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专题1.2 常用的逻辑用语
题型1 含有一个量词命题的否定
1．（2025·河北廊坊·模拟预测）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．以上说法均错误
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】特称命题的否定及其真假判断、三角函数定义的其他应用
【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解.
【详解】
的否定为：
，
故选：B
2．（2025·湖南邵阳·二模）命题“
，
”的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
含有一个量词命题的否定
重难点题型2
根据命题的真假求参数
重难点题型3
充分与必要条件的判断
重难点题型4
根据充分与必要条件求参数
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称量词命题的否定是特称量词，改量词否定结论即可.
【详解】命题“
，
”是全称量词命题，其否定是特称量词，改量词否定结论.
所以命题“
，
”的否定为“
，
”.
故选：D.
3．（2025·江西·二模）若命题
，
，则命题
的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据命题的否定即可求解.
【详解】命题
的否定为:
，
,
故选：C
4．（2025·广西柳州·模拟预测）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据含有一个量词的否定的定义即可判断.
【详解】命题“
”的否定是“
”，
故选：C.
5．（2024·湖北·一模）命题“
”的否定为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断.
【详解】因为“
”的否定是“
”.
故选：C.
6．（2022·湖北襄阳·模拟预测）已知命题
，
或
，则
为（ ）
A．
，
且
B．
，
且
C．
，
或
D．
，
或
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】由全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题
是全称命题，因为命题
，
或
，
所以
，
且
.
故选：B.
题型2 根据量词命题的真假求参数
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断、判断命题的真假
【分析】对于两个命题而言，可分别取
、
，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于
而言，取
，则有
，故
是假命题，
是真命题，
对于
而言，取
，则有
，故
是真命题，
是假命题，
综上，
和
都是真命题.
故选：B.
2．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“
，都有
”为真命题，则
的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据全称命题的真假求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】根据题目条件可得出：命题：“
，都有
”为真命题；再构造函数
，利用导数判断其为增函数，进而可得出结果.
【详解】因为命题：“
，都有
”为真命题，
所以命题：“
，都有
”为真命题.
令
，
.
则
.
因为
，
所以
，
所以函数
为增函数.
又因为
，
所以
.
故选：B.
3．（24-25 高一下·安徽·开学考试）已知命题
；命题
，则（ ）
A．
和
均为真命题
B．
和
均为真命题
C．
和
均为真命题
D．
和
均为真命题
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】判断命题的真假、全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断
【分析】代入具体数值可判断命题
和
的真假，即可得到
和
的真假.
【详解】因为当
时，
成立，故命题
为真命题，
为假命题；
当
时，
，故命题
为假命题，
为真命题.
故选：B.
4．（2024·重庆·模拟预测）已知命题
，若
是假命题，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、绝对值三角不等式
【分析】利用绝对值三角不等式，得到
，再根据题设即可求解.
【详解】因为
是假命题，则命题
为真命题，
所以
又
，当且仅当
时取等号，
所以
，
故选：B.
5．（2024·河南·模拟预测）已知命题“
”是假命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据全称命
题的真假求参数
【分析】已知原命题为假命题，那么它的否定“
”为真命题.对于一元二次函数
，要使其对于任意实数
都大于等于
，则需要考虑其判别式
的取值范围.
【详解】已知原命题为假命题，那么它的否定“
”为真命题.
对于一元二次函数
，要使其对于任意实数
都大于等于
.
因为
恒成立，所以
，即
，解得
.
故选：A.
6．（2025·辽宁·二模）命题p:“
，
”是假命题，则m 的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】根据题意，
为真命题，恒成立问题分离参数求解.
【详解】由题，
为真命题，
所以
，对
，
又
在
上的最小值为
，
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
7．（2024·广东惠州·模拟预测）命题“
”为假命题，则实数a 的范围为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、函数不等式恒成立问题
【分析】根据题意，转化为
在
上有解，设
，利用函数
的单调性
求得其最小值，即可求解.
【详解】命题“
”为假命题，可命题“
”为真命题，
即不等式
在
上有解，
设函数
，可得函数
在
为单调递增函数，
所以，当
时，函数
取得最小值，最小值为
，所以
，
即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
8．（23-24 高三上·河南·阶段练习）若命题“
，
”为假命题，则
的取值范
围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】根据已知条件知命题“
，
”为真命题，再分类讨论，即可求解.
【详解】由题意可知，命题“
，
”为真命题.
当
时，可得
.
若
，则有
，符合题意；
若
，则有
，解得
，不符合题意；
当
时，则
，解得
.
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
.
题型3 充分与必要条件的判断
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断命题的充分不必要条件、向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
2．（2024·天津·高考真题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性、充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性
质
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，
和
都当且仅当
，所以二者互为充要条件.
故选：C.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断命题的必要不充分条件、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当
时，例如
但
，
即
推不出
；
当
时，
，
即
能推出
.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
4．（2023·天津·高考真题）已知
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】必要条件的判定及性质
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由
，则
，当
时
不成立，充分性不成立；
由
，则
，即
，显然
成立，必要性成立；
所以
是
的必要不充分条件.
故选：B
5．（2025·北京海淀·一模）已知
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列．若
，则
“
是递增数列”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断数列的增减性
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列等比数列的性质来判断.
【详解】若
是递增数列，则
对所有的正整数
都成立，
充分性：若
是递增数列，则
即
恒成立，又
，
，
①若数列为无穷数列，
若
，则
，
时，
，所以
；
若
，则
，
时，
，所以
，
此时充分性成立；
②若数列为有穷数列，
若
，
，只需
即可，此时充分性不成立.
必要性：
时，
若
，有
，则
不一定成立，故必要性不成立；
即
时，“
是递增数列”是“
”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6．（2025·四川成都·三模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由
，得
或
，则
不一定成立，如
；
由
，得
且
，则
必成立，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
7．（2025·天津和平·一模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】探求命题为真的充要条件、由正切（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】由充分必要条件的概念判断即可.
【详解】若
，则
，反之若
，则
，
所以
是
的充要条件.
故选：C
8．（2019·内蒙古包头·二模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断命题的必要不充分条件、特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当
时，
；反之当
时，
或
，
因此“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
9．（2025·浙江·三模）“
”是“函数
的值域为R”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、根据对数函数的值域求参数值或范围、一元
二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】验证充分性，当
时，
，所以函数
的值域为R，即
具有充分性；再验证必要性，若函数
的值域为R，则对于二次函数
，其
判别式非负，由此可解得
，可得答案.
【详解】若
，因为
，所以函数
的定义域为
，
故
，所以函数
的值域为R，
即“
”是“函数
的值域为R”的充分条件；
若函数
的值域为R，则对于二次函数
，其值域包含
，
即
，解得
或
，
即“
”不是“函数
的值域为R”的必要条件，
综上，“
”是“函数
的值域为R”的充分不必要条件，
故选：A.
10．（2025·安徽蚌埠·二模）“
”是“函数
为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断命题的充分不必要条件、由奇偶性求参数
【分析】利用奇函数的定义列式求出
，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若函数
为奇函数，则
，即
，
整理得
，即
，解得
，
当
时，函数
的定义域为
；当
时，函数
的定义域为
，都符合题意，
所以“
”是“函数
为奇函数”的充分不必要条件.
故选：A
题型4 根据充分与必要条件求参数
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断命题的充分不必要条件、向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
2．（2025·广西桂林·一模）“
，使
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】分
、
、
三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据
集合的包含关系判断即可.
【详解】当
时，
有解；
当
时，二次函数
开口向上，所以
有解；
当
时，
有解，则
，解得
；
综上可得
；
因为
真包含于
，
所以“
，使
”的一个充分不必要条件是
.
故选：C.
3．（2025·上海宝山·二模）“
”的一个必要非充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、比较对数式的大小、比较指数幂的大小、作差法比较代数式的大
小
【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B 和C 逐一分
析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解.
【详解】对于选项A，由
，得到
，即
，所以
可得
，故选项A
错误，
对于选项B，由
，得到
，所以
可得
，故选项B 错误，
对于选项C，由
，得到
，即
，所以
推不出
，
但
可以得出
，故选项C 正确，
对于选项D，由
，得到
，
又
，当且仅当
时取等号，显然
不满足题意，
则
，即
，
又当
，有
，所以
是
的充要条件，故选项D 错误，
故选：C.
4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知
，集合
，若
是
的必要不充分条件，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】由题意得到
是
的真子集，比较区间端点，即可求解.
【详解】
，
，
因为
是
的必要不充分条件，
所以
是
的真子集,
可得
，等号不同时成立，结合
，解得
，
所以
的取值范围为
，
故选：B
5．（2024·全国·一模）已知
是定义域为
的奇函数，且
时，
，则“
在
上单调递增”的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】探求命题为真的充要条件、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性求参数值
【分析】根据函数的奇偶性结合函数的单调性与二次函数的性质列不等式即可得“
在
上单调递
增”的充要条件的
的取值范围.
【详解】因为
是定义域为
的奇函数，则
，
且
时，
，
若
在
上单调递增，则
，解得
,
故“
在
上单调递增”的充要条件是“
”.
故选：D.
6．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知数列
的通项公式是
为常数，则“存在
，使得
成等差数列”的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、等差中项的应用
【分析】根据等差数列中项的性质列式求得命题的充要条件为
且与
无关，结合选项利用必要不
充分条件概念即可判断.
【详解】存在
，使得
成等差数列，则
，
即
，
整理得
，即
，
即“存在
，使得
成等差数列”的一个充要条件是
且与
无关，
因为
，所以所求得必要不充分条件为
.
故选：D.
7．（2025·黑龙江·一模）已知函数
，
若
是
上
的增函数，
，且
是
的必要不充分条件，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据必要不充分条件求参数、由对数函数的单调性解不等式
【分析】由集合的包含关系，分类讨论
时，
的解集即可求解；
【详解】
是
上的增函数，得
，
考虑
当
时，
等价于
得：
.
当
时，
等价于
，
当
时，由
，可得：
，又
，此时解集为
，
也即
的解集为
符合题意；
当
时，由
，可得：
，又
，此时解集为
，
也即
的解集为
，不符合题意；
当
时，由
，可得：
，又
，此时解集为
，
也即
的解集为
，符合题意；
综上可知：
的取值范围是
.
故选：B
8．（22-23 高一·全国·课堂例题）函数
在区间
上单调递减的必要不充分条件
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】对数型复合函数的单调性、判断命题的必要不充分条件
【分析】由复合函数的单调性与充分必要条件的概念判断，
【详解】设
．
∵
在
上单调递减，
∴由复合函数的单调性法则可知，
在
上单调递减，且
在
上恒成立．
（注意对数的真数在
上大于0）
又
在
上单调递减，（若函数
在
上单调递减，则
）
解得
．
则可得函数
在区间
上单调递减的充要条件是
．
而所求的是函数
在区间
上单调递减的必要不充分条件，
故只需看
是哪一个的真子集，结合选项只有C 符合.
故选：C
9．（2024·吉林长春·模拟预测）设
，则使
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断命题的充分不必要条件、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较对数式的大小
【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可.
【详解】对于A，
，故
是
的充要条件；
对于B，由
得
，能推出
，反之不成立，
所以
是
的充分不必要条件；
对于C，由
无法得到
之间的大小关系，反之也是，
所以
是
的既不充分也不必要条件；
对于D，由
不能推出
，反之则成立，所以
是
的必要不充分条件．
故选：B．
10．（2024·上海长宁·一模）已知
，若
是
的充分条件，则实数m 的取值范围
是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据函数的单调性解不等式、根据集合的包含关系求参数、具体
函数的定义域
【分析】通过构造函数
，利用
的单调性解不等式，再由题意将
是
的
充分条件转化为包含关系，进而求得参数
范围.
【详解】设
，
则
在
单调递增，又
，
所以
，即
，故
.
则
.
由题意
是
的充分条件，则
，
所以有
，故实数m 的取值范围是
.
故答案为：
.
