文档文本内容
第01 讲 直线的方程
目录
01 常考题型过关练
型
题
01 直
的
斜角与斜率
线
倾
型
题
02 直
的点斜式方程
线
型
题
03 直
的斜截式方程
线
型
题
04 直
的两点式方程
线
型
题
05 直
的截距式方程
线
型
题
06 直
的一般方程
线
型
题
07
直
定点
动
线过
问题
型
题
08 直
方程的
合
用
线
综
应
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 直线的倾斜角与斜率
1．已知直线的一个方向向量为
，则直线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角.
【详解】由直线方向向量为
，则直线斜率为
，结合倾斜角的范围，故其倾斜角为
.
故选：C
2．已知两点
，若直线
的倾斜角为
，则
的值为（ ）
A．
B．6
C．
D．4
【答案】C
【分析】由题意可知直线
的斜率
，再结合斜率公式运算求解.
【详解】因为直线
的倾斜角为
，则直线
的斜率
，
又因为
，则
，解得
.
故选：C.
3．(多选)已知
为等腰直角三角形，
为坐标原点，点
在第一象限，点
在第四象限，
，
若直线
的斜率都存在，记直线
的斜率分别为
，则
的关系可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】讨论
、
，结合斜率与夹角关系判断各项的正误.
【详解】当
时，
；
当
时，
.
故选：AB
4．直线l1：y＝ax＋b 与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断．
【详解】对B，
斜率为正，在
轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B 错.
当
时， 和
斜率均为正，且截距均为正.仅D 选项满足.
故选：D
02 直线的点斜式方程
5．直线
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据直线斜率的正负值与定点即可判断结果．
【详解】因为
，所以A C 错；
当
时，
，故B 对；
故选：B
6．直线
的倾斜角是 .
【答案】
【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，求得的倾斜角，即可得答案.
【详解】由
，设斜率为
，倾斜角为
，
因为直线斜率为
，则
，又因直线的倾斜角
，
所以
.
故答案为：
7．已知直线
，
，则与
的夹角大小是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出两条直线的倾斜角，进而求出它们的夹角.
【详解】直线
的斜率为1，则倾斜角
；
直线
的斜率为
，倾斜角
，
所以与
的夹角
.
故答案为：
8．过点
且倾斜角为
的直线方程为 .
【答案】
/
【分析】根据直线的倾斜角及其所过点的坐标求出直线的方程.
【详解】由于过
的直线倾斜角为
，即直线垂直于
轴，所以其直线方程为
.
故答案为：
.
03 直线的斜截式方程
9．直线
不经过的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】根据直线图象即可判断．
【详解】画出直线方程得：
故直线不过第三象限，
故选：C
10．直线
的斜率与在y 轴上的截距分别是（ ）
A．
，
B．
，－3
C．
，3
D．－
，－3
【答案】B
【分析】根据直线方程，结合斜率和截距的概念，即可求解.
【详解】由题意，直线
，即
，
可得直线的斜率为
，
令
，解得
，即直线在
轴上的截距为
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，其中解答中熟记直线的斜率和截距的概念是解答的关键，属于
容易题.
11．直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由直线的斜截式方程求出直线的斜率，最后根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】直线
的斜率为1，则直线
的倾斜角为
.
故选：A.
12．已知直线
交双曲线
于A，B 两点，O 是坐标原点，且直线OA，OB 的斜率
，
满
足
，则该直线的方程为 ．
【答案】
【分析】先将直线方程代入双曲线方程，通过变形得到关于
的二次方程，再根据韦达定理求出两根之积，
结合已知条件建立关于斜率
的方程，求解出
的值，最后得出直线方程.
【详解】设
，
，联立方程组
得
，整理得
，
所以
，解得
，所以所求直线方程为
．
故答案为：
．
04 直线的两点式方程
13．射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.
莱莫恩（Lemoine）定理指出：过
的三个顶点
作它的外接圆的切线分别和边
相交
于点
，则三点
在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemoine）线.在平面直角坐标
系
中若三角形三个顶点的坐标为
，
，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出
的外接圆方程，求出在
处的切线方程，即可求出
的坐标，由题意即可求得答
案.
【详解】设
的外接圆方程为
，
则
，解得
，
即
外接圆方程为
，即
，
故该外接圆在
处的切线方程为
；
直线
的方程为
，令
，则
，即得
，
外接圆在
处的切线方程为
；
直线
的方程为
，令
，则
，即得
，
则直线
的方程为
，即
，
即该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为
.
故选：A.
14．双曲线
， 点
，则直线
与双曲线的公共点的个数（ ）
A．0 个
B．恰有1 个
C．恰有2 个
D．恰有4 个
【答案】B
【分析】求出直线
方程，根据直线
与双曲线的一条渐近线平行可得结果.
【详解】在双曲线
中，
，故双曲线的渐近线方程为
.
∵
，
∴直线
方程为
，整理得
，
∴直线
的斜率为
，直线
与双曲线的一条渐近线平行，
∴直线
与双曲线恰有1 个公共点.
故选：B
15．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．直线倾斜角越大，斜率越大
B．过点
的直线方程是
C．经过点
且在x 轴和y 轴上截距相等的直线有2 条
D．直线
在y 轴上的截距是
【答案】CD
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A 错误；根据直线两点式方程的限制条件可得选项B 错误；
计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项C 正确；根据截距的概念可得选项D 正确.
【详解】A.当直线倾斜角为钝角时，直线斜率
，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率
，故A 错误.
B.当
时，过点
的直线方程是
，故B 错误.
C.当直线过原点时，由直线过点
可得直线斜率
，故直线方程为
.
当直线不过原点时，设直线方程为
，
把点
代入直线方程得
，解得
，故直线方程为
，
综上得，经过点
且在x 轴和y 轴上截距相等的直线有2 条，故C 正确.
D.对于直线
，令
，得
，故直线
在y 轴上的截距是
，故D 正确.
故选：CD.
16．已知三角形三顶点
，
，
，求：
(1)直线AB 的一般式方程;
(2)
边上的高所在直线的一般式方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两点式写出直线
的方程，化为一般式即可；
（2）根据垂直和直线AB 的斜率，得到
边上的高所在直线的斜率，点斜式写出直线方程，化为一般式
即可.
【详解】（1）
，
，
直线AB 的方程为
，
化简得
；
（2）
直线AB 的斜率为
，
边上的高所在直线的斜率为
，
边上的高所在直线的方程为
，即
05 直线的截距式方程
17．直线
在两坐标轴上的截距之和为
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】令
表示出
，得到直线的纵截距．令
表示出
，得到直线的横截距，根据题意列方程求
解．
【详解】直线
，
令
，解得
，令
，解得
，
由题意得：
，解得
．
故选：B
18．（多选）已知直线
在
轴和
轴上的截距相等，则
的值可能是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】AC
【分析】由题设得
，再求出截距并列方程求参数值即可.
【详解】当
时
，不满足题设，故
，
令
，则
；令
，则
，
所以
，可得
或
.
故选：AC
19．过点
且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 .
【答案】
或
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况求解即可.
【详解】当直线过原点时，在坐标轴上的截距都为0，
此时直线的斜率为：
；
当直线不过原点时，设直线的方程为
，
则
，即
，
则直线的方程为
，斜率为
.
故答案为：
或
.
06 直线的一般方程
20．已知直线的一般式方程为
，则（ ）
A．直线的截距式方程为
B．直线的截距式方程为
C．直线的斜截式方程为
D．直线的斜截式方程为
【答案】A
【分析】将直线方程化为截距式、斜截式即可判别.
【详解】由
得
，
直线的截距式方程为：
，即
.
直线的斜截式方程为：
.
故选：A.
21．直线
的一个方向向量是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出直线的斜率即可得解.
【详解】直线
的斜率为
，则该直线的一个方向向量是
，
而选项BCD 中对应向量与
不共线，因此A 是，BCD 不是.
故选：A
22．若直线经过点
且与直线
垂直，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得.
【详解】解析 因为直线与直线
垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为
，即
．
故选：A.
23．求经过点
，且满足下列条件的直线的方程：
(1)经过点
；
(2)与直线
平行．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式即可求得答案；
（2）由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案.
【详解】（1）由题意可得直线斜率为
，
故直线方程为
，即
；
（2）由题意可设直线方程为
，
，结合直线经过点
，
可得
，则直线方程为
.
24．已知直线
.
(1)证明：对任意实数
，直线都经过一个定点；
(2)若直线在
轴、
轴上截距相等，求直线的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)
或
.
【分析】（1）令
，解方程组即可得解；
（2）由已知条件可知
，求得直线与
轴、
轴的交点分别为
，列方程
即可求解.
【详解】（1）将直线
整理得
对任意实数
都成立，
所以
，解得
所以对任意实数
，直线都经过一个定点
；
（2）由已知条件可知
，求得直线与
轴、
轴的交点分别为
，
则有
，化简得
，
当
时，直线的方程为
当
时，直线的方程为
所以直线的方程为
或
.
07 动直线过定点问题
25．（多选）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．若直线倾斜角
，则直线的斜率不存在或斜率
的取值范围是
B．直线
恒过定点
C．若直线
与
互相垂直，则
D．若直线
与
平行，则与
的距离为
【答案】AD
【分析】对于A 由
即可求解，对于B 将直线整理为
即可求解，对于C 由
得
即可求解，对于D 先求
，再利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】对于A：当
时，直线的斜率不存在，
当
时，由斜率
，
，故A 正确；
对于B：由直线
得
，
令
有
解得
，即定点为
，故B 错误；
对于C：直线
与
互相垂直，
则
解得
或，故C 错误；
对于D：由
有
，所以与
的距离为
，故D 正确；
故选：AD.
26．已知点
和直线
，则点P 到直线l 的距离最大值为 ．
【答案】
【分析】先求得直线的定点
，分析可得
时，点
到直线的距离最大，进而求解即可.
【详解】由
，
即
，
令
，解得
，则直线恒过定点
，
当
时，点
到直线的距离最大，
此时最大距离为
.
故答案为：
.
27．已知直线
．
(1)求直线所过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求实数
的取值范围；
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由方程变形可得
，列方程组，解方程即可；
（2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数
的不等式，解之即可；
（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值.
【详解】（1）由
，即
，
则
，解得
，所以直线过定点
.
（2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以
，
此时，直线的方程可化为
，记点
，则
，
由图可得
，解得
，因此，实数
的取值范围是
.
（3）已知直线
，且由题意知
，
令
，得
，得
，
令
，得
，得
，
则
，
所以当
时，取最小值，
此时直线的方程为
，即
.
08 直线方程的综合应用
28．如图，已知抛物线
的方程为
，一束光沿着直线
照射在
点，则反射光线所在的直线
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】联立抛物线和直线方程解得交点
，根据抛物线解析式计算得到焦点
，根据定义反
射光线为直线
，利用点斜式方程计算出直线方程.
【详解】联立
与
得
，抛物线
的焦点为
，
由
的光学性质得，反射光线所在的直线为
，其方程为
，即
.
故选:A.
29．（多选）已知直线
，圆
，则下列命题正确的有（ ）
A．直线l 过定点
B．若直线l 过C 点，则
C．存在实数t，使得直线l 与圆C 相切
D．若直线l 与圆C 相交于A，B 两点，则A，B 两点间的最短距离为
【答案】AB
【分析】对于A，根据直线方程特点易得；对于B，将点
代入
，计算即得；对于C，
根据圆心到直线的距离等于半径列出方程，由方程的根的情况判断；对于D，根据直线过圆内的定点
，即可判断当且仅当
时弦长
最短，同时结合图象可判断此时直线的斜率不存在，从而
排除.
【详解】对于A，直线
显然经过点
，故A 正确；
对于B，直线l 过点
，则有
，则
，故B 正确；
对于C，由圆心
到直线
的距离
，可得
，
显然的值不存在，故C 错误；
对于D，由垂径定理，要使弦长
最短，需使圆心
到直线
的距离
最长，
而直线l 过定点
，当且仅当
时，
，此时，
，
但是，此时
轴，直线的斜率不存在，显然不合题意，故D 错误.
故选：AB.
30．已知双曲线
的离心率为
，右焦点到
的一条渐近线的距离为2.
(1)求
的方程；
(2)经过点
的直线、
（斜率都存在）分别与
交于点
、
和
、
，
、
分别为
、
的中
点.
（i）若点
，求直线的方程；
（ii）若点
，且
，证明：直线
过定点.
【答案】(1)
(2)（i）
（ii）证明见解析
【分析】（1）根据离心率和右焦点到渐近线的距离以及双曲线中
关系列等式，即可求得
得值，
从而得到双曲线的方程.
（2）（i）用点差法求得中点弦的斜率，在用点斜式即可写出直线的方程.
（ii）利用向量的数量积为
得到
与
垂直，设出两条垂直的直线、
分别与双曲线方程联立，写出
、
的坐标及斜率，再用点斜式写出直线的方程，化简即可得证.
【详解】（1）设双曲线右焦点为
，则有
，
由于
的一条渐近线的方程为
，
由题可得
，解得
.
所以双曲线
的方程为
.
（2）（i）设
，
，由题意点
是中点，
则
，
，直线的斜率
.
因为
、
在
上，则
，
两式相减得
，
整理可得
，即
，
可得直线的方程为
，即
，
检验：直线
与
联立方程得
，
其
，符合题意；
所以直线的方程为
.
（ii）设
，由于
，所以
.
设直线
，联立方程：
，得
，
其中
且
.
则有
，
，代入直线
得
，
所以
.
同理设
，
直线
，联立方程：
，
得
，
其中
且
则有
，
，代入直线
得
，
得
.
所以
，
则有直线
.
令
，得
.
当直线
的斜率不存在时，则
，直线
；
所以直线
过定点
.
1．
已知函数
的图象在点
处的切线与直线
垂直，则实数a
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用导数的几何意义，求得
，结合题意建立方程求解即得.
【详解】由
求导得：
，
依题意
，解得
.
故选：C.
2．若直线：
与直线
：
平行，则
（ ）
A．4
B．1
C．1 或-4
D．-1 或4
【答案】D
【分析】根据直线一般方程的平行关系求
的值，并代入检验即可.
【详解】依题意得，
，
得
，
解得
或
，
若
时，直线
与直线
平行，符合题意；
若
时，直线
与直线
平行，符合题意；
综上所述：
或
．
故选：D
3．
我们把平面内到定点
的距离不大于定点
到
的距离的
倍的动点的集合称为
关于
的
阶亲密点域，记为动点符合
．已知
，动点
符合
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，可得动点
到定点
的距离小于等于定点
到定点
的距离的
倍，即
，利用两点间的距离公式，可求出
，即判断点
的轨迹是以
为
圆心，1 为半径的圆及内部，令
，即
，令直线的方程为
，利用
点到直线距离公式可求出点
到直线的距离
，对直线与圆
相交或相切进行分类讨论，可求出
的取
值范围，即可求出
的最大值，即可得解.
【详解】
已知
，
因为动点
符合
，
所以动点
到定点
的距离不大于定点
到定点
的距离的
倍，
即动点
到定点
的距离小于等于定点
到定点
的距离的
倍，
所以
，
所以
1，
即
，
所以点
的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆及内部，
令
，即
，
令直线的方程为
，
要求
的最大值，即为求当直线与圆
相交或相切时
的最大值，
又点
到直线的距离为
，
平移直线与圆
相切时，点
到直线的距离等于圆
的半径
，
即
，即
，解得
或
，
当直线与圆
相交时，点
到直线的距离大于等于0 小于1，
即
，即
，即
，解得
，
综上所述，可得
，即
，
所以
，即
，
故选：A.
4．（多选）抛物线
的焦点
，点
在直线
上，直线
为抛物线
的切线，设
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．抛物线
B．直线
恒过定点
C．
D．当
时，直线
的斜率为
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的焦点坐标确定抛物线方程即可判断A；利用导数的几何意义求导，确定切线方程从
而验证直线
是否过定点，即可判断B；联立直线与抛物线结合韦达定理确定交点坐标关系即可判断C；
根据抛物线的定义结合直角三角形的几何性质求解直线
的斜率，即可判断D.
【详解】对于A，由抛物线
的焦点
，得抛物线
，A 正确；
对于B，设
，由
，求导得
，直线
的方程为
，
即为
，同理得直线
的方程为
，
又
，则
，
，因此直线
的方程为
，
直线
恒过点
，B 正确；
对于C，由
，得
，则
，C 错误；
对于D，设直线
的斜率为
，由
，得
．
如图，分别作
垂直于直线
，垂足分别为
，
设
，则
，
，
，过点
作
，垂足为
，
则
，
，
，
，此时
，
根据对称性得
还可以是
，D 正确.
故选：ABD
5．
已知常数
、
、
、
满足：
，
，
，则
的最大值为
【答案】
/
【分析】设点
，
，可得
，
，根据向量的数量积可得三角形OAB
为等边三角形，
的几何意义为点A，B 两点到直线
的距离之和，设
，则
，进而根据点到直线的距离公式以及正弦函数的性质求解即
可.
【详解】设点
，
，
，
，
由
，
，
，
可得A，B 两点在圆
上，且
，
即有
，即三角形OAB 为等边三角形，
，
所求的
的几何意义即A、B 两点到直线
的距离之和，
故设
，则
，
所以
，
其中
，
所以最大值为
，当且仅当
时，可取最大值.
故答案为：
1．（北京·高考真题）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设点
，根据到两坐标轴距离相等得到
，得到答案.
【详解】设点
，则到两坐标轴距离相等，即
，即
.
故选：D
2．（全国·高考真题）直线
关于x 轴对称的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设点，求出对称点，得出关系.
【详解】设
为直线
关于x 轴对称的直线方程上任意一点，则
关于x 轴对称的点
在直线
上，
即有，
满足直线
方程，
即，
化简得，
.
故选：C.
3．（全国·高考真题）设圆M 的方程为
，直线L 的方程为
，点P 的坐标为
，那么（ ）
A．点P 在直线L 上，但不在圆M 上
B．点P 在圆M 上，但不在直线L 上
C．点P 既在圆M 上，又在直线L 上
D．点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上
【答案】C
【分析】将点P 的坐标分别代入圆的方程和直线方程验算即可.
【详解】由条件知：
，代入圆(r >0) 得：
，
∴点P 在圆上；
再将点P 的坐标代入直线
，得：
，∴点P 也在直线上；
故选：C.
4．（全国·高考真题）直线
与
平行（不重合）的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用斜率存在的两条直线平行的充要条件，列式计算作答.
【详解】直线
，即
，其斜率为
，纵截距为
，
因直线
与
平行（不重合），有
，化为：
，
所以直线
与
平行（不重合）的充要条件是
.
故选：C
5．（北京·高考真题）若直线
与直线
的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解.
【详解】因为直线
恒过点
，
直线
与坐标轴的交点分别为
，
直线
的斜率
，此时倾斜角为
；
直线
的斜率不存在，此时倾斜角为
；
所以直线的倾斜角的取值范围是
.
故选：B.
6．（湖北·高考真题）已知直线
（a，b 是非零常数）与圆
有公共点，且公共点的横
纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
A．60 条
B．66 条
C．72 条
D．78 条
【答案】A
【分析】求出圆
上的整点的个数后分类讨论可求直线的条数.
【详解】圆
上的整点为：
，
共12 个整点，过其中任意两点的直线有
，
其中：过
的直线、过
的直线、过
的直线、过
的直线
的斜率不存在；
过
的直线、过
的直线、过
的直线、过
的直线的截距
方程不存在；
过
的直线、过
的直线，过
的直线、过
的直线过原
点、过
的直线、过
的直线均过原点，
故共有14 条直线的截距式方程不存在，
另外，各自以
为切点的直线的截距式方程也存在，
共8 条，
故满足条件的直线条数为：
.
故选：A
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线
与
交于点P．证明:点
在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意求得
的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线
与
的方程，联立直线方程，
消去
，结合韦达定理计算可得
，即交点的横坐标为定值，据此可证得点
在定直线
上.
【详解】（1）设双曲线方程为
，由焦点坐标可知
，
则由
可得
，
，
双曲线方程为
.
（2）由(1)可得
，设
，
显然直线的斜率不为0，所以设直线
的方程为
，且
，
与
联立可得
，且
，
则
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立直线
与直线
的方程可得：
，
由
可得
，即
，
据此可得点
在定直线
上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，
其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
