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第02 讲 三角恒等变换
内容导航
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 两角和与差的三角函数公式 知识点2 二倍角公式与升降幂公式
知识点3 辅助角公式（统一三角函数名） 知识点4 三角恒等变换通用化简原则
题型破译 (含超链接）
题型
1 给角求值
【方法技巧】
【易错分析】
题型
2 给值求值
【方法技巧】
【易错分析】
题型
3 给值求角
【方法技巧】
【易错分析】
题型
4 三角
函数
化简与证明
【方法技巧】
【易错分析】
题型
5
辅助角公式综合
【方法技巧】
【易错分析】
题型
6
恒等变换与解
三角形
综合
【方法技巧】
【易错分析】
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
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命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
——
考
核心
点
2026 年
2025 年
2024 年
和差角正弦、余弦、
正切公式
——
——
全国Ⅰ卷T4（5 分）
全国
卷
Ⅱ
T13（5 分）
全国甲卷（理）T8（5
分）
全国甲卷（文）T9（5
分）
二倍角公式、降幂升
幂
——
——
——
辅助角公式化简
asinx+bcosx
——
——
全国
卷
Ⅰ
T4（5 分）
三角恒等综合化简求
值
全国一卷T3（5 分）
——
——
三角恒等与解三角形
/ 图像性质融合
——
——
——
考情分析
三角恒等变换是高中三角函数模块的核心运算工具，是衔接三角函数定义、诱导
公式与三角函数图象性质、解三角形的关键枢纽。新高考弱化纯公式记忆考查，
强化角的配凑意识、转化化归思想与代数运算能力，突出数学运算与逻辑推理核
心素养。
1、题型：单选/多选第 5～9 题（5 分），填空题第 13～15 题（5
分），解答题常作为第 1 问出现在三角综合、解三角形大题中（3～6
分），总分 5～12 分；整体难度中等，属于高频必考的工具性内容。
2、四大考查方向：
和差角、二倍角公式的直接化简与求值；
升降幂公式实现次数转化与根式化简；
辅助角公式统一函数名，求解最值与周期；
恒等变换与图象性质、解三角形、平面向量的综合应用。
3、综合融合：常与三角函数图象与性质、解三角形、平面向量数量积
结合命题，也常与充分必要条件、函数值域、不等式最值交叉考查。
复习目标
1、熟记两角和差、二倍角、升降幂、辅助角全套恒等公式，能熟练进行正向运
用与逆向变形；
2、掌握 角配凑、名统一、次统一 三大核心化简思路，灵活选择公式解题；
“
”
3、熟练掌握给角求值、给值求值、给值求角三类经典题型的解题流程；
4、能综合运用恒等变换完成三角式的化简、求值与恒等式证明；
5、能借助恒等变换解决三角函数最值、周期、单调区间及解三角形综合问题。
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
——
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知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
——
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知识解构
●
●
●
知识点1 两角和与差的三角函数公式
一、核心公式
1、两角和与差的正弦
2、两角和与差的余弦
cos (α + β)=cos α cos β -sin α sin βcos (α - β)=cos α cos β +sin α sin β
3、两角和与差的正切
tan (α + β)= tan α + tan β
1- tan α tan β tan (α - β)= tan α - tan β
1+ tan α tan β
（α , β ,α ± β均不等于π
2 +kπ ,k ∈Z）
自主检测（2026·山西忻州·模拟预测）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】由于
，代入
，且
，
得
，解得
，故B 正确.
知识点2 二倍角公式与升降幂公式
一、二倍角基础公式
1.
正弦二倍角：sin 2α =2sin α cos α
2.
余弦二倍角（三种形式）：
cos 2α =2cos
2 α -1cos 2α =1-2sin
2 α
3.
正切二倍角：tan 2α = 2tan α
1- tan
2 α （α ≠π
4 + kπ
2 且α ≠π
2 +kπ ,k ∈Z）
二、升降幂公式（余弦二倍角逆向变形，化简必备）
1.
升幂公式（去根号、化整式）
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1+cos 2α =2cos
2 α1-cos 2α =2sin
2 α
2.
降幂公式（降次数、化一次）
sin
2 α = 1-cos 2α
2
cos
2 α = 1+cos 2α
2
三、补充常用变形
1.
sin α cosα = 1
2 sin2α
2.
1±sin 2α =(sin α ±cos α )
2
自主检测（2026·西藏日喀则·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
．
知识点3 辅助角公式
一、公式形式
对于asin x +bcos x（a,b不同时为 0），可统一为单一三角函数：
asin x +bcos x =
❑√a
2+b
2sin ( x +φ)其中辅助角φ满足：cos φ =
a
❑√a
2+b
2 ,sin φ =
b
❑√a
2+b
2，即
tan φ= b
a 。
也可化为余弦形式：
asin x +bcos x =
❑√a
2+b
2cos ( x -θ)
二、核心作用
1.
求三角函数的值域、最值、最小正周期；
2.
求解三角函数的单调区间、对称轴、对称中心；
3.
解三角形、三角实际应用中的最值问题。
自主检测（2026·湖北·三模）
（ ）
A．
B．
C．
D．❑√2
【答案】C
【详解】由题意可得：
.
知识点4 三角恒等变换通用化简原则
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1.
统一角：利用和差、二倍角、诱导公式，将所有角转化为同一种角；
2.
统一函数名：切割化弦，将正切、余切全部转化为正弦、余弦；
3.
统一次数：高次式用降幂公式，含根号用升幂公式，最终化为一次式；
4.
常数代换：灵活运用1=sin
2 α +cos
2 α进行齐次化变形；
5.
结构优化：通过因式分解、通分、约分简化式子结构。
自主检测（2026·河南·一模）已知
∈（0，
），且满足
，
，则
______.
【答案】
/
【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得
，进而可求
，
利用二倍角公式和齐次化即可求
的值.
题型破译
●
●
●
题型1 给角求值
例1-1
（ ）
A．1
2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式，即可求解.
【详解】
.
故选：B
例1-2
（ ）
A．1
2
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式及特殊角三角函数值可得.
【详解】
.
故选：A.
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方法技巧
1.非特殊角拆分：将目标角拆分为30
∘,45
∘,60
∘等特殊角的和差，如15
∘= 45
∘-30
∘，75
∘= 45
∘+30
∘；
2.公式逆用：观察式子结构，匹配和差角公式的右侧形式，直接合并为单角三角函数；
3.负角、大角先通过诱导公式转化为锐角，再套用和差公式。
易错分析
1. 正弦、余弦和差公式的符号记混，导致结果符号错误；
2. 正切公式分子分母符号颠倒；
3. 特殊角的三角函数值记忆错误。
【变式训练1-1】
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】
.
故选：B.
【变式训练1-2】
（ ）
A．
B．
C．1
2
D．
【答案】A
【分析】先利用诱导公式变形，再根据余弦差角公式和特殊角三角函数值得到答案.
【详解】
.
故选：A
【变式训练1-3】（2026·陕西西安·模拟预测）下列各式中，值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】A.
，所以
，A 正确.
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B.
，B 错误.
C.
，C 正确.
D.
.
因为
，
所以原式
，D 错误.
题型2 给值求值
例2-1（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用同角的正余弦函数的平方关系求解
，再由两角差的正弦公式求解即可.
【详解】因为
，
，所以
，所以
.
例2-2（2026·重庆·三模）已知
且
则
（ ）
A．
B．
C．
D．5
【答案】D
【详解】因为
，所以
，
又
，得
，
所以
．
方法技巧
1.先定范围：根据已知角的区间，确定所求三角函数的符号，避免多解；
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2.配凑优先：优先用已知角的和差表示目标角，不单独求解未知角，减少运算量；
3.齐次式变形：sin α ±cos α类式子优先平方，转化为sin α cos α整体运算。
易错分析
1. 忽略角的区间限制，开平方时符号判断错误；
2. 角的配凑关系错误，和差颠倒；
3. 多步运算中符号累积出错。
【变式训练2-1】（2026·河南开封·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
2
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换求解.
【详解】因为
，
，
所以
，
所以
，
所以
.
【变式训练2-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由条件结合关系
及利用两角和正弦公式化简可求
，再根据二倍角正
切公式及齐次化方法求结论.
【详解】
，
又
，
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，即
，
当
时，
，矛盾，
，
，
.
【变式训练2-3】（2026·陕西榆林·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对式子进行平方，再相加化简得
，进而可得
，再回代化简可得
，然后用和差公式求解即可．
【详解】因为
，所以
①；
又因为
，所以
②.
①+②得
，所以
.
又因为
，所以
，即
.
把
代入
，得
，
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则
，即
.
把
，得
，
则
，即
.
所以
.
题型3 给值求角
例3-1（2026·重庆·模拟预测）已知锐角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】原式展开化简得
，
则
，
又
是锐角，则
，所以
，选D.
例3-2（2026·福建泉州·模拟预测）已知
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
及
得到
与
同正或同负，进而判断出
为
第一象限角，即
；根据两角和差的余弦公式得到
；根据同角的三角
函数关系得到
，进一步分情况讨论求解即可.
【详解】因为
，
，所以
.
又
，
，
，所以
与
同正或同负.
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当
与
同负时，
为第二象限角，
，与
矛盾，舍去.
当
与
同正时，
为第一象限角，满足条件，所以
，则
.
因为
，
，
所以
.
由
，
，得
.
若
，则
（舍去，因为
）.
若
，则
.
因为
，所以
.
方法技巧
1.选函数：根据角的范围选择单调函数，(0,π )选余弦，(- π
2 , π
2 )选正切 / 正弦；
2.缩范围：根据已知三角函数值进一步缩小角的区间，确保解的唯一性；
3.定结果：结合函数值与角的范围，确定唯一角。
易错分析
1.只计算三角函数值，不限制角的范围，导致出现多解；
2.选择的函数在区间内不单调，无法唯一确定角；
3.范围缩小不充分，遗漏取舍条件。
【变式训练3-1】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知
，若
，
，则
_____．
【答案】
【详解】
，
，
，
，
，
，
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，
又
，
．
【变式训练3-2】若
，并且
均为锐角，且
，则
________．
【答案】
/
【分析】由题意知
，
，
，进而得
，
，再
根据
，结合余弦差角公式求得
，最后根据余弦函数性质即可求得答案.
【详解】因为
均为锐角，且
，即
，
所以
，
，
，
所以
因为
，
所以
，
，
所以
，
因为
，
所以
【变式训练3-3】已知
，且
，（提示：
.）
求：
(1)
的值；
(2)
的值.
【答案】(1)
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(2)
【分析】（1）将
配凑为
，利用两角和的正弦公式进行计算；
（2）将
配凑为
，利用两角差的余弦公式求出
，再结合
的取值范围，确定
的值.
【详解】（1）
，又
，
.
（2）由题意得
，
又
，所以
.
题型4 三角函数的化简与证明
例4-1（2026·海南三亚·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用齐次式的处理方法求
，结合二倍角公式和齐次式的计算方法求
和
，最后
利用两角和的正弦公式求值即可.
【详解】因为
，所以
，整理得
.
所以
，
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.
所以
.
例4-2（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
的最小正周期为
，则f (x)在区间
上的最小值为（ ）
A．
B．1
2
C．3
4
D．1
【答案】A
【详解】因为
，
所以
，解得
，于是
．
当
时，
．
余弦函数在该区间内单调递减，所以f (x)在
上单调递增，
所以
．
方法技巧
1.化简原则：切割化弦、异名化同名、异角化同角、高次降幂；
2.证明方法：从繁到简、左右归一、作差为 0、变更命题；
3.常用技巧：1 的代换、因式分解、配方、通分约分。
易错分析
1.变形过程中改变原式定义域，导致不等价变形；
2.二倍角公式记错，升降幂变形错误；
3.切割化弦时正切换算遗漏分母，运算失误。
【变式训练4-1】（多选题）（2026·山东烟台·模拟预测）在△ABC中，角
，
，C的对边分别为
，
，
，
，
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
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C．△ABC外接圆半径为
D．
【答案】ABD
【分析】由正弦定理及
，得
，再由
及二倍角公式得
，即可求解
，再结合选项即可依次判断．
【详解】由
及正弦定理得，
，
，
代入得
，
得
，
即
，在△ABC中，有
，故A 项正确；
由
，得
，
得
，
因
，则
，得
，故B 项正确；
因为
，
，及
，
联立解得
，
由
得
，则
，
，故D 项正确；
△ABC外接圆半径为
，故C 项错误．
【变式训练4-2】（多选题）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
，
则下列结论正确的是（ ）
A．直线
是函数f (x)的图象的一条对称轴
B．将函数f (x)的图象向左平移
个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则
的最小值为
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C．函数f (x)在区间
上有3 个零点
D．函数f (x)在区间
上单调递增
【答案】ABD
【详解】由
，
选项A：因为
，
所以直线
是函数f (x)的图象的一条对称轴，故A 正确；
选项B：将函数f (x)的图象向左平移
个单位长度后所得函数为
，
要使
为奇函数，则
，解得
，
而
，则
的最小值为
，故B 正确；
选项C：令
，则
，解得
，
当
时，
或
，
所以函数f (x)在区间
上只有2 个零点，故C 错误；
选项D：当
时，令
，
因为
在
上单调递增，所以函数f (x)在区间
上单调递增，故D 正确．
【变式训练4-3】（2026·海南·模拟预测）已知△ABC的内角
，
，C的对边分别为
，
，，若
，则
的取值范围为_____．
【答案】
【分析】先利用正弦定理，二倍角公式等进行化简，再求出
，令
，求导判断单调性
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即可求出.
【详解】由正弦定理得
，
又
，
，
，
，
，即
，
令
，则
，
，
又
，
，
在
上单调递增，
，
，
故
的取值范围为
.
题型5 辅助角公式综合
例5-1（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
．若f (x)的最大值为2，且
，
，则
____．
【答案】
【详解】由
，则其最大值为
，
已知f (x)的最大值为2，故
，
又
，因此
，即
，
求导得
，
，
题设
，故
，
．
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例5-2（2026·天津河东·三模）已知函数
，则下列结论正确的个数是（ ）
①
的图象关于点
对称；
②
在区间
内有2 个极大值点；
③
；
④将函数
的图象向左平移
个单位，所得图象关于直线
对称．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先用辅助角公式把函数化成
的形式，再结合函数
的图象
和性质进行判断.
【详解】
.
对于①，因为
，所以
是
的一条对称轴，故①错误；
对于②，由
，得
，
，所以
，
，
所以x可能为：
，等等，在
内只有两个极大值点
和
，故②正确；
对于③，因为
，
，
又
在
上单调递减，所以
，即
，故③正确；
对于④，把
的图象向左平移
个单位，可得
，
当
时，
为函数最小值，是所得函数的一条对称轴，故④正确.
综上，结论正确的个数是3.
方法技巧
1.标准步骤：先降幂、再展开、最后用辅助角公式统一为A sin (ωx +φ)形式；
2.性质求解：统一形式后，直接套用正弦函数的周期、最值、单调区间公式；
3.区间最值：根据x的范围求出ωx +φ的范围，结合三角函数图象求值域。
易错分析
1.辅助角φ的符号与象限判断错误；
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2.降幂公式记错，二倍角变形出错；
3.求单调区间时遗漏k ∈Z，或不等号方向解错。
【变式训练5-1·变载体】（2026 山东济南·模拟预测）在△ABC中，
，
，
，
为
△ABC内一点（含边界），且
．若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，以A 为坐标原点，
方向为
轴建立平面直角坐标系，则
，
设
，
过点
作x轴的垂线，垂足为Q，则
，
，
，
，即
，
则
，其中
，
当
时，
有最大值为
.
【变式训练5-2】（2026·湖北襄阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，若平面向量
，
满足
，
，则
的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量加法的坐标运算及模的坐标表示列式，再利用换元，结合辅助角公式及
正弦函数性质求出范围.
【详解】设
，由
，得
，
由
，得
，
设
，
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因此
，
所以
的取值范围是
.
【变式训练5-3·变题型】（2026·北京大兴·三模）函数
的最大值是_____________，
取最大值时，
____________．
【答案】
/
【分析】先根据辅助角公式化简
，再根据正弦函数的值域即可求出
的最大值，此时得到x的值，
再根据同角三角函数的关系，及诱导公式求出
取最大值时
的值．
【详解】由
，
，
，
又
，所以函数
的最大值是，
此时
，则
，
，
即
，
，
所以
取最大值时，
．
题型6 恒等变换与解三角形综合
例6-1（多选题）（2025·山东聊城·模拟预测）在△ABC中，A，B，C 成等差数列.若
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】先求出B和
，再根据两角和差的正余弦公式进行判断.
【详解】由A，B，C 成等差数列，得
.
因为
，所以
，则
，所以
，A 正确.
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又
，由
，
得
，
所以
，B 正确.
，C 错误.
，D 正确.
故选：ABD
例6-2 在△ABC中，已知
，
，
，P为线段AB上的一点，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题目信息结合三角恒等变换及向量的数量积公式解出三角形ABC，建立平面直角坐标系，由
P为线段AB上的一点，则存在实数
使得
，求出点P坐标，再根据
，求出点P坐标，从而得到
，利用基本不等式即可求出答案.
【详解】△ABC中设
，
，
，
因为
，
，
所以
，
即
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，又
，所以
，
又因为
，所以
，
又
，所以
，
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在
中，
，
，
，
根据
，所以
，
，
，
以
所在的直线为x轴，以
所在的直线为
轴建立直角坐标系，
可得
，
，
，所以
，
，
P为线段AB上的一点，
则存在实数
使得
，
设
，
，则
，
，
所以
，则
，
所以
，
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
此时
，
所以
的最小值为
.
方法技巧
1.内角和转化：A + B+C = π，故sin (B+C )=sin A，cos (B+C )=-cos A；
2.边角互化：正弦定理、余弦定理实现边角转化后，用恒等变换化简；
3.最值问题：统一为单角三角函数，结合辅助角公式求值域，或用基本不等式求解。
易错分析
1.三角形内角和诱导公式符号记错；
2.忽略三角形内角范围(0,π )，导致符号判断错误；
3.求最值时遗漏等号成立条件。
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【变式训练6-1】（多选题）（2026·河北·模拟预测）在△ABC中，角
为钝角，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．角
越大，
的值越大
C．
的值一定小于0
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】应用三角恒等变换及三角形内角和的性质化简相关三角函数式依次判断各项的正误即可.
【详解】因为
，
所以
，
由于
为钝角，则B为锐角，故
，
因此
，即
，A 对，
由
，则
，故
，
所以
为定值，B 错，
由
，
由
为钝角，则
为锐角，故
，
，
，
所以
，故
，C 对，
由
，则
，
而
且
为钝角，故
，
所以
，D 对.
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【变式训练6-2】记△ABC的内角
的对边分别为
，已知
，则
的
最小值为______.
【答案】
【分析】先对
，进行通分，并应用正弦定理及同角三角函数的商数关系式计算得出
，再利用诱导公式及两角和的正切公式，将其转化为
的关系式，最后用换
元法，结合基本不等式计算求解得到最小值.
【详解】
，得
，
由正弦定理得，
，
化简得，
.
若
，则C为钝角，且
，
则
中至少有一个小于零，
即
中至少有一个钝角，与一个三角形中至多有一个钝角矛盾，所以
.
因为
，
所以
.
令
，则
，且
，即
.
因为
，所以
，即
，
所以
，即
，
所以
.
所以
的最小值为
.
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【变式训练6-3】（2025·湖北·三模）在△ABC中，角
所对的边分别为
，若
，
(1)若
为△ABC内的一点，且
，求
；
(2)求角B的最大值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用三角形内角性质以及三角函数诱导公式，根据余弦定理，整理等式，由
化简计算可得答案；
（2）利用余弦定理结合不等式求解即可.
【详解】（1）
可化为
，
在△ABC中，
，得
，
又
，所以
，因为
，所以
，
因为
，
所以
，
则
；
（2）化为边的关系
，
又
，
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因为
，所以
，
当且仅当
时等号成立，所以
.
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
——
一、单选题
1．（2026·全国二卷·高考真题）已知
为第二象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
2
D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式化简可得
，结合角的范围分别求出
，
即可求解.
【详解】由
，得：
因为
是第二象限角，所以
，
，
化简得：
，即
由于
，解得：
，
因为
，所以
，
所以
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
5
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为
,所以
,
即
,即
,所以
.
如图,设
,
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由题知,
是等腰直角三角形,
AB 边上的高
,
所以
,
,
.
故选:D.
二、多选题
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知△ABC的面积为1
4 ，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】对
由二倍角公式先可推知A 选项正确，方法一分情况比较
和
的
大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利
用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用
算出
取值，最后利用三角形面积求
出三边长，即可判断每个选项.
【详解】
，由二倍角公式，
，
整理可得，
，A 选项正确；
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由诱导公式，
，
展开可得
，
即
，
下证
.
方法一：分类讨论
若
，则
可知等式成立；
若
，即
，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，
，同理
，
又
，于是
，
与条件不符，则
不成立；
若
，类似可推导出
，则
不成立.
综上讨论可知，
，即
.
方法二：边角转化
时，由
，则
，
于是
，
由正弦定理，
，
由余弦定理可知，
，则
，
若
，则
，注意到
，则
，
于是
（两者同负会有两个钝角，不成立），于是
，
结合
，而
都是锐角，则
，
于是
，这和
相矛盾，
故
不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由
，结合正弦定理可得，
，由射影定理可得
，于
是
，
则
，可同方法一种讨论的角度，推出
，
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方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
，可知
同时为
或者异号，即
，展开可得，
，
即
，结合和差化积，
，由上述分析，
，则
，则
，则
，即
，于是
，可
知
.
由
，由
，则
，即
，
则
，同理
，由上述推导，
，则
，
不妨设
，则
，即
，
由两角和差的正弦公式可知
，C 选项正确
由两角和的正切公式可得，
，
设
，则
，
由
，则
，则
，
于是
，B 选项正确，由勾股定理可知，
，D 选项错误.
故选：ABC
三、填空题
4．（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在
上的最大值是______．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
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【详解】
，当
时，
，
当
时，即
时，
.
故答案为：2
四、解答题
5. （2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求△ABC的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件
进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角
三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出B，然后根据正弦定理算出
即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由
可得
，即
，
由于
，故
，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由
，又
，消去
得到：
，解得
，
又
，故
方法三：利用极值点求解
设
，则
，
显然
时，
，注意到
，
，在开区间
上取到最大值，于是
必定是极值点，
即
，即
，
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又
，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设
，由题意，
，
根据向量的数量积公式，
，
则
，此时
，即
同向共线，
根据向量共线条件，
，
又
，故
方法五：利用万能公式求解
设
，根据万能公式，
，
整理可得，
，
解得
，根据二倍角公式，
，
又
，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又
，则
，进而
，得到
，
于是
，
，
由正弦定理可得，
，即
，
解得
，
故△ABC的周长为
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
——
一、解答题
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1．（11-12 高一·全国·课后作业）是否存在锐角
，
，使得①
；②
同时
成立？若存在，求出
，
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】
，
【分析】由①易知：
，可得
，结合
与
为锐角，则可求出
，
，即可得出答案.
【详解】存在.由①得
，
∴
，
将②代入上式得
，
因此，
，
是方程
的两根，解得
，
.
当
时，∵
，∴
，
此时
不存在，故
，
，
所以
，
∵
，
均为锐角，
∴
，
.
2．（19-20 高一·全国·课后作业）已知
，
，
，
是第三象限角，求
的值.
【答案】
【解析】根据平方关系得出
，
，由两角差的余弦公式求解即可.
【详解】由
，
，得
.
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又由
，
是第三象限角，得
.
所以
.
3．（19-20 高一·全国·课后作业）利用公式
求
的值.
【答案】
【解析】将
转化为
，再利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】
4．（19-20 高一·全国·课后作业）利用和（差）角公式计算下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
【答案】(1)
(2)0
(3)❑√3
【分析】（1）利用两角差的正弦公式求解即可.
（2）利用两角和的余弦公式求解即可.
（3）利用两角和的正切公式求解即可.
【详解】（1）由题意可得
.
（2）由题意可得
.
（3）由题意可得
.
5．（19-20 高一·全国·课后作业）化简
(1)
(2)
(3)
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(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用两角和与差的三角函数公式求解.
【详解】（1）解：
，
，
（2）
，
，
，
（3）
，
，
，
（4）
，
，
，
.
6．（19-20 高一·全国·课后作业）化简：
.
【答案】
【解析】利用两角和与差的正弦公式化简得出
，再次利用两角差的正弦公
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式化简即可.
【详解】原式
.
7．（19-20 高一·全国·课后作业）已知
.
（1）求
的值；
（2）求
的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）利用两角差的正弦公式将
展开得出
，两边平方即可求解；
（2）利用诱导公式得出
，由平方关系得出
，再利用商数关系得出
的值.
【详解】（1）∵
，∴
，
平分可得
，∴
.
（2）∵
∴
∴
∴
.
