文档文本内容
知识解构
知识点1 向量的有关概念 知识点2 向量的线性运算 知识点3 向量共线定理
题型破译 (含超链接）
题型
1 元素与集合的关系
题型
1 平面向量的概念与表示
题型
2
向量的几何表示
题型
3 相等向量及其应用
题型
4 平面向量线性运算
【方法技巧】平面向量线性运算的解题策略
题型
5 根据向量的线性运算求参数
题型
6 平面向量共线定理与点共线问题
【方法技巧】利用向量共线定理解题的策略
题型
7 平行向量（共线向量）求参数
第01 讲 平面向量的概念及线性运算
内容导航
命题透视·考情前瞻
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
平面向量的相关概念
全国Ⅰ卷T5（5 分）
平面向量的线性运算
全国一卷T6（5 分）
全国Ⅰ卷T3（5 分）
考情分析
平面向量概念与线性运算包含向量定义、相等共线判定及加减数乘运算，常
结合几何图形转化求解；小题常考基础考点，出题频次平稳；
近三年考情显示，本节侧重向量线性拆分、共线条件应用，依托图形考查逻
辑转化能力。
复习目标
1 了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示
2 掌握向量的加、减运算并理解其几何意义
3 掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
4 理解向量的线性运算性质及其几何意义
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
（2）零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的．
（3）单位向量：长度等于1 个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
自主检测下列说法中，正确的是（ ）
A．模为
的向量与任意向量共线
B．单位向量只有一个
C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
【答案】A
【详解】对A，模为
的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故A 正确；
对B，单位向量的模为，但方向为任意方向，故B 错误；
对C，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故C 错误；
对D，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故D 错误．
故选：A．
知识点2 向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a 与b 的相反向量－b
的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ 与向量a 的积的
运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0 时，λa 与
a 的方向相同；当λ<0 时，λa
与a 的方向相反；当λ＝0
时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa
＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
自主检测下列结果不是零向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A 中，由
，所以A 不符合题意；
对于B 中，由
，所以B 符合题意；
对于C 中，由
，所以C 不符合题意；
对于D 中，由
，所以D 不符合题意.
故选：B.
知识点3 向量共线定理
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝
λ a .
【注意】当a≠0 时，定理中的实数λ 才唯一．
必记结论
（1）P
段
为线
AB 的中点，O
平面内任意一点
为
⇔OP＝(OA＋OB).
（2）若OP＝vOA＋μOB(μ，v
常数
为
)，O 不在直线AB 上，则P，A，B 三点共
的充要条件是
线
μ＋v＝1.
（3）若G 为△ABC 的重心，
有
则
①GA＋GB＋GC＝0；②AG＝(AB＋AC).
（4）
于任意两个向量
对
a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)
自主检测已知向量
，
，
，
，
，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D
B．A，B，C
C．A，C，D
D．B，C，D
【答案】A
【分析】利用向量的共线定理一一判断即可.
【详解】因为
，故A，B，D 三点共线，A 对；
因为
，
，故
，
不一定共线，B 错；
因为
，
，所以
，
不一定共线，C 错；
因为
，
，则
，
不一定共线，D 错.
故选：A.
题●型●破●译
题型1 平面向量的概念与表示
例1-1（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量的长度是0
B．向量是有向线段
C．若
，则
D．若
是共线的单位向量，则
【答案】AC
【详解】对于A，由零向量的定义可知，A 正确；
对于B，向量可以用有向线段表示，不能说向量是有向线段，B 错误；
对于C，由向量相等的定义可知，C 正确；
对于D，若
是共线的单位向量，则
或
，D 错误．
故选：AC
例1-2（25-26 高三上·广东河源·阶段检测）下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的两个向量一定是相等向量
B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量
C．零向量没有方向
D．平行向量的方向一定相同
【答案】B
【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A 错误；
对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B 正确；
对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C 错误；
对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D 错误.
故选：B.
【变式训练1-1·变考法】（2026·广东广州·阶段测试）（多选）给出下列命题，则（ ）
A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若
，
，则
C．若
为非零向量，则
与
同向 D．已知
，
为实数，若
，则
与
共线
【答案】AC
【详解】选项A：相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A 正确；
选项B：当
时，
和可以是任意向量，不一定平行，B 错误；
选项C：
是与
同向的单位向量，C 正确；
选项D：当
时，
恒成立，此时
和
可以是任意向量，不一定共线，D 错误.
故选：AC
【变式训练1-2·变考法】已知平面向量
，
，则“
或
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量的基本概念，结合充分，必要条件，即可判断选项.
【详解】若
或
，则
，反过来，若
，两个向量的方向不确定，不能推出
或
，
所以“
或
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
题型2 向量的几何表示
例2-1 如图所示的方格纸是由若干个边长为1 的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，
点C 为小正方形的顶点，且
．
（1）画出所有满足条件的向量
；
（2）求
的最大值与最小值．
【答案】（1）答案见解析
（2）最大值为
，最小值为
．
【分析】根据向量的模的定义和勾股定理来确定点C 的位置，从而画出符合要求的向量
，再通过观察
图形计算
的最大值和最小值.
【详解】（1）画出所有满足条件的向量
，即
（
，2，…，8），如图所示．
（2）由（1）所画的图知，当点C 位于点
或
的位置时，
取得最小值
；
当点C 位于点
或
的位置时，
取得最大值
，
故
的最大值为
，最小值为
．
【变式训练2-1·变情境】（2025·河南·三模）若点A 在点O 的正北方向，点B 在点O 的南偏西
方向，且
，则向量
表示（ ）
A．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
B．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
C．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
D．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
【答案】C
【分析】以O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，
标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出
即可.
【详解】以O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立如图所示的平面直
角坐标系，依题意可得
，
设
，因为
，所以四边形OACB 为菱形，
则
，则
为正三角形，所以
，
故向量
表示从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km.
故选：C
题型3 相等向量及其应用
例3-1 已知向量
，
不共线，实数
，
满足
，则
（ ）
A．4
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】由已知结合平面向量基本定理可求
，
，进而求出答案.
【详解】由
，
不共线，实数
，
满足
，
得
，解得
，
，所以
.
故选：A
例3-2 如图所示，四边形
是平行四边形，四边形
是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向
量中，写出（不含
）：
（1）与向量
相等的向量；
（2）与向量
共线的向量．
【答案】（1）
，
（2）
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可.
【详解】（1）因为四边形
是平行四边形，四边形
是矩形，
所以
，又
，所以
，
与向量
相等的向量有
，
.
（2）与
共线的向量有
，
，
，
，
，
，
．
【变式训练3-1·变考法】已知四边形
满足条件
，且
，其形状是（ ）
A．梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
【答案】B
【分析】由
，分析出四边形一组对边平行且相等，又由
，分析出四边形对角线相等，
即可得到结果.
【详解】由
，可知
且
，
则四边形
为平行四边形，
又由
，可知四边形
为矩形，
故选:B.
【变式训练3-2·变载体】平面直角坐标系中，已知点A，B，C 的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，
2），且四边形ABCD 为平行四边形，那么D 点的坐标为（ ）
A．（3，3）
B．（﹣5，1）
C．（3，﹣1）
D．（﹣3，3）
【答案】A
【分析】利用
，求得
点的坐标.
【详解】设D（x，y），∵点A，B，C 的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），
且四边形ABCD 为平行四边形，∴
，∴（x，y
1
﹣）=（3，2），解得x=3，y=3，
∴D 点的坐标为（3，3）.
故选：A.
【变式训练3-3】如图，
为正方形
对角线的交点，四边形
，
都是正方形.在图中所示
的向量中：
（1）分别写出与
，
相等的向量；
（2）写出与
的相反向量；
（3）写出与
模相等的向量.
【答案】（1）
，
（2）
，
（3）
，
，
，
，
，
，
【详解】（1）由题意
，
．
（2）由题意，与
的相反向量为：
，
．
（3）由题意，与
模相等的向量为：
，
，
，
，
，
，
．
【变式训练3-4·变考法】设
，
，
，
为平面内的四点，且
，
，
.
（1）若
，求
点的坐标；
（2）设向量
，若
与
平行，求实数
的值.
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设点
，则
,
.
因为
，所以
，即
得
.所以点
的坐标为
.
（2）由题意得
，
所以
，
.
因为
，所以
，解得
.
题型4 平面向量线性运算
例4-1 已知ABCD 为平行四边形，E 为BC 的中点，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
.
故选：C.
例4-2 在
中，点
在线段
上，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】法一：根据向量的运算法则，先用
、
表示
，再用
、
表示
，整理化简即可；
法二：取
中点
，根据向量的运算法则，先用
、
表示
，再用
、
表示
，整理化简
即可.
【详解】（法一）根据题意，因为
，根据平面向量的运算法则，可得
.
（法二）取
中点
，由题意可知，
为
中点，如图，
则
.
故选：B
例4-3【新思维】（25-26 高三上·四川成都·期中）如图，在梯形
中，
，
，
．
（1）用
，
表示
；
（2）若
与
交于点
，用
，
表示
．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可；
（2）方法一，利用三角形相似，将其用表示出来，再由（1）即可求得；
方法二，利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得.
【详解】（1）由图，
．
（2）设
，则
．
设
，则
，则
，解得
，
所以
．
方法二：
（方法一）延长
，交
的延长线于
.
易证
，则
，得
，
易证
，则
，
设
，则
，
，得
，
得
，
所以
.
方法技巧 平面向量线性运算的解题策略
（1）向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.
（2）[爪子定理]在△ABC 中，D 为BC 上一点，若BD
DC =m
n ，则⃗AD=
n
m+n⃗AB+ m
m+n⃗AC.
【变式训练4-1】在
中，点D 为
的中点，点O 为
的重心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
如图，连接
，因为点O 为
的重心，则
为
的三等分点，且
，
所以
，
故选：A.
【变式训练4-2】如图，在正六边形
中，点
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用
表示
，即可得答案.
【详解】由题设及正六边形的结构特征知
，
，且
，
，
又
，所以
.
故选：B
【变式训练4-3·变考法】（25-26 高三上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在梯形
中，
，
，
分别为
，
的中点，
为线段
的四等分点（靠近点
），记
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用向量加法的三角形法则，将
表示为
，结合已知条件求出
和
关于基底向量
的表达式，代入计算即可.
【详解】由题意可知，在梯形
中，
，
又因为
，
，
，
所以
，即
，
则
，
，
又因
为
的中点，则
，
因
为线段
的四等分点（靠近点
）， 则
。
因为
为
的中点，所以
，
所以
.
故选：A
【变式训练4-4·变载体】（26-27 高三·全国·一轮复习）（多选）已知等边三角形
内接于
，
为线
段
的中点，
为线段
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】选项A、B：等边三角形
中，
为
中点，外心
在中线
上，
且满足
，因此
，
是
中点，故
.
则
，故A 正确、B 错误；
选项C、D：由上述推导过程可得
，故C 正确、D 错误.
故选：CA
【变式训练4-5·原创题】已知
，
为两个不共线的向量，
，
，则
_____________.（用
，
表示）
【答案】
【详解】因为
，所以
.
故答案为：
.
题型5 根据向量的线性运算求参数
例5-1（2026·湖南邵阳·阶段测试）设
为
所在平面内一点，
．若
，则
的值为（ ）
A．4
B．5
C．
D．
【答案】D
【详解】
，所以
，即
，即
,即
.
故选：D
例5-2（【新角度】25-26 高三上·广东中山·阶段测试）（多选）如图， 在
中，
为
的中点，
，
与
交于点
，若
，则下面对于
的描述正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】
，
因为
，所以
，即
，
由
三点共线，所以
，即
，故A 正确；
又
为
的中点，所以
，即
，
由
三点共线，所以
，即
，故C 正确；
则由
，可解得
，
，故B 错误；
，故D 错误.
故选：AC
【变式训练5-1】（2026 高一·全国·专题练习）在平行四边形
中，
分别是
的中点，若
，则
______，
______．
【答案】
【分析】如图设
与
相交于点
，根据共线可得
，又
，可得
，
再利用向量线性运算即得.
【详解】设
与
相交于点
，如图，
设
，又
，
所以
，即
，所以
，解得
，
，即
，
所以
，
．
故答案为：
；
【变式训练5-2】（25-26 高三上·天津南开·阶段检测）如图，在
中，
，
分别在线段
，
上，
且
，
，
，
交于点
，若
，则
_____________.
【答案】2
【分析】由已知可得向量
与向量
共线，设
，根据向量线性运算法则可得
，
，由此可得
，根据平面向量基本定理可得
，
，由
此可得结论.
【详解】由已知向量
与向量
共线，故可设
，
所以
，
因为
，所以
，
故
，
所以
，
又
，
，
不共线，
由平面向量基本定理可得，
，
，所以
，
故答案为：
题型6 平面向量共线定理与点共线问题
例6-1（2026·湖南长沙·三模）已知
是不共线的向量，且
，则
（ ）
A．
三点共线
B．
三点共线
C．
三点共线
D．
三点共线
【答案】C
【详解】假设存在实数
，使得
，则
三点共线，
，而
不共线，故
，无解，所以假设不成立，故A 错误；
假设存在实数
，使得
，则
三点共线；
，同理得
，无解，所以假设不成立，故B 错误；
C：
，
假设存在实数
，使得
，则
三点共线；
，同理得
，解得
，所以假设成立，故C 正确；
D：
，
假设存在实数
，使得
，则
三点共线；
，同理得
，无解，所以假设不成立，故D 错误．
故选：C．
例6-2（25-26 高三上·广西梧州·期中）已知
中，
，
，M 为AB 的中点，N 为BD 上靠
近B 的三等分点．
（1）
，
表示向量
，
；
（2）判断M，N，C 三点的位置关系，并证明．
【答案】（1）
，
（2）
，
，
三点共线．证明见解析
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）首先表示出
，即可得到
，从而得证；
【详解】（1）
，
因为
．
所以
.
（2）
，
，
三点共线．证明如下;
由于
，
所以
，所以
，因为
为公共点，所以
，
，
三点共线．
方法技巧 利用向量共线定理解题的策略
（1）a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
（2）若a 与b 不共线且λa=μb，则λ=μ=0.
（3）已知O，A，B 是不共线的三点，且⃗OP=m⃗OA+n⃗OB(m，n∈R)，则A，P，B 三点共线的充要条
件是m+n=1.
【变式训练6-1】已知
，
为平面内一组基底，
，
，
，若A，B，
D 三点共线，则a 的值为（ ）
A．2
B．
C．0
D．1
【答案】A
【分析】根据向量的减法运算求出
，再由共线向量定理求解即可.
【详解】
，
，
因为
与
共线，
，
故选：A．
【变式训练6-2】（2026·浙江·二模）已知
，
是两个不共线的向量，且
，
，
，则四边形
的形状是（ ）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．无法构成四边形
【答案】A
【分析】根据题意求出
，结合
与
的关系分析判断即可.
【详解】
，所以
，且
，
所以四边形
是梯形.
故选：A．
【变式训练6-3】若
、
是两个不共线的向量，若
，
，
，且
、
、
三点共线，则实数
的值等于_____________.
【答案】
/
【分析】求出向量
，由题意可得
，则存在实数
，使得
，利用平面向量的基本定理
可得出关于
、
的方程组，即可解得
的值.
【详解】由题意可得
，
因为
、
、
三点共线，则
，
则存在实数
，使得
，即
，
因为
、
是两个不共线的向量，所以，
，解得
.
故答案为：
.
【变式训练6-4·原创题】已知向量
三点共线，则
.
【答案】
【详解】因为
三点共线，所以
，所以
，
可得
故答案为：
题型7 平行向量（共线向量）求参数
例7-1（2026 广东茂名·阶段测试）已知向量
不共线，且
，则实数
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量共线，可设
，利用向量相等的条件求解即可．
【详解】因为向量
不共线，且
，
设
，即
，所以
，解得
．
故选：D．
例7-2 向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b 与c 共线，则实数λ=_____________.
【答案】2
【解析】由图可知，2a+b=c，因为向量λa+b 与c 共线，所以根据共线向量基本定理可设c=μ(λa+b)
(μ∈R)，即c=λμa+μb，则2a+b=λμa+μb，所以{
λμ=2,
μ=1, 解得{
λ =2,
μ=1.
故答案为：2
【变式训练7-1】（2025·广东广州·三模）已知向量
不共线，
与
共线，则实数
的值为
（ ）
A．
B．2
C．6
D．
【答案】A
【分析】由向量共线得到
，求解即可.
【详解】因为
与
共线，所以
，解得：
，
故选：A
【变式训练7-2】已知
、
不共线，向量
，
，且
，则
_____________.
【答案】
【分析】设
，其中
，根据平面向量的基本定理可得出关于
、
的方程组，解之即可.
【详解】因为
，所以
，使得
成立，即
.
因为
、
不共线，所以
，所以，
.
故答案为：
.
【变式训练7-3】（25-26 高三上·安徽蚌埠·阶段检测）在
中，
边上的中线为
的中点为
，
过点
的一条直线与
分别交于点
．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平面向量基本定理和共线向量定理的推论求解可得.
【详解】由题意可得
．因为
是
的中点，所以
．
因为
三点共线，所以
．又因为
，所以
，所以
，消去
，可得
．
故选：B．
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1.（2026·全国I卷·高考真题） 已知平面向量
，
不共线，且
，则（ ）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】A
【详解】由题意可知平面向量
不共线，且
，则
.
故选：A
2.（2020·海南·高考真题）在
中，D 是AB 边上的中点，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
3.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D 在边AB 上，
，所以
，即
，
所以
．
故选：B．
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1.化简：
（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
；
（5）
； （6）
；
（7）
.
【答案】（1）0（2）AB
（3）
（4）0（5）0（6）
（7）0
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
（4）原式
.
（5）原式
OA
AD
DO
0
.
（6）原式
(
)
AB
AD
DC
AB
AC
CB
.
（7）原式
MN
NQ
QP
PM
0
.
2.在四边形ABCD 中，若
，则( ).
A.四边形ABCD 是矩形
B.四边形ABCD 是菱形
C.四边形ABCD 是正方形
D.四边形ABCD 是平行四边形
【答案】D
【详解】
是向量加法的平行四边形法则.
.故选D.
3.设a 是非零向量，
是非零实数，下列结论中正确的是( ).
A.a 与
的方向相反
B.
C.a 与
的方向相同
D.
【答案】C
【详解】当
时，a 与
的方向相反，当
时，a 与
的方向相同，故A 项错误；
，只有当
时，才有
，故B 项错误；因为
，所以a 与
同
向，故C 项正确；D 项错误.
故选C.
4.设M 是
的对角线的交点，O 为任意一点，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【详解】因为
，所以
.
故选D.
5.已知a，b 是不共线的向量，且
，
，
，则( ).
A.A，B，D 三点共线
B.A，B，C 三点共线
C.B，C，D 三点共线
D.A，C，D 三点共线
【答案】A
【详解】
，
A，B，D 三点共线.
故选A.
6.已知正方形ABCD 的边长为1，
，
，
，则
( ).
A.0
B.3
C.
D.
【答案】D
【详解】因为
，所以
.因为
，所以
.
故选D.
7.已知
，
，
，
，且四边形ABCD 为平行四边形，则( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【详解】易知
，
，而在平行四边形ABCD 中，
，所以
，即
，也即
，
故选B.
8.如图，
.求证
.
【答案】见详解
【详解】因为
，而
，
，所以
.
9.已知六边形ABCDEF 为正六边形，且
，
，分别用a，b 表示
，
，
，
，
，
，
.
【答案】
，
，
，
，
，
，
【详解】如图，
设
.因为六边形ABCDEF 为正六边形，所以
，
且
.又
是等腰三角形，所以
，
从而可有
，则
，
则
，
所以
，
，同理有
，
.
所以
，
，
.
，
，
，
，
.
10.在
中，
，
，且与边AC 相交于点E，
的中线
AM 与DE 相交于点N.设
，
，用a，b 分别表示向量
，
，
，
，
，
，
.
【答案】
；
；
；
；
；
；
1 (
)
8
AN
a
b
【详解】如图，
，
1
4
AE
b
，
，
3
4
DB
a
，
，
1 (
)
8
DN
b
a
，
.
11.已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量
，
，
，
满足等式
.
（1）作出满足条件的四边形ABCD.
（2）四边形ABCD 有什么特点？请证明你的猜想.
【答案】（1）平行四边形
（2）四边形ABCD 为平行四边形，证明见解析
【详解】（1）作图略，通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.
（2）四边形ABCD 为平行四边形.
证明：因为
，所以
，因为
，
，
所以
，即
，因此四边形ABCD 为平行四边形.
12.（1）如图（1），在
中，计算
；
（2）如图（2），在四边形ABCD 中，计算
；
（3）如图（3），在n 边形
中，
证明你的
结论.
【答案】（1）0；（2）0；（3）0，证明见详解
【解析】（1）
.
（2）
.
（3）
.
证明如下：
…
.
