文档文本内容
第07 讲 函数与方程
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 求函数的零点....................................................................................................................................2
题型02 判断函数零点所在区间
.............................................................................................................2
题型03 根据零点所在区间求参数取值范围
........................................................................................3
题型04 求函数零点或方程根的个数
.....................................................................................................3
题型05 根据函数零点的个数求参数
.....................................................................................................4
题型06 利用零点的分布求参数...................................................................................................................4
题型07 比较零点的大小................................................................................................................................5
题型08 求函数零点的和的问题
.............................................................................................................5
题型09 二分法求方程近似解.......................................................................................................................6
重难·创新演练........................................................................................................................................................7
真题·实战演练........................................................................................................................................................9
模拟·基础演练
考查重点：围绕函数零点展开，包含零点求解、零点所在区间判断、零点个数分析，以及由零点分
布求解参数范围；重点考查零点存在定理，侧重数形结合、等价转化思想的运用。
题型01 求函数的零点
1.函数
的零点为___________.
2．已知a 是函数
的零点，则实数a 的值为___________.
3．函数
的零点为___________.
4.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
则
的零点之和为___________.
5．（多选）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
在
上单调递增
B．
的极小值为
C．
的图象关于原点对称
D．
有两个零点
题型02 判断函数零点所在区间
6．（25-26 高三上·河北保定·开学考试）方程
的实数根所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．函数
零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
9.（2026·陕西西安·模拟预测）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
10.已知函数
的零点
，则整数
的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
题型03 根据零点所在区间求参数取值范围
11.若函数
在
上有零点，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
12.函数
在区间
内有零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．函数
的一个零点在区间
内，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．函数
的一个零点在区间
内，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．已知
，
在
上有且只有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 求函数零点或方程根的个数
16．已知函数
则函数
的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
17．直线
与曲线
的交点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．函数
与
的图象共有 个交点．
19．（湖南邵阳市2026 年普通高中学业水平合格性考试模拟试题高二数学）函数
在
上
的零点个数为___________.
20．若函数
满足
，且
时，
，已知函数
，则函数
在区间
内的零点个数为___________.
题型5 根据函数零点的个数求参数
21．已知函数
，若函数
有3 个零点，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
22.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
若函数
有三个不同的零
点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．已知函数
，若函数
有8 个零点，则实数
的取值范围为
___________.
24．已知函数
,若关于x 的方程
有6 个根，则m 的
取值范围为___________.
题型6 利用零点的分布求参数
25.已知函数
有两个不相等的正零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
26.已知
是函数
的零点，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
27.（2026·河北衡水·一模）若函数
（
）在
内存在唯一的
，使得
，
则
的取值可能为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
28.若关于
的不等式
的解集中恰好有3 个整数解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数
，则
有零点的充要条件是
___________.
题型7 比较零点的大小
30．（2026·河南新乡·三模）已知函数
的零点分别为
，
则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
31．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
32.已知
，则正数
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
33.已知a，b，c 分别是函数
的零点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
34.已知函数
的零点分别是
，则
的大小关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型8 求函数零点的和的问题
35．函数
，则函数
的所有零点之和为___________.
36．设
分别是
与
的零点，则
的取值范围是___________.
37.（25-26 高三下·北京·阶段检测）已知函数
，其中
且
.若关于
的方
程
恰有三个不相等的实数根
，则
的取值范围为_____，且
的取值范围为
_______.
38．函数
的部分图象如图所示，最高点和最低点的坐标分别为
和
．
(1)求函数
的解析式及单调递减区间；
(2)求方程
在
内所有解的和．
题型9 二分法求方程近似解
39．（25-26 高三上·山西长治·期末）下列函数中，与x 轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
40．用二分法求方程
在
上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（
）
A．
B．
C．
D．
41.（2026·四川成都·模拟）用二分法求函数
在
内的零点近似值，若精确度要求为
，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
42.用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
43．若函数
的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
那么当精确度达到
时，可作为方程
的一个近似根的是（ ）
A．
B．
C．
D．
重难·创新演练
设题创新: 融合函数周期性、奇偶性等性质，结合新定义题型、数学文化、实际背景命题；题型综
合性强，常将零点与方程、不等式结合，考查知识综合运用能力。
1．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数
，则方程
根的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（2026·湖南怀化·三模）已知函数
，若
有唯一解，则实数
的值是（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2026·河北沧州·一模）已知函数
,若函数
至少有7 个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·北京石景山·二模）已知函数
．若
存在2 个零点，则
a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程
来描述，其中x 表示
某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放
射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足
，当净变化率为零时，对应平衡时间为
；某
鱼群在有限资源下的增长速率满足
，当增长率为零时，对应平衡种群数量为
；一个弹簧
振子在某时刻的机械能表达式为
，当机械能为零时，对应平衡位置
.则这三个平衡点
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知函数
，方程
恰有三个不
同的实数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，函数
，若函数
有三个零点，则
实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.（2026·北京海淀·二模）已知函数
，集合
．
若对任意
，都有
，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9.（多选）（25-26 高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数
的图象与直线
交
于不同的三点
，
，且
，则（ ）
A．
的图象关于点
中心对称 B．
的取值范围是
C．
的取值范围是
D．
的取值范围是
10．（多选）（2027 高三·全国·专题练习）（多选）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，
是构成一般不动点定理的基石．简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数
，存在一个点
，使
得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11.（多选）（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数
，若方程
有四个不同的
零点
，
，
，
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数
定义在
上，且
，满足
，且当
时，
，则函数
的零点个数是_____________.
13.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：
设实数
的不足近似值和过剩近似值分别为
和
、
、
、
，则
是
的更为精确的近似值．
纵横古今，关于
值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时
期、计算机时期，已知
，试以上述
的不足近似值
和过剩近似值
为依据，那么使用两
次“调日法”后可得
的近似分数为_____________.
14．已知函数
，若关于x 的方程
有6 个不相等的实数根，
则实数a 的取值范围为_____________.
真题·实战演练
高频考点：函数零点与方程根、函数图象交点的转化，零点个数判定，根据零点分布求参数，多个
零点大小比较，二分法的应用，均为高考高频考查内容。
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数
和
，下列说法中正确
的有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
4．（2024·天津·高考真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取值
范围为______．
