文档文本内容
第06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
目录
01 考情解码・命题预警........................................................................................................................................ 2
02 体系构建·思维可视............................................................................................................................................ 3
03 核心突破·靶向攻坚............................................................................................................................................ 3
知能解码......................................................................................................................................................3
知识点1 相互独立事件 ......................................................................................................................3
知识点2 条件概率 ............................................................................................................................... 4
知识点3 全概率公式 ........................................................................................................................... 4
知识点4 贝叶斯公式.............................................................................................................................5
题型破译......................................................................................................................................................5
题型1 条件概率
............................................................................................................................... 5
【方法技巧】求条件概率公式
题型2 相互独立事件的判断
........................................................................................................6
【方法技巧】相互独立事件的判断
题型3 相互独立事件的概率
........................................................................................................ 8
题型4 全概率公式及其应用
........................................................................................................8
【方法技巧】全概率公式计算
题型5 贝叶斯公式及其应用
........................................................................................................9
【方法技巧】贝叶斯公式计算
题型6 全概率公式与贝叶斯公式综合
...................................................................................10
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................................ 13
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................................ 14
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）条件概率
（2）相互独立
（3）全概率公式
单选题
多选题
填空题
解答题
2025 年天津卷第
13 题，5 分
2025 年上海卷第
13 题，5 分
2024 年天津卷第13
题，5 分
2024 年上海卷第8 题，
5 分
2023 年甲卷（理）第6
题，5 分
2023 年上海卷第19 题
（1），4 分
考情分析：
本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．出题多会集中在随机事
件的关系以对应的概率求解．全概率公式将会是一个新的出题点，思维难度会略大．但整体而言，本节内容在高
考中的难度处于中等偏易．
复习目标：
（1）了解两个事件相互独立的含义．
（2）理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．
知识点1 相互独立事件
对任意两个事件
与
，如果 成立，则称事件
与事件
相互独立
(mutually independent)，简称为独立．
性质1：必然事件
、不可能事件
与任意事件相互独立
性质2：如果事件
与
相互独立，则
与
，
与
，
与
也相互独立
则：
，
，
自主检测（多选）现有6 个分别标有数字1，2，3，4，5，6 的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，
每次取1 个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两
次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（ ）
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互对立
D．丙与丁互斥
知识点2 条件概率
1、定义：一般地，设
，
为两个随机事件，且
，我们称 为
在事件
发生的条件下，事件
发生的条件概率，简称条件概率．
2、乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件
与
，若
，则
．我们称上式为概率的乘法公式．
3、条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设
，则
①
；
②如果
和
是两个互斥事件，则
；
③设
和
互为对立事件，则
．
④任何事件的条件概率都在0 和1 之间，即：
.
自主检测1．一个体育队有4 名女运动员和3 名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽选1 个运动
员，抽出的运动员不再检查，则在第1 次抽到女运动员的条件下，第2 次抽到男运动员的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点3 全概率公式
1、定义：一般地,设
,
,
是一组两两互斥的事件,
,且
，
,则对任意的事件
,有 ,我们称此公式为全概率公
式.
2、全概率公式的理解
全概率公式的直观意义：某事件
的发生有各种可能的原因
（
）,并且这些原因两两互
斥不能同时发生，如果事件
是由原因
所引起的，且事件
发生时，
必同时发生，则
与
有关，且等于其总和
.
自主检测某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为
，当
输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为
．已知输入的问题表达不清晰的概率为
．
则智能客服的回答被采纳的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点4 贝叶斯公式
设
,
,
是一组两两互斥的事件,
,且
，
，
则对任意的事件
,
，有 ，
.
自主检测袋中有4 个红球，6 个白球，不放回地摸两次球，求：
(1)第二次摸到红球的概率；
(2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率．
题型1 条件概率
例1-1 一枚骰子连续抛掷两次，在第一次抛出的点数是6 的情况下，第二次抛出的点数是奇数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
例1-2 一盒子中装有只产品，其中有只一等品、
只二等品．从中任取产品两次，每次取只，不放
回．事件
表示第一次取到的是一等品，事件
“
”
表示第二次取到的是一等品，试用两种方法求
“
”
．
方法技巧
条件概率
求
用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
（1）分析题意，弄清概率模型；
（2）计算
，
；
（3）代入公式求
．
【变式训练1-1】已知
，
，则
（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
【变式训练1-2】在A，B，C 三种活动中，甲、乙、丙、丁、戊五人需每人选择一个活动参加，在3 人选
择了A 活动的条件下，甲、乙选择A 活动的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】某体育局计划从某高校的4 名男志愿者和4 名女志愿者中选派6 人参加志愿者培训，事件
A 表示选派的6 人中至少有3 名男志愿者，事件
表示选派的6 人中恰好有3 名女志愿者，则
.
题型2 相互独立事件的判断
例2-1 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2 点，
”
B=“第二次的
点数小于5 点，
”
C=“两次点数之和为9”，D=“两次点数之和为奇数，则下列说法不正确的是（
”
）
A．B 与A 不互斥且B 与A 相互独立
B．B 与C 不互斥且B 与C 相互独立
C．C 与A 互斥且C 与A 不相互独立
D．D 与A 不互斥且D 与A 相互独立
例2-2 一个箱子里有6 个大小颜色相同的小球，编号为
，从中有放回地抽取2 次（每次取1 个
球）.设事件
：第一次取出的球的号码大于
“
3”，事件
：两次取出的球的号码之和为偶数
“
”.
(1)求事件
的概率；
(2)判断事件
与事件
是否相互独立，并说明理由.
方法技巧
相互独立事件的判断
判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件
，
相互独立⇔
．
（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
（3）条件概率法：当
时，可用
判断．
【变式训练2-1】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事
件乙=“第一次点数为偶数，事件丙
”
=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数，则（
”
）
A．事件乙和事件丙互斥
B．事件丙和事件丁互为对立
C．事件甲与事件丙相互独立
D．事件乙与事件丁相互独立
【变式训练2-2】（多选）一个盒子里装有除颜色外完全相同的4 个小球，其中白色小球有2 个，编号为
1，2；红色小球有2 个，编号为3，4.现从该盒中不放回地依次取出2 个小球，事件A 表示第一次取出的
“
是白球，事件
”
B 表示第二次取出的是红球，事件
“
”
C 表示两次取出的球颜色相同，事件
“
”
D 表示两次取
“
出的球颜色不同，则（
”
）
A．A 与B 相互独立B．B 与C 相互独立
C．B 与D 相互独立
D．A 与D 相互独立
【变式训练2-3】某商场开展促销活动，每消费调500 元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3 个红球、2 个白
球、1 个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2 个球，若摸出2 个红球，可获
得一等奖；若摸出1 个红球和1 个蓝球，可获得二等奖.
(1)已知甲在该商场消费了500 元，求甲获得一等奖的概率；
(2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000 元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝
球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000 元，记乙至少获得一个一等奖为事件
“
”
，乙恰
“
好获得一个二等奖为事件
”
.判断事件
与
是否相互独立，并说明理由.
题型3 相互独立事件的概率
例3-1 如图，某电子元件由A，B，C 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测
试，A，B，C 三种部件不能正常工作的概率分别为
，
，
，各个部件是否正常工作相互独立．A，B 同
时正常工作或C 正常工作，则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2 某班举办联欢会，甲、乙两名同学组队参加成语猜猜猜比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成
“
”
语，已知甲每轮猜对的概率为
，乙每轮猜对的概率为
．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则
甲、乙二人在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为 ．
【变式训练3-1】已知随机事件
与
对立，
与
相互独立，若
，则
.
【变式训练3-2】天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两
地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为 .
【变式训练3-3】由甲、乙、丙组成星队参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，活动共进行
“
”
三轮，每人猜一次．已知甲猜对乙未猜对的概率为
，乙猜对丙未猜对的概率为
，丙和甲都猜对的概率
为
，在每轮活动中，三人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是 ．
题型4 全概率公式及其应用
例4-1
生物的性状是由遗传因子决定的．每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状
的为显性遗传因子，用大写字母（如D）来表示；决定隐性性状的为隐性遗传因子，用小写字母（如d）
来表示．如图，在孟德尔豌豆试验中，
的基因型为Dd，子二代
的基因型为DD，Dd，dd，且这三种
基因型的比为
.如果在子二代中任意选取2 颗豌豆进行杂交试验，则子三代（
）中高茎的概率为
．
例4-2 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有
的学生每天玩手机超过1h，这些人
近视率约为80%，其余学生的近视率约为50%，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是
.
方法技巧
全概率公式计算
全概率公式
在解题中体现了化整为零、各个击破的转化思想，可将较为复杂的概
“
”
率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．
【变式训练4-1】在一个名为奇幻冒险岛的游戏中，玩家可以选择战士、法师和猎人这三种不同的角色．
“
”
根据游戏设定，一名玩家选择战士、法师和猎人的概率分别为0.4，0.3，0.3，每种角色在进入游戏后，都
有可能触发神秘宝藏事件．已知战士、法师和猎人触发神秘宝藏事件的概率分别为
“
”
“
”
0.2，0.5，0.1，现
在随机选择一名玩家进入游戏，则该玩家触发神秘宝藏事件的概率为
“
”
．
【变式训练4-2】
设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且
，
，
，则
.
【变式训练4-3】在数字通信中，信号是由数字0 和1 组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0 或
1 有可能被错误地接收为1 或0．已知发送信号0 时，接收为0 和1 的概率分别为0.8 和0.2；发送信号1
时，接收为1 和0 的概率分别为0.9 和0.1．假设发送信号0 和1 是等可能的，则接收信号为1 的概率是
．
题型5 贝叶斯公式及其应用
例5-1 某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为
四个外观相同的空箱子中随机选择一
个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打
开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知
甲先选择了号箱子，则在主持人打开
号箱子的情况下，奖品在
号箱子的概率为 .
例5-2 某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一
人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲
每次投篮的命中率均为
，乙每次投篮的命中率均为
.由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是
甲、乙的概率各为
.已知在第2 次投篮的人是乙的情况下，第1 次投篮的人是甲的概率为 .
方法技巧
贝叶斯公式计算
贝叶斯概率公式反映了条件概率
，全概率公式
及乘法公式
之间的关系，即
．
【变式训练5-1】假设甲、乙、丙三个实验室分别制备了同一种化学试剂，它们制备的试剂依次占总数的
，
，
，已知甲实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.05，乙实验室制备的试剂的纯度不合格
率为0.15，丙实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.1，制备出来的试剂混放在一起，现从中任取一个试
剂，其纯度不合格，则该纯度不合格的试剂来自丙实验室的概率为 .
【变式训练5-2】科学健身倡导综合性训练，但一些健身爱好者由于盲目追求高强度运动且只进行某种单
一的运动方式，忽视热身和拉伸等导致运动损伤.大文在某健身房健身，已知他每天只进行一项运动，且每
天进行有氧运动、力量训练、平衡性训练的概率分别为0.3，0.5，0.2，他在有氧运动、力量训练、平衡性
训练中出现运动损伤的概率分别为0.3，0.4，0.7.则大文出现运动损伤的概率为 ；在大文已经
出现运动损伤的条件下，由于力量训练导致他运动损伤的概率为 .
【变式训练5-3】某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每
次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情
况如何，甲每次投篮的命中率均为
，乙每次投篮的命中率均为
.由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次
投篮的人是甲、乙的概率各为
.第2 次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第2 次投篮的人是乙的情况
下，第1 次投篮的人是甲的概率为 .
题型6 全概率公式与贝叶斯公式综合
例6-1
飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域之一，且其概率分别为0.3，0.2，0.4，0.1.现搜救部
门打算逐个搜索这四个区域.若飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域内，且被搜救部门发现的概率分别为
0.8，0.7，0.75，0.9.求：
(1)首先应该搜索哪个区域？
(2)若搜索该区域后，未发现飞机，则此时飞机落入四个区域的概率又是多少？
例6-2
春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了
流感，这三个地区分别有
的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为
，现从这三个
地区中任意选取一个人．
(1)求这个人患流感的概率；
(2)设
是一组两两互斥的事件，
，且
，对任意的事件
，证明：
；
(3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小．
方法技巧
全概率公式与贝叶斯公式区别
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如
果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已
知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式．
【变式训练6-1】假设未来的你是一个不算太差的一般人，crush 喜欢你的概率是25%；如果ta 喜欢你，第
一次能约出来的概率是70%；如果ta 不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%.
(1)如果第一次能约出来，ta 有多大可能喜欢你呢？
(2)如果第一次约会后crush 喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta 不喜欢你，则第二次能约出
来的概率为5%.如果crush 连着两次都能约出来，ta 有多大可能喜欢你呢？
【变式训练6-2】现有编号为
，
，
的三个口袋，其中
号袋内装有两个
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
1 号球，一个2 号球与一个3
号球；
号袋内装有两个
Ⅱ
1 号球与一个3 号球；
号袋内装有三个
Ⅲ
1 号球与两个2 号球.第一次先从
号袋
Ⅰ
内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，
(1)求第二次取1 号球的概率；
(2)若第二次取到1 号球，求它取自编号为
口袋的概率
Ⅰ
.
【变式训练6-3】已知某机械产品的一种重要零件由甲、乙两个厂家提供，根据以往的数据分析知，甲、
乙两个厂家提供的零件份额比为
，零件的优质品率分别为0.9 和0.8.
(1)从甲、乙两家提供的所有零件中任取一件，求该零件为非优质品的概率；
(2)若甲厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.5，乙厂提供的非优质品零件可修复为优质
品零件的概率为0.7，求任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率.
1．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B 相互独立，事件A 发生的概率为
，事件B 发生的概率
为
，则事件
发生的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．0
2．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有
3 种题库，
题库有5000 道题，
题库有
4000 道题，
题库有3000 道题．小申已完成所有题，已知小申完成
题库的正确率是0.92，
题库的正
确率是0.86，
题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
3．（2022·新高考全国
卷
Ⅱ
·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100 位某种疾病患者的年
龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间
的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为
，该地区年龄位于区间
的人口占该地区总人口的
.从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间
，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
1．掷两枚质地均匀的骰子，设
第一枚出现偶数点，
“
”
第二枚出现奇数点，则
“
”
与
的关系为
（ ）
A．互斥
B．互为对立
C．相互独立
D．相等
2．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件
第
“
1 枚正面朝上，事件
”
第
“
2 枚正面朝上，事件
”
“2
枚硬币朝上的面相同，
”
中哪两个相互独立？
3．在
、
、
三个地区爆发了流感，这三个地区分别有
、
、
的人患了流感假设这三个地区的
人口数的比为
，现从这三个地区中任意选取一个人.
（1）求这个人患流感的概率；
（2）如果此人患流感，求此人选自
地区的概率.
4．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为
、
、
，其中
为显性基因，
为隐性基因，且这三
种基因型的比为
.如果在子二代中任意选取
颗豌豆作为父本母本杂交，那么子三代中基因型为
的
概率是多大？
5．在数字通信中心信号是由数字0 和1 组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0 或1 有可能被错
误地接收为1 或0．已知发送信号0 时，接收为0 和1 的概率分别为0.9 和0.1；发送信号1 时，接收为1 和
0 的概率分别为0.95 和0.05．假设发送信号0 和1 是等可能的．
(1)分别求接收的信号为0 和1 的概率；
(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1 的概率．
