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第01 讲 数列的基本知识与概念
内容导航
命题透视·考情前瞻
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 数列的定义与相关概念 知识点2 数列的分类
知识点3 数列的通项公式 知识点4 数列的递推公式
知识点5 数列的前n 项和Sn
题型破译 (含超链接）
题型
1
数列的周期性
【方法技巧】列举寻周期法
题型
2
数列的单调性
【方法技巧】三类判单调法
题型
3
递推公式求通项公式（累加法）
【方法技巧】逐项相消累加法
题型
4
递推公式求通项公式（累乘法）
【方法技巧】约分消元累乘法
题型
5
递推公式求通项公式（构造法）
【方法技巧】配凑构造新数列法
题型
6
利用
an
与
Sn
的关系求通项公式
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
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——对标素养，研判高考命题趋势
考
核心
点
2026 年
2025 年
2024 年
递推公式求通项
_______
全国一卷T16（1）（6
分）
_______
利用an 与Sn 关
系求通项
_______
_______
全国甲卷T18（1）（5
分）
考情分析
高考单独考查数列基础概念的题目占比不高，考情长期稳定，题型、难度、出题频次
波动很小。命题更侧重将数列视作特殊函数综合出题，常围绕单调性、周期性、最值
三大核心性质设置考题，也是小题与大题高频命题方向。
复习目标
1.理解、掌握数列基本概念，分清
与an的区别；
2.熟练判断数列类型，明晰数列作为特殊函数的图像与性质；
3.熟记通项公式、递推公式含义，牢记前n项和分段公式an={
S1,n=1
Sn−Sn−1,n≥2；
4.学会借助函数单调性、最值分析数列，夯实基础小题解题能力。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
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知●识●解●构
知识点1 数列的定义与相关概念
1.数列定义：按照一定次序排列的一列数称为数列。
2.数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项，第一项称为首项。
3.数列通用表示：数列一般形式可简写为an。
4.数列项的三大性质（对比集合元素）
（1）确定性：任意数字能否作为数列中的项可以明确判断，和集合元素性质一致。
（2）可重复性：数列内数字允许重复，集合元素具有互异性，二者存在区别。
（3）有序性：数字相同但排列顺序不同属于不同数列；集合不受元素顺序影响。
自主检测
1．已知数列
，
，
，3，
，
，则
…
是这个数列的第__________项.
【答案】10
【详解】因为数列
，
，
，，
，
则该数列的通项公式为
，
由
，解得
，
所以
是这个数列的第
项.
知识点2 数列的分类
分类标准
数列名称
定义说明
按项的总个数划分
有穷数列
项数有限，存在最后一项
无穷数列
项数无限，无末尾项
按项数值大小变化划分
递增数列
从第二项起，每一项都大于前一项
递减数列
从第二项起，每一项都小于前一项
常数列
数列中每一项数值全部相等
摆动数列
项的数值大小交替起伏，忽大忽小
自主检测
2．（多选）下列叙述不正确的有（ ）
A．数列1，3，5，7 与7，5，3，1 不是同一数列
B．数列0，1，2，3，
的通项公式是
…
C．
，1，
，1，
是常数列
…
D．，
，
，
，
是递增数列，也是无穷数列
…
【答案】BC
【详解】对于A 选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列
与
是两个数列，故A 正确；
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对于B 选项，数列
的通项公式是
，故B 错误；
对于C 选项，数列
是摆动数列，故C 错误；
对于D 选项，数列
是递增数列，也是无穷数列，故D 正确.
3．（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】选项C、D 既是无穷数列又是递增数列，
而选项A 是递减数列，选项B 是摆动数列．
故选：CD.
知识点3 数列的通项公式
1.定义：若数列第n项an与序号n的对应关系能用式子表达，该式为数列通项公式。
2.区分要点
（1）{an}代表整个数列，an仅指数列的第n项，二者含义不同。
（2）项与项数区分：项是具体数字（函数值），项数n是数字所在位置（自变量）。
3.补充说明：同一个数列可以写出多种形式不同、实质等价的通项公式。
自主检测
4．已知数列
，下列不是该数列的通项公式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A：当
为奇数时，
；当
为偶数时，
，与数列
的对应项一致，所
以
是该数列的通项公式；
对于B：当
时，
；
时，
；
时，
，以此类推，与数列
的对应
项一致，所以
是该数列的通项公式；
对于C：根据余弦函数性质，
，与B 相同，所以
是该数列的通项公式；
对于D：
，与数列
的对应项不符，故
不是该数列的通项公式．
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5．已知数列
的通项公式为
，则下列各数是数列
中的项的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】若
为偶数，则
，故B 不符合题意，D 符合题意；
若
为奇数，则
，故AC 均不符合题意.
知识点4 数列的递推公式
1.定义：已知数列首项（或前几项），任意一项与其前一项（前几项）的关系式称为递推公式。
2.构成：递推公式包含两部分，一是初始项数值，二是项与项之间的递推关系式。
自主检测
6．若数列
满足
，且对于任意的
都有
，则
__________.
【答案】253
【详解】由题意可知：
，当
时，
又因为
，所以
.
7．数列
满足
，则
（ ）
A．2
B．0
C．
D．1
【答案】C
【详解】由递推公式，将
代入，得
．
知识点5
前
数列的
n项和Sn
1.定义：Sn表示数列前n项相加的和，Sn=a1+a2+a3+⋯+an。
2.通项与前
n
项和转换公式
推导说明
n=1时，前1 项和S1直接等于首项a1；
n≥2时，用前n项和减去前n−1项和，即可得到第n项an。
自主检测
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8．已知数列
的前
项和
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，则
，
所以
.
题●型●破●译
题型1 数列的周期性
例1-1（2025·山东泰安·二模）在数列
中，
，
，
，则
的前100 项和为
_________.
【答案】235
【详解】因为
，所以
，所以
，所以
是周期为6 的数
列.
因为
，
，
，
，
所以
的前100 项和为
.
例1-2（2025·山东聊城·一模）已知数列
，若
，且
（
为正整数）， 则数列
的第35 项为________________．
【答案】
【详解】由条件可知，
，
即
，则
，
所以数列
的一个周期为
，
所以
.
方法技巧 列举寻周期法
1.由已知条件写出数列前若干项，观察数字重复出现的规律，确定周期T。
2.求第n项时，计算n÷T，根据余数判断该项与周期内对应位置数值相等，余数为0 则取周期最后一项。
3.求和类题型：先算出一个周期内所有项的和，统计完整周期个数，再加上余下几项的数值。
4.常结合递推式、an与Sn关系式推导周期，计算时注意准确罗列前几项，避免漏项看错周期。
【变式训练1-1】（2026·黑龙江绥化·一模）已知数列
满足
则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
的周期为4，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
由递推式可知，
当
为偶数时，
，故
；
当
为奇数时，
，
归纳可得
，
，
是偶数，故
，
是奇数，
，故
．
【变式训练1-2】（2026·广东云浮·一模）已知数列
的前n 项和为
，且满足
，
，则
_________．
【答案】
或
【详解】当
是奇数时，
，解得
，舍去，
当
是偶数时，
，解得
；
当
是奇数时，
，解得
，
的项依次是
，即
是周期为3 的周期数列，
；
当
是偶数时，
，解得
，
的项依次是
，
即
是首项为8，从第二项起是周期为3 的周期数列，
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．
【变式训练1-3】（2025·江苏南京·模拟预测）已知数列
满足
，且对任意
，则
____________．
【答案】
【详解】已知
，根据递推式可知
，
，
，
，
因此
是周期为4 的周期数列，
.
由于
，故
.
题型2 数列的单调性
例2-1（2025·河北沧州·三模）设数列
的通项公式为
，若数列
是单调递增数列，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为数列
是单调递增数列，
所以
，
，
即
，
化简得，
，
当
时，
有最大值
，
所以
.
例2-2（2026·湖北襄阳·三模）设函数
，数列
满足
，且数列
是
严格递增数列，则实数
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，得
，
又数列
为递增数列，得
，解得
.即：
.
方法技巧 三类判单调法
1.作差法：计算an+1−an，差值恒大于0 为递增数列；恒小于0 为递减数列。
2.作商法：数列各项恒正时，计算
an+1
an
，比值大于1 递增，小于1 递减。
3.函数法：将通项an看作关于n的函数，结合函数单调性，注意n∈N
∗取离散正整数。
4.求最值：递增数列最小项为首项；递减数列最大项为首项；摆动数列通过解不等式{
an≥an+1
an≥an−1
找最值
项。
【变式训练2-1】（2025·甘肃平凉·二模）已知数列
的通项公式为
（
为正整数），则数列
的前
项和
的最小值为__________
【答案】
【详解】因
，
在
上单调递增，则
为递增数列.
注意到
，
则该数列前项为负值，从第4 项起为正值，从而
.
【变式训练2-2】（2026·湖南岳阳·一模）已知数列
满足
，若
，数列
单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，数列
单调递减，
，
所以
，即
，解得
.
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【变式训练2-3】（2026·广东潮州·二模）已知数列
满足
，
，则
的最大项
为（ ）
A．第7 项
B．第8 项
C．第9 项
D．第10 项
【答案】B
【详解】已知递推关系
， 因此
，
所以
，
令
，则
，
是一个公差为1 的等差数列，首项
，
所以
，
因此，原数列的通项公式为
，
因此
，
当
，即
时，
，数列递增；
当
，即
时，
，数列递减，
因此，数列在
时取得最大值.
题型3 递推公式求通项公式（累加法）
例3-1（2026·江苏徐州·一模）已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】依题意，
，
，
令
，得
，
又可得
，
所以
，
当
时
也符合上式，所以
，则
，
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所以
.
例3-2（2026·四川自贡·一模）（1）在数列
中，
，
，求数列
的通项公式；
（2）若数列
满足：
，
，求数列
的通项公式.
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意，得
，由累加法可得：
当
时，
.
也适合上式，
即
（2）由题意知
，
当
时，由累加法可得：
，
也适合上式，
即
.
方法技巧 逐项相消累加法
1.适用形式：an+1−an=f (n)，后项减前项为关于n的可求和代数式。
2.步骤：依次列出n≥2时a2−a1、a3−a2、⋯、an−an−1，左右全部累加，中间项相互抵消。
3.化简得到an−a1，代入首项a1整理出通项，最后检验n=1是否满足式子。
4.f (n)常为一次式、指数式、分式，求和时灵活运用等差、等比求和公式。
【变式训练3-1】（2025·河南商丘·二模）在数列
中，
，则
的值为（ ）
A．2+ln99
B．2+ln100
C．2+ln101
D．
【答案】B
【详解】由
可得
，
则
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.
【变式训练3-2】（2025·湖南株洲·二模）已知数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前n 项和为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）因为
，所以
，
当
时，
，
当
时，
也满足上式，
故数列
的通项公式为
．
（2）由（1）知，
，
．
即
【变式训练3-3】（2026·吉林通化·二模）已知数列
满足
，且
.
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(1)求
的通项公式；
(2)若
，求证：
；
(3)已知
，求
的值.（结果用
表示）
【答案】(1)
(2)由（1）可得
，
则由
，
可得
，
即
，
整理得
，因
，则
，
所以
，故
.
(3)
【分析】
【详解】（1）由
可得：
，由累加法得：
，
又因为
，所以
，故
.
（2）略.
（3）因为
，所以有
，
取
，
得
，
所以
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已知
，
则
，因此原式的计算结果为
.
题型4 递推公式求通项公式（累乘法）
例4-1（2026·广西百色·三模）已知数列
中，
，
，则
________.
【答案】
/4.375
【详解】由
，得
，
所以
，
，
则
.
故答案为：
.
例4-2（2025·辽宁大连·模拟预测）已知数列
对任意
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：由
，得
，
所以
，
所以
，即
①．
又因为
②，
①②两式相乘，得
．
故选：A．
方法技巧 约分消元累乘法
1.适用形式：
an+1
an
=f (n)，后项与前项的比值为关于n的可化简代数式。
2.步骤：写出n≥2时
a2
a1
、a3
a2
、⋯、an
an−1
，左右累乘，中间分式约分消去。
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3.化简得到
an
a1
，代入首项求出an，验证n=1是否符合通项表达式。
4.f (n)多为一次因式、指数式，约分过程注意准确拆分因式，防止计算失误。
【变式训练4-1】（2026·江苏宿迁·二模）已知数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和；
(3)若
，数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】
【详解】（1）解：由
，得
，
所以
，
将以上各式相乘，可得
，
因为
，所以
，
又因为
满足上式，所以数列
的通项公式为
．
（2）解：由（1）知
，可得
，
设
的前
项和为
，可得
，
则
，
以上两式相减得
，
所以
，所以
的前
项和为
．
（3）证明：由（1）知
，
可得
，
所以
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，
因为
，所以
，所以
．
【变式训练4-2】（2026·山西阳泉·一模）已知数列
满足
，则数
列
的通项公式为___________．
【答案】
【详解】当
时，有
，故
，
则有
，
．
上述
个式子累乘得
．
因为
，所以
，
而当
时，
，也满足上式，
故数列
的通项公式为
．
故答案为：
.
【变式训练4-3】（2025·湖南郴州·一模）在数列
中，
，
，若
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．（-1,1）
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
，
当
时，
，
因为
，所以
，又
，所以
；
由
，
，得
对
恒成立；
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当
为奇数时，
恒成立，易知
为增函数，则
；
当
为偶数时，
恒成立，易知
为减函数，
则
；
故
的取值范围为
.
故选：A
题型5 递推公式求通项公式（构造法）
例5-1（2026·甘肃兰州·一模）已知数列
的前
项和为
，满足
，则
（ ）
A．108
B．109
C．110
D．111
【答案】B
【详解】由题意得
，两边同时加得
，又
，
则
，即
是以
为公比，
为首项的等比数列，
即
，则
，
则
.
例5-2（2026·吉林四平·二模）已知数列
的前n 项和为
，
，且
，则通项公式
为______
【答案】
【详解】
又
是以2 为首项，2 为公比的等比数列
，
.
故答案为：
.
方法技巧 配凑构造新数列法
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1.一阶线性递推an+1=pan+q( p≠1)：构造等比数列an+1+λ =p(an+λ)，解出常数λ，求出新数列通项
再反推an。
2.an+1=pan+f (n)：配凑同结构形式，构造等差或等比数列；含指数式时两边同除指数构造新数列。
3.分式型递推：取倒数转化为一次递推，再用构造法求解。
4.求出构造数列通项后，还原原式得到an，务必检验首项。
【变式训练5-1】（2025·海南儋州·三模）已知数列
满足
，
，
，则通项公式
______
【答案】
【详解】因为
变形为
所以数列
是等比数列，首项为
，公比为3，
因此
，
①
又因为
变形为
所以数列
是等比数列，首项为
，公比为2，
因此
，
②
两式相减可得
①②
.
故答案为：
.
【变式训练5-2】（2025·四川南充·一模）在数列
中，
，则通项公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
，且
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，所以
，所以
，
故选：D.
【变式训练5-3】（2026·河南平顶山·模拟预测）已知数列
中，
，则数
列
的通项公式
______．
【答案】
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【详解】因为
，所以
，
又
，所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，故
.
故答案为：
题型6 利用an 与Sn 的关系求通项公式
例6-1（2026·广东江门·一模）已知数列
的前
项和为
，
，则
的前7 项和为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】已知
，
当
时，
，
当
时，
，
时，
，
，
，故
是首项为3，公比为2 的等比数列，
的前7 项和为：
．
例6-2（2026·湖北十堰·模拟预测）已知数列
满足
，
，若数列
为单调递增数列，则
的取值范围为______.
【答案】
【详解】由题意可知，当
时，
，即
，
当
时，由
，得
，
两式相减得
，所以
，当
时，也满足此式，
故
.
所以
，
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若数列
为单调递增数列，则
恒成立，
所以
，即
，对
恒成立，
设
，则
，
当
时，
，故
，当
时，数列
为递减数列，即
，
可得
为最大值，且
，所以
.
所以
的取值范围为
.
【变式训练6-1】（2026·江西上饶·二模）已知数列
的前
项和
，第
项满足
，
则正整数
（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】A
【详解】当
时,
，
当
时，
，
当
也满足，于是
(
),
,即
，得
，(
),则
.
【变式训练6-2】（2026·江苏扬州·二模）已知
为数列
的前
项和，若
，则
________.
【答案】11
【详解】当
时，
，即
，
解得
；
当
时，
，
所以
，
即
，
整理得
，
所以
，
所以数列
为常数列，
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所以
，
所以
，
所以
．
【变式训练6-3】（2026·湖北荆州·三模）已知数列
的前n 项和为
，
；
(1)求
的通项公式；
(2)若不等式
对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
，所以
，
则
，
又
，不符合上式，
所以
.
（2）若
，则
成立，即
，得
；
若
，则
，
，则
恒成立，
即
恒成立，
因为
在
上单调递增，所以
，
则
的最大值为
，则
，
综上，实数
的取值范围为
.
【变式训练6-4】（2026·河北承德·一模）已知数列
满足
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前n 项和为
，求使
的最小的正整数n 的值.
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【答案】(1)
(2)8
【分析】
【详解】（1）由
，可得
，
当
时，有
，
两式作差得
，所以
时，
，
时，
符合上式，
所以数列
的通项公式为
.
（2）
，
所以
，
，
两式相减得
，
所以
，
随着正整数
的增大而增大，
由
，得
，
时，
，
时，
，
所以使
的最小的正整数n 的值为8.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2026·北京·高考真题）
，
是无穷数列，则存在常数
“
，使
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由题意，
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，
是无穷数列，
验证充分性：
当存在常数
，使
时，
，
，
显然成立，
验证必要性：
当
，
时，此时满足
,
假设存在常数
，使
成立，
当
时，
，
，
此时，
需同时不小于无限增大的
“
和不大于无限增大的
”
“
，
”
但不存在这样的固定常数
，
当
∴
时，无法必然推出存在常数
“
，即必要性不成立，
”
存在常数
∴“
，使
是
”
“
的充分不必要条件
”
.
2．（2022·全国乙卷·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环
绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列
：
，
，
，
，依此类推，其中
…
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】[方法一]:常规解法
因为
，
所以
，
，得到
，
同理
，可得
，
又因为
，
故
，
；
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以此类推，可得
，
，故A 错误；
，故B 错误；
，得
，故C 错误；
，得
，故D 正确.
[方法二]：特值法
不妨设
则
故D 正确.
3．（2026·天津·高考真题）已知
是数列
的前n 项的和，且
，
，则
（ ）
A．68
B．56
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，得
，即
；
，即
；
因为
，所以
；
，即
，所以
；
，即
，所以
.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．已知数列
满足
，
，写出它的前5 项，并猜想它的通项公式.
【答案】
，
，
，
，
.
【详解】
，
，
，
.
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猜想
.
2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上
第项的图形和点数．
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)第项图形见解析，通项公式为
，第项的点数为
(2)第项图形见解析，通项公式为
，第项的点数为
(3)第项图形见解析，通项公式为
，第项的点数为
【分析】
【详解】（1）解：设第
项的点数为
，
，
，
，
，该数列的第项为
，
数列
的一个通项公式为
，第项的图形如下图所示：
（2）解：设第
项的点数为
，
，
，
，
，该数列的第项为
，
数列
的一个通项公式为
，第项的图形如下图所示：
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（3）解：设第
项的点数为
，
，
，
，
，该数列的第项为
，
数列
的一个通项公式为
，第项的图形如下图所示：
3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把
数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10 称为三角形数，第二行的1，4，9，16 称为正方形数，第三
行的1，5，12，22 称为五边形数.请你分别写出三角形数正方形数和五边形数所构成的数列的第
､
5 项和第
6 项.
【答案】三角形数：第五个数15，第六个数21. 正方形数：第五个数
，第六个数
.五边形数：第五个
数
，第六个数
.
【详解】三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10，
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第五个数1+2+3+4+5=15，第六个数1+2+3+4+5+6=21.
正方形数：第一个数
，第二个数
，第三个数
，第四个数
，第五个数
，第六个
数
.
五边形数：第一个数
，第二个数
，第三个数
，第四个数
，第五个数
，第六个数
.
4．已知数列
的前
项和公式为
，求
的通项公式.
【答案】
【详解】当
时，
；
当
时，
，满足
，
故
的通项公式为
.
5．（22-23 高二·全国·随堂练习）已知数列
的第1 项是1，第2 项是2，以后各项由
给出.
（1）写出这个数列的前5 项；
（2）利用数列
，通过公式
构造一个新的数列
，试写出数列
的前5 项.
【答案】（1）a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8；；（2）b1
2，b2
，b3
，b4
，b5
．
【分析】
【详解】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2，
得a3＝a2+a1＝2+1＝3，
a4＝a3+a2＝2+3＝5，
a5＝a4+a3＝3+5＝8；
（2）依题意有：b1
2，
b2
，
b3
，
b4
，
b5
．
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6．已知函数
，设数列
的通项公式为
.
（1）求证
.
（2）
是递增数列还是递减数列？为什么？
【答案】（1）证明见解析；（2）递增数列，证明见解析.
【分析】
【详解】（1）由题意得
，因为
为正整数，所以
，所以
；
（2）
是递增数列，
证明：因为
，所以
，
所以
，所以
是递增数列.
