第01 讲 数列的基本知识与概念
目录
0
1 考情解码・命题预警........................................................................................................................................... 1
02 体系构建·思维可视............................................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚............................................................................................................................................4
知能解码..............................................................................................................................................................4
知识点1 数列的有关概念 ..................................................................................................................4
知识点2 数列的表示方法 ..................................................................................................................4
知识点3 数列的分类 ........................................................................................................................... 5
知识点4
与
的关系 .................................................................................................................. 6
题型破译..............................................................................................................................................................6
题型1 数列的周期性.............................................................................................................................6
【方法技巧】列举项判断周期
题型2 数列单调性
..........................................................................................................................8
【方法技巧】判断数列单调性方法
题型3 数列最大最小项
.............................................................................................................. 10
【方法技巧】判断数列最大（小）项方法
题型4 数列中的规律问题.................................................................................................................12
题型5 递推数列问题
...................................................................................................................14
04 真题溯源·考向感知.........................................................................................................................................15
05 课本典例·高考素材.........................................................................................................................................18
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）数列的概念
（2）数列的分类
（3）数列的性质
单选题
多选题
填空题
解答题
/
/
北京卷T10（4 分）
考情分析：
高考对数列概念的考查相对较少，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是数列与函数结合考查单
调性、周期性、最值性.
复习目标：
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
（2）了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
知识点1 数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列
的第
项
通项公式
如果数列
的第
项
与序号
之间的关系能用公式
表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n 项和
数列
中，
叫做数列的前
项和
自主检测已知数列{an)中，a1=1
3，an+1=1−1
an
，则a5=（ ）
A．−2
B．1
3
C．3
2
D．2
【答案】A
【详解】因为a1=1
3，an+1=1−1
an
，
所以a2=1−1
a1
=−2，a3=1−1
a2
=3
2，a4=1−1
a3
=1
3，a5=1−1
a4
=−2.
故选：A
知识点2 数列的表示方法
（1）列表法
列出表格来表示序号与项的关系．
（2）图象法
数列的图象是一系列孤立的点
．
（3）公式法
①通项公式法：把数列的通项用公式表示的方法，如
．
②递推公式法：使用初始值
和
或
，
和
来表示数列的方法．
自主检测1．数列1,−1,1,−1,⋯(n∈N
*)的一个通项公式为（ ）
A．(−1)
n+2
B．c os(n−1)π
C．1−(−1)
n
2
D．sin[(2n+1)π
2 )
【答案】B
【详解】由题意可知题干数列是1,−1交替出现，故其通项公式可以写成(−1)
n+1或利用三角函数来写，
对于A，(−1)
n+2的第一项为−1，不符合题意，故A 错误；
对于B，(n−1)π即为0,π ,2π ,⋯，对应的余弦值为1,−1,1,−1,⋯，符合题意，故B 正确；
对于C，1−(−1)
n
2
的前两项依次为1,0，不符合题意，故C 错误；
对于D，sin[(2n+1) π
2)的第一项为−1，不符合题意，故D 错误；
故选：B.
知识点3 数列的分类
自主检测（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）．
A．1，1
2，1
3，1
4 ，
，
…
1
n，…
B．−1，−1
2，−1
4 ，−1
8，
，
…
−1
2
n−1，…
C．sinπ
7 ，sin 2π
7 ，sin 3π
7 ，
，
…
sin nπ
7 ，…
D．1，❑√2，❑√3，
，
…
❑√n，…
【答案】BD
【详解】对于A，1，1
2，1
3，1
4 ，
，
…
1
n，
为递减数列，故
…
A 错误；
对于B，−1，−1
2，−1
4 ，−1
8，
，
…
−1
2
n−1，
为递增数列，且是无穷数列，故
…
B 正确；
对于C，sinπ
7 ，sin 2π
7 ，sin 3π
7 ，
，
…
sin nπ
7 ，
中
…
sin 6π
7 >sin 8π
7 ，故不是递增数列，故C 错
误；
对于D，1，❑√2，❑√3，
，
…
❑√n，
既是无穷数列又是递增数列的，故
…
D 正确.
故选：BD.
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间
的大小关
系
递增数列
其中
递减数列
常数列
知识点4
与
的关系
若数列
的前
项和为
，则
．
自主检测已知数列{an)的前n 项和为Sn，且3 Sn=2an+1，则a2=（ ）
A．1
B．2
C．−1
D．−2
【答案】D
【详解】当n=1时，3 S1=2a1+1，又S1=a1，则a1=1．
当n=2时，3 S2=2a2+1，又S2=a1+a2，所以3(a2+a1)=2a2+1，
解得：a2=−2．
故选：D
题型1 数列的周期性
例1-1 已知数列{an)满足an+1=2−an
1−an
−1，且a1=−1，则a2025=（ ）
A．2
B．1
2
C．−1
D．1
【答案】A
【详解】由题可得a2=1
2 ,a3=2,a4=−1,⋯，
猜测{an)是周期为3 的数列，下证周期为3.
因为an+1=2−an
1−an
−1= 1
1−an
，故an+3=
1
1−
1
1−an+1
=1−an+1
−an+1
=
1−
1
1−an
−
1
1−an
=an,
故{an)是周期数列且周期为3.
故a2025=a675×3=a3=2.
故选：A.
例1-2 若数列{an)满足an+1={
2an,0≤an≤1
2
2an−1, 1
2 <an<1)
，a1=3
5，则a10=（ ）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
【答案】A
【详解】数列{an)满足an+1={
2an,0≤an≤1
2
2an−1, 1
2 <an<1)
，a1=3
5，
则a2=2a1−1=1
5，a3=2a2=2
5，a4=2a3=4
5 ，a5=2a4−1=3
5 =a1，
因此继续下去会循环，数列{an)是周期为4 的周期数列，
所以a10=a2+2×4=a2=1
5.
故选：A．
方法
技巧
列
项
周期
举
判断
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
【变式训练1-1】已知Sn为数列{an)的前n 项和，且a1=2，an+1= 1
1−an
，则S2024的值为（ ）
A．1009
B．1010
C．1011
D．1012
【答案】D
【详解】由题意可得，a2= 1
1−a1
= 1
1−2 =−1，a3= 1
1−a2
= 1
1+1 =1
2，a4= 1
1−a3
= 1
1−1
2
=2
，
则数列{an)是以3为一个周期的周期数列，且a1+a2+a3=2−1+1
2 =3
2，
因2024 =674×3+2，
所以S2024=674(a1+a2+a3)+a1+a2=674× 3
2 +2−1=1012.
故选：D
【变式训练1-2】数列{an)满足a1=m(m≠0,m≠1)，an+1= 1
1−an
，则a16=（ ）
A．1
B．
1
1−m
C．m
D．1−1
m
【答案】C
【详解】由数列{an)满足a1=m(m≠0,m≠1)，且an+1= 1
1−an
，
可得a2= 1
1−a1
= 1
1−m，a3= 1
1−a2
=m−1
m
，a4= 1
1−a3
=m，
a5=
1
1−a4
= 1
1−m，⋯⋯，
所以数列{an)是以3 项为周期的周期数列，则a16=a3×5+1=a1=m.
故选：C.
【变式训练1-3】数列{an)满足a1=2,an+1=−an，则S2025=（ ）
A．4046
B．−4046
C．2
D．−2
【答案】C
【详解】因为a1=2,an+1=−an，
所以a2=−a1=−2,a3=−a2=2,a4=−a3=−2,⋯，
所以an+2=an，
所以{an)是周期为2 的周期数列，
所以S2025=a1+a2+⋯+a2025=2+(−2)+2+(−2)+⋯+2=2．
故选：C．
题型2 数列单调性
例2-1 已知函数f ( x)={
(3−a)x−4 , x ≤8
a
x−7, x>8
)若数列{an)满足an=f (n)(n∈N
∗)且{an)是递增数列，则实数
a 的取值范围是（ ）
A．( 20
9 ,3)
B．[ 20
9 ,3)
C．(2,3)
D．[2,3)
【答案】C
【详解】函数f ( x)={
(3−a)x−4 , x ≤8
a
x−7, x>8
)，由数列{f (n)}是递增数列，
得{
3−a>0
a>1
f (9)>f (8))，则{
1<a<3
a
2>20−8a)，解得2<a<3，
所以实数a 的取值范围是(2,3).
故选：C
例2-2（2025·河北张家口·二模）已知数列{an}不是递增数列，且an={
3,n=1
2kn−k +1,n≥2)，则k 的取值范
围为 .
【答案】(−∞, 2
3 ]
【详解】因为{an)不是递增数列，
所以k ≤0或{
k >0
3≥2k ⋅2−k +1)，解得k ≤2
3.
所以k的取值范围为(−∞, 2
3).
故答案为：(−∞, 2
3).
方法
技巧
数列单调性方法
判断
解决数列的单调性问题的3 种方法
作差比较法
根据
的符号判断数列
是递增数列、递减数列或是常数列
作商比较法
根据
与1 的大小关系进行判断
数形结合法
结合相应函数的图象直观判断
【变式训练2-1】（2025·天津·二模）已知{an)是一个无穷数列，“a2>a1 是
”
“{an)为递增数列的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即an+1>an(n∈N
∗).
若{an)是摆动数列，可能有a2>a1，但是{an)不是递增数列，则仅a2>a1不能推出{an)为递增数列，但{an)为
递增数列可以推出a2>a1.
所以“a2>a1 是
”
“{an)为递增数列的必要不充分条件
”
.
故选：B.
【变式训练2-2】在数列{an)中，已知an=n
2+λn(n∈N
*)，则“a1<a2 是
”
“{an)是单调递增数列的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】因为an=n
2+λn(n∈N
∗)，a1<a2，所以1
2+λ<2
2+2 λ，解得λ>−3，
若{an}是单调递增数列，则对任意n∈N
∗都有：
an+1−an=(n+1)
2+λ(n+1)−n
2−λn=1+2n+λ>0,
所以λ>−1−2n对任意n∈N
∗都成立，又(−1−2n)max =−3,
所以a1<a2是数列{an}是单调递增数列的充要条件.
故选：C.
【变式训练2-3·变载体】（2025·贵州黔南·三模）数列{cn)满足cn={
a
n−1,n>2,
(3−a)n+2,n≤2
(n∈N
*))，若数
列{cn)单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．[2,3)
B．(1,3)
C．(1,2)
D．(2,3)
【答案】D
【详解】因为cn={
a
n−1,n>2,
(3−a)n+2,n≤2
(n∈N
*))单调递增，所以{
a>1
3−a>0
a
2>(3−a)×2+2)
，解得2<a<3，
即实数a的取值范围为(2,3).
故选：D
题型3 数列最大最小项
例3-1 若数列{an)的通项公式为an=n−❑√2025
n−❑√2026 ，则该数列中的最大项是（ ）
A．a1
B．a44
C．a45
D．a46
【答案】D
【详解】因为an=n−❑√2025
n−❑√2026 =n−❑√2026+❑√2026−❑√2025
n−❑√2026
=1+
❑√2026−❑√2025
n−❑√2026
所以当n<❑√2026，即n≤45时，
❑√2026−❑√2025
n−❑√2026
<0，所以an<1.
当n>❑√2026，即n≥46时，
❑√2026−❑√2025
n−❑√2026
>0，所以an>1.
且n≥46时，易知数列{1+
❑√2024−❑√2023
n−❑√2024 )为递减数列，
所以该数列的最大项是a46.
故选：D
例3-2 数列{(n+3)(
8
9)
n
)的最大项为第k项，则k = .
【答案】5 或6.
【详解】
数列
∵
{(n+3)(
8
9)
n
)的最大项为第k项，
∴{
(k +3)(
8
9)
k
≥(k +2)(
8
9)
k −1
(k +3)(
8
9)
k
≥(k +4)(
8
9)
k +1)
，即k +2
k +3 ≤8
9 ≤k +3
k +4 ，即5≤k ≤6，
由于k是正整数，所以k =5或6.
故答案为：5 或6.
方法
技巧
数列最大
小
项方法
判断
（
）
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）将数列视为函数
当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，
或利用求函数最值的方法，求出
的最值，进而求出数列的最大（小）项．
（2 ）通过通项公式
研究数列的单调性，利用
确定最大项，利用
确定最小项．
（3）比较法：若有
或
时
，则
，则数列
是递增
数列，所以数列
的最小项为
；若有
或
时
，则
，则数列
是递减数列，所以数列
的最大项为
．
【变式训练3-1】已知数列{an)的通项公式为an= 2n−2
2n−15，则an取到最小值时n的值是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【详解】an= 2n−2
2n−15 =2n−15+13
2n−15
=1+
13
2n−15，
当n>7 ,n∈N
∗时，2n−15>0，an=1+
13
2n−15单调递减，
此时，an=1+
13
2n−15 >1；
当n≤7,n∈N
∗时，2n−15<0，an=1+
13
2n−15单调递减，
此时，an=1+
13
2n−15 ≥a7=1+ 13
−1 =−12，
所以an取到最小值时n的值是7.
故选：B.
【变式训练3-2】已知数列{bn)的通项公式为bn= (
3
2)
n
(n+1)
2
，则当bn取得最小值时，n=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【详解】由bn= (
3
2)
n
(n+1)
2 >0，则
bn+1
bn
=3(n
2+2n+1)
2(n
2+4 n+4)
，
令
bn+1
bn
>1，则n
2−2n−5>0，由n∈N+，解得n≥4，
所以当n≤3时，
bn+1
bn
<1，当n≥4时，
bn+1
bn
>1，
即当n≤3时，数列{bn)单调递减，当n≥4时，数列{bn)单调递增，
又b3= 27
128，b4= 81
400，所以b4<b3，即b4为数列{bn)的最小值，
故当bn取得最小值时，n=4.
故选：B
【变式训练3-3】数列{bn)满足bn=3n−7
2
n−1 ，则当n= 时，bn取最大值为 ．
【答案】 4 5
8/0.625
【详解】解法一：当n≥2且n∈N
∗时，bn−bn−1=3n−7
2
n−1 −3n−10
2
n−2
=13−3n
2
n−2
，
当n≤4时，bn>bn−1，此时，{bn)单调递增，
当n≥5时，bn<bn−1，此时，{bn)单调递减，
故当n=4时，bn取最大值(bn)max=b4=5
8；
解法二：当n≥2且n∈N
∗时，由{
bn≥bn+1
bn≥bn−1)，即{
3n−7
2
n−1 ≥3n−4
2
n
3n−7
2
n−1 ≥3n−10
2
n−2 )
，解得10
3 ≤n≤13
3 ，
又n∈N
*，故n=4，故当n=4时，bn取最大值(bn)max=b4=5
8.
故答案为：4；5
8.
题型4 数列中的规律问题
例4-1 数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数
列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，
4，5 为等差数列，则称数列2，4，7，11，16 为二阶等差数列．现有二阶等差数列{an)，其中前几项分别
为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列{bn)，则b6=（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【详解】方法一：根据题意知，数列2,5,9,14,20,27,⋅⋅⋅，满足bn−1=an−an−1=n+1(n≥2)，
所以b6=a7−a6=8．
方法二：新数列{bn)为3,4,5,6,7,8,⋅⋅⋅，故b6=8．
故选：D．
例4-2 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状
把数分成许多类，如图中第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,4,9,16称为正方形数.则根据以上规
律，可推导出五边形数所构成的数列的第5 项为（ ）
A．22
B．26
C．35
D．51
【答案】C
【详解】解：如图，
1,5,12,22称为五边形数，
从第二项起，后项与前项的差依次为4,7,10,13，
所以五边形数的第5 项为22+13=35，
故选：C.
【变式训练4-1】如图是用
摆放而成的图案，其中第
个图中有
◆
①
2 个
，第
个图中有
◆
②
5个
，第
个图
◆
③
中有10 个
，第
个图中有
◆
④
17个
，
按此规律排列下去，则第
个图案中
的个数为（
◆
……
⑦
◆
）
A．35
B．48
C．50
D．64
【答案】C
【详解】设第n个图中有an个
，
◆
由题有a1=2，a2=5=a1+3，a3=10=a2+5，a4=17=a3+7，
按此规律有an=an−1+2n−1(n≥2,n∈N
∗)，所以a5=a4+9=26，a6=a5+11=37，a7=a6+13=50，
故选：C.
【变式训练4-2】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子
所排列的形状把数分成许多类.如图，第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,5,12,22称为五边形数，
则三角形数的第20 项为 ，五边形数的第24 项为 .
【答案】 210 852
【详解】三角形数的第1 项为1，第2 项为3=1+2，第3 项为6=1+2+3，
第4 项为10=1+2+3+4，⋯⋯
因此第20 项为1+2+3+⋯+20=(1+20)×20
2
=210.
五边形数的第1 项为1，第2 项为5=1+4 =1+1+3=1×2+3×(0+1)，
第3 项为12=1+4 +7 =1+1+3+1+3+3=1×3+3×(0+1+2)，
第4 项为22=1+4 +7+10=1+1+3+1+3+3+1+3+3+3=1×4+3×(0+1+2+3)，
⋯⋯
因此第24 项为1×24 +3×(0+1+2+⋯+23)=1×24 + 24×23
2
×3=852.
故答案为：210；852.
【变式训练4-3】已知an=2n−1(n∈N
∗)，把数列{an)的各项排成如右图所示的三角数阵，记S (m,n)表
示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S (10,6)对应数阵中的数是 .
【答案】101
【详解】由题意可得：每个数均为正奇数，且第m行有m个数，
则到第m行最后一个数共有1+2+⋅⋅⋅+m=m(m+1)
2
个，
则S(10,6)是第9×(9+1)
2
+6=51个奇数，所以S (10,6)=2×51−1=101.
故答案为：101.
题型5 递推数列问题
例5-1 已知数列{an)满足a1=2，an+1=3an−n，则a3=（ ）
A．14
B．13
C．12
D．11
【答案】B
【详解】由a1=2，an+1=3an−n，可得a2=3a1−1=5，a3=3a2−2=13，
故选：B.
例5-2 已知数列{an)满足a1=a2=1
2，若an+2=
1
an+an+1
−2，则a4=（ ）
A．−4
B．−2
C．0
D．4
【答案】A
【详解】由数列{an)满足a1=a2=1
2，且an+2=
1
an+an+1
−2，
令n=1，可得a3=
1
a1+a2
−2=−1；令n=2，可得a4=
1
a2+a3
−2=−4．
故选：A．
【变式训练5-1】已知数列{an)满足：a1=3，an+1={
an
2 ,当an
数
为偶
时
3an+1,当an 为奇数时)
，则a1+a2+a3+a4+a5=
（ ）
A．34
B．42
C．46
D．64
【答案】B
【详解】a1=3，an+1={
an
2 ,当an 为偶数时
3an+1,当an 为奇数时)
，
则a2=3a1+1=10，a3=a2
2 =5，a4=3a3+1=16，a5=a4
2 =8；
则a1+a2+a3+a4+a5=3+10+5+16+8=42.
故选：B.
【变式训练5-2】数列{an)满足：an=an+1+an−1(n∈N ,n≥2)，若a1=2，a5=3，则a2025=（ ）
A．1
B．－1
C．5
D．－5
【答案】D
【详解】由题意可得an+1=an−an−1，
用n+1代替n可得：an+2=an+1−an，
两式相加，得an+2=−an−1，
∴an+3=−an,a5=−a2=3⇒a2=−3，
∴an+6=an,∴{an)是以6 为周期的数列，
∴a2025=a337×6+3=a3=a2−a1=−5，
故选：D．
【变式训练5-3】已知Sn为数列{an)的前n 项和，a1=1，an+1+2Sn=2n+1，则S2024= ．
【答案】2024
【详解】当n≥2时，由an+1+2Sn=2n+1得an+2Sn−1=2(n−1)+1=2n−1，
两式相减得an+1−an+2an=2，即an+1+an=2，
因为a1=1，所以由a2+a1=a2+1=2，得a2=1，
由a3+a2=a3+1=2，得a3=1，
所以数列{an)中所有项都为1，
则S2024=2024.
故答案为：2024.
1．（2025·重庆·三模）数列{an)满足an+3=an+an+1−an+2(n≥1，n∈N )，又a1=1，a2=1，a3=2，
则（ ）
A．a2024=−1011
B．a2024=−1012
C．a2025=1013
D．a2025=1014
【答案】C
【详解】因为数列{an}满足an+3=an+an+1−an+2(n≥1,n∈N )，且a1=1，a2=1，a3=2，
所以a4=a1+a2−a3=1+1−2=0；
a5=a2+a3−a4=1+2−0=3；
a6=a3+a4−a5=2+0−3=−1；
a7=a4+a5−a6=0+3−(−1)=4；
a8=a5+a6−a7=3+(−1)−4 =−2；
a9=a6+a7−a8=(−1)+4−(−2)=5；
a10=a7+a8−a9=4+(−2)−5=−3；
a11=a8+a9−a10=(−2)+5−(−3)=6；
a12=a9+a10−a11=5+(−3)−6=−4；
观察奇偶项规律：
奇数项：a1=1,a3=2,a5=3,a7=4 ,a9=5,a11=6，构成首项为1 公差为1 的等差数列，
令n=2k −1，则k =n+1
2
，通项公式为an=a2k −1=1+(k −1)×1=k =n+1
2
；
偶数项：a2=1,a4=0,a6=−1,a8=−2,a10=−3,a12=−4，构成首项为1 公差为 −1的等差数列，
令n=2k，则k =n
2，通项公式为an=a2k =1+(k −1)×(−1)=2−k =2−n
2，通项公式为an=2−n
2，
a2024=2−2024
2
=−1010，选项AB 错误；
a2025=2025+1
2
=1013，选项C 正确，选项D 错误.
故选：C.
2．（2025·河北·二模）某厂家对其软件进行加密升级，现对软件程序中的某序列A ={a1,a2,a3,⋯)重新编
辑，编辑新序列为A
* ={
a2
a1
, a3
a2
, a4
a3
,⋯)，它的第n项为
an+1
an
.若序列( A
*)
*的所有项都是3，且a2=1，
a5=27，则a1=（ ）
A．1
3
B．1
9
C．3
D．9
【答案】C
【详解】因为A
* ={
a2
a1
, a3
a2
, a4
a3
,⋯)，
设bn=an+1
an
，则( A
*)
* ={
b2
b1
, b3
b2
, b4
b3
,⋯)，
因为( A
*)
*的所有项都是3，所以
bn+1
bn
=3，设b1=m，
所以{bn)是以m为首项，3 为公比的等比数列，所以bn=m⋅3
n−1.
由
a2
a1
=m，a2=1 ⇒ ma1=1；
由
a3
a2
=3m，a2=1 ⇒ a3=3m；
由
a4
a3
=3
2⋅m ⇒ a4=9m⋅3m=27m
2；
由
a5
a4
=3
3⋅m ⇒ a5=27m⋅27m
2=3
6⋅m
3.
又a5=27，所以3
6⋅m
3=27 ⇒ m=1
3.
所以a1=3.
故选：C
3．（2025·吉林·模拟预测）设数列{an)为常数列，定义bn=(an)
2，则“{an)是常数列是
”
“{bn)是常数列的
”
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若{an)是常数列，不妨设an=a（a为常数），则bn=(an)
2=a
2为常数，
即“{an)是常数列可推出
”
“{bn)是常数列，
”
取bn=1，an=(−1)
n，显然有bn=(an)
2，且{bn)是常数列，但an=(−1)
n不是常数列，
所以“{bn)是常数列推不出
”
“{an)是常数列，即
”
“{an)是常数列是
”
“{bn)是常数列的充分不必要条件，
”
故选：A.
4．（2025·山东济南·二模）对于n∈N
*，将n表示为
n=ak×2
k +ak −1×2
k −1+⋯+a1×2
1+a0×2
0(k ∈N
*)，其中ak =1，当0≤i≤k −1(k ∈N
*)时，ai为0 或
1，定义φ(n)为正整数n的表达式中ai=1(i =0,1,2,⋯,k ,k ∈N
*)的个数，则φ(63)=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【详解】由63=1×2
5+1×2
4+1×2
3+1×2
2+1×2
1+1×2
0，则φ(63)=6.
故选：C
5．（2025·山东·一模）若数列{an)满足a1=1，an+1=(−1)
n+1an+1，则{an)的前2025 项的和为 ．
【答案】1013
【详解】易知当n为偶数时，可得an+1=−an+1，即an+an+1=1；
所以可知{an)的前2025 项的和
a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2024+a2025=a1+(a2+a3)+⋅⋅⋅+(a2024+a2025)=1+2024
2
×1=1013.
故答案为：1013
1．(人教A 版选择性必修第二册P5练习第3 题)除数函数(
o
div is
r f)y =d (n)(n∈N ∗)的函数
值等于n 的正因数的个数，例如d (1)=1，d (4)=3.写出数列d (1)，d (2)，
，
…
d (n)，
的前
…
10 项.
【答案】1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.
【详解】由题意可得d (1)=1，
因为2=1×2，所以d (2)=2，
因为3=1×3，所以d (3)=2，
因为4 =1×4 =2×2，所以d (4)=3，
因为5=1×5，所以d (5)=2，
因为6=1×6=2×3，所以d (6)=4，
因为7 =1×7，所以d (7)=2，
因为8=1×8=2×4，所以d (8)=4，
因为9=1×9=3×3，所以d (9)=3，
因为10=1×10=2×5，所以d (10)=4，
所以前10 项分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.
故答案为：1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.
2．(人教A 版选择性必修第二册P5练习第1 题)写出下列数列的前10项，并绘出它们的图像：
（1）素数按从小到大的顺序排列成的数列；
（2）欧拉函数φ(n)(n∈N )的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.
【答案】（1）2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，图见解析；
（2）1、1、2、2、4、2、6、4、6、4，图见解析.
【详解】（1）素数从小到大依次是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，
绘出图像如图所示：
（2）φ(1)=1，φ(2)=1，φ(3)=2，φ(4)=2，φ(5)=4，
φ(6)=2，φ(7)=6，φ(8)=4，φ(9)=6，φ(10)=4，
依次为1、1、2、2、4、2、6、4、6、4，
绘出图像如图所示：
3．(人教A 版选择性必修第二册P9综合运用第4 题)已知数列{an)的第1 项是1，第2 项是2，以后各项由
an=an−1+an−2(n>2)给出.
（1）写出这个数列的前5 项；
（2）利用数列{an)，通过公式bn=an+1
an
构造一个新的数列{bn)，试写出数列{bn)的前5 项.
【答案】（1）a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8；；（2）b1=2，b2=3
2，b3=5
3，b4=8
5，b5=13
8 ．
【详解】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2，
得a3＝a2+a1＝2+1＝3，
a4＝a3+a2＝2+3＝5，
a5＝a4+a3＝3+5＝8；
（2）依题意有：b1=a2
a1
=2
1 =2，
b2=a3
a2
=3
2，
b3=a4
a3
=5
3，
b4=a5
a4
=8
5，
b5=a6
a5
=a5+a4
a5
=5+8
8
=13
8 ．
4．(人教A 版选择性必修第二册P9综合运用第5 题)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子
来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10 称为三角形
数，第二行的1，4，9，16 称为正方形数，第三行的1，5，12，22 称为五边形数.请你分别写出三角形数､
正方形数和五边形数所构成的数列的第5 项和第6 项.
【答案】三角形数：第五个数15，第六个数21. 正方形数：第五个数25，第六个数36.五边形数：第五个
数35，第六个数51.
【详解】三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10，
第五个数1+2+3+4+5=15，第六个数1+2+3+4+5+6=21.
正方形数：第一个数1
2=1，第二个数2
2=4，第三个数3
2=9，第四个数4
2=16，第五个数5
2=25，第六个
数6
2=36.
五边形数：第一个数1(3×1−1)
2
=1，第二个数2(3×2−1)
2
=5，第三个数3(3×3−1)
2
=12，第四个数
4(3×4−1)
2
=22，第五个数5(3×5−1)
2
=35，第六个数6(3×6−1)
2
=51.
5．(人教A 版选择性必修第二册P9综合运用第6 题)假设某银行的活期存款年利率为0.35 %某人存10 万元
后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用an表
示第n年到期时的存款余额，求a1、a2、a3及an.
【答案】a1=10.035，a2≈10.070，a3≈10.105，an=10(1+0.35 %)
n.
【详解】a1=10(1+0.35 %)=10.035，a2=10(1+0.35 %)
2≈10.070，
a3=10(1+0.35 %)
3≈10.105，an=10(1+0.35 %)
n.
