，
，则
的个位数字为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
13．若
，且
，则
（ ）
A．5
B．
C．
D．
14．将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数
字不是“拐弯数”的是（ ）
A．37
B．58
C．67
D．79
15．已知函数
满足对任意实数
，都有
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 递推公式求通项公式（累乘法）
16．已知数列
满足
，
，则
的前6 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．已知
，
，求数列
的通项．
18．已知数列
中，
，
，
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
是等比数列
D．
19．数列
中，满足
，
，则
______．
20．已知数列
中，
，则
______．
题型05 递推公式求通项公式（构造法）
21．已知数列
满足
，则
的值为___________．
22．在数列
中，
，则通项公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
23．已知数列
的前
项和为
，
，则
的通项公式为________．
24．已知数列
的首项
，且满足
，则
的值为（ ）
A．1025
B．1023
C．
D．
25．已知数列
满足
，
，则
_________
题型06 利用an 与Sn 的关系求通项公式
26．记
为数列
的前n 项和，已知
，
，则
______．
27．（多选）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
28．已知数列
中，
，对任意正整数
，均有
，则
的值为_____.
29．已知正项数列
，其前
项和为
，且
(
)．则数列
的通项公式为
______．
30．已知各项均为正数的数列
的前n 项和为
，且
.求
的通项公式；
31．已知正项数列
的前
项和为
，
．
(1)求数列
的通项公式；
重难·创新演练
设题创新:依托数阵、等积数列、最优值等全新定义与生活情景命题，突破常规通项套路，融合数
列单调性、恒成立求参、递推累加、an与Sn转化，侧重考查材料解读、模型转化、分类讨论与函
数结合的综合推理能力。
1．（2026·贵州铜仁·二模）已知数列
的前
项和
，若
，使得
成立，则实
数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．【新角度】（2025·辽宁大连·模拟预测）下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等
差数列.
2
3
4
5
6
7
⋯
3
5
7
9
11
13
⋯
4
7
10
13
16
19
⋯
5
9
13
17
21
25
…
6
11
16
21
26
31
⋯
7
13
19
25
31
37
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
表中对角线上的一列数
构成数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·山西太原·一模）已知
为数列
的前
项和，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．【新考法】（2026·江苏南通·三模）已知数列
满足
，若对于任意
都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．【新定义】（2026·广西百色·二模）对于数列
，定义
为数列
的“最优
值”，现已知数列
的“最优值”
，记数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．2027
B．
C．2028
D．
6．【新定义】（2026·湖北孝感·一模）（多选）在数列
中，如果
的每一项与它的后一项的积等于
同一个非零常数，则称数列
为“等积数列”，非零常数为数列
的公积.已知数列
是等积数列，
且
，公积为2，设
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．【新考法】（2026·辽宁铁岭·一模）在正项数列
中，对任意
，
，
，若
为单调递增数列，则
的取值范围是________.
8．（2026·四川乐山·二模）已知数列
的前
项和为
，且
，则
_________.
9．【新情景】（2026·湖北武汉·三模）一辆快递车从
地往
地运送快递，沿途（包括
，
）共有
站.从
地出发时，装上发往后面
站的快递各1 件，到达后面各站后卸下前面各站发往该
站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1 件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列
.
(1)求
，
，并写出
与
的递推关系式；
(2)求数列
的通项公式，并求出
的最大值.
真题·实战演练
高频考点：数列周期性、单调性判断，an 与Sn 退位求通项，累加累乘构造递推求通项；结合充分
必要条件、实际情境命题，选填基础判断、解答求通项为主，式子变形是高频考查方向。
1．（2024·上海·高考真题）数列
，
，c 的取值范围为___________．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
