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第01
平面向量的线
运算
表示
讲
性
及坐标
目录
01 常考题型过关练
型
题
01 平面向量的概念与表示
型
题
02 向量的几何表示
型
题
03 相等向量与共
向量
线
型
题
04 向量的加减运算
型
题
05 向量的数乘运算
型
题
06 向量的数量积
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
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01 平面向量的概念与表示
1.下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
2.下列说法中正确的是（ ）
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
3.设
，
为非零向量，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数
B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1 个单位长度
D．零向量就是实数0
5．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．向量
与向量
的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的长度都为0
D．两个单位向量的长度相等
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02 向量的几何表示
6.下列说法错误的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移动
B．
是单位向量，则
C．
D．若
，则
7．（多选）圆O 半径为2，弦
，点C 为圆O 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）．
A．
的最大值为6
B．
C．
恒成立
D．满足
的点C 仅有一个
8．如图，在边长为1 的小正方形组成的网格上，求：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
03 相等向量与共线向量
9.以下关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
则
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C．若
是共线的单位向量.同
D．若
，则
不是共线向量
10.已知平面向量
，
，则“
或
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
11.给出下列四个说法：①若
，则
；②若
，则
或
；③若
，则
的方向
相同或相反；④ 若
，
，则
. 其中错误的说法有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
04 向量的加减运算
12.
（ ）
A．
B．
C．
D．
13.在
中，
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
14.
（ ）
A．
B．
C．
D．
15.化简：
(1)
(2)
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05 向量的数乘运算
16．已知向量
不共线，向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．12
17．在
，点
是中线
上一点（不包含端点），且
，则
的最小值是（ ）．
A．8
B．16
C．18
D．25
18．设
，
是两个不共线的向量，若向量
与
的方向相同，则k=（ ）
A．
B．
C．2
D．
19．
（ ）
A．
B．
C．
D．
20．已知向量
不共线，
，
，
，若
，
，
三点共线，则实
数
的值为 ．
06 向量的数量积
21．在
中，
，则
（ ）
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A．9
B．18
C．
D．
22．已知非零向量
满足
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．设
，
是不共线的两个向量.
(1)若
，求实数
的值；
(2)已知向量
，
满足
，
，
，求
.
24．如图，在
中，
，
是
的中点，设
，
．
(1)试用
、
表示
和
；
(2)若
，且
，求
．
25．已知向量
，
，
．
(1)若
，
所成角为钝角，求
的取值范围；
(2)若
，求
在
上的投影向量（结果用坐标表示）．
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26．已知向量
，
满足
，
，
与
的夹角为
.
(1)求
；
(2)若
在
方向上的投影向量为，求
的最小值.
1．已知
是夹角为
的两个单位向量，且
，若A，B，C 三点共线，
则
（ ）
A．10
B．12
C．14
D．16
2.
如图所示，设
，
，线段
与
交于点
，且
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
3.（多选）奔驰定理是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与奔驰轿车的标志很
“
”
“
”
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相似，所以形象地称其为奔驰定理
“
”.奔驰定理：已知O 是
内一点，
，
，
的面
积分别为
，
，
，则
.设O 是
内一点，
的三个内角分别为
A，B，C，
，
，
的面积分别为
，
，
，若
，则以下命题正
确的有（ ）
A．
B．O 有可能是
的重心
C．若O 为
的外心，则
D．若O 为
的内心，则
为直角三角形
4．（多选）点O，H 分别是
的外心、垂心，则下列选项正确的是（ ）．
A．若
且
，则
B．若
，且
，则
C．若
，
，则
的取值范围为
D．若
，则
5．
（多选）如图，由两平行线上的点A，B，C，D，O，
，
，
所构成的三个平行四边形
，
，
全等，其中
为锐角.则下列结论正确的有（ ）
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A．若
，则
B．
C．
D．
1．（2024·北京·高考真题）设
，
是向量，则“
是
”
“
或
的（
”
）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
的半径为1，直线PA 与
相切于点A，直线PB 与
交于B，
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C 两点，D 为BC 的中点，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
6．（2023·天津·高考真题）在
中，
，
，记
，
用
表示
；若
，则
的最大值为 ．
7．（2023·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知向量
，
满足
，
，则
．
