文档文本内容
知识解构
知识点1 函数的图象 知识点2 图象变换
题型破译 (含超链接）
题型
1 作具体函数的图象
题型
2 函数的图象变换
题型
3 由解析式选择图象
【方法技巧】由解析式判断函数图象的方法
题型
4 利用函数图象选解析式
题型
5 由函数的图象研究函数的性质
【方法技巧】利用函数图象研究函数的性质的方法
题型
6 利用函数的图象解不等式
题型
7 函数图象的实际应用
第06 讲 函数的图象
内容导航
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
考
核心
点
2026 年
2025 年
2024 年
函数图象的变换
函数图象的辨析
方
函数图象与
程
全国Ⅰ卷T78（5 分）
全国Ⅰ卷T7（5 分）
考情分析
函数图像在高考中是高频核心考点，常以选择、填空及解答题形式出现。
近三年考情分析，命题趋势强调数形结合与思维创新，重点考查图像识别、
对称性、单调性及零点问题。
复习目标
1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题
2.能熟练运用函数的基本性质判断对应函数图象
3.能运用函数的图象理解和研究函数的性质
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 函数的图象
1.函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐
标，当自变量取遍定义域A 内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号
表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
2 描点法作函数的图象
（1）确定函数的定义域；（2）化简函数的解析式；
（3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；
（4）描点连线，画出函数的图象．
自主检测函数
与
的图象的交点个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】D
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】函数
与
都是偶函数，其中
，
，
在同一坐标系中，作出函数
与
的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.
故选：D
知识点2 图象变换
1.平移变换
2.对称变换
①y＝f(x)―――――→y＝－
f(x)
； ②y＝f(x)―――――→y＝f ( －
x ) ；
③y＝f(x)―――――→y＝－
f ( －
x ) ； ④y＝ax (a>0 且a≠1)―――――→y＝logax ( a >0
且
a ≠1)
．
3.伸缩变换
①把函数
图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的
1
w 倍得
(0<
<1)
②把函数
图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
1
w 倍得
(
>1)
③把函数
图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的
倍得
(
>1)
④把函数
图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w 倍得
(0<
<1)
4.翻折变换
①y＝f(x)―――――――――→y＝| f ( x )| . ②y＝f(x)――――――――――→y＝f (| x |) ．
必记结论
（1）若f (m+x)=f (m−x)恒成立，则y=f ( x)的图象关于直线x=m对称．
（2）若f (a+x)=f (b−x)，对任意x ∈R 恒成立，则y=f ( x)的图象关于直线
x=a+b
2
对称．
（3）函数
与函数
的图象关于直线
对称．
（4）函数
与函数
的图象关于直线
对称．
（5）函数
与函数
的图象关于点
中心对称．
（6）函数平移遵循自变量左加右减，函数值上加下减．
“
”
“
”
自主检测定义在区间
上的函数
的图象如下图所示，则
的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用中心对称得到
的图象，再进行平移变换，即得
的图象.
【详解】先把函数
的图象关于原点对称，可得函数
的图象，
再将其向右平移4 个单位长度，即得函数
的图象.
题●型●破●译
题型1 作具体函数的图象
例1-1 已知函数
．
（1）判断并证明函数
的奇偶性；
（2）将函数
写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间．
【答案】(1)
是偶函数，证明见解析
(2)
，函数图象见解析；单调增区间为：
，单调减区间为：
【分析】（1）利用奇函数定义，直接判断
的奇偶性即可；
（2）讨论
和
去绝对值，即得到解析式，再利用解析式特征作图，看图得到单调区间即可．
【详解】（1）函数
，定义域为
，
对于任意的
，
故
是偶函数；
（2）依题意，
时，
，开口向下、对称轴为
的抛物线的一部分；
时，
，开口向下、对称轴为
的抛物线的一部分，
故
，
作图如下：
由图象可知，函数的单调增区间为：
，单调减区间为：
．
例1-2 作出下列各函数的图象．
(1)
； (2)
； (3)
．
【详解】（1）将函数
的图象向左平移1 个单位长度，
再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数
的图象，
如图①所示．
（2）原函数解析式可化为
，
故函数图象可由函数
的图象向右平移1 个单位长度，
再向上平移2 个单位长度得到，如图②所示．
（3）因为
，且函数为偶函数，
先用描点法作出
上的图象，再根据对称性作出
上的图象，
最后得函数图象如图③所示．
【变式训练1-1】作出下列函数的图象．
(1)
； (2)
．
【详解】（1）因为
，先作出
的图象，将其图象向右平移个单位长度，再向上平
移个单位长度，即得
的图象，如图所示．
（2）设
，其图象可看作由函数
的图象向右平移个单位，再向下平移个单
位得到，
而
，其图象可由
的图象保留
时的图象，然后将该部分关于
轴对称
得到，
则
图象如图示：
【变式训练1-2】已知函数
，
.
(1)在图1 同一坐标系中画出函数
，
的图象：
(2)用
表示
，
中的较小者，即
，画出函数
的图象(图2），
并求函数
的解析式，写出
的单调区间和值域（不需要证明）．
(3)若
，求
的取值范围
【详解】（1）
图象如下图所示，
（2）令
，即
，
当
时，
，解得：
；当
时，
，解得：
；
则当
时，
；当
时，
；当
时，
；
；图象法表示
如下：
由图象可得： m(x)的单调增区间为
；单调减区间为
m(x)的值域为
（3）由
得
或
.
所以由图像可知不等式
解集为
题型2 函数的图象变换
例2-1【新思维】（2026·北京顺义·二模）把函数
的图象
向右平移2 个单位长度，
再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的
倍，得到图象
，若此时图象
恰与
重合，则
的值为
（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】首先根据平移变换求出图象
的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出
的值.
【详解】把函数
的图象
向右平移2 个单位长度，
得到函数表达式为
，
再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的
倍，
得到图象
的函数表达式为
，
因为图象
与
重合，所以
，
即
，解得
，
.
例2-2 函数
的图象向右平移1 个单位长度得到函数
的图象，则
的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，可得
，其定义域为
，
当
时，
，函数
，
故排除A、B 选项；
当
时，0
，故函数
，故排除C 选项；
当
时，函数
，
该函数图象可以看成将函数
的图象向右平移一个单位得到，选项D 符合.
故选：D.
例2-3【新角度】已知图 对应的函数为
，则图
对应的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数
与
图象关于
轴对称判断B，判断函数
，
的奇偶性，
再结合其与函数
的图象关系，判断AC，再根据函数
关于原点对称判断D，
【详解】函数
的图象与函数
的图象关于
轴对称，不满足要求，B 错误；
设
，由已知函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
，
当
时，函数
的图象与函数
的图象相同，且图象关于
轴对称，A 正确；
设
，由已知函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
，
当
时，函数
的图象与函数
的图象相同，且图象关于
轴对称，C 错误；
函数
的图象与函数
的图象关于原点对称，D 错误；
故选：A.
【变式训练2-1】（2026 高二上·北京·学业考试）为了得到函数
的图象，只需将函数
的
图象（ ）
A．向左平移1 个单位长度
B．向右平移1 个单位长度
C．向上平移1 个单位长度
D．向下平移1 个单位长度
【答案】A
【详解】根据图形平移变换 左加右减的规则，可得：
“
”
向左平移一个单位得到
的图像.
【变式训练2-2】（多选题）为了得到函数
的图象，只需将函数
图象上（ ）
A．所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变 B．所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变
C．所有点沿y 轴向下平移1 个单位长度 D．所有点沿x 轴向右平移
个单位长度
【答案】AC
【详解】对于A，函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，
可得函数
的图象，则选项A 正确；
对于B，函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，可得函数
的图象，故选项B 错误；
对于C，
，将
图象上的所有点沿y 轴向下平移1 个单位长度，就得到函数
的图象，故选项C 正确；
对于D，函数
图象上所有点沿x 轴向右平移
个单位长度，可得函数
的图象，故选项 D 错误；
故选：AC.
【变式训练2-3·变考法】（2026·北京密云·一模）为了得到
的图象，只需把函数
的图象
上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变）
【答案】B
【详解】对于A，把函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得
，A 错误；
对于B，把函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得
，B 正
确；
对于C，把函数
的图象上所有点的纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变），得
，C 错
误；
对于D，把函数
的图象上所有点的纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变），得
，D
错误.
【变式训练2-4·变考法】函数
的图象如图所示，那么函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
的图象可由
先关于
轴对称，再向右平移两个单位得到，
结合各选项，可知只有C 选项的图象符合．
【变式训练2-5·变载体】（25-26 高三上·河南·月考）（多选）为了得到函数
的图象，只需将
函数
的图象上所有点（ ）
A．横坐标变成原来的
（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2 倍（纵坐标不变）
C．向上平移1 个单位长度 D．向左平移1 个单位长度
【答案】AC
【分析】利用对数的运算性质及换底公式，可将
化为
，结合函数图象的变换即可进
行判断.
【详解】因为
，
即,将函数
图象上所有点横坐标变成原来的
（纵坐标不变），可得到
的图象；
又因为
，
所以还可以将函数
图象上所有点向上平移1 个单位长度，可得到
的图象．
故选：AC．
题型3 由解析式选择图象
例3-1（2026·安徽合肥·三模）当
时，函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出函数
的定义域，结合
时，
的符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对于函数
，因为
，由
可得
且
，
故函数
的定义域为
，排除AC，
当
时，
，排除D.
例3-2（2026·河北衡水·模拟预测）函数
在区间
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性排除C，D；利用复合函数的单调性排除B.
【详解】易知函数
的定义域为
，
因为
-(2
x+2
- x)sin x =- f ( x)，
所以
为奇函数，图象关于原点对称，排除C，D；
当
时，令
，则
，
因为
在
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在区间
上为增函数，且
，
又
在区间
上为增函数，且
，
所以
在区间
上为增函数，排除B．
方法技巧 由解析式判断函数图象的方法
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点)，排除不合要求的图象．
【变式训练3-1】（2026·天津河北·二模）函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值法判断.
【详解】
定义域为
，且
，故
为奇函数，可排除C；
又
，可排除A、D；故函数
的大致图象为B.
故选：B.
【变式训练3-2·变考法】若函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值.
【详解】根据函数图象可知
和
不在函数
的定义域内，
因此
和
是方程
的两根，可得
，
又易知
，可得
，即
，所以
.
故选：D
【变式训练3-3·变载体】函数
在区间
上的大致图象不可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数图象的对称性可得函数的奇偶性，从而确定参数的值，再判断即可.
【详解】选项A，B 中函数图象关于原点对称，则对应的
为奇函数，
令
，则
为偶函数，即
，即
，
所以
，解得
，当
时，
，符合A 项，
当
时，
，符合B 项；
选项C，D 中函数图象关于
轴对称，则对应的
为偶函数，
令
，则
为奇函数，
即
，即
，
所以
，此时
，当
时，
，故D 符合，故C 不符合.
【变式训练3-4】（25-26 高二下·安徽·期中）（多选）函数
的大致图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】求导可得
，分类讨论
的取值情况，得出函数对应的单调性，结合选项即可求解.
【详解】因为
，所以
．
当
时，
，可能是A 中的图象；
当
时，f
'( x)=3a x
2+3>0恒成立，
所以
在
上单调递增，可能是B 中的图象；
当
时，令
，得
或
，令
，得
，
故
在(-∞,- ❑√- 1
a),(
❑√- 1
a ,+∞)上单调递减，在
上单调递增，
可能是C 中的图象，但不可能是D 中的图象．
题型4 利用函数图象选解析式
例4-1（2026·天津滨海新区·三模）已知函数
的部分图象如图，则
的解析式可能为：（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由图可知，
关于原点中心对称，且不是
上的单调函数；
对于B，
是偶函数，不符合，排除B；
对于C，
的定义域不含
，不符合，排除C；
对于D，由复合函数的单调性知
是
单调递增函数，排除D；
对于A，
是奇函数，且在
上递增，在
上递减，在
上递减，符合图像，是
的一个解析式，A 正确.
例4-2【新思维】（2026·天津·一模）已知函数
的部分图象如下：
则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】因为无法通过五点作图得出具体函数图像，所以本题使用奇偶性，特殊值逐项排除得出答案.
【详解】A 选项：
，为偶函数.题中图像为奇函数，所以A
不可能.
C 选项：同A 选项判断方法也可判断C 选项
为偶函数，C 错误.
D 选项：因为
，当
足够大时，显然不满足图像显示最后一部分由负到正的急剧递增，且当
时，
，与图像矛盾.
B 选项：从奇偶性，特殊值角度分析均有可能满足，因此图像解析式可能为
.
【变式训练4-1·变情境】在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析
式来研究函数图象的特征.我们从这个商标
中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据
不成立排除选项C，即可得正确选项.
【详解】因为函数
的定义域为
，
函数
的定义域为
，
函数
与
的定义域均为
，
由图知
的定义域为
，排除选项A、D，
对于
，当
时，
，不符合图象
，所以排除选项C.
故选：B.
【变式训练4-2】（25-26 高三下·天津·阶段检测）函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能是
（ ）
A．f ( x)=
x
3
2(1-| x|)
B．f ( x)=
x
2( x
2+1)
C．f ( x)=
x
3
2( x
2-1)
D．f ( x)=
x
2+1
2( x
2-1)
【答案】A
【分析】由
取值情况判断B；由
时函数值情况判断C；由
的值判断D；分析函数性质判断
A.
【详解】对于B，函数f ( x)=
x
2( x
2+1)的定义域为R，而给定图象对应函数中
，B 不是；
对于C，函数f ( x)=
x
3
2( x
2-1)，当
时，
，此时图象在
下方，C 不是；
对于D，函数f ( x)=
x
2+1
2( x
2-1)，
，其图象过点
，D 不是；
对于A，函数f ( x)=
x
3
2(1-| x|)，定义域为
，
f (- x)=
(- x)
3
2(1-|- x|) =- x
3
2(1-| x|) =- f ( x)，函数
为奇函数，图象关于原点对称，
当
时，
；当
时，
，A 可能是.
【变式训练4-3】如图，已知函数
的图象关于坐标原点O 对称，则函数
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据图象得
为奇函数，有
，再由图象得函数
的定义域为
，结合图象即可判断各选项.
【详解】由题意得
为奇函数，即
，定义域为
，
A，由
定义域为
，不符合，错误；
B，由
定义域为
，且
，
但
趋向于
，
趋向于
，不符合图象，错误；
C，由
定义域为
，且
，
但
在
上恒成立，不符合图象，错误；
D，由
定义域为
，且
，符合图象，正确.
故选：D.
【变式训练4-4】（2026·四川南充·阶段检测）函数
的图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依题意可得
为奇函数，即可排除A、C，由函数在
上的函数值的特征排除D，即可得解.
【详解】由图可知
的图象关于原点对称，则
为奇函数，
对于A ：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为偶函数，不符合题意，故A 错误；
对于C：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为偶函数，不符合题意，故C 错误；
对于D：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为奇函数，
当
时，
，
，所以
恒成立，不符合题意，故D 错误；
故利用排除法可知选项B 符合题意.
故选：B
【变式训练4-5·变考法】（2026·北京东城·二模）已知函数
的部分图象如图所示，若
，则
可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用奇偶性可排除AD；根据
轴右侧两零点间的距离可确定C 正确.
【详解】由图象可知：
为奇函数；
对于A，
，
为偶函数，A 错误；
对于D，
，
为偶函数，D 错误；
对于BC，不妨设
，
，
令
，解得：
；令
，解得：
或
；
则
在
轴右侧接近
的两个零点依次为
和
；
在
轴右侧接近
的两个零点依次为
和
，
，
，
由图象可知：B 错误，C 正确.
题型5 由函数的图象研究函数的性质
例5-1【新角度】已知函数
的定义域为
，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．
的单调递减区间为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的单调递增区间为
【答案】D
【分析】利用函数
的图象逐项判断即可.
【详解】对于A，由图象可知：
的单调递减区间为
，A 正确；
对于B，当
时，
，B 正确；
对于C，当
时，
，C 正确；
对于D，由图象可知：
的单调递增区间为
和
，但并非严格单调递增，不能用“
连接，
”
D
错误.
故选：D.
例5-2（多选）（2026·湖北武汉·二模）已知函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】AD
【分析】首先利用单调性画出函数的图象，再根据图象，以及函数的单调性判断选项.
【详解】A.
时，
，
时，
单调递减，
时，
单调递增，
所以
是
的极小值点，故A 正确；
如图，画出函数
的图象，
B.当
，
，得
或
所以当
，
，
当
，
单调递增，
由
增加到1，
，
由1 减小到
，存在点
时，
，故B 错误；
C.如图，当
时，
，
，
，此时
，不满足
，故C 错误；
D.当
时，
，
，此时
，
，所以
，故D 正确.
方法技巧 利用函数图象研究函数的性质的策略
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究:
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值;
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性;
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性。
【变式训练5-1·变考法】（多选）（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知
是定义域为
的奇函数，当
时，
，则下列叙述正确的有（ ）
A．
B．当
时，有
C．当
时，
的最小值为4，则
D．若关于
的方程
有实数根，则所有实数根之和为零
【答案】ACD
【分析】根据奇偶性可求出函数的解析式，进而可判断A；作出
的图象，根据单调性可判断B；根据
上的最小值可判断C；根据奇函数图象的对称性可判断D.
【详解】因为
是定义域为
的奇函数，
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
；
当
时，
，综上可得
，所以
，故A 正确；
画出函数
的图象，如图，
当
时，
单调递增，故当
时，有
，故B 错误；
由图象可知
，当
时，
的最小值为4，则
，故C 正确；
因为函数
和
均是定义域为
的奇函数，
故方程
的所有除0 外的实数根成对出现，且关于原点对称，
所以所有实数根之和为零，故D 正确.
题型6 利用函数的图象解不等式
例6-1（25-26 高三下·安徽六安·阶段检测）函数
的图象如图所示，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据图像关于
对称，可得
，结合图像即可求解.
【详解】由题可得
，由于图像关于
对称，所以
，
，
得
，
，
所以不等式
，即
的解集为
.
【变式训练6-1·变考法】（25-26 高三上·云南曲靖·期末）已知函数
的定义域是
，其图象如图所
示，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
可得
或
，利用指数函数的单调性与图象可得出原不等式
的解集.
【详解】因为函数
的定义域为
，由
可得
或
，
解不等式组
，结合图形可得
，得
，
解不等式组
，结合图形可得
，得
.
综上所述，不等式
的解集为
.
故选：B.
【变式训练6-2·变载体】（25-26 高三上·北京·阶段检测）如图，已知函数
的图象是圆心在原点的
单位圆的两段弧，则不等式
的解集为_____．
【答案】
或
【分析】根据函数图象可知函数
是奇函数，因此找到
与
的交点即可.
【详解】
由图象可知，函数
为奇函数，故原不等式
，
在同一坐标系中画出函数
的函数图象，当
时，求解方程
得
，
结合图象可得在第一象限
，
同理，根据图形对称性，可得在第三象限部分，
满足条件，
综上所述，解集为
或
.
故答案为：
或
.
题型7 函数图象的实际应用
例7-1 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100 千米/小时，特快车的速
度为150 千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000 千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的
距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意分析可得相遇时间为4 小时，此时两车距离为0，排除B 选项；再求出快车继续行驶到
达乙地所需要的时间排除A 选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D 选项.
【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间
小时，
此时两车距离为0，快车行驶时间为4 小时，故排除B 选项；
相遇时，快车已经行驶的路程为
千米，
还需要行驶
小时才能到达乙地，故排除A 选项；
特快车相遇时已经行驶的路程为
千米，
只需要再行驶
小时才能到达甲地，
所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D 选项.
故选：C.
例7-2【新情境】在中国天门山举行的WWL 翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某
时刻开始的15 分钟内的速度
与时间
的关系，若定义“速度差函数”
为时间段
内的最大速度
与最小速度的差，则
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据速度差函数的定义，分
四种情况，分别求得函数解析
式，从而得到函数图象.
【详解】由题意可得，当
时，翼人做匀加速运动，
，“速度差函数”
可
排除B 项．
当
时，翼人做匀减速运动，速度
从160 开始下降，一直降到
．
当
时，翼人做匀减速运动，
从80 开始下降，易得
则
．
当
时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”
，结合所给的图象，故D 正确.
故选：D.
【变式训练7-1】某同学离家去学校，刚开始跑步前进，跑了一段路程后，又放慢速度步行．图中
轴表
示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象中，与该同学走法相吻合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案.
【详解】依题意可知，
关于的函数图象呈上升趋势，故B 和D 都错误；
由于该同学是先跑后走，所以
关于的函数图象上升速度是先快后慢，故A 正确，C 错误.
故选：A．
【变式训练7-2·变情境】（2026 高三·全国·专题练习）某人根据经验绘制了从12 月21 日至1 月8 日自己种
植的西红柿的销售量
（千克）随时间
（天）变化的函数图像如图所示，则此人在12 月26 日大约卖出
了西红柿________千克．
【答案】
【分析】利用待定系数法先求出前10 天的解析式，然后令
，即可求出12 月26 日卖出西红柿的数量.
【详解】前10 天满足一次函数关系，设为
，
将点
和点
代入函数解析式得
，
解得
，
，所以
，
则当
时，
．
【变式训练7-3·原创题】如图，直线在初始位置与等边
的底边重合，之后开始在平面上按逆时针
方向绕点
匀速转动（转动角度不超过
），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个
函数的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】取
的中点
，连接
，设等边
的边长为
，求得
，令
，其中
，结合导数，即可求解.
【详解】如图所示，取
的中点
，连接
，因为
为等边三角形，可得
，
设等边
的边长为
，且
，其中
，
可得
，
又由
的面积为
，可得
，
且
，
则
的面积为
，
令
，其中
，
可得
，所以
为单调递增函数，
又由余弦函数的性质得，当
时，函数
取得最小值，
所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，
结合选项，可得选项C 符合题意.
故选：C.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1. （2026·天津·高考真题）函数
部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】A、B、D 项，结合特殊点即可排除；C 项，求出奇偶性和单调性，即可判断.
【详解】由题意，
由题意及图得，函数
为奇函数，且当
时，
，
对A 选项，当
时，
，与图象不符，故A 错误；
对B 选项，当
时，
，与图象不符，故B 错误；
对D 选项，当
时，
，与图象不符，故D 错误；
对C 选项，在
中，
，即该函数为奇函数，
，与图象相符，故C 正确.
2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的3 倍（横坐标不变）
【答案】A
【分析】由
，根据平移法则即可解出．
【详解】因为
，所以将函数
的图象上所有点的横坐标变成原来的
倍，纵坐标不变，即
可得到函数
的图象，
故选：A.
3．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在
上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数
的最小正周期为
，
函数
的最小正周期为
，
所以在
上函数
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点.
故选：C
4．（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入
可得
，可排除D.
【详解】
，
又函数定义域为
，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又
，
故可排除D.
故选：B.
5．（2023·天津·高考真题）已知函数
的部分图象如下图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B 中函数的奇偶性，再判断A、C 中函数在
上的
函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且
，
由
且定义域为R，即B 中函数为奇函数，排除；
当
时
、
，即A、C 中
上函数值为正，排除；
故选：D
6．（2023·北京·高考真题）设
，函数
，给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】先分析
的图象，再逐一分析各结论；对于①，取
，结合图象即可判断；对于②，分段
讨论
的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图象可知
的范围；对于④，取
，结合图象
可知此时
存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意，
，
当
时，
，易知其图象为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当
时，
，易知其图象是，圆心为
，半径为
的圆在
轴上方的图象（即半
圆）；
当
时，
，易知其图象是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取
，则
的图象如下，
显然，当
，即
时，
在
上单调递增，故①错误；
对于②，当
时，
当
时，
；
当
时，
显然取得最大值
；
当
时，
，
综上：
取得最大值
，故②正确；
对于③，易知当
时，在
，
且接近于
处，
的距离最小，
当
时，
，当
且接近于
处，
，
此时，
，
当
时，
且接近于
处，
的距离最小，
此时
；故③正确；
对于④，取
，则
的图象如下，
因为
，
结合图象可知，要使
取得最小值，则点
在
上，点
在
，
同时
的最小值为点
到
的距离减去半圆的半径
，
此时，因为
的斜率为，则
，故直线
的方程为
，
联立
，解得
，则
，
显然
在
上，满足
取得最小值，
即
也满足
存在最小值，故
的取值范围不仅仅是
，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得
的图象，特别是当
时，
的图
象为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1.如图，①②③④中不属于函数
的一个是（ ）.
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】B
【详解】已知其中的三个函数都是指数函数，指数函数的图象一定过点
，图象②不过点
.
故选：B.
2.如图，①②③④中不属于函数
的一个是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】C
【详解】
，都是
上的减函数，只有
在
上为增
函数.又
时，
，所以③不满足.
故选：C
3．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品
数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求
曲线？为什么？
【答案】题图（1）中的曲线表示厂商希望的供应曲线；
题图（2）中的曲线表示客户希望的需求曲线.
【详解】从题图（1）观察，随着产品数量的上升，单价越来越高，可见是厂商希望的供应曲
线；而题图（2）恰恰相反，当产品数量逐渐上升时，单价越来越低，由此判断是客户希望的
需求曲线.
4．指数函数
的图象如图所示，求二次函数
图象顶点的横坐标的取值
范围.
【答案】
【详解】由图可知，函数
在定义域上单调递减，
，
，顶点坐标为
，
顶点的横坐标为
，
，
，
，
顶点的横坐标的取值范围是
.
5．图（1）是某条公共汽车线路收支差额y 关于乘客量x 的图象.
（1）试说明图（1）上点A，点B 以及射线AB 上的点的实际意义；
（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图（2）（3）所
示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？
【详解】（1）点A 的实际意义为：当乘客量为0 时，公司亏损1（单位）；
点B 的实际意义为：当乘客量为1.5 时，公司收支持平；
射线AB 上的点的实际意义为：当乘客量小于1.5 时，公司将亏损；当乘客量大于1.5 时，公
司将盈利.
（2）题图（2）的建议是：降低成本而保持票价不变；
题图（3）的建议是：提高票价而保持成本不变.
6．如图，
是边长为2 的正三角形，记
位于直线
左侧的图形的面
积为
.试求函数
的解析式，并画出函数
的图象.
【答案】
【详解】（1）当
时，如图，设直线
与
分别交于
、
两点，则
，
又
，
，
.
（2）当
时，
如图，设直线
与
分别交于
、
两点，则
，
又
，
，
.
（3）当
时，
，
综上所述，
.
