文档文本内容
第01 讲 直线的方程
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................3
知能解码.........................................................................................................................................3
知识点1 直线的倾斜角与斜率...........................................................................................3
知识点2 直线的点斜式方程...............................................................................................5
知识点3 直线的斜截式方程...............................................................................................6
知识点4 直线的两点式方程...............................................................................................6
知识点5 直线的截距式方程...............................................................................................7
知识点6 直线的一般式方程...............................................................................................7
题型破译................................................................................................................................................8
题型1 直线的倾斜角与斜率...............................................................................................8
【方法技巧】倾斜角与斜率的函数关系
题型2 直线的点斜式方程...................................................................................................9
【方法技巧】注意斜率不存在的情况
题型3 直线的斜截式方程.................................................................................................11
题型4 直线的两点式方程.................................................................................................12
题型5 直线的截距式方程.................................................................................................14
题型6 直线的一般方程.....................................................................................................16
题型7 动直线过定点问题
..........................................................................................18
题型8 直线方程的综合应用
.......................................................................................21
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................25
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................30
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）理解直线的倾斜角
与斜率的概念，了解直线
的方向向量与直线的斜率
的关系，会求直线的斜率
与倾斜角，掌握确定直线
的条件及直线倾斜角与斜
率的取值范围.
（2）要求按题给的条件
利用点斜式、斜截式方程
的要求求解直线的方程，
并能解决与之有关的直线
方程的问题.
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第7
题，5 分
天津卷，第12 题，
5 分
甲卷理科，12
题，5 分
北京卷，3 题，4
分
新课标II 卷，15 题，5 分
考情分析：
近几年以直线与圆知识点交叉命题，涉及到点到直线距离，与圆相交弦长等问题，分值5 分；属于易得分题
型。
复习目标：
1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题。
3.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围；
4.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；
5.会用中点坐标公式求线段的中点坐标，掌握直线的一般式方程；
6.理解关于x，y 的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为0)都表示直线；7.会进行直线方程
的五种形式之间的转化。
知识点1 直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α 叫做直线l
的倾斜角．
②当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α 的取值范围为0°≤
α <180°
.
2．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝
tan
α .
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k ＝
.
3．直线的方向向量
我们知道,直线P1P2上的向量
以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量
的坐标为
.
当直线P1P2 与x 轴不垂直时,
.此时向量
也是直线P1P2 的方向向量,且它的坐标为
,即
,其中k 是直线P1P2的斜率.因此,若直线l 的斜率为k,它的一
个方向向量的坐标为(x,y),则
.
自主检测设直线的方程为
，则直线的倾斜角
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据直线方程的特点，分
和
两种情况讨论，再分别计算出倾斜角
的取值范
围，最后取并集即可.
【详解】当
时，直线的方程为
，此时直线的倾斜角
；
当
时，直线的斜率为
，
因为
，
所以
，即
，
又因为
，
所以结合正切函数的图象可得：
.
综上可得：直线的倾斜角
的取值范围是
.
故选：C.
知识点2 直线的点斜式方程
我们把方程y －
y 0＝
k ( x －
x 0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k 的直线l 的方程．
方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k 确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，
简称点斜式．
注意点：
(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．
(2)当直线与x 轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x 轴的方程是y＝0；当直线与y 轴平行或重合
时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y 轴的方程是x＝0.
自主检测直线经过点
，倾斜角是直线
的倾斜角的
，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程.
【详解】因为直线
的倾斜角为
，所以直线的方程为
，即
，
故选：A．
知识点3 直线的斜截式方程
1．直线l 与y 轴的交点(0，b)的纵坐标
b 叫做直线l 在y 轴上的截距．
2．把方程y＝kx＋b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
注意点：
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y
轴上的截距．
(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，
它在x 轴上的截距和在y 轴上的截距都为0.
自主检测直线
的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】化直线方程为斜截式，再求出斜率.
【详解】直线
，即
，所以该直线的斜率为：
．
故选：D
知识点4 直线的两点式方程
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我
把它叫做直
的两点式方程，
称
们
线
简
两
点式．
注意点：
(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．
(2)两点式方程与这两个点的顺序无关．
(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．
自主检测已知直线经过点
、
两点，直线
的倾斜角是直线的倾斜角的2 倍，则直线
的
斜率为 ．
【答案】
/
【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线
的斜率.
【详解】因为直线经过点
、
两点，所以
，
设直线的倾斜角为
，所以
，故
，
故直线
的斜率为
.
故答案为：
.
知识点5 直线的截距式方程
我们把方程＋＝1 叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x 轴的交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在
x 轴
上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b.
注意点：
(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线
都不能用截距式表示．
(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x 轴和y 轴上的截距，这一点常被用来作图．
自主检测直线
在
轴的截距为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】直接令
计算即可求解.
【详解】令
，得
，所以直线在
轴的截距为
.
故选：A
知识点6 直线的一般式方程
我们把关于x，y 的二元一次方程Ax
＋
By
＋
C ＝
0 (其中A，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般
式．
注意点：
(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y 的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
③x 的系数一般不为分数和负数．
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0 的系数A，B，C 满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0 有如下性质
①当A≠0，B≠0 时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0 时，直线只与x 轴相交，即直线与y 轴平行，与x 轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0 时，直线只与y 轴相交，即直线与x 轴平行，与y 轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0 时，直线与x 轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0 时，直线与y 轴重合．
自主检测直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】由题意有直线
的斜率为
，
设直线
的倾斜角为
，
则
，又因为
,所以
，
故选：C.
题型1 直线的倾斜角与斜率
例1-1 已知直线的一个方向向量为
，若过点
，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式得到直线方程.
【详解】因直线的一个方向向量为
，则直线的斜率
，
又因直线过点
，
故直线的方程为
．
故选：C
例1-2 直线
与
的夹角大小为 ．
【答案】
/
【分析】根据直线的斜率求出倾斜角，再由
知倾斜角为
，根据倾斜角求出两直线的夹角.
【详解】直线
化为斜截式为
，
故直线的斜率是
，
直线的倾斜角
满足
，
结合
，可得
，
直线
倾斜角为
所以直线
与
的夹角大小为
.
故答案为：
方法技巧
1．定义：一条直线的倾斜角α 的 正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k＝ tan α，
倾斜角是90°的直线斜率不存在．
2．过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ .
【变式训练1-1】在平面直角坐标系中，直线
的斜率为（ ）
A．0
B．1
C．90
D．不存在
【答案】D
【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况.
【详解】直线
垂直于
垂直，所以直线
的斜率不存在.
故选：D
【变式训练1-2】已知点
，
，则直线
的斜率为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】把点的坐标代入直线斜率公式即可.
【详解】解：
，
故选：B
题型2 直线的点斜式方程
例2-1 直线经过点
，倾斜角是直线
的倾斜角的
，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程.
【详解】因为直线
的倾斜角为
，所以直线的方程为
，即
，
故选：A．
例2-2 已知直线l 过原点O，将直线l 绕点O 顺时针旋转
后，恰与y 轴重合，则直线l 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角求出直线斜率得解.
【详解】因为y 轴的倾斜角为
，
所以直线l 的倾斜角为
，直线斜率
，
所以直线l 的方程为
，
故选：D
方法技巧
求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
【变式训练2-1】若直线的方向向量为
，且经过点
，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程.
【详解】因为直线的方向向量为
，所以直线的斜率
，
所以直线方程为
，化简可得
.
故选：A
【变式训练2-2·变考法】若直线
的倾斜角是直线
的倾斜角的两倍，则实
数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出直线
的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，得到
.
【详解】因为直线
的斜率
，对应的倾斜角为
，
由题意可得，直线的倾斜角为
，故其斜率
，解得
，
故选：C．
【变式训练2-3·变载体】过点
且倾斜角为
的直线方程是 ．
【答案】
【分析】由已知可得直线斜率不存在，直接可得解.
【详解】由已知直线倾斜角为
，
所以直线斜率不存在，
则直线方程为
，
故答案为：
.
题型3 直线的斜截式方程
例3-1 直线
在
轴上的截距为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【分析】根据截距的定义，令
即可求解.
【详解】令
，则有
，所以直线
在
轴上的截距为
，
故选：A.
例3-2 倾斜角为
，在
轴上截距为
的直线方程为 ．
【答案】
【分析】由直线的倾斜角求出斜率，然后直接由直线方程的斜截式得答案．
【详解】因为
，
所以所求直线的斜率为
，
又直线在
轴上的截距为
，
由直线方程的斜截式得：
，
化为一般式得：
．
故答案为：
．
方法技巧
求直线的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．
【变式训练3-1】直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系计算可得结果.
【详解】易知直线
的斜率为
，
设其倾斜角为
，且
，满足
，可得
.
故选：B
【变式训练3-2】根据条件写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5；
(2)倾斜角为
，在y 轴上的截距是
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用直线的斜截式方程直接写出方程即可.
（2）求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程写出方程即可.
【详解】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为
.
（2）因为直线的倾斜角
，则该直线的斜率
.
所以该直线的斜截式方程为
.
题型4 直线的两点式方程
例4-1 已知
，
，则直线
的斜率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由斜率公式求解即可.
【详解】直线AB 的斜率为
.
故选：B
例4-2 经过点
的直线的两点式方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解
【详解】因为直线经过点
，
所以由方程的两点式可得直线方程为
，即
．
故选：A
方法技巧 利用两点式求直线的方程
(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件；
若满足即可考虑用两点式求方程．
(2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
【变式训练4-1】若直线过
，则此直线的斜率是（ ）
A．
B．1
C．
D．不存在
【答案】A
【分析】因为直线上两点横坐标不同，肯定有斜率，代入到两点的斜率公式计算即可.
【详解】因为直线过点
，所以直线斜率
.
故选：A
【变式训练4-2·变载体】已知
的三个顶点分别为
、
、
．
(1)求边
和
所在直线的方程；
(2)求
边上的中线
所在直线的两点式方程．
【答案】(1)
的方程为
，
的方程为
(2)
【分析】（1）求出直线
、
的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；
（2）求出线段
的中点
的坐标，进而可求得
的两点式方程.
【详解】（1）解：
，所以，直线
的方程为
，即
，
，所以，直线
的方程为
，即
.
（2）解：线段
的中点为
，
所以
边上的中线
所在直线的两点式方程为
．
题型5 直线的截距式方程
例5-1 直线
的纵截距为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【分析】根据截距式方程判断即可.
【详解】直线
即
，所以纵截距为-2.
故选：A.
例5-2（多选）下列说法一定正确的是（ ）
A．过点
的直线方程为
B．直线
的倾斜角为
C．若
，
，则直线
不经过第三象限
D．过
、
两点的直线方程为
【答案】CD
【分析】取倾斜角为直角的直线可判断A 选项；取
，可判断B 选项；化直线方程为斜截式，数形
结合可判断C 选项；利用两点式方程可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，过点
且斜率不存在的直线的方程为
，A 错；
对于B 选项，若
，则直线
的倾斜角不是
，B 错；
对于C 选项，因为
，
，则直线
的方程可化为
，
故直线
的斜率为
，该直线在
轴上的截距为
，
作出直线
的图象如下图所示：
由图可知，当
，
时，直线
不经过第三象限，C 对；
对于D 选项，当过点
、
的直线的斜率存在且不为零时，
则该直线的两点式方程为
，可化为
，
当直线与
轴垂直时，直线的方程为
，满足
，
当直线与
轴垂直时，直线的方程为
，满足
，
综上所述，过
、
两点的直线方程为
，D 对.
故选：CD.
方法技巧 截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式方程的逆向应用．
直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b))，用它来画
直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b|
【变式训练5-1】经过点
且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】当直线过原点时直线方程为
，满足题意，当直线不过坐标原点时，设直线的截距式，代
入点坐标可得解.
【详解】当直线过原点时，直线方程为
，即
，在两坐标轴上的截距均为
，满足题意；
当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数，
设直线方程为
，
代入点
，得
，
解得
，
则直线方程为
，即
，
综上所述直线方程为
或
，
故选：C.
【变式训练5-2】已知函数
，曲线
在点
处的切线在x，y 轴上的截距分别为
a，b，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】根据曲线在某点上的切线方程的性质即可求解.
【详解】依题意，
，则
，而
因此曲线
在点
处的切线方程为
，
令
，解得
，即
；令
，解得
，即
，
所以
.
故选：A.
【变式训练5-3】过点
且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 .
【答案】
或
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况求解即可.
【详解】当直线过原点时，在坐标轴上的截距都为0，
此时直线的斜率为：
；
当直线不过原点时，设直线的方程为
，
则
，即
，
则直线的方程为
，斜率为
.
故答案为：
或
.
题型6 直线的一般方程
例6-1 经过点
且与直线
垂直的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用两直线垂直得出所求直线的斜率，再利用点斜式方程可得结果.
【详解】由题意可知
的斜率为
，
所以与其垂直的直线斜率为
，
由点斜式可知该直线方程为
，
故选：D
例6-2 已知直线
，则l 的倾斜角
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用斜率与倾斜角的正切函数关系，根据斜率取值来确定角的范围即可.
【详解】当
时，可知直线为
，故倾斜角
，
当
时，由直线方程可知斜率
，
所以
，即倾斜角
，
综上可知：
，
故选：C.
方法技巧
求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，
然后转化为一般式．
【变式训练6-1】（多选）已知直线l：
与圆C：
，下列说法正确的是（ ）
A．直线l 过定点（0，1）
B．直线l 与圆恒相交
C．直线l 被圆截得的最短线段长为
D．圆C 与圆M：
有2 条公共切线
【答案】BD
【分析】依据方程恒成立，直线与圆位置关系的判断，圆与圆位置关系的判断，直线与圆相交弦长求解办
法对选项逐一判断即可.
【详解】对于A，当
时，
，故直线l 定点
，故A 错误；
对于B，C：
，圆心C 为
，
因为
，所以
位于圆内，所以直线l 与圆恒相交，故B 正确；
对于C，定点
与圆心的距离为
，
直线l 被圆截得的最短线段长为
，故C 错误；
对于D，圆C 与圆M 圆心的距离为
，
所以两圆相交，有两条公共切线，故D 正确．
故选：BD．
【变式训练6-2】已知直线
与直线
垂直，且与直线
在
轴上
的截距相同，求
的值．
【答案】
【分析】根据直线垂直及截距相同列出方程组计算即可求参.
【详解】由题意得
解得
或
，
所以
．
题型7 动直线过定点问题
例7-1（多选）已知直线
，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．若直线在
轴上的截距为，则
C．若直线与直线
垂直，则
D．若
，则直线的倾斜角
的取值范围为
【答案】AB
【分析】求出直线过定点坐标即可判断A，将点坐标代入直线方程求解即可判断B，根据直线垂直的关系
列式求解即可判断C，根据正切函数的单调性求解倾斜角范围判断D.
【详解】直线
，令
即
，得
，
所以直线恒过定点
，故A 正确；
若直线在
轴上的截距为，则直线过点
，代入直线方程得
，
解得
，故B 正确；
若直线与直线
垂直，则
，解得
，故C 不正确；
设直线的倾斜角为
，则
，
又
，所以由正切函数的单调性可知
，故D 不正确；
故选：AB
例7-2 已知直线
，圆
，若直线与圆
交于M，N 两点，则
的取值
范围为 ．
【答案】
【分析】判断直线
过定点
，根据
点在圆
内，即可判断
取到最大以及最小值
时的情况，即可求答案.
【详解】依题意，圆
，圆心
，半径为
，
直线
过定点
，
，故
点在圆
内，
当直线过圆心时，弦长最大，为直径
，
当直线与
垂直时，弦长最小，
此时
的最小值为
，故
的取值范围为
．
故答案为：
．
【变式训练7-1】已知直线
与圆
交于A，B 两点，则
的最大值
为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．10
【答案】B
【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后
根据三角形面积公式求出面积的最大值.
【详解】直线
过定点
，圆
，
易知
设
到距离为
，
，
当
时，
.
故选:B．
【变式训练7-2】已知直线：
.
(1)若直线垂直于直线：
，求
的值；
(2)求证：直线经过定点；
(3)当
时，求点
关于直线的对称点
的坐标.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)
【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解；
(2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解.
(3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出
的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及
的中点
在直线上，列出方程组，解方程组即可得解.
【详解】（1）因为
，
所以
，
解得
，
故
的值为；
（2）因为
，
所以
，
所以
，
解得
，
所以直线恒过定点
；
（3）因为
，
所以直线
，
设点
关于直线的对称点
的坐标为
，
所以
的中点坐标为
，
所以
，
解得
，
所以点
关于直线的对称点
的坐标为
.
题型8 直线方程的综合应用
例8-1 已知
为直线的倾斜角，若直线的法向量为
，
，那么当实数
变化时，
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据直线的方向向量和法向量之间的关系写出直线的方向向量；再根据直线倾斜角、斜率和方
向向量之间的关系分类讨论，结合基本不等式即可求解.
【详解】由直线的法向量为
可得：直线的方向向量可取为
.
当
时，
，此时直线垂直于
轴，
.
当
时，直线的斜率
，
则当
时，由基本不等式可得：
，当且仅当
时等号成立，此时
；
则当
时，由基本不等式可得：
，当且仅当
时等号成立，此时
；
综上可得：
的取值范围是
.
故选：B.
例8-2 已知直线
，直线
，若与
的交点为
，且
，则
的
最小值为 ．
【答案】2
【分析】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点
的轨迹，最后结合点
的位置求出
的最小值.
【详解】可变形为
，由
可得
，则恒过定点
，
同理可得
恒过定点
，且有
，则
，
此时
的轨迹是以
为直径的圆：
.
因
，由图知，当点
在线段
上时，
的值最小，其最小值为
.
故答案为：2.
【变式训练8-1】若直线
（常数
）与曲线
有两个不同的公共点，则
的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，确定曲线表示的图形并作出，再利用直线与圆的位置关系求出范围.
【详解】由
，得
，则曲线
表示以原点为圆心，1 为半径的圆在
及右
侧部分，
直线
恒过定点
，斜率为
，在同一坐标系内作出直线
与曲线
，
观察图象知
，且
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
【变式训练8-2·变考法】我们把点
到图形
上任意一点距离的最小值称为点
到图形
的距离，记作
.若图形
的方程是
，则点集
所表示的图形的面积是
【答案】
【分析】由题知图形
为正方形，再往内外膨胀1 个单位可得到图形，再计算面积即可.
【详解】图形
的方程是
，这是在
轴上截距的绝对值都为4 的封闭图形，
则图形
为正方形
，边长为
，
点集
，其图形是正方形
往内外膨胀1 个单位，可得到图形如下：
则其面积
.
故答案为：
.
【变式训练8-3】如图所示，直线
与
是两条相交直线．直线与
轴交于点
，过
作平行
轴的直线交直线
于点
，再过点
作平行
轴的直线交直线于点
，过点
作平行
轴的直线交直线
于点
，这样一直作下去，可得到一系列点
，设点
的
横坐标为
，则点
的坐标为
，将点
的横坐标
构成数列
．
(1)求
，
，
的值，用
表示点
的坐标，并求
与
的关系式；
(2)求数列
的通项公式；
(3)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
，
，
，
(2)
(3)
【分析】（1） 求直线交点坐标可得
，
，
的值，根据
在直线上，可求
与
的关系
式；
（2）变形递推关系，可得数列
是首项为
，公比为
的等比数列，从而可得答案；
（3）由
，可得
，利用分组求和、错位相减求和，即可得到答案.
【详解】（1）由直线
，令
，可得
，即
，所以
，
又由
，令
，可得
，即
，
可得
，所以
，
，所以
，所以
显然
，
，所以
因为
在直线上，故
，即
；
（2）由（1）知：
，所以
，
，即
即数列
是首项为
，公比为
的等比数列，故
所以
的通项公式
（3）因为
，所以
，
设
，
则
，
两式相减，得
所以
又由
，
故
1．（2025·全国一卷·高考真题）若圆
上到直线
的距离为1 的点有且仅有
2 个，则r 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出圆心
到直线
的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆
中，圆心
，半径为，
到直线
的距离为的点有且仅有
个，
∵圆心
到直线
的距离为：，
故由图可知，
当
时，
圆
上有且仅有一个点（
点）到直线
的距离等于；
当
时，
圆
上有且仅有三个点（
点）到直线
的距离等于；
当则的取值范围为
时，
圆
上有且仅有两个点到直线
的距离等于.
故选：B.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点
，从而可得当
时，
的最小，结合勾股定
理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线
，即
，令
，
则
，所以直线过定点
，设
，
将圆
化为标准式为
，
所以圆心
，半径
，
当
时，
的最小，
此时
.
故选：C
3．（2025·上海·高考真题）已知
，C 在
上，则
的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值
B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值
D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【分析】设出曲线上一点为
，得出
，将三角形的高转化成关于
的函数,分析其单调性，从
而求解.
【详解】设曲线上一点为
，则
，则
，
，
方程为：
，即
，
根据点到直线的距离公式，
到
的距离为：
，
设
，
由于
，显然
关于
单调递减，
，无最小值，
即
中，
边上的高有最大值，无最小值，
又
一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b 是
的等差中项，直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．
【答案】C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为
成等差数列，所以
，
，代入直线方程
得
，即
，令
得
，
故直线恒过
，设
，圆化为标准方程得：
，
设圆心为
，画出直线与圆的图形，由图可知，当
时，
最小，
，此时
.
故选：C
5．（2024·北京·高考真题）圆
的圆心到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得
，即
，
则其圆心坐标为
，则圆心到直线
的距离为
.
故选：D.
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得
，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，
因为
，则
，
可得
，
则
，
，
即
为钝角，
所以
；
法二：圆
的圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，连接
，
可得
，则
，
因为
且
，则
，
即
，解得
，
即
为钝角，则
，
且
为锐角，所以
；
方法三：圆
的圆心
，半径
，
若切线斜率不存在，则切线方程为
，则圆心到切点的距离
，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为
，即
，
则
，整理得
，且
设两切线斜率分别为
，则
，
可得
，
所以
，即
，可得
，
则
，
且
，则
，解得
.
故选：B.
7．（2024·天津·高考真题）已知圆
的圆心与抛物线
的焦点
重合，且两曲线在第
一象限的交点为
，则原点到直线
的距离为 ．
【答案】
/
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求
及
的方程，从而可求原点
到直线
的距离.
【详解】圆
的圆心为
，故
即
，
由
可得
，故
或
（舍），
故
，故直线
即
，
故原点到直线
的距离为
，
故答案为：
1.如果
，
，那么直线
不通过（ ）．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在
轴上的截距，即可求解.
【详解】因为
，且
，所以
均不为零，
由直线方程
，可化为
，
因为
，且
，可得
，y 轴截距
，
所以直线经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限．
故选：B.
2.已知
的顶点坐标为
，
，
.
(1)求
边上的高
的长.
(2)求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直线
的方程，利用点到直线的距离即可求解；
（2）求出
的长，用面积公式即可求解.
【详解】（1）由题意，直线
的方程为：
，即
.
故点
到直线
的距离即为
边上的高
的长，
所以
.
（2）因为
，
所以
的面积为：
.
3.已知直线
（其中A，B 不全为0）．
(1)写出直线l 的一个法向量的坐标．
(2)若直线l 经过原点，则A，B，C 满足的条件是什么？
(3)若直线l 与x 轴平行或重合，则A，B，C 满足的条件是什么？
(4)若直线l 与x 轴和y 轴都相交且不经过原点，则A，B，C 满足的条件是什么？
【答案】(1)
；
(2)
，
不全为零；
(3)
；
(4)
.
【分析】（1）根据直线的方向向量，即可求得法向量.
（2）根据点
满足直线方程，即可求得结果.
（3）根据直线斜率为零，即可求得结果.
（4）由直线的横纵截距都存在且不为0，即可求得结果.
【详解】（1）因为直线
的一个方向向量为
，
显然向量
满足
，即向量
与向量
垂直，
所以该直线的一个法向量可以为
.
（2）若直线
经过原点，即
满足直线方程，即
，
所以
，
不全为零.
（3）若直线与
轴平行或重合，则其斜率为零，显然
，
所以
.
（4）若直线与
轴和
轴都相交且不经过原点，则直线的横纵截距都存在且不为0，则
，
所以
.
4.写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：
【答案】见解析
【分析】根据图形写出截距式方程，即可可得一般式方程.
【详解】设直线的截距式方程为
，
由（1）可知
，所以
，
由（2）可知
，所以
，
由（3）可知
，所以
由（4）可知
，所以
5.已知一直线经过点
，斜率为2，求这条直线的方程．
【答案】
【分析】根据直线方程的形式得点斜式方程再转化为直线的一般式方程即可.
【详解】已知一直线经过点
，斜率为2，
则由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为
，
即
．
6.已知
的三个顶点为
，
，
，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在直线的
方程．
【答案】
；
【分析】由中点坐标公式求出
中点
坐标，由两点间距离公式可求中线长，两点式求直线
的方程
即可.
【详解】设点M 的坐标为
，
因为点M 是线段BC 的中点，
，
，
则
，
．
所以点M 的坐标为
．
又
，由两点间距离公式，
得
．
因此，BC 边上的中线AM 的长为
．
由两点式，得中线AM 所在直线的方程为
，
即
．
7.已知直线l 经过原点，且经过如下两条直线
，
的交点，求直线l 的方程．
【答案】
．
【分析】利用两直线的交点坐标的求解方法求出交点坐标，再利用两点式方程求解.
【详解】因为方程组
的解为
，
所以两条直线
和
的交点坐标为
，
从而由题意知直线l 经过点
．
又直线l 经过原点，所以直线l 的方程为
，即
．
