文档文本内容
第06 讲 双曲线及其性质
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 双曲线的定义.......................................................................................................4
知识点2 双曲线的标准方程...............................................................................................4
知识点3 双曲线的简单几何性质.......................................................................................4
题型破译................................................................................................................................................5
题型1 双曲线的定义...........................................................................................................5
【方法技巧】没有绝对值只表示一支
题型2 双曲线的标准方程...................................................................................................6
【方法技巧】谁的系数为正焦点就在对应的轴上
题型3 双曲线的焦点、焦距...............................................................................................6
题型4 双曲线的范围
.....................................................................................................7
题型5 双曲线的顶点、实轴、虚轴...................................................................................8
题型6 等轴双曲线...............................................................................................................9
题型7 双曲线的渐近线
..............................................................................................10
题型8 双曲线的离心率
...............................................................................................11
【方法技巧】通过几何、定义找abc 的关系
题型9 双曲线的应用
...................................................................................................12
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................14
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................15
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
1.了解双曲线的定义、
几何图形和标准方程
2.掌握双曲线的几何性
质(范围、对称性、顶
点、渐近线、离心率)
3.了解双曲线的简单应
用
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第3
题，5 分
全国二卷，第11
题，6 分
天津卷，第9
题，5 分
北京卷，第3
题，4 分
新课标I 卷，第12 题，
5 分
全国甲卷（理数），第
5 题，5 分
新课标I 卷，第16 题，5
分
全国甲卷（文数），第8
题，5 分
北京卷，第12 题，5 分
天津卷，第9 题，5 分
考情分析：
双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与
性质等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等偏易，解答题中难度偏
大，有时会与向量等知识结合考查，需要学会灵活求解.
复习目标：
1.深入理解双曲线的定义，明确其与椭圆定义的区别与联系。能够精准阐述双曲线定义中动点到两定点距离之差
的绝对值为定值（小于两定点间距离）这一关键特征，并能运用定义解决相关问题，如根据给定条件判断点的轨
迹是否为双曲线。
2.全面掌握双曲线的几何性质，包括范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。理解这些性质与双曲线方程之间
的内在联系，例如通过方程判断双曲线的范围，利用对称性简化问题求解过程。能准确求出双曲线的渐近线方
程，并理解渐近线对描绘双曲线形状的重要作用。深入理解离心率的定义及它对双曲线形状的影响，能够根据已
知条件求出离心率的值或范围
知识点1 双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，
两焦点间的距离叫做双曲线的 .
注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c 为常数，且a＞0，c＞0；
(1)当a＜c 时，P 点的轨迹是 ；
(2)当a＝c 时，P 点的轨迹是 ；
(3)当a＞c 时，集合P 是
.
自主检测已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，设点
，则
的值为
．
知识点2 双曲线的标准方程
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形
自主检测（多选）已知曲线
，则（ ）
A．若
，则C 是圆
B．若
，则C 是椭圆
C．若
，则C 是双曲线
D．若
，
，则C 是两条直线
知识点3 双曲线的简单几何性质
性质
范围
x≥a 或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a 或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1 ，
A2 .
顶点坐标：
A1 ，
A2 .
渐近线
y＝
.
y＝
.
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的 实轴，它的长|A1A2|＝ ；线段B1B2叫做双曲线
的 ，它的长|B1B2|＝ ； a 叫做双曲线的 ，b 叫做
双曲线的
.
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
自主检测（多选）已知曲线
的两个焦点为
，
，
为曲线
上不与
，
共线的点，则
下列说法正确的是（ ）
A．若
是椭圆，则
B．若
是双曲线，则
C．若
，则
的周长为8
D．若
，则
的离心率为
题型1 双曲线的定义
例1-1 已知双曲线
的两个焦点分别为
，
，双曲线
上有一点
，若
，则
（ ）
A．9
B．1
C．1 或9
D．11 或9
例1-2 设P 是双曲线
上一点，M，N 分别是两圆：
和
上的点，则
的最大值为 ．
方法技巧
（1）双曲线的定义中，常数
应当满足的约束条件：
，这可以借助于三角形中
边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
（2）若去掉定义中的“绝对值”，常数
满足约束条件：
（
），则动点轨迹
仅表示双曲线中靠焦点
的一支；若
（
），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦
点
的一支；
【变式训练1-1】若点P 是双曲线C：x
2
16 - y
2
9 =1上一点，F1，F2分别为C 的左、右焦点，则“|P F1|=8
”是“|P F2|=16”的（ ）
A．既不充分也不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．充分不必要条件
【变式训练1-2】已知F1，F2分别是双曲线C：x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，|F1 F2|=2c，点P
在C 的右支上，且△P F1 F2的周长为6c，则|P F1|=（ ）
A．3c -a
B．3c +a
C．2c -a
D．2c +a
题型2 双曲线的标准方程
例2-1 若椭圆
与双曲线
的焦点相同，则
的值为（ ）
A．25
B．16
C．5
D．4
例2-2 已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．
(2)a 与b 没有大小关系．
(3)a，b，c 的关系满足c2＝a2＋b2.
【变式训练2-1】双曲线
的焦点到它的一条渐近线的距离为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【变式训练2-2·变考法】已知方程
表示焦点在
轴上的双曲线，则实数
的取值范围是
.
题型3 双曲线的焦点、焦距
例3-1（2025·云南昆明·模拟预测）已知双曲线
的一个焦点坐标为
，则实数
的值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
例3-2 已知双曲线
的一条渐近线的方程为
，则双曲线C 的焦距为（ ）
A．3
B．6
C．4
D．8
方法技巧
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率
【变式训练3-1】双曲线
和
有（ ）
A．相同焦点
B．相同渐近线
C．相同顶点
D．相等的离心率
【变式训练3-2】已知双曲线C 与椭圆
有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，
则双曲线C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 双曲线的范围
例4-1（2025·辽宁·一模）设
是双曲线
的两个焦点，
为坐标原点，点
在
上且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2（2025·福建福州·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系
中，
，
为两个定点，
为动点，且
，
，
成等比数列，记点
的轨迹为
，过
作
的切线，则下列
说法正确的是（ ）
A．
是双曲线
B．若
，则的斜率为
C．存在点
，使得
D．不存在区间
，当
时，
方法技巧
（1）建立不等式法：
①利用曲线的范围建立不等关系．
②利用线段长度的大小建立不等关系．
，
为双曲线
的左、右焦点，
为
双曲线上的任一点，
．
③利用角度长度的大小建立不等关系．
④利用题目不等关系建立不等关系．
⑤利用判别式建立不等关系．
⑥利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
⑦利用基本不等式，建立不等关系．
（2）函数法：
①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
②通过确定函数的定义域；
③利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
（3）坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【变式训练4-1】（2025·重庆·三模）（多选）已知双曲线C：
的右焦点为F，P 是C 右支上的
动点，P 到直线
，
和
的距离分别为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2·变载体】（多选）已知点
是圆
上一动点，点
，线段
的中
垂线交直线
于点
，若点
的轨迹为曲线
，则（ ）
A．曲线
的方程为
B．线段
中点的轨迹方程为
C．
的最小值为5
D．直线与曲线
只有一个公共点
题型5 双曲线的顶点、实轴、虚轴
例5-1（多选）过双曲线
的一个焦点的直线
与
的一条渐近线平
行，且与
交于点
，则（ ）
A．
的实轴长为
B．
的离心率为
C．
到
的右焦点的距离为
D．
的一个顶点坐标为
例5-2（多选）已知直线
与双曲线
的图象相切，双曲线的左、右顶点分别为
，
左、右焦点分别为
，若
是双曲线上一点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．直线
和直线
的斜率的乘积为
D．
【变式训练5-1】已知双曲线
，焦距为10，则实轴长为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【变式训练5-2】（多选）已知点
，
分别为双曲线
的左、右顶点，点
，
是
右支上不同两点，若
且
的面积为
，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线
的渐近线方程为
B．点
为
的重心
C．
D．
为等边三角形
【变式训练5-3】若方程
表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于 ．
题型6 等轴双曲线
例6-1 已知等轴双曲线
的左､右焦点分别为
，半焦距为，过点
的直线
与
的两条渐近线从左到右 依次交于
两点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2 已知双曲线
，左、右顶点分别为
，
，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，
且
，则
．
方法技巧
(1)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x.
(2)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(3)焦点到渐近线的距离为b.
(4)利用渐近线可以较准确的画双曲线的草图．
(5)双曲线上的点到焦点的最小值为c－a.
【变式训练6-1】反比例函数
的图像是双曲线，则这个双曲线的一个焦点坐标为 ．
【变式训练6-2】
为双曲线
右支上两不同点，则
取值范围是 .
题型7 双曲线的渐近线
例7-1（多选）已知双曲线
的一条渐近线过点
，
为
的右焦点，则
下列结论正确的是（ ）
A．曲线
的离心率为
B．曲线
的渐近线方程为
C．若
到曲线
的渐近线的距离为
，则曲线
的方程为
D．设
为坐标原点，若
，则
例7-2（2025·上海·模拟预测）双曲线
的一条渐近线方程为
，则
．
方法技巧
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为
，则其渐近线方程为
已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线渐近线方程为
，则可设双曲线方程为
，根据已知条件，求出
即
可．
（3）与双曲线
有公共渐近线的双曲线
与双曲线
有公共渐近线的双曲线方程可设为
（
，焦点在
轴上，
，焦点在y 轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线
等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为
，因此等轴双曲线可设为
．
【变式训练7-1】已知双曲线
过点
，且与双曲线
有相同的渐近线，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2】（2025·四川泸州·模拟预测）已知双曲线
的左焦点为
，直线
与
的左､右两支分别交于点
，若
，则
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-3】（25-26 高三上·云南·阶段练习）双曲线
的左顶点为
，右焦点
为
，点
在
上，且
，
，则双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型8 双曲线的离心率
例8-1（2025 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的右焦点为
，若过点
且倾斜角
为
的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线离心率是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
例8-2（2025 高三下·甘肃白银·学业考试）已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，过点
且垂直于x 轴的直线与C 交于点M，
与C 交于点N，设
，若
，则C
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 （1）建立不等式法：
①利用曲线的范围建立不等关系．
②利用线段长度的大小建立不等关系．
，
为双曲线
的左、右焦点，
为
双曲线上的任一点，
．
③利用角度长度的大小建立不等关系．
④利用题目不等关系建立不等关系．
⑤利用判别式建立不等关系．
⑥利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
⑦利用基本不等式，建立不等关系．
（2）函数法：
①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
②通过确定函数的定义域；
③利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
（3）坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【变式训练8-1】如图，直角坐标系中有4 条圆锥曲线
（
1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4 条
圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-2·变考法】（多选）已知双曲线
的离心率为
，左、右焦点分别为
，
，
为
的左顶点，过
且斜率存在的直线与
的左支分别交于
，
两点，设
，
分别为
，
的内切圆的圆心，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的渐近线方程为
B．直线
轴
C．双曲线
的方程为
D．
的最小值为
【变式训练8-3】（2025·广东湛江·二模）已知双曲线
的离心率为
，则
．
题型9 双曲线的应用
例9-1 已知曲线
，则下列结论中错误的是( ).
A．曲线
与直线
无公共点
B．曲线
与圆
有三个公共点
C．曲线
关于直线
对称
D．曲线
上的点到直线
的最大距离是
例9-2
年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用
粒子轰击
厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望
粒子能够通过金箔，就像子
弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分
粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的
粒子遵循双
曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果
粒子的路径经过点
，则该粒子路径的
顶点距双曲线的中心 cm.
【变式训练9-1】由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．
已知
、
分别为双曲线
的左、右焦点，过
右支上一点
作双曲线
的切
线交
轴于点
，交
轴于点
，过点
作
，垂足为
，
为原点，求
．
【变式训练9-2】某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部
斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB 宽4cm，底部CD 宽5cm，
，底部离最窄处
垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB 平行，则其长度为 cm.
【变式训练9-3】某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预
计到达区域安排了三个救援中心（记为
、
、
），
在
的正东方向，相距
；
在
的北偏西
方向，相距
；
为航天员的着陆点.某一时刻，
接收到
的求救信号，由于
、
两地比
距
远，
后
、
两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为
，则在
处测得
的
方向角为（ ）
A．北偏东
B．北偏东
C．北偏西
D．北偏西
1．（2025·天津·高考真题）双曲线
的左、右焦点分别为
，以右焦点
为焦点
的抛物线
与双曲线交于第一象限的点P，若
，则双曲线的离心率
（ ）
A．2
B．5
C．
D．
2．（2025·北京·高考真题）双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C 的虚轴长是实轴长的
倍，则C 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为
，点
在该双曲线上，则
该双曲线的离心率为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．
5．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）双曲线
的左、右焦点分别是
，左、
右顶点分别为
，以
为直径的圆与C 的一条渐近线交于M、N 两点，且
，则（ ）
A．
B．
C．C 的离心率为
D．当
时，四边形
的面积为
6．（2024·天津·高考真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取
值范围为 ．
7．（2024·上海·高考真题）已知双曲线
，左、右顶点分别为
，过点
的
直线交双曲线
于
两点.
(1)若
的离心率为2，求
.
(2)若
为等腰三角形，且点
在第一象限，求点
的坐标.
(3)连接
（
为坐标原点）并延长交
于点
，若
，求
的最大值.
1.与圆
及圆
都外切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上
B．双曲线上的一支上C．抛物线上
D．圆上
2.如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），
可以加强对流，自然通风．已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为
55m．试选择适当的坐标系求此双曲线的方程．
3.指出双曲线
的范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴及离心率．
4.动点
与定点
的距离和它到定直线
距离的比是常数
，求动点M 的轨迹.
5.分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是
，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8；
(2)双曲线的一个焦点坐标是
，且双曲线经过点
．
6.已知双曲线
的焦点为
，
，点M 在双曲线上，且
轴，求
到直线
的距离.
7.如图，已知动圆M 与两个定圆
和
分别外切，则动圆圆心M 的轨迹是什么图形？
