文档文本内容
第06 讲 双曲线及其性质
目录
01 常考题型过关练
型
题
01 双曲
的定
线
义
型
题
02 双曲
的
准方程
线
标
型
题
03 双曲
的焦点、焦距
线
型
题
04 双曲
的范
线
围
型
题
05 双曲
的
点、
、虚
线
顶
实轴
轴
型
题
06 等
双曲
轴
线
型
题
07 双曲
的
近
线
渐
线
型
题
08 双曲
的离心率
线
型
题
09 双曲
的
用
线
应
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 双曲线的定义
1．已知双曲线
与双曲线
有共同的渐近线，双曲线
的两个焦点分别为
，点
为
上的一点，且
，则双曲线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
2．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，
的右支上一点
满足
，且
与
的夹角的正切值为
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知双曲线
与椭圆
的焦点重合，离心率互为倒数，设
分别
为双曲线
的左，右焦点，
为右支上任意一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知双曲线
：
的左、右焦点分别是
是双曲线
上一点，若
，则
．
5．已知圆
，圆
，动圆
与圆
都外切，则动圆圆心
的轨迹方
程为 .
02 双曲线的标准方程
6．已知方程
表示双曲线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知点
在双曲线
上，点
满足
为坐标原点，且
，
，则
的最大值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．在直角坐标系中，若方程
表示的曲线是双曲线，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．(多选)已知曲线
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则曲线
表示两条直线
B．若
，则曲线
是双曲线
C．若
，则曲线
是椭圆
D．若
，则曲线
的离心率为
03 双曲线的焦点、焦距
10．已知双曲线
，则
的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．2
B．6
C．
D．
11．已知双曲线的标准方程为
，则该双曲线的焦距是（ ）
A．1
B．3
C．2
D．4
12．已知双曲线
的离心率为
，则双曲线
的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．
B．2
C．4
D．
13．（多选）已知双曲线
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的虚轴长为6
B．
的离心率为
C．
的渐近线方程为
D．
的焦点坐标为
14．（多选）已知椭圆
，双曲线
的离心率分别为
，
，则（ ）
A．
的焦距小于
的焦距
B．
可能为等轴双曲线
C．
D．
与
恰有四个公共点
04 双曲线的范围
15．双曲线
的右焦点为
，设A、B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的
中点为M，BF 的中点为N，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB 的斜率为
，则双曲线的离
心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
16．（多选）已知
是双曲线
的右焦点，
为右支上一点，则（ ）
A．双曲线
的虚轴长为
B．
（
为坐标原点）
C．双曲线
的渐近线方程为
D．
为圆
上一点，
的最小值为1
17．若双曲线
与圆
交于
四点，且这四个点恰为正方
形的四个顶点，则
.
18．已知双曲线
的焦距为10，左、右焦点分别为
，点
在
上且
轴，
的面积为
，则双曲线
的方程为 ；若点
为双曲线左支上的任意一点，则
的
最小值是 ．
05 双曲线的顶点、实轴、虚轴
19．已知双曲线
经过点
，则
的虚轴长为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
20．在锐角三角形PMN 中，
，
，垂足为Q，
，则点P 的轨迹为（
）
A．长轴长为2 的椭圆的一部分
B．长轴长为
的椭圆的一部分
C．实轴长为2 的双曲线的一部分
D．实轴长为
的双曲线的一部分
21．（多选）已知双曲线
，
为
上四个动点，则四边形
的形状可能为
（ ）
A．菱形
B．等腰梯形
C．正方形
D．矩形
06 等轴双曲线
22．（多选）已知双曲线
，则（ ）
A．
的取值范围为
B．双曲线
的焦点坐标为
C．当
时，双曲线
的两条渐近线的夹角为
D．当双曲线
为等轴双曲线时，
23．等轴双曲线的一个焦点是
，则双曲线的标准方程是 ．
24．已知曲线
：
是双曲线，曲线
：
是椭圆，其离心率分别是
和
，则
.
25．已知等轴双曲线C 的焦点在x 轴上，且实轴长为
.直线
与C 交于A，B 两点.
(1)求C 的方程；
(2)若点
为线段AB 的中点，求k 的值；
(3)若
，且A，B 两点都位于y 轴的右侧，求k 的取值范围.
07 双曲线的渐近线
26．已知双曲线C：
（
，
）的一条渐近线方程为
，则C 的离心率为
（ ）
A．
B．
C．2
D．
27．（多选）关于双曲线
的以下论述中，正确的是（ ）
A．焦点在y 轴上
B．虚轴长为16
C．渐近线方程为
D．离心率为
28．（多选）已知
分别为双曲线
的左，右焦点，
为双曲线右支上一点且满足
，直线
与圆
（
）有公共点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的虚轴长为
B．
C．的取值范围为
D．过
且与双曲线有一个公共点的直线有 条
08 双曲线的离心率
29．（多选）已知椭圆
，两个焦点分别为
，则（ ）
A．a 的取值范围为
B．椭圆C 与双曲线
有相同的焦点，则该双曲线的虚轴的长为2
C．若
，则C 的焦距为6
D．若
，则C 的离心率为
30．（多选）已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过左焦点
的直线与双曲线
的左支
相交于
两点（
在第二象限），点
与
关于坐标原点对称，点
的坐标为
，则下列结论正
确的是（ ）
A．记直线
、
的斜率分别为
、
，则
B．若
，则
C．
的最小值为6
D．
的取值范围是
31．已知双曲线
上存在点
，使得直线PA，PB（点A，B 为双曲线的左、右顶
点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为 ．
32．已知双曲线
的离心率为
，点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)设斜率为
且不经过点
的直线交
于
两点，记直线
的斜率分别为
，
，若
，
证明：直线过定点．
09 双曲线的应用
33．3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材
料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离
心率为
的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表
面计算）的上底直径为
，下底直径为
，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高
为（ ）
A．
B．18cm
C．
D．
34．如图所示，双曲线
，又
，已知
，
，若由
射至
的光线被双曲
线
反射，反射光通过
，则
．
35．舰A 在舰B 的正东6 km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°方向，且与B 相距4 km，它们准备围捕某海洋动
物．在某时刻A 发现动物信号，4 s 后，B，C 同时发现这种信号．设舰与动物均为静止的，动物信号的传
播速度是1 km/s，试确定海洋动物的位置．
36．如图，某苗圃有两个入口
、
，
，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗
放在苗圃外的
处，已知
，
，以
所在直线为
轴，
中点为原点建立直角坐标系．
(1)工人计划将树苗运送至
处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由；
(2)工人将
处树苗运送到苗圃内点
处时，发现从两个入口
、
运输的最近距离相等，求出的点
所有
可能的位置．
37．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点
，
，它们距离城市中心
的距离均为
，
是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心
的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建
设，规划中的道路
如图所示，道路MN 段上的任意一点到景点
的距离比到景点
的距离都多
4km，其中道路起点
到东西方向主干道的距离为6km，线路NP 段上的任意一点到
的距离都相等，以
为原点、线段AB 所在直线为
轴建立平面直角坐标系xOy.
(1)求道路
的曲线方程；
(2)现要在
上建一站点
，使得
到景点
的距离最近，问如何设置站点
的位置?（即确定点
的坐标）
1．已知椭圆
的短轴长为4，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．2 或4
2．
2024 年10 月22 日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号
、
、
卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平
三号
卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3 万千米，卫星运动
至近地点距离地球表面高度约1.35 万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35 万千米，则天平三号
卫星运行的轨迹方程可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）在平面直角坐标系
中，过抛物线
的焦点
的直线与抛物线交于
两点，
直线
分别交抛物线的准线于
两点，则下列说法正确的有（ ）
A．
轴
B．
C．以
为直径的圆与抛物线的准线恒相交
D．
面积的最小值为
4．已知A，B 为双曲线
上的两点，且A，B 关于直线
对称，则线段AB 中点的坐
标为 ．
5．
古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为
圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB 为底面圆的直径，
为PB 的中点，某同学用平行于母线PA 且过点
的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高
，底面半径
，则该抛物线的焦点到
准线的距离为 ．
6．已知双曲线
的实轴长为
，且过点
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)过双曲线
的右焦点
作斜率为1 的直线l，l 与双曲线
交于A，B 两点，求｜AB｜；
(3)若
是坐标原点，M，N 是双曲线
上不同的两点，且直线MN 的斜率为2，线段MN 的中点为
，求直
线OP 的斜率．
1．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B 为双曲线
上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2004·北京·高考真题）双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线
的左右焦点分别为
，过
作
平行于
轴的直线交C 于A，B 两点，若
，则C 的离心率为 ．
4．（上海·高考真题）双曲线
的渐近线方程为
5．（天津·高考真题）已知中心在原点的双曲线
的一个焦点是
，一条渐近线的方程是
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若以
为斜率的直线与双曲线
相交于两个不同的点M，N，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴
围成的三角形的面积为
，求k 的取值范围．
6．（重庆·高考真题）如图，
和
是平面上的两点，动点P 满足：
．
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)若
，求点P 的坐标．
