第01 讲 数列的基本知识与概念
目录
01 常考题型过关练
题型01 数列的周期性
题型02 数列的单调性
题型03 数列最大（小）项
题型04 数列中的规律问题
题型05 数列中的递推关系
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 数列的周期性
1．已知数列{an)满足an+1=1+anan+1，a1=2，则此数列前100项的和为（ ）
A．97
2
B．99
2
C．50
D．103
2
【答案】D
【详解】由an+1=1+anan+1，得an+1=
1
1−an
，
所以an+2=
1
1−an+1
=
1
1−
1
1−an
=1−1
an，
an+3=
1
1−an+2
=
1
1−(1−1
an)
=an，
故数列{an)是以3为周期的周期数列，
又a2=
1
1−a1
=−1，a3=
1
1−a2
= 1
2，且100=3×33+1，
则此数列前100项的和S100=(a1+a2+a3)×33+a1=(2−1+ 1
2)×33+2= 103
2 ．
故选：D.
2．已知数列{an}中，a1= 1
2，an+1=
1
1−an
，则a8=（ ）
A．−1
B．1
2
C．3
2
D．2
【答案】D
【详解】a2=
1
1−a1
=2，a3=−1,a4= 1
2 ,a5=2，数列{an}的周期为3，a8=a2=2，
故选：D.
3．在数列{an}中，a1=2，an+
1
an−1
=1（n≥2，n∈N
∗），则a2025=（ ）
A．−1
B．1
C．1
2
D．−1
2
【答案】A
【详解】因为a1=2，an+
1
an−1
=1（n≥2，n∈N
∗），
所以a2=1−1
a1
= 1
2，a3=1−1
a2
=−1，a4=1−1
a3
=2，⋯，
所以{an}是以3为周期的周期数列，则a2025=a3×674+3=a3=−1.
故选：A.
4．若数列{an)满足a1=a2=−2，an+2=|an+1−an)，则a2026−a2025= .
【答案】2
【详解】利用an+2=|an+1−an)，结合a1=a2=−2，依次迭代可得：
数列{an)的前n项依次为−2,−2,0，2，2，0，2，2，…，
且从第3 项起以3 为周期，所以a2026−a2025=a4−a3=2.
故答案为：2
5．设3
n（n∈N
*）的个位数为an，则a1+a2+⋅⋅⋅+a25= ．
【答案】123
【详解】因为3,3
2,3
3,3
4,3
5,3
6,3
7,3
8的个位数分别为3,9,7,1,3,9,7,1，
所以数列{an)是周期为4 的周期数列，
所以a1+a2+⋅⋅⋅+a25= (3+9+7+1)×6+3=123，
故答案为：123
02 数列的单调性
6．数列{an)的通项公式如下，则递增数列是（ ）
A．an=sin nπ
2
B．an=(
1
2)
n
C．an=2n−3
D．an=n
2−3n
【答案】C
【详解】A，an=sin nπ
2 可得，a1=1，a2=0，则 a1>a2，故数列{an)不是递增数列，故A 错误；
B，an=(
1
2)
n
可得，a1= 1
2，a2= 1
4 ，则 a1>a2，故数列{an)不是递增数列，故B 错误；
C，an=2n−3，则an+1−an=(2n−1)−(2n−3)=2>0，即an+1>an对任意n∈N
∗恒成立，故数列{an)是
递增数列，故C 正确；
D，an=n
2−3n，则a1=−2，a2=−2，则 a1=a2，故数列{an)不是递增数列，故D 错误.
故选：C
7．已知数列{
n+ λ
2
n )是单调递减数列，则λ的取值范围为（ ）
A．(0,+∞)
B．(1,+∞)
C．[1,+ ∞)
D．[0,+∞)
【答案】A
【详解】数列{
n+ λ
2
n )是单调递减数列，
故n+ λ
2
n > n+1+ λ
2
n+1
，即2n+2 λ>n+1+ λ , λ>1−n,
且n∈N
+，故λ>0.
故选：A
8．（多选）已知an={
3,n=1
2kn−k +1,n≥2)，若数列{an)不是递增数列，则下列数值中k的可能取值为（ ）
A．1
B．1
3
C．
❑√2
2
D．2
3
【答案】BD
【详解】若数列{an)是递增数列，则有an+1>an,(n≥1,n∈Z)，
而因为{an)不是递增数列，
所以k ≤0或¿，解得k ≤2
3，故BD 正确.
故选：BD
9．已知数列an=k n
2−3n−2为严格增数列，则实数k的取值范围为
【答案】(1,+∞)
【详解】根据题意，可得∀n∈N
∗,an+1>an，即k (n+1)
2−3(n+1)−2>k n
2−3n−2，
∴k >
3
2n+1，对∀n∈N
∗，
又数列{
3
2n+1)是单调递减数列，则
3
2n+1 ≤
3
2+1 =1，
∴k >1.
故答案为：(1,+∞).
10．已知数列{an)的通项公式是an=n
2−3n−28，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这
个数列是递增的．
【答案】图象见解析；从第二项开始递增．
【详解】列表如下：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
……
an
-30
-30
-28
-24
-18
-10
0
12
……
作图如下：
如图所示，易知数列首项与第二项相同，从第二项开始每一项都大于前一项，即从第二项开始递增．
03 数列的最大（小）项
11．已知数列{an)满足an+1=an+3n−16，则数列{an)的最小项是第（ ）项
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【详解】数列{an)中，由an+1=an+3n−16，得an+1−an=3n−16，由3n−16<0，得n≤5，
则当n≤5时，an+1<an；当n≥6时，an+1>an，
即a1>a2>a3>a4>a5>a6<a7<a8<⋯，
所以数列{an)的最小项是第6 项.
故选：B
12．已知数列{an)的通项公式为 an=(n−7
4)
2
，则{an)的最小项为（ ）
A．1
16
B．1
4
C．7
4
D．9
16
【答案】A
【详解】易知a1= 9
16 ,a2= 1
16 ，
当n≥2时，由二次函数性质可知函数y =(n−7
4)
2
单调递增，所以{an)的最小项为1
16.
故选：A
13．已知数列{an)的通项公式为an= n−2
2n−15，前n项的和为Sn，则Sn取到最小值时n的值是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【详解】an= n−2
2n−15 = 1
2 × 2n−4
2n−15 = 1
2 × (2n−15)+11
2n−15
= 1
2 +
11
2(2n−15)，
由an>0，得1
2 +
11
2(2n−15) >0，解得n<2或n> 15
2 ，
因为n∈N
∗，所以当n=1或n≥8时，an>0，当2≤n≤7时，an≤0，
所以当n=7时，Sn取得最小值.
故选：B
14．已知数列{an)的通项公式为an=n(
2
3)
n
，则数列{an)中的最大项为（ ）
A．8
9
B．2
3
C．64
81
D．125
243
【答案】A
【详解】an+1−an=(n+1)(
2
3)
n+1
−n(
2
3)
n
= 2−n
3
⋅(
2
3)
n
，
当n<2 时，an+1−an>0，即an+1>an；
当n＝2 时，an+1−an=0，即an+1=an；
当n>2 时，an+1−an<0，即an+1<an.
所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an ，
所以数列{an)中的最大项为a2 或a3 ，且a2=a3=2×(
2
3)= 8
9.
故选：A.
15．已知数列{an)的通项公式为an= n−2
2n−7 ，则{an)中的项最大为（ ）
A．1
5
B．0
C．−1
D．2
【答案】D
【详解】an= n−2
2n−7 = 1
2 +
3
4 n−14 ,a1= 1
5 ,a2=0,a3=−1,a4=2.
当n≥4时，函数y =
3
4 n−14 单调递减，
则当n≥4时，数列{an)单调递减，
所以{an)中的项最大为a4=2.
故选：D.
16．已知Sn为数列{an)的前n项和，2Sn=3n
2+n.
(1)求{an)的通项公式；
(2)若bn=(26−an)⋅2
n，求bn取得最大值时n的值.
【答案】(1)an=3n−1
(2)n=7或n=8
【详解】（1）当n=1时，2S1=3+1= 4，解得a1= S1=2；
当n≥2时，2an=2Sn−2Sn−1=3n
2+n−[3(n−1)
2+n−1)=6n−2，即an=3n−1.
因为a1=2也满足an=3n−1，所以an=3n−1.
（2）由（1）得bn=(27−3n)⋅2
n，所以bn+1−bn=[27−3(n+1)]⋅2
n+1−(27−3n)⋅2
n=(21−3n)⋅2
n
，
所以当n<7时，bn+1−bn>0，即bn+1>bn；
当n=7时，bn+1−bn=0，即b7=b8；
当n>7时，bn+1−bn<0，即bn+1<bn，
所以b1<b2<⋯<b7=b8>b9>b10>⋯，
故当n=7或n=8时，bn取得最大值.
17．已知数列{an)的通项公式是an=n(
2
3)
n
，n∈N +．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最
大项的序号；若没有，请说明理由．
【答案】有，为第2 项和第3 项，a2=a3= 8
9．
【详解】根据题意，令{
an−1≤an
an≥an+1)，
即{
(n−1)×(
2
3)
n−1
≤n(
2
3)
n
n(
2
3)
n
≥(n+1)×(
2
3)
n+1)
，解得2≤n≤3．
又n∈N +，则n=2或n=3．
故数列{an)有最大项，为第2 项和第3 项，且a2=a3=2×(
2
3)
2
= 8
9．
04 数列中的规律问题
18．已知数列1,−3,5,−7,9,⋯，则该数列的第99 项为（ ）
A．−197
B．197
C．−199
D．199
【答案】B
【详解】通过观察，该数列的通项公式为an=(−1)
n+1(2n−1)，
所以a99=(−1)
99+1(2×99−1)=197.
故选：B.
19．将正整数排成下表
则在表中数字2020 出现在（ ）
A．第44 行第85 列
B．第45 行第85 列
C．第44 行第84 列
D．第45 行第84 列
【答案】D
【详解】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n行的最后一个数为n
2．
因为44❑
2=1936，45❑
2=2025，所以2020出现在第45 行上，
又由2020−1936=84，故2020出现在第84 列.
故选：D
20．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此
又被称为“大自然的几何学”．按照如图1 所示的分形规律，可得如图2 所示的一个树形图．若记图2 中
第n行黑圈的个数为an，白圈的个数为bn，则下列结论错误的是（ ）
A．a4=8
B．b5=13
C．an+1=2an+bn
D．bn+1=2an−bn
【答案】D
【详解】已知an表示第n行中的黑圈个数，设bn表示第n行中的白圈个数，
则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2 个黑圈，
∴an+1=2an+bn，bn+1=an+bn，故C 正确，D 错误；
又∵a1=0，b1=1，
所以a2=1，b2=1，
a3=2×1+1=3，b3=1+1=2，
a4=2×3+2=8，b4=3+2=5，
a5=2×8+5=21，b5=8+5=13，故A、B 正确.
故选：D
21．将正偶数按如图所示的规律排列：
则4048 在第 行，从左向右该行的第 个数．
【答案】 45 88
【详解】4048 是第2024 个数，
由已知得前n行所有的个数为1+3+5+⋯+(2n−1)= n(1+2n−1)
2
=n
2，
44
2=1936,45
2=2025,44
2<2024<45
2，
2024−44×44 =88，
所以数字4048 在第45 行，第88 个数.
故答案为：45；88.
22．以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一
个数，则这个数为 ．
【答案】2019×2
2016
【详解】观察每一行第一个数的规律：
第一行的第一个数为1=2×2
−1，
第二行的第一个数为3=3×2
0，
第三行的第一个数为8= 4×2
1，
第四行的第一个数为20=5×2
2，…，
第n 行的第一个数为an=(n+1)×2
n−2，
表中一共2018 行，
∴第2018 行的第一个数即a2018=2019×2
2016．
故答案为：2019×2
2016.
23．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式以及第5项的图形和点数.
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）设第n项的点数为an(n∈N
∗)，
∵a1=1，a2=1+5，a3=1+2×5，a4=1+3×5，
该数列的第5项为a5=1+ 4×5=21，
数列{an)的一个通项公式为an=1+5(n−1)=5n−4，
第5项的图形如下图所示：
（2）设第n项的点数为bn(n∈N
*)，
∵b1=1，b2=1+3，b3=1+2×3，b4=1+3×3，
该数列的第5项为b5=1+ 4×3=13，
数列{bn)的一个通项公式为bn=1+3(n−1)=3n−2，
第5项的图形如下图所示：
（3）设第n项的点数为cn(n∈N
*)，
∵c1=1×3，c2=2×4，c3=3×5，c4= 4×6，
该数列的第5项为c5=5×7 =35，
数列{cn)的一个通项公式为cn=n(n+2)，
第5项的图形如下图所示：
05 递推数列问题
1．已知数列{an)中，a1=2，an+1=an+n (n∈N
∗)，则a4的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【详解】由题，a4=a3+3=a2+2+3=a1+1+2+3=2+1+2+3=8，
故选：C.
2．对于数列{an)，若an+1=
an+1
−5an+3，且a1=1，则a2026=（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．1
3
【答案】B
【详解】因an+1=
an+1
−5an+3 =−1
5
an−3
5 + 8
5
an−3
5
=−1
5 −
8
25an−15，a1=1，
则a2=−1
5 −
8
25−15 =−1，a3=−1
5 −
8
−25−15 =0，a4=−1
5 −
8
0−15 = 1
3，
a5=−1
5 −
8
25× 1
3 −15
=1
，a6=−1
5 −
8
25−15 =−1，……，
所以以此类推，对∀n∈N
∗,an+ 4=an,即数列{an)是周期为4 的数列，
故a2026=a4×506+2=a2=−1.
故选：B.
3．数列{an}满足a1= ❑√2，an+1=
2
2−an
(n=1,2,3,...)，则a1+a2+a3+...+a2024+a2025=（ ）
A．2024
B．2025
C．2024 + ❑√2
D．2024−❑√2
【答案】C
【详解】因为a1= ❑√2，an+1=
2
2−an
(n=1,2,3,...)，
所以a2=
2
2−a1
=2+ ❑√2，a3=
2
2−a2
=−❑√2，a4=
2
2−a3
=2−❑√2，a5=
2
2−a4
= ❑√2=a1，
a6=
2
2−a5
=2+ ❑√2，……
则该数列的周期为4，
所以
a1+a2+a3+...+a2024+a2025=506(a1+a2+a3+a4)+a1=506×(❑√2+2+ ❑√2−❑√2+2−❑√2)+ ❑√2=2024 + ❑√2
.
故选：C.
4．数列{an)中，若a1=2,an+1=
n
n+1 an，则数列{an)的通项公式为 ．
【答案】an= 2
n
【详解】因为an+1=
n
n+1 an，所以(n+1)an+1=nan，
所以数列{nan)为常数列，且nan=1×a1=2，
所以an= 2
n.
故答案为:an= 2
n.
5．已知数列{an)的前n 项积为T n，a1=2且an+1=1−1
an
，则T 2025= ．
【答案】−1
【详解】因为an+1=1−1
an
，a1=2，
则a2=1−1
a1
= 1
2 ,a3=1−1
a2
=−1,a4=1−1
a3
=2,⋯，
可知数列{an)是周期为3 的数列，a1a2a3=2× 1
2 ×(−1)=−1，
且2025=3×675，所以T 2025=(−1)
675=−1．
故答案为：−1.
6．若数列{an}满足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an (n∈N
∗)，则称数列{an}为斐波那契数列，又称黄金
分割数列，则数列的{an}的前2025项中偶数的个数为 ．
【答案】675
【详解】由两奇数的和为偶数，一奇数与一偶数的和偶数，
结合a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，可知数列第3,6,9,⋯项为偶数，即每3 项有1 项为偶数，
又2025=675×3，所以数列的{an}的前2025项中偶数的个数为675.
故答案为：675.
1．（2025·四川乐山·三模）已知数列{an)的通项公式为an=3n+(−1)
n，则下列不是数列{an)的项的是
（ ）
A．2
B．13
C．39
D．49
【答案】C
【详解】对于A，令n=1，a1=3−1=2，故A 错误；
对于B，令n= 4，a1=12+1=13，故B 错误；
对于C，当n为偶数，令an=3n+(−1)
n=3n+1=39，解得：n= 38
3 ∉N*，
当n为奇数，令an=3n+(−1)
n=3n−1=39，解得：n= 40
3 ∉N*，
故39 不是数列{an)的项，故C 正确；
对于D，令n=16，a16=16×3+1= 49，故D 错误.
故选：C.
2．（2025·山东潍坊·二模）已知数列{an)满足an+1={
an
2 ,an 为偶数
3an+1,an 为奇数)
，若a1=1，则a5=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】因为数列{an)满足an+1={
an
2 ,an 为偶数
3an+1,an 为奇数)
，且a1=1，
所以a2=3a1+1=3+1= 4，a3= a2
2 = 4
2 =2，a4= a3
2 = 2
2 =1，a5=3a4+1=3+1= 4.
故选：D.
3．（2025·安徽马鞍山·一模）已知数列{an)的通项公式为an= n−3
2n−17 ，前n 项和为Sn，则Sn取得最小时n
的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【详解】令an= n−3
2n−17 ≥0，解得：n≤3或n> 17
2 ，
当n≤3时，an≥0，故当n=1,2时，Sn递增，且S3= S2
当4≤n≤8时，an<0，故当n= 4,5,6,7,8时，Sn递减；
当n≥9时，an>0，Sn递增.
且a1= 2
15，a2= 1
13，a3=0，a4=−1
9，⋅⋅⋅，a8=−5，
故S8<S1，所以Sn取得最小时n 的值为8.
故选：C
4．
（多选）（2025·云南·模拟预测）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是
偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数
学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数m=6，根据上述运算法则得出
6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8 个步骤变成1（简称为8 步“雹程”）.现给出“冰雹猜
想”的递推关系如下：已知数列{an)满足：a1=m（m为正整数），an+1={
an
2 ,an 为偶数,
3an+1,an 为奇数.
(n∈N
*))
.
记数列{an)的前n项和为Sn，若a6=1，则（ ）
A．m=5或32
B．a2025=1
C．当m最小时的“雹程”是2 步
D．S2025= 4774或4747
【答案】BC
【详解】对于A，因为a6=1，所以a1=32,a2=16,a3=8,a4= 4 ,a5=2,a6=1；
或a1=5,a2=16,a3=8,a4= 4 ,a5=2,a6=1；或a1= 4 ,a2=2,a3=1，
a4= 4 ,a5=2,a6=1，即m=32或5 或4，故A 错误；
对于B，因为a6=1，所以从a4= 4开始，周期为3，又(2025−3)÷3=674，
所以a2025=1，故B 正确；
对于C，由A 选项得m的最小值为4，故雹程是2 步，故C 正确；
对于D，当a1=32时，S2025=32+16+8+(4 +2+1)×674 = 4774；
当a1=5时，S2025=5+16+8+(4 +2+1)×674 = 4747；
当a1= 4时，S2025=(4 +2+1)×675= 4725，故D 错误.
故选：BC.
5．
（多选）（2025·陕西宝鸡·二模）近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学
得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别
推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630 名高三学生开展
了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序
排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改
变，那么下面说法正确的有（ ）
A．站在第20 拐角的学生是111 号
B．站在第23 拐角的学生是137 号
C．第133 号同学站在拐角位置
D．站在拐角位置的同学共有79 名
【答案】ACD
【详解】观察给出的前几个拐角位置对应的编号：2，3，5，7，10，13，17，21，26…
将奇数项的拐角即为a2n−1，易得：a2n−1=n
2+1;
偶数序号的拐角即为a2n，由规律可得：a2n=n
2+n+1
第20 拐角的学生编号为：a20=10
2+10+1=111正确；
站在第23 拐角的学生编号为：a23=12
2+1=145错误；
由n
2+n+1=133，解得n=11，也即第133 号同学站在第22 拐角位置；
由n
2+1≤1630，可得n≤40，
由n
2+n+1≤1630，可得n≤39，
所以拐角总序号可到第79 个，所以站在拐角位置的同学共有79 名，正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：由前几个拐角编号，找到规律；
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）任取一个大于1 的正整数m，若m是奇数，就将m乘以3 再加上1；若m是
偶数，就将m除以2．将所得之数反复进行上述两种运算，则经过k个步骤后，必将m变成1，然后进入循
环圈4→2→1，简称m为k步“雹程”，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．例
如取m=10，根据上述运算规则，先后得出的数为5→16→8→4→2→1，从而m=10为6 步“雹
程”．
（1）m=6为 步“雹程”；
（2）若m为7 步“雹程”，则m的最大值为 ．
【答案】 8 128
【详解】（1）当m=6时，先后得出的数为3→10→5→16→8→4→2→1，
则m=6为8 步“雹程”．
（2）当an−1为奇数时，an= 3an−1+1，当an−1为偶数时，an= an−1
2 ，m,n∈N
*,m≥2
因为m为7 步“雱程”，
则a7=1，从而a6=2,a5= 4 ,a4=8,a3=16．
若a2为奇数，由a3=3a2+1=16，得a2=5；
若a2为偶数，则a2=2a3=32．
当a2=5时，因为a2−1= 4不是3 的倍数，则a1为偶数，所以a1=2a2=10，
从而a0=20或3．
当a2=32时，因为a2−1=31不是3 的倍数，则a1为偶数，所以a1=2a2=64，
从而a0=128或21．
综上分析，m∈{3,20,21,128)，所以m的最大值为128．
故答案为：8；128.
1．（2022·浙江·高考真题）已知数列{an)满足a1=1,an+1=an−1
3 an
2(n∈N
∗)，则（ ）
A．2<100a100< 5
2B．5
2 <100a100<3
C．3<100a100< 7
2
D．7
2 <100a100<4
【答案】B
【详解】∵a1=1，易得a2= 2
3 ∈(0,1)，依次类推可得an∈(0,1)
由题意，an+1=an(1−1
3 an)，即
1
an+1
=
3
an(3−an)
= 1
an
+
1
3−an，
∴1
an+1
−1
an
=
1
3−an
> 1
3，
即1
a2
−1
a1
> 1
3，1
a3
−1
a2
> 1
3，1
a4
−1
a3
> 1
3，…，1
an
−1
an−1
> 1
3 ,(n≥2)，
累加可得1
an
−1> 1
3
(n−1)，即1
an
> 1
3 (n+2),(n≥2)，
∴an<
3
n+2 ,(n≥2)，即a100< 1
34 ，100a100< 100
34 <3,
又
1
an+1
−1
an
=
1
3−an
<
1
3−
3
n+2
= 1
3(1+
1
n+1),(n≥2)，
∴1
a2
−1
a1
= 1
3(1+ 1
2)，1
a3
−1
a2
< 1
3(1+ 1
3)，1
a4
−1
a3
< 1
3(1+ 1
4)，…，1
an
−1
an−1
< 1
3(1+ 1
n),(n≥3)，
累加可得1
an
−1< 1
3
(n−1)+ 1
3(
1
2 + 1
3 +⋯+ 1
n),(n≥3)，
∴1
a100
−1<33+ 1
3(
1
2 + 1
3 +⋯+ 1
100)<33+ 1
3(
1
2 ×4+ 1
6 ×96)<39，
即1
a100
<40，∴a100
❑> 1
40，即100a100
❑> 5
2；
综上：5
2 <100a100<3．
故选：B．
2．（2022·全国乙卷·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环
绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn)：b1=1+ 1
α1
，
b2=1+
1
α1+ 1
α2
，
b3=1+
1
α1+
1
α2+ 1
α3
，…，依此类推，其中αk∈N
∗(k =1,2,⋯)．则（ ）
A．b1<b5
B．b3<b8
C．b6<b2
D．b4<b7
【答案】D
【详解】[方法一]:常规解法
因为αk∈N
∗(k =1,2,⋯)，
所以α1<α1+ 1
α2
，
1
α1
>
1
α1+ 1
α2
，得到b1>b2，
同理α1+ 1
α2
>α1+
1
α2+ 1
α3
，可得b2<b3，b1>b3
又因为
1
α2
>
1
α2+
1
α3+ 1
α 4
,
α1+
1
α2+ 1
α3
<α1+
1
α2+
1
α3+ 1
α 4
，
故b2<b4，b3>b4；
以此类推，可得b1>b3>b5>b7>…，b7>b8，故A 错误；
b3>b7>b8，故B 错误；
1
α2
>
1
α2+
1
α3+… 1
α6
，得b2<b6，故C 错误；
α1+
1
α2+
1
α3+ 1
α 4
>α1+
1
α2+…
1
α6+ 1
α7
，得b4<b7，故D 正确.
[方法二]：特值法
不妨设an=1,则b1=2,b2=3
2 ，b3=5
3 ,b4=8
5 ，b5=13
8
,b6=21
13 ，b7=34
21 ,b8=55
34 ，
b4<b7故D 正确.
3．（2025·江苏苏州·三模）已知数列{an)满足a1=1, an+1
an
=1−1
2 an，则（ ）
A．an+1>an
B．an> 1
2
C．1013a2025<1
D．2025a2025<1
【答案】C
【详解】对于A，由
an+1
an
=1−1
2 an，得an≠0，an−an+1= 1
2 an
2>0，则an>an+1，A 错误；
对于B，由a1=1，得a2= 1
2，当n≥3时，an< 1
2，B 错误；
对于CD，由
an+1
an
=1−1
2 an，得
an
an+1
=
2
2−an
，则1
an+1
= (2−an)+an
an(2−an) = 1
an
+
1
2−an
，
即1
an+1
−1
an
=
1
2−an
，则当n≥2时，1
an
= 1
a1
+
1
2−a1
+
1
2−a2
+⋯+
1
2−an−1
>1+ n−1
2
= n+1
2
，
1
a1
=1，因此1
an
≥n+1
2
，an≤
2
n+1，1013a2025< 1013×2
2026
=1，
2025a2025< 2025×2
2026
，而2025×2
2026
>1，D 正确，D 错误.
故选：C
4．（2025·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记载：“勾股各自乘，并而开方除之（得
弦）．”意即“勾”a、“股”b与“弦”c之间的关系为a
2+b
2=c
2（其中a≤b）．当a,b,c∈N
∗时，有
如下勾股弦数组序列：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)，(9,40,41),⋯，则在这个序列中，第10 个勾股弦
数组中的“弦”等于（ ）
A．145
B．181
C．221
D．265
【答案】C
【详解】因为a
2+b
2=c
2，所以a
2=c
2−b
2=(c +b)(c−b)．
在给定的勾股弦数组序列中，c−b=1，所以a
2=c +b．
易得勾股弦数组序列中“勾”的通项公式为an=2n+1(n∈N
∗)，
所以an
2=(2n+1)
2= 4 n
2+ 4 n+1=(2n
2+2n)+(2n
2+)2n+1),n∈N
*，
故“弦”的通项公式为cn=2n
2+2n+1 (n∈N
*)．
所以第10 个勾股弦数组中的“弦”等于2×10
2+2×10+1=221．
故选：C．
5．（多选）（2025·山西·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该
数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名
的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如取正整数m=6，根据上述运算法则得出
6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8 个步骤变成1（简称为8 步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推
关系如下：已知数列{an)满足：a1=m（m为正整数），an+1={
an
2 ,当an 为偶数时,
3an+1,当an 为奇数时,)
记数列{an)的前
n项和为Sn．则（ ）
A．当a5=1时，m的值为16
B．当m=13时，a10=1
C．当m=13时，是10 步“雹程”
D．当m=13时，S2025= 4822
【答案】BD
【详解】对于A 选项进行逆推：a5=1→a4=2→a3= 4→a2=8或1→a1=16或2，故A 错误；
对于BC 选项，当m=13时，即
a1=13→a2= 40→a3=20→a4=10→a5=5→a6=16→a7=8→a8= 4→a9=2→a10=1，
共需经过9 个步骤变成1，故B 正确，C 错误；
对于D 选项，当m=13时，a10=1，a11= 4，a12=2，以后进入循环，
因此S2025= S9+ 2025−9
3
×7= 4822，故D 正确．
故选：BD
