文档文本内容
第07 讲 函数与方程
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 求函数的零点....................................................................................................................................2
题型02 判断函数零点所在区间
.............................................................................................................3
题型03 根据零点所在区间求参数取值范围
........................................................................................5
题型04 求函数零点或方程根的个数
.....................................................................................................7
题型05 根据函数零点的个数求参数
.....................................................................................................9
题型06 利用零点的分布求参数................................................................................................................13
题型07 比较零点的大小.............................................................................................................................15
题型08 求函数零点的和的问题
...........................................................................................................18
题型09 二分法求方程近似解.....................................................................................................................22
重难·创新演练......................................................................................................................................................25
真题·实战演练......................................................................................................................................................38
模拟·基础演练
考查重点：围绕函数零点展开，包含零点求解、零点所在区间判断、零点个数分析，以及由零点分
布求解参数范围；重点考查零点存在定理，侧重数形结合、等价转化思想的运用。
题型01 求函数的零点
1.函数
的零点为___________.
【答案】5
【详解】令
，得
，所以
，解得
或
（舍去）.
故答案为：5
2．已知a 是函数
的零点，则实数a 的值为___________.
【答案】27
【详解】因为a 是函数
的零点，所以
，所以
，
则实数a 的值为
．
故答案为：27
3．函数
的零点为___________.
【答案】
或
【详解】令
，解得
，故
或
．
故答案为：
或
4.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
则
的零点之和为___________.
【答案】1
【详解】当
时，令
，得
；当
时，令
，得
,所以
的零点之和为
．
故答案为：1
5．（多选）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
在
上单调递增
B．
的极小值为
C．
的图象关于原点对称
D．
有两个零点
【答案】AC
【分析】先求导，利用导数研究单调性进而判断AB，判断
的奇偶性即可判断C，求
的零点即可判
断D.
【详解】函数
的定义域为，所以
，
对于A，由
，得
或
，函数
在
上单调递增，故A 正确；
对于B，由
，得
，函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，所以函数
在
取得极小值
，故B 错误；
对于C，
，函数
是奇函数，其图象关于原点对称，故C 正确；
对于D，由
，解得
，函数
有3 个零点，故D 错误．
故选：AC
题型02 判断函数零点所在区间
6．（25-26 高三上·河北保定·开学考试）方程
的实数根所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令函数
，而函数
在
上都单调递增，
则函数
在
上单调递增，又
，
因此函数
在
上存在零点，
所以方程
的实数根所在的区间为
．
故选：D
7．函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
是增函数，
是增函数，所以函数
是增函数.
又
，
所以由零点存在性定理可得，函数
的零点所在的区间为
.
故选：B
8．函数
零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因函数
与
都是
上的增函数，则
也是
上的增函数，
又
，
故函数
有唯一的零点，其所在区间为
.
故选：B
9.（2026·陕西西安·模拟预测）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可.
【详解】由题意可知函数的定义域为
，又因为
与
在
均单调递减，
所以
在
均单调递减且连续，
因为
，
，
所以函数的唯一零点所在区间为
.
故选：A
10.已知函数
的零点
，则整数的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理列不等式求解.
【详解】由已知
和
均为单调递增函数，
故
在定义域内也为单调增函数，
因为
，所以函数
的零点在区间
上，
又函数
的零点在区间
上，所以
，
故选：C.
题型03 根据零点所在区间求参数取值范围
11.若函数
在
上有零点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
在
上单调递增，所以
，即
，解得
．
故选：D.
12.函数
在区间
内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，由
可得
，
令
，因为函数
、
在
上均为增函数，
故函数
在
上为增函数，
因为函数
在区间
内有零点，则函数
在区间
内有零点，
所以，
，解得
，因此，实数的取值范围是
.
故选：D.
13．函数
的一个零点在区间
内，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
时，
在
上恒成立，此时
在区间
内无零点；
要使函数
的一个零点在区间
内，则
，
因为函数
和
在
单调递增，所以函数
在
单调递增，
由零点存在性定理可知
，解得
．
故选：B
14．函数
的一个零点在区间
内，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用单调性将命题转化为
，再解不等式即可.
【详解】由于
在
上单调递增，故命题等价于
，即
，
解得
，所以实数的取值范围是
.
故选：D.
15．已知
，
在
上有且只有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用辅助角公式进行化简
，问题转化为方程
在区间
上有且仅有两个不相等的实根，然后结合的范围及正弦函数的性质，求出的取值范围．
【详解】
.
函数
在
上有且只有两个零点，可以转化为方程
在区间
上有且仅有两个不
相等的实根，
令
，因为
，则
.
结合
的图象可知，若
在
有且仅有两个不相等的实根，
则
，解得
.
故的取值范围是
.
题型4 求函数零点或方程根的个数
16．已知函数
则函数
的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】令
并结合各段解析式所在的定义域即可求解.
【详解】当
时，解
得
或
（舍），此时有1 个零点，
当
时，解
得
，此时有1 个零点，所以
共有2 个零点.
故选：C
17．直线
与曲线
的交点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】直线
与曲线
的交点，整理可得
，
而
，
，所以方程无实根，交点个数为个．故A 正确．
故选：A
18．函数
与
的图象共有 个交点．
【答案】63
【分析】作出两函数图象，根据图象的对称性和以及正弦曲线的周期性，可求得交点个数.
【详解】作出两函数图象的简图，如图所示：
因为函数
与
均为奇函数，它们的图象显然有一个交点为原点，
当
时，
，而
，
除在
上，两图象有一个交点，
上各有两个交点，
共
个交点，根据对称性，所以两函数图象的交点个数为
个．
故答案为：63
19．（湖南邵阳市2026 年普通高中学业水平合格性考试模拟试题高二数学）函数
在
上
的零点个数为___________.
【答案】3
【详解】令
，则
或
，且
，则2 x∈[0,2π ]，
可得
或
或
，解得
或
或
，
所以函数
在
上的零点个数为3.
故答案为：3
20．若函数
满足
，且
时，
，已知函数
，则函数
在区间
内的零点个数为___________.
【答案】
【分析】结合函数周期性和解析式可作出
与
在
上的图象，根据图象交点个数可得
所求函数零点个数.
【详解】
，
是周期为的周期函数；
当
时，
；当
时，
；
，
又
，
，
，
可作出
与
在
上的图象如下图所示，
由图可知：
与
在
上有
个交点，
函数
在区间
内的零点个数为
.
故答案为：12
题型5 根据函数零点的个数求参数
21．已知函数
，若函数
有3 个零点，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数
，求导，利用导数分析函数单调性和极值点；分析
在区
间
内的单调性和关键点，作出函数图象，结合图象得出
有3 个零点的a 的取值范
围．
【详解】当
时，
，求导得
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
故
是
的极小值点，即为最小值点，
，
且
；
当
时，
，
，
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，
故函数
的图象如下：
已知函数
有3 个零点，由图象可知，
当
时，
有3 个交点；当
时，
有3 个交点；
综上，实数a 的取值范围是
．
故选：D
22.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
若函数
有三个不同的零
点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
解法1：令
得
．由题意可知函数
的图象与直线
有三个交点，由图可知
．
解法2：当
时，
．令
，得
或
，
解得
或
，不满足题意，因此排除B、D 选项．
当
时，
，
令
，得
或
，
解得
或
，不满足题意，因此排除C 选项，故选A．
故选：A
23．已知函数
，若函数
有8 个零点，则实数的取值范围为
___________.
【答案】
【分析】据题意对实数进行讨论，分
，
，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解．
【详解】当
时，
，对称轴为
.
当
时，函数
在
单调递增，函数图象如下：
令
，则由
，结合图象可得
或
，即
或
.
结合图象可知，
有2 个解，
有1 个解，此时函数
有3 个零点，不符合题意.
当
时，函数
在
单调递增，在
单调递减，函数图象如下：
令
，则由
，结合图象可得
或
或
，
即
或
或
.
由图可知，
有2 个解，
有3 个解，
又函数
有8 个零点，则需
有3 个解.
需使
，解得
.
综上，实数的取值范围为
.
故答案为：
.
24．已知函数
,若关于x 的方程
有6 个根，则m 的
取值范围为___________.
【答案】
【分析】先作出函数
的图像，结合图像可把问题转化为
在
上有两个不同实根，
，数形结合即可求得答案．
【详解】作出函数
图像如图所示：
令
，则
可化为
，
若
有6 个根，
结合图像可知方程
在
上有2 个不相等的实根，
不妨设
，
，
则
，解得
，故m 的取值范围为
.
故答案为：
题型6 利用零点的分布求参数
25.已知函数
有两个不相等的正零点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】转化为
有两个不等正根为
，根据韦达定理和根的判别式得到不等式组，求
出答案.
【详解】设
的两个不等正零点为
，
即
的两个不等正根为
，
故
，解得
，故的取值范围是
.
故选：C
26.已知是函数
的零点，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分析函数
的单调性，结合零点存在定理可得出结果.
【详解】因为函数
、
在
上均为增函数，故函数
在
为增函数，
因为
，
，
，则
，
由零点存在定理可得
，又因为
，
，故
.
故选：B.
27.（2026·河北衡水·一模）若函数
（
）在
内存在唯一的，使得
，
则的取值可能为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【答案】BC
【详解】由
，知
在
内存在唯一的解.
当
时，
，则
，即
，
因仅有选项B,C 中的值在此范围，故B,C 正确.
故选：BC
28.若关于的不等式
的解集中恰好有3 个整数解，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式恰有3 个整数解，分析可得实数的取值范围；或分离参数，构造新函数，
分析新函数的单调性，解得实数的取值范围.
【详解】解：原不等式等价于
，
由题意，知
，解得
.
又原不等式的解集为
，且
，
则
为原不等式的整数解，所以
，解得
所以实数的取值范围为
.
方法二：对于不等式
，
当
时，
，不成立，所以0 不是不等式
的整数解；
当
时，
.
令
，则
在
上均单调递增，其简图如下：
当
时，
，所以
；当
,且取整数时，
，所以
；
所以不等式
的整数解是
,即不等式
解集中恰有3 个整数解是
，
所以
，所以
.
所以实数的取值范围为
.
故选：D.
29．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数
，则
有零点的充要条件是
___________.
【答案】
【分析】将函数有零点的问题转化为方程有根的问题，根据一元二次方程根的问题求解即可.
【详解】函数
有零点
方程
有解.
当
时，方程有一解
；
当
时，方程
有解
，
综上知：
有零点的充要条件是
.
故答案为：
.
题型7 比较零点的大小
30．（2026·河南新乡·三模）已知函数
的零点分别为
，
则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可.
【详解】
的零点即为方程
的解，即为
的图像与
图像的交点横坐标，
的零点即为方程
的解，即为
的图像与
图像的交点横坐标，
的零点即为方程
的解，即为
的图像与
图像的交点横坐标，
∵函数
的零点分别为
,
作出函数
的图象如图，
由图可知：
,
故选：A
31．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果.
【详解】由
及
得
，由
及
得
，
由
及
得
，
由函数
的零点分别为
，
可得函数
，
，
与
图象交点的横坐标分别为
，
在同一坐标系中分别作出函数
，
，
，
的图象如图，
由图知
故选：B
32.已知
，则正数
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过将已知等式变形得到关于、、的方程，然后将方程的解转化为函数图象交点的横坐标，
最后通过比较函数图象交点的位置来确定、、的大小关系.
【详解】设
，由此
，
分别为方程
的解，在同一坐标系作函数
的图象，
分别与函数
的图象分别交于
，其横坐标分别为
，
由图可知
.
故选：A.
33.已知a，b，c 分别是函数
的零点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】在同一坐标系中作出函数
的图象，利用数形结合法求解.
【详解】令
，
得
，在同一坐标系中作出函数
的图象，
如图所示：
由图象知：
即
故选：B
34.已知函数
的零点分别是
，则
的大小关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将问题转换成
，
，
与
交点的横坐标即可判断；
【详解】令
，得
，
则为函数
与
交点的横坐标，为函数
与
交点的横坐标，
为函数
与
交点的横坐标，
在同一直角坐标系中，分别作出
和
的图象，
如图所示，由图可知，
.
故选：C.
题型8 求函数零点的和的问题
35．函数
，则函数
的所有零点之和为___________.
【答案】13
【分析】令
，根据
，求得
或
，再根据
和
，结合分段函数的
解析式，即可求解.
【详解】令
，由
得
或
，所以
或
，
当
时，
或
，当
时，则
或
，解得
，
所以函数
的所有零点之和为
．
故答案为：13
36．设
分别是
与
的零点，则
的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据函数零点的定义，运用转化法、同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，结合对勾函
数的单调性进行求解即可.
【详解】当
时，因为函数
是实数集上的增函数，
所以函数
是实数集上的增函数，
因为是
的唯一零点，
所以
，
即是指数函数
和反比例函数
的唯一交点的横坐标.
当
时，因为是
的零点，所以
，
设
，当
时，因为函数
是正实数集上的增函数，
所以
是正实数集上的增函数，
即是指数函数
和反比例函数
的唯一交点的横坐标，
显然函数
与函数
的图象关于直线
对称，如下图所示：
显然
，由数形结合思想可知：
，
的中点在
上，所以
，
，设
，
由对勾函数的单调性可知该函数在
时，单调递减，即
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
37.（25-26 高三下·北京·阶段检测）已知函数
，其中
且
.若关于的方
程
恰有三个不相等的实数根
，则的取值范围为_____，且
的取值范围为
_______.
【答案】
【分析】根据给定条件，按
分类作出函数
的图象，数形结合求出的
范围；再利用方程根的意义，结合基本不等式求出范围.
【详解】当
时，函数
的图象及直线
如图：
当
时，函数
的图象及直线
如图：
当
时，函数
的图象及直线
如图：
当
时，函数
的图象及直线
如图：
观察图象知，当且仅当
且
，即
时，函数
的图象及直线
有3 个交
点，
即方程
有三个不相等的实数根
，不妨令
，
则
，由
，得
，即
，
因此
，则
，所以
.
故答案为：
；
38．函数
的部分图象如图所示，最高点和最低点的坐标分别为
和
．
(1)求函数
的解析式及单调递减区间；
(2)求方程
在
内所有解的和．
【答案】(1)
(2)
和
，和为．
【分析】（1）利用函数最值列方程组求出
,由两点横坐标差得半周期进而求出,代入最高点坐标结合
范围确定,再根据正弦函数递减区间解出
的单调递减区间.
（2）换元化简绝对值方程,分类讨论求得
,再解三角方程,找出区间内所有解并求和.
【详解】（1）由题意，最高点
和最低点
，得
，
.
解得
，
.
，故
.由
得
.所以
.
代入
：
，即
.又
，得
，故
.
解析式为
.
令
，解得
.
故单调递减区间为
.
（2）令
，方程
.
当
时，
（舍去）；
当
时，
.
故
，即
，
.
得
，解得
.
在
内的解为
和
，和为
.
题型9 二分法求方程近似解
39．（25-26 高三上·山西长治·期末）下列函数中，与x 轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异
号，对于A，
单调递增，在零点
处左右函数值异号，能用二分法求零点；
对于B，
先减后增，在零点
处左右函数值都为正，不能用二分法求零点；
对于C，
单调递增，在零点
处左右函数值异号，能用二分法求零点；
对于D，
先减后增，在零点
，
处左右函数值异号，能用二分法求零点.
故选：B
40．用二分法求方程
在
上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造
，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解.
【详解】记
，由于
均为
上的单调递增函数，故
为
上的单调递增函数，
因为
，
且
，所以函数
的零点落在区间
内，
又因为
，
所以
，所以函数
的零点落在区间
内，
即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为
.
故选：B.
41.（2026·四川成都·模拟）用二分法求函数
在
内的零点近似值，若精确度要求为
，
则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用
二分法后区间长度变为
，第二次使用二分法后区间长度变为
，第三次使用二分法后区间长度变为
，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止.
【详解】原始区间长度为
，第一次，区间长度减半，为
，
第二次，区间长度减半，为
，第三次，区间长度减半，为
，第四次，区间长度减半，
为
，故至少需要重复四次.
故选：B.
42.用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先判断函数
的单调性，再判断区间端点处的函数值的符号，结合零点存在性定
理判断即可.
【详解】设函数
，因为函数
和
都是增函数，
所以函数
在
上单调递增；又
，
，
因此，所取的第一个区间可以是
，
故选：B.
43．若函数
的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
那么当精确度达到
时，可作为方程
的一个近似根的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间
内，结合精确度要求即可判断.
【详解】由表格中的数据知，
，
所以函数
的一个正数零点在区间
内，
且区间的长度为
，
此时，区间
内的任一值均可作为方程的近似根，
选项D 中的
是该区间的端点，符合题意
故选：D.
重难·创新演练
设题创新: 融合函数周期性、奇偶性等性质，结合新定义题型、数学文化、实际背景命题；题型综
合性强，常将零点与方程、不等式结合，考查知识综合运用能力。
1．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数
，则方程
根的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得.
【详解】因
，
当
时，
即
，解得
或
，均符合题意；
当
时，
即
，解得
，符合题意.
故方程
根的个数为3.
故选：D
2．（2026·湖南怀化·三模）已知函数
，若
有唯一解，则实数的值是（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】令
，根据
的单调性得到当
时，
有唯一解，从而得到当
时，
有唯一解.
【详解】令
，则
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
时，
，
时，
，又
，
所以当
时，
有唯一解
，此时
，所以当
时，
有唯一解
.
所以实数的值是.
故选：B
3．（2026·河北沧州·一模）已知函数
,若函数
至少有7 个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用分类讨论
，再通过数形结合来研究函数零点个数，即可得参数范围.
【详解】当
时，
，对称轴为
，所以
在
上单调递增，函
数图象如下：
令
，解得
或
，
即
或
，根据图象
有2 个解，
有1 个解，所以此时
有3 个零点，不符合题意；
当
，
时，
，对称轴为
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，函数图象如下：
令
，解得
或
或
，
根据图象
有2 个解，
有3 个解，
又
至少有7 个零点，所以
至少有2 个解，即
，解得
．
故选:D．
4．（2026·北京石景山·二模）已知函数
．若
存在2 个零点，则a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将
存在个零点转化为函数
与
的图象有2 个交点，先讨论
与
相切的情况，再将
平移讨论的范围，数形结合即可求解.
【详解】若
存在2 个零点，则
有2 个解，即
有2 个解，
即函数
与
的图象有2 个交点.
当
时，
单调递减，值域为
，
当
时，
单调递增，值域为
，
先求
与
相切的情况：
设切点为
，因为
，所以
，所以
，所以切点为
，
代入切线方程
，得
.
当
时，直线
与
相切于点
，
同时与
有个交点，此时共2 个交点；
当
时，直线
与
有个交点，
与
有个交点，共2 个交点；
当
时，直线
与
无交点，与
有个交点，共个交点；
当
时，直线
与
无交点，与
无交点，共个交点；
综上，
存在2 个零点时，的取值范围是
.
故选：D
5.（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程
来描述，其中x 表示
某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放
射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足
，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某
鱼群在有限资源下的增长速率满足
，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧
振子在某时刻的机械能表达式为
，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过构造函数确定相应零点的取值范围，进而可求解.
【详解】对于，满足
，函数
是R 上的增函数，
又
，
，
因此
，即
，
对于，满足
，因为
，
，故
，
对于，满足
，函数
是
上的增函数，
又
，
，因此
，即
，
综上，大小关系为
.
故选：B
6．（25-26 高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知函数
，方程
恰有三个
不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用分段函数图象，即可得到判断.
【详解】作出函数
图象：
因为
方程
化为
，方程
恰有三个不同的实数解，
等价于
的图象有三个不同的交点，
所以由图可得，当
，即
时符合题意，
故选：C
7．已知
，函数
，若函数
有三个零点，则
实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分
与
两种情况讨论方程
根的情况可求得实数的取值范围.
【详解】因为函数
有三个零点，即方程
有三个解，
当
时，方程为
，即
，即
，
因为
，所以
，所以方程有两个根，又
，
所以
有一个正根与一个负根，
又
，所以
有一正的零点，
当
时，方程为
，即
因为函数
有三个零点，所以方程
有两个非正根，
所以
，解得
，又
，所以
，
所以实数的取值范围是
.
故选：A
8.（2026·北京海淀·二模）已知函数
，集合
．若
对任意
，都有
，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题知当
时，
，当
时，
，进而分
，
，
三
种情况，数形结合求解即可.
【详解】当
时，
，
当
时，
，
所以，当
，即
，作出函数
的图象，如图，
显然，当
，都有
，且
，
所以
,
当
，即
时，作出函数
的图象，如图，
当
，都有
，且
所以，
当
，即
时，作出函数
的图象，如图，
当
时，则需满足
，即
，解得
，
所以
，
综上，
，即的取值范围为
.
故选：A
9.（多选）（25-26 高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数
的图象与直线
交
于不同的三点
，
，且
，则（ ）
A．
的图象关于点
中心对称 B．的取值范围是
C．
的取值范围是
D．
的取值范围是
【答案】ABD
【分析】先通过对称性、导数与极值判断选项A、B 的正确性，再利用三次方程韦达定理结合函数根的分
布分析选项C、D 的取值范围.
【详解】对于A：因为
，所以
的图象关于点
中心对称，A 正确；
对于B：
，令
，得
或
；令
0，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
取得极大值，极大值为
；
当
2 时，
取得极小值，极小值为
，
作出函数
的大致图象，如图所示，
要使得函数
的图象与直线
交于不同的三点，则
，B 正确；
对于C：令
，解得
或
；令
，解得
或
，所以
.
令
，则
的三个根分别为
，
则
，
所以
，由于
，所以
，
即
的取值范围是
，C 错误；
对于D：
.
因为
，所以当
时，
，当
时，
，
所以
的取值范围是
，D 正确.
故选：ABD
10．（多选）（2027 高三·全国·专题练习）（多选）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，
是构成一般不动点定理的基石．简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数
，存在一个点，使
得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】分别对每个选项令函数值等于自变量，转化为方程是否有解的问题，通过解方程或构造函数利用
图象法判断是否存在实数根，从而确定是否为“不动点”函数.
【详解】选项A，若
，则
，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；
选项B，若
，则
，解得
或
，故该函数是“不动点”函数；
选项C，若
，则
，化简可得
，且
，
解得
，故该函数是“不动点”函数；
选项D，若
，则
，即
，
作出
与
的函数图象，如图，
由图可知，方程
有实数根，即存在，
使
，故该函数是“不动点”函数．
故选：BCD.
11.（多选）（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数
，若方程
有四个不同的
零点，，，，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】利用分段函数零点问题转化为方程的解的问题，再利用数形结合，来分析四个零点的分布，再结
合对数运算即可判断各选项.
【详解】当
时，令
，得
；
当
时，令
，解得
或
；
画出函数
的大致图象如图所示.
若方程
有四个不同的零点，，，，且
，
则由图象可知
，故A 错误．
由图象可知
，且
，
所以
，故
，故B 正确.
因为
，所以
，又
，
由
，根据对勾函数的单调性可知：
在
上单调递减，
则
，所以
，故C 错误．
由
的两根为
，
，且
，则
，
又因为
，所以
，故D 正确.
故选：BD
12．已知函数
定义在上，且
，满足
，且当
时，
，则函数
的零点个数是_____________.
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性，对称性以及函数图象和性质，结合函数零点的定义分析即可.
【详解】定义在上函数
满足
，可得
为奇函数，
又由
，可得
有对称轴
，
由
，可得
，则
最小正周期为4，
函数
的零点即函数
与函数
图象交点的横坐标，
又当
时，
，
在同一坐标系内作出函数
与函数
图象如下：
两函数图象有3 个公共点
，
则函数
的零点个数是3.
13.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：
设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和
、、、
，则
是的更为精确的近似值．
纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时
期、计算机时期，已知
，试以上述的不足近似值
和过剩近似值
为依据，那么使用两
次“调日法”后可得的近似分数为_____________.
【答案】
【分析】由“调日法”的计算方法即可求得答案.
【详解】由“调日法”的计算方法可知：
第一次用“调日法”后可得更为精确的近似值为
，即得
，
则第二次用“调日法”后可得更为精确的近似值为
，
故答案为：
14．已知函数
，若关于x 的方程
有6 个不相等的实数
根，则实数a 的取值范围为_____________.
【答案】
或
【分析】先作出函数
的图象，再令
，则
，易得
，
且关于的方程必有两个不等实根，设为
，再分
，
和
三种情况
讨论即可.
【详解】作出函数
的图象如图所示，
令
，则
，
若原方程有6 个不相等的实数根，则
，且关于的方程必有两个不等实根，设为
，
当
时，代入
，则
，解得
，
此时关于的方程为
，解得
，满足题意；
当
，且
时，令
，
则函数
有两个大于的不等零点，
因为函数
的图象过点
，
则
，解得
，
即
；
当
时，因为函数
的图象过点
，
则
，无解，
综上所述，实数a 的取值范围为
或
.
故答案为：
或
.
真题·实战演练
高频考点：函数零点与方程根、函数图象交点的转化，零点个数判定，根据零点分布求参数，多个
零点大小比较，二分法的应用，均为高考高频考查内容。
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当
时，曲线
与
的交点个数为
（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在
上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数
的最小正周期为
，函数
的最小正周期为
，
所以在
上函数
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点.
故选：C
2．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数
和
，下列说法中正确的
有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A 选项，令
，解得
，即为
零点，
令
，解得
，即为
零点，
显然
零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然
，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，
的周期均为
，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质
的对称轴满足
，
的对称轴满足
，
显然
图像的对称轴不同，D 选项错误.
故选：BC
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
【答案】AD
【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为
，根据零点存在定理和极值的符号判断出
在
上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在
这样的
，使得
为
的对称轴，则
为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样
的，使得
为
的对称中心，则
，据此进行计算判断，亦可利用拐点结
论直接求解.
【详解】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有的项为
，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）
的对称轴为
；（2）
关于
对称
；（3）任何三次函数
都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是
的解，即
是三次函数的对称中心
4．（2024·天津·高考真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则的取值
范围为______．
【答案】
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数
与
，则两
函数图象有唯一交点，分
、
与
进行讨论，当
时，计算函数定义域可得
或
，计算
可得
时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当
时，在轴右侧无交点的情况即可
得；当
时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令
，即
，
由题可得
，
当
时，
，有
，则
，不符合要求，舍去；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
或
（正值舍去），
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
令
，即
，
故
时，
图象为双曲线
右支的轴上方部分向右平移所得，
由
的渐近线方程为
，
即
部分的渐近线方程为
，其斜率为，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递增，
故有
，解得
，故
符合要求；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
（负值舍去）或
，
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
同理可得：
时，
图象为双曲线
左支的轴上方部分向左平移所得，
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递减，
故有
，解得
，故
符合要求；
综上所述，
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数
的零点问题转化为函数
与函数
的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
