文档文本内容
第02 讲 两条直线的位置关系
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视............................................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚............................................................................................................................................4
知能解码.............................................................................................................................................................4
知识点1 两条直线的位置关系........................................................................................................4
知识点2 直线的交点与方程组解的关系......................................................................................5
知识点3 距离公式...............................................................................................................................5
知识点4 对称问题...............................................................................................................................6
题型破译..................................................................................................................................................................... 7
题型1 直线的交点及其应用.............................................................................................................7
题型2 两条直线平行及其应用
.................................................................................................9
【方法技巧】斜率相等，截距不相等
【易错分析】易忽视掉两直线重合的情况
题型3 两条直线垂直及其应用.....................................................................................................12
题型4 点到直线间的距离公式的应用........................................................................................14
题型5 两条平行直线间的距离公式的应用
.......................................................................16
题型6 与距离有关的最值问题.....................................................................................................18
【方法技巧】数学结合，利用距离的几何意义进行转化
题型7 点、直线的对称问题
...................................................................................................20
04
题
真
溯源·考向
知
感
......................................................................................................................................... 24
05 课本典例·
考
高
素材......................................................................................................................................... 27
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）能根据斜率判定
两条直线平行或垂直．
（2）能用解方程组的
方法求两条直线的交点
坐标．
（3）掌握平面上两点
间的距离公式、点到直
线的距离公式，会求两
条平行直线间的距离．
单选题
多选题
填空题
解答题
天津卷，12 题，5
分
甲卷理科，第12 题，5
分
北京卷第3 题，4 分
新课标I 卷，第6 题，5
分
新课标II 卷，第15 题，5
分
考情分析：高考对两条直线的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练
掌握两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这
两个考点．
复习目标：
1.两条直线的位置关系
2.直线的交点与方程组解的关系
3.距离公式
4.对称问题
知识点1 两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直
线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
位置关系
法向量满足的条件
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
v1∥v2
k1＝
k 2且
b 1≠
b 2
A1B2－
A 2B1＝
0 且
A 1C2－
A2C1≠
0
垂直
v1⊥v2
k1· k 2＝－
1
A1A2＋
B 1B2＝
0
相交
v1与v2不共线
k1≠
k 2
A1B2－
A 2B1≠
0
自主检测判断下列各组直线的位置关系：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
．
【答案】(1)平行
(2)垂直
(3)相交但不垂直.
【分析】（1）根据斜率相等，纵截距不相等即可判定为平行；
（2）利用两直线斜率之积等于
即可判断垂直；
（3）利用斜率的关系即可判定为相交但不垂直.
【详解】（1）因为
且两直线的纵截距
,
所以两直线平行.
（2）因为
所以两直线垂直.
（3）因为
所以两直线既不平行，也不垂直.
即两直线的位置关系为相交但不垂直.
知识点2 直线的交点与方程组解的关系
(1)两直线的交点
点P 的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P 的
坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
自主检测直线
和
的交点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】求直线交点坐标
【分析】解二元一次方程组即得交点坐标.
【详解】解方程组
，得
，
所以所求交点坐标为
.
故选：B
知识点3 距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝.
自主检测已知点
在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】
就是
到原点距离，
到原点距离的最小值为
则
的最小值为2，
故选：B.
知识点4 对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2
a －
x 0，
2 b －
y 0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b 的对称点为P′(x′，y′)，
则有可求出x′，y′.
自主检测已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设点
为直线
上的动点，
由
可看作
与
的距离和
与
的距离之和，
设点
则点
为点
关于直线
的对称点，
故
，且
，
所以
，
当且仅当
三点共线时，取等号，
所以
的最小值为
.
故选：C
题型1 直线的交点及其应用
例1-1 过直线
与
的交点，且一个方向向量
的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先求出交点的坐标，再利用直线的方向向量求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程写出直线
的方程即可求解.
【详解】联立
，得交点坐标为
，
因为直线的一个方向向量
，所以直线的斜率为
，
所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为
，即
.
故选：A.
例1-2 已知直线过直线
和
的交点，且与
平行，则的方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出直线、
的交点坐标，根据题意，设直线的方程为
，将交点坐标代入直线
的方程，求出实数
的值，即可得出直线的方程.
【详解】联立直线、
的方程，
，解得
，
故直线、
的交点坐标为
，
因为直线与直线
平行，设直线的方程为
，
将点
的坐标代入直线的方程可得
，解得
.
因此，直线的方程为
.
故选：B.
方法技巧
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况.
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
【变式训练1-1】已知直线
．
(1)求经过点
且与直线
垂直的直线方程；
(2)求经过直线与
的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可；
（2）利用截距为0 和不为0 分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可.
【详解】（1）由直线
可得斜率为
，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为
，
则依题意有
，解得
，
所以所求直线方程为
，整理得
；
（2）联立
，解得
，即直线与
的交点为
，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为
，
代入
得
，此时
；
当直线的截距都不为0 时，假设直线方程为
，
依题意
，解得
，此时直线方程为
，即
综上所述：所求直线方程为
或
．
【变式训练1-2】已知菱形
中，
，
，
边所在直线过点
，求：
(1)
边所在直线的方程；
(2)点
的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程；
（2）利用
，求得直线
的方程，与直线
方程联立方程组求解即可.
【详解】（1）因为
边所在直线过点
，
，所以
因为
为菱形，所以
，所以
，
又
，所以
，整理得
.
（2）因为
，
，所以
.
因为
为菱形，所以
，所以
因为
，
，所以
中点坐标为
，
所以
联立方程组
，
解得
，所以
.
题型2 两条直线平行及其应用
例2-1“
”是直线
“
与
平行的（
”
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据一般式方程的形式，结合两直线平行的条件，列式求解.
【详解】若直线
，则
，解得：
.
所以“
是直线
”
“
的充分必要条件.
故选：C
例2-2（多选）已知直线：
，
：
，点
在上，点
在
上，则
（ ）
A．
的最小值为
B．原点到
的距离的最大值为
C．
的充要条件为
D．
的充要条件为
或
【答案】BCD
【分析】利用直线过定点的求法判断B，利用直线一般方程下垂直与平行的条件判断CD，利用直线可能
相交直接排除A，从而得解.
【详解】对于B，
：
可化为
，
令
，得
，则
过定点
，
当
垂直于定点与原点的连线时，原点到
的距离最大，
最大距离为
，故B 正确；
对于C，
的充要条件为
，即
，故C 正确；
对于D，
的充要条件为
且
，即
或
，故D 正确.
对于A，因为直线：
，
：
不一定平行，
当与
相交时，两条直线上的点之间的最小距离为0，故A 错误；
故选：BCD.
方法技巧
三种常见的直线系
(1)与直线Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0；
(3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0 与直线A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝
0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
易错分析
.两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在或则排除重合的情况的情况.
【变式训练2-1】已知直线
与直线
平行，则它们之间的距离是（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】根据直线平行得到方程，求出
，利用两平行线距离公式得到答案.
【详解】直线
与直线
平行，
则
，解得
，
直线
，即
，
与
的距离为
.
故选：B
【变式训练2-2·变考法】已知直线经过点
，且与直线
平行，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】设出直线的方程，利用待定系数法求出方程.
【详解】由直线与直线
平行，设直线的方程为
，
由直线经过点
，得
，解得
，
所以直线的方程为
.
故答案为：
【变式训练2-3·变载体】已知直线
与x 轴，y 轴分别交于点A，B，以线段AB 为边在第一象限
内作等边
，如果在第一象限内有一点
使得
和
的面积相等，则
．
【答案】1
【分析】根据题意画出图形，求出点
与
的坐标，即可求出
的长，进而求出等边三角形的高，由
和
的面积相等，得到点
与点
到直线
的距离相等，利用平行线距离列出直线
方程，
把点P 代入CP 直线方程求解即可．
【详解】如图所示：
因为直线
与
轴，
轴分别交于点
，
，
所以
，
，所以
.
又
和
的面积相等，
所以
，所以可设直线
的方程为
.
依题意，得点
到直线
的距离为
，即
，所以
或
（舍），
所以直线
的方程为
.又点
在直线
上，
所以
，即
.
故答案为：1
题型3 两条直线垂直及其应用
例3-1 以
为端点的线段的垂直平分线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于
，据此即可求出线段垂直
平分线方程.
【详解】因为
则
，
所以线段AB 的中垂线的斜率为
，
又线段的中点为
，即
，
所以线段
中垂线方程为：
，即
.
故选：C．
例3-2 设直线
，
，则
是
的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当
时，直线
，
，
此时
，则
，所以
，故充分性成立；
当
时，
，解得
或
，故必要性不成立；
所以“
是
”
“
的充分不必要条件，
”
故选：C.
方法技巧
两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况
【变式训练3-1】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线
必过定点
．
B．截距相等的直线都可以用方程
表示
C．直线
的倾斜角为
D．过点
且垂直于直线
的直线方程为
【答案】AD
【分析】利用直线方程的特征可判定A，利用截距的定义可判定B，利用斜率与倾斜角的关系可判定C，
利用两直线的垂直关系及点斜式计算即可判定D.
【详解】对于A，由直线方程有
，故必过点
，故A 正确；
对于B，当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等且为
，如
，
所以不能用方程
表示，故B 错误；
对于C，直线
的斜率为
，则倾斜角为
，故C 错误；
对于D，由直线
和
的斜率分别为
，则有
，故相互垂直，
将
代入方程
，则
成立，故D 正确．
故选：AD.
【变式训练3-2】已知
的顶点
．
(1)求边
上的高
所在直线的方程；
(2)求边
上的中线
所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求直线
的斜率，再结合两直线垂直时，斜率存在的情况下斜率之积为
，求高
所
在直线的斜率，再利用点斜式求直线方程；
（2）先根据中点坐标公式求点
的坐标，再利用点斜式求直线方程.
【详解】（1）因为直线
的斜率
，所以
所在直线的斜率
，
则所求直线方程为
，即
所以边
上的高
所在直线的方程为
．
（2）因为线段
的中点
，
所以边
上的中线
所在直线的斜率
，
则所求直线方程为
，即
所以边
上的中线
所在直线的方程为
．
题型4 点到直线间的距离公式的应用
例4-1 已知直线l 过点
且倾斜角为
，则点
到直线l 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离
【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可.
【详解】易知直线的斜率为
，又过点
，
所以其方程为
，即
，
可得点
到直线l 的距离为
.
故选：C
例4-2 若点
，
到直线
的距离相等，则
（ ）
A．4
B．
C．4 或
D．
或
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数、已知点到直线距离求参数
【分析】分
在直线的同侧和
分别在直线的两侧两种情况分析即可求解.
【详解】若
，
在直线的同侧，则
，解得
；
若
，
分别在直线的两侧，则直线经过
的中点
，
则
，解得
．
故选：C
方法技巧
利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a 的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b 的距离d＝|y0－b|.
(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y 的系数对应相等.
【变式训练4-1】点
到直线
（
为任意实数）距离的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离
【分析】法一：写出点
到直线
的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；
法二：利用几何法即可求出最值.
【详解】法一：点
到直线
的距离为
，
，
令
，当
时，
，
当
时，
，由对勾函数的性质可知
，
所以
，所以
，
所以
.
法二：易知直线
过定点
，则点到直线的距离最大值为定点到
的距离，即
.
故选：C.
【变式训练4-2·变载体】已知实数
，满足
，
，
，则
的最小值是 ．
【答案】
/
【解析】依题意，方程
、
分别表示以原点
为圆心，2、3 为半径的圆，
令
，即点
分别在
、
上，如图，
显然
，
，即有
，
，取线段
中点
，连接
，则
，
因此点
在以原点为圆心，
为半径的圆上，
而
，
即
表示点
到直线
的距离和的
倍，
过
分别作直线的垂线，垂足分别为
，过
作
垂直于直线于点
，
于是
，
，
，原点
到直线的距离
，
显然
，当且仅当点
共线，且点
在线段
上时取等号，
所以
.
故答案为：
题型5 两条平行直线间的距离公式的应用
例5-1（2025·四川成都·模拟预测）已知直线
与直线
平行，则它们之间的距离
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出
，然后由平行线之间的距离求解即可.
【详解】直线
即直线
，与直线
平行，则
，
故所求即为平行直线
与
之间的距离，
即所求为
.
故选：B.
例5-2 已知实数
满足
，
， 则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，
是直线
上的点，
是直线
上的点，则两直线平行，
的最小值是平行直线之间的距离的平方，
可得最小值为
.
故选：D
方法技巧
两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．
【变式训练5-1】若两条不同的直线：
与直线
：
平行，则
的
值为（ ）
A．
B．1
C．
或1
D．0
【答案】B
【分析】两直线
与
平行的判定方法
，但要验证是否
重合.
【详解】因为直线：
与直线
：
平行，
所以
，解得
，
当
时，：
，
：
，两直线平行，
当
时，：
，
：
，两直线重合，
所以
.
故选：B.
【变式训练5-2】设直线
与
.
(1)若
，求、
之间的距离；
(2)当直线
与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由直线平行的判定列方程求参数，再由平行线的距离公式求距离；
（2）根据已知可得
，再由三角形面积公式有
，即可确定面积最大时
的值.
【详解】（1）由
，则
，化简得
，可得
或
，
当
时，不成立，
当
时，
，
，
此时
之间的距离为
.
（2）
直线
与两坐标轴的正半轴围成三角形，
，则
，
与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为
，
当
时，有最大.
题型6 与距离有关的最值问题
例6-1 点
到直线
的最大距离是（ ）
A．
B．2
C．
D．不存在
【答案】D
【分析】求出直线l 所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案.
【详解】直线
即
，
令
，解得
，
即直线
过定点
，设为B，
当直线
与l 垂直时，点
到直线
的距离最大，
即为
，
此时
的斜率为
，则l 的斜率为2，故
，方程无解，
即直线l 和
不可能垂直，则点
到直线l 的距离小于
，不存在最大值，
故选：D
例6-2（2025·江苏南京·二模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】先设点
及点
，应用两点间距离，再应用导函数计算得出切线斜率得出切点，
最后应用点到直线距离计算求解.
【详解】设点
是函数
图象上的点，点
是直线
上的点，
则
，所以
，
因为
，设函数
在点
处的切线与直线平行，
则
，解得
，则点
，
所以
的最小值为点
到直线的距离
，
所以
的最小值为2，
故选：
方法技巧
数学结合，利用距离的几何意义进行转化
【变式训练6-1】已知点
在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点
【分析】由点关于直线的对称点方法求出
，再有三点共线求出最小值即可；
【详解】如图，设
关于直线
对称的点为
，则
解得
，则
，
所以
.
故选：D.
【变式训练6-2】（多选）已知直线
和两点
.在直线l 上有一点P，则
的最小值和
的最大值为（ ）
A．
的最小值为12
B．
的最小值为6
C．
的最小值为
D．
的最大值为2
【答案】AC
【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求
的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关
系求
的最值，即可得答案.
【详解】令
是
关于
的对称点，则
，
所以
，即
，
为
与的交点，
如下图
，则
，
当且仅当
共线且
在线段
上时取等号，即
的最小值为12；
由图知
（直线
与直线的交点离
点更近），即
，
当且仅当
共线且
在射线
上时取最小值，但无最大值，即最小值是
，为
.
故选：AC
题型7 点、直线的对称问题
例7-1 下列说法正确的是（ ）
A．直线
与两坐标轴围成的三角形的面积是4
B．点
关于直线
的对称点为
C．直线
关于直线
的对称直线的方程为
D．直线
关于点
的对称直线的方程为
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】直线围成图形的面积问题、求点关于直线的对称点、求直线关于点的对称直线、直线关于直线
对称问题
【分析】求出三角形的面积判断A；求出两点的中点坐标判断B；在直线
上取点，求出对称
点判断C；求出关于点的对称直线的方程判断D.
【详解】对于A，直线
与两坐标轴交于
，则所求三角形面积为
，A 错
误；
对于B，点
和
的中点
不在直线
上，则点
关于直线
的对称点不是
，B
错误；
对于C，在直线
上取点
，设其关于直线
的对称点为
，
则
，解得
，而点
不在直线
上，C 错误；
对于D，在所求方程的直线上任取点
，则该点关于点
的对称点为
在直线
上，
于是
，即
，因此所求的直线方程为
，D 正确.
故选：D
例7-2 已知
在直线
上，则
的最小值为 ．
【答案】3
【分析】根据
，即表示直线
上的点
到原点距离，由点到直线的距离公式计算，
即可得结果.
【详解】因为
表示点
到原点
的距离，而点
在直线
上，
所以
的最小值即为原点
到直线
的距离，
.
所以
的最小值为3.
故答案为：.
方法技巧
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
【变式训练7-1】在等腰直角
中，
，点
是边
上异于端点的一点，光线从点
出发
经
、
边反射后又回到点
，若光线
经过
的重心，则
的面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点
的坐标，
和P 关于y 轴的对称点
的坐标，由
四点共线可得直线的方程，
由于过三角形
的重心，代入可得关于a 的方程，解得P 的坐标，
即可求得PB 的长和直线方程，进而求得面积.
【详解】
建立直角坐标系，可得
,故直线BC 的方程为
，
则三角形
的重心为
，即
，
设
,其中
，则点P 关于直线BC 的对称点
，
满足
，解得
，即
，
易得P 关于y 轴的对称点
，由光的反射原理可知
四点共线，
直线
的斜率为
，故直线
的方程为
，
由于直线
过三角形
的重心
，代入得
，
化简得
或
（舍去），故
,
,
,直线
的方程为
,
联立
,解得
,即点Q 的坐标为
,
则三角形
的面积
，
故选：A
【变式训练7-2】设入射光线沿直线
射向直线
，则被
反射后，反射光线所在的直线方
程是
【答案】
【难度】0.65
【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称
【分析】通过直线
与
的交点，以及直线
上一点关于
的对称点求得反射光线所
在直线方程.
【详解】由
解得
，
所以直线
与
的交点为
，
点
在直线
上，
点
关于直线
的对称点
在反射光线上，
所以反射光线所在直线方程为
，
整理得
故答案为：
【变式训练7-3】在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3 个单位长度，沿y 轴正方向平移
5 个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x 轴正方向平移1 个单位长度，沿y 轴负方向平移2 个单位长度，
又与直线l 重合.若直线l 与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l 的方程是 .
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b 和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝
，再根据对称解得
b＝
，计算得到答案.由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y＝kx＋b，
则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝
，
∴直线l 的方程为y＝
x＋b，直线l1为y＝
x＋
＋b
取直线l 上的一点
，则点P 关于点（2，3）的对称点为
，
，解得b＝
.
∴直线l 的方程是
，即6x－8y＋1＝0.
故答案为：6x－8y＋1＝0
1．（2024·北京·高考真题）已知
是平面直角坐标系中的点集.
设
是
中两点间距离的最大值，是
表示的图形的面积，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域
，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定
，则
，且
，
可知
，即
，
再结合x 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域
，
如图阴影部分所示，其中
，
可知任意两点间距离最大值
，
阴影部分面积
.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是以形助数，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，
“
”
见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确
把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
2．（山东·高考真题）直线
关于点
对称的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为
,则其关于点
对称的点的坐标为
，
代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为
，
则其关于点
对称的点的坐标为
，
因为点
在直线
上，
所以
即
.
故选：D.
3．（新高考全国
卷
Ⅱ
·高考真题）抛物线
的焦点到直线
的距离为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得
的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为
，
其到直线
的距离：
，
解得：
(
舍去).
故选：B.
4．（全国·高考真题）和
夹角的平分线所在直线的方程为
，如果的方程是
(
)，那
么
的方程是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合已知条件，利用反函数性质即可求解.
【详解】由题意可知，直线与直线
表示直线的一次函数互为反函数，
则将的方程交换
与
的位置即可得到
的方程，
因为的方程是：
，
所以直线
的方程为：
，即
.
故选：A.
5．（全国乙卷·高考真题）双曲线
的右焦点到直线
的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，
，所以双曲线的右焦点为
，
所以右焦点
到直线
的距离为
.
故答案为：
1.已知点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是
，求线段AB 的长．
【答案】
【分析】根据条件可求出
的坐标，然后根据两点间的距离公式可得答案.
【详解】因为点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，所以设
，
因为线段AB 的中点M 的坐标是
，所以
，即
，
所以
，
.
2.分别求点
到下列直线的距离：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用点到直线距离公式分别计算.
【详解】（1）根据点到直线的距离公式，得
（2）因为直线
即
平行于y 轴，所以
.
3.已知两条平行直线
与
间的距离为3，求C 的值．
【答案】
或
【分析】根据两平行直线的距离公式计算即可.
【详解】因为两条平行直线
与
间的距离为3，
所以
，解得
或
.
4.判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)平行
(2)相交，
【分析】（1）将直线化成斜截式，比较斜率即可得到答案；
（2）联立直线得到方程组，解出即可.
【详解】（1）将与
的方程分别化为斜截式可知
．
因此与
的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
（2）解方程组
，
可得
．
因此与
相交，而且交点的坐标为
5.某地
两村在一直角坐标系下的位置分别为
，
，一条河所在直线l 的方程为
．在河边上建一座供水站
分别向
两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站
应建在
什么地方?
【答案】供水站
应建在
处
【分析】根据两点间的距离以及点关于直线的对称性建立方程组求解即可.
【详解】如图，作点
关于直线l 的对称点
，连接
交l 于
，
若
（异于
）在直线l 上，则
，
因此供水站建在
处，才能使得所用管道最省．
设
，则
的中点在l 上，且
，
即
，
解得
，即
，又因为
，
则直线
的方程为：
，则化简为
，
所以直线
的方程为
．
解方程组
，得
．
所以点P 的坐标为
．
故供水站P 应建在
处．
6.求函数
的最大值．
【答案】
【分析】
可表示为
、
的距离减去
、
的距离，然后可得答案.
【详解】
表示
、
的距离，
表示
、
的距离，所以
，
因为
，
所以
.
7.已知直线
与圆
交于A，B 两点，过A，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C，
D 两点，若
，求
．
【答案】4
【分析】先得到直线经过定点
，且
在圆
上，不妨设为
，由垂径定
理得到圆心
到直线的距离，结合点到直线距离公式得到直线的斜率为
，倾斜角为
，作出辅
助线，由三角函数值求出答案.
【详解】
变形为
，
令
，解得
，
故直线
经过定点
，
由于
，故
在圆
上，不妨设为
，
的圆心为
，半径为
，
设圆心
到直线的距离为
，
由垂径定理可得
，解得
，
由点到直线距离公式可知，
，解得
，
直线
，斜率为
，倾斜角为
，
过点
作
平行于
于点
，则
，且
，
因为过A，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C，D 两点，
所以
.
